朱 輪

(常州大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 常州 213016)

(*通信作者電子郵箱3278191370@qq.com)

基于后悔理論和證據(jù)理論的猶豫模糊決策方法

朱 輪*

(常州大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 常州 213016)

(*通信作者電子郵箱3278191370@qq.com)

針對(duì)屬性值為猶豫模糊信息、屬性權(quán)重和自然狀態(tài)發(fā)生概率完全未知的多屬性群決策問題，考慮決策者心理行為，提出一種基于后悔理論和證據(jù)理論的多屬性群決策方法。首先，運(yùn)用證據(jù)理論計(jì)算各自然狀態(tài)發(fā)生的概率；然后，基于區(qū)間模糊矩陣、t-分布估計(jì)以及得分函數(shù)矩陣確定屬性信息的效用值，進(jìn)而依據(jù)后悔理論得到每個(gè)自然狀態(tài)下的感知效用矩陣；通過加權(quán)算術(shù)平均得到綜合感知效用矩陣，并依據(jù)方案綜合感知效用的大小確定方案優(yōu)劣排序；最后，將所提方法運(yùn)用于對(duì)投資公司的選擇實(shí)例中。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，雖然所提方法與現(xiàn)有方法得到的決策結(jié)果相同，但是所提方法在決策過程中只需考慮較少數(shù)量的參數(shù)。對(duì)比分析實(shí)驗(yàn)表明，所提方法得到的決策結(jié)果合理、可靠，且能反映實(shí)際決策情況。

猶豫模糊集；后悔理論；證據(jù)理論；綜合感知效用；多屬性群決策

0 引言

決策是人們?yōu)榱诉_(dá)到某種目的或者完成某種任務(wù)而進(jìn)行的有意識(shí)、有選擇的行動(dòng),其本質(zhì)是依據(jù)決策者的價(jià)值和偏好而對(duì)一組方案進(jìn)行判別和優(yōu)劣選擇的過程[1]。

作為決策的主體,人類因?yàn)槠渥陨硭季S的局限性和知識(shí)能力的不全面產(chǎn)生的不確定性,同時(shí)由于事物本身的復(fù)雜性和模糊性,導(dǎo)致決策者在決策過程中難以用精確數(shù)描述決策信息,而是以不確定性的形式表示。Zadeh[2]在深入分析模糊性和精確性相互對(duì)立的基礎(chǔ)上,于1965年提出了模糊集理論。模糊集理論使得數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用的研究范圍從精確問題拓展到含有模糊現(xiàn)象的領(lǐng)域,是解決復(fù)雜系統(tǒng)問題的有力工具之一。模糊集理論的核心思想是把取值為1和0的特征函數(shù)擴(kuò)展到可在閉區(qū)間[0,1]中取任何值的隸屬函數(shù)?；谀：臎Q策理論與方法已經(jīng)獲得了眾多的研究成果,并廣泛地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域[3-5]。之后,人們提出了模糊集的幾種廣義形式,包括：區(qū)間模糊集[6]、直覺模糊集[7]、區(qū)間直覺模糊集[8]等。然而在決策過程中,決策者們經(jīng)常表現(xiàn)出猶豫和優(yōu)柔寡斷,而且各自不能說服對(duì)方,導(dǎo)致最終的決策結(jié)果難以達(dá)成一致。于是,Torra[9]提出了模糊集的另一種廣義形式,即猶豫模糊集(Hesitant Fuzzy Set, HFS),其中的每個(gè)基本單元稱為猶豫模糊元,表示所有決策者給出的決策信息的集合。

現(xiàn)有的關(guān)于處理多屬性決策問題的方法主要分為兩大類,即完全理性的多屬性決策方法和有限理性的多屬性決策方法。完全理性的多屬性決策方法大都建立在經(jīng)典期望效用理論之上,主要包括：基于距離測度的方法、信息集成算子和序關(guān)系模型[10]。

另一類的多屬性決策方法就是考慮到?jīng)Q策者的行為是有限理性的,這使得決策過程更加符合現(xiàn)實(shí)情況,這類方法主要是基于前景理論、后悔理論進(jìn)行研究。針對(duì)決策者給出單一與組合指標(biāo)期望情形的多指標(biāo)決策問題,文獻(xiàn)[11]建立了一種基于前景理論的決策方法,并通過人才招聘選擇問題分析了該方法的可行性；Liu等[12]針對(duì)區(qū)間概率條件下屬性信息為不確定語言信息的風(fēng)險(xiǎn)決策問題,基于前景理論提出了一種多屬性決策方法；在區(qū)間直覺模糊環(huán)境下,高建偉等[13]利用前景理論構(gòu)建前景決策矩陣,建立以綜合前景值最大化為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化模型求解屬性權(quán)重完全未知和部分已知的多準(zhǔn)則決策問題；文獻(xiàn)[14]提出了基于前景理論的三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)型群體灰靶決策模型。但是運(yùn)用前景理論需要事先給出決策參考點(diǎn)的信息,同時(shí)計(jì)算公式中涉及較多的不確定參數(shù),而不同的參數(shù)將會(huì)對(duì)決策結(jié)果產(chǎn)生不同的影響。因此,在考慮決策者心理行為的情形下,需要探究新的多屬性決策方法,而由Bell[15]和Loomes等[16]提出的后悔理論也是一種考慮決策者心理行為的決策理論,其與前景理論相比具有計(jì)算簡單、不需要給出決策參考點(diǎn)等優(yōu)點(diǎn),因此在應(yīng)用上具有一定的優(yōu)勢。針對(duì)風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問題,張曉等[17-18]基于后悔理論分別建立了決策方案相對(duì)于理想點(diǎn)和方案兩兩比較的感知效用矩陣,并依據(jù)每個(gè)方案的綜合感知效用進(jìn)行優(yōu)劣排序；張世濤等[19]運(yùn)用后悔理論研究了方案對(duì)多維偏好信息下的模糊多屬性群決策問題；針對(duì)屬性信息為拓展的灰數(shù),Zhou等[20]將后悔理論與逼近于理想解排序法(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution, TOPSIS)相結(jié)合,提出一種灰數(shù)隨機(jī)的多屬性決策模型；郭三黨等[21]建立了一種基于后悔理論的多目標(biāo)灰靶決策方法，用于處理屬性值為區(qū)間灰數(shù)、權(quán)重信息不確定的決策問題。

針對(duì)突發(fā)事件發(fā)展演變存在多種可能的應(yīng)急響應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)決策問題,袁媛等[22]提出一種考慮后悔規(guī)避的突發(fā)事件應(yīng)急響應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)決策方法,但是該決策問題的決策信息是由一個(gè)決策者提供的,而在實(shí)際的決策中,由于客觀世界復(fù)雜性和決策者自身能力的限制,可能會(huì)導(dǎo)致單個(gè)決策者提供的決策信息主觀性太強(qiáng),從而使得決策結(jié)果不一定客觀合理,因此越來越多的決策問題都需要一群決策者同時(shí)進(jìn)行決策,并提供各自的決策信息,而運(yùn)用猶豫模糊集可以將某一方案在某一屬性下的決策信息全面準(zhǔn)確地表述出來,因此本文考慮猶豫模糊環(huán)境下的多屬性群決策問題。文獻(xiàn)[23]基于前景理論構(gòu)建了一種新的猶豫模糊多屬性決策方法,但是該方法存在兩個(gè)不足之處：一方面,在運(yùn)用前景理論的過程中,包含的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度系數(shù)和損失規(guī)避系數(shù)等參數(shù)的數(shù)目較多,這容易導(dǎo)致在決策過程中出現(xiàn)如何選擇合適的參數(shù)進(jìn)行決策、選取什么樣的參數(shù)使得決策更為合理可靠等問題；另一方面,文獻(xiàn)[23]中的方法直接給出了每種自然狀態(tài)發(fā)生的概率,但是在復(fù)雜環(huán)境下是很難實(shí)現(xiàn)的,通常情況下決策者只能獲取與自然狀態(tài)發(fā)生概率相關(guān)的信息,而證據(jù)理論是解決這類問題的有力工具。因此,為了全面考慮每個(gè)決策者的屬性信息,同時(shí)考慮到?jīng)Q策者選擇方案時(shí)具有后悔規(guī)避性以及各自然狀態(tài)發(fā)生概率的不確定性,設(shè)計(jì)一種猶豫模糊環(huán)境下基于后悔理論和證據(jù)理論的多屬性群決策方法具有一定的必要性和研究意義。然而,相關(guān)研究還較少。鑒于此,本文將后悔理論和證據(jù)理論相結(jié)合,提出一種猶豫模糊多屬性群決策方法。該方法運(yùn)用證據(jù)理論計(jì)算各個(gè)自然狀態(tài)發(fā)生的概率,利用后悔理論得到各自然狀態(tài)下的感知效用矩陣,從而通過加權(quán)平均確定綜合感知效用矩陣,進(jìn)而獲得各方案的綜合感知效用,并對(duì)各方案進(jìn)行優(yōu)劣排序。最后通過實(shí)例驗(yàn)證提出的群決策方法是可行的和有效的。

1 相關(guān)知識(shí)

1.1 猶豫模糊集的相關(guān)概念

定義1[9]定義在X={x1,x2,…,xn}上的猶豫模糊集(HFS)為A={〈xi,hA(xi)〉|xi∈X},其中hA(xi)表示xi屬于集合A的幾種隸屬度,其是由[0,1]上不同的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合。稱h=hA(x)={γ|γ∈hA(x)}為一個(gè)猶豫模糊元(Hesitant Fuzzy Element, HFE),猶豫模糊元h的補(bǔ)為hc={1-γ|γ∈h}。

對(duì)于兩個(gè)任意的HFE,給出如下方法判定它們之間的大小關(guān)系。

1.2 后悔理論

在現(xiàn)代越來越復(fù)雜的環(huán)境下,決策者在決策過程中不僅考慮選擇方案后獲得的結(jié)果,還考慮假設(shè)選擇其他方案后可能得到的決策結(jié)果。根據(jù)后悔理論可知,決策者的感知效用函數(shù)由當(dāng)前決策結(jié)果的效用函數(shù)和與其他決策結(jié)果比較的后悔-欣喜函數(shù)兩部分組成。在Bell[15]和Loomes等[16]將后悔理論應(yīng)用于兩個(gè)方案的選擇問題之后,文獻(xiàn)[25]將后悔理論拓展應(yīng)用于若干個(gè)備選方案的選擇問題中,并且得到了廣泛的應(yīng)用。

假設(shè)Y={Y1,Y2,…,Ym}為一組備選方案,yi為選擇方案Yi所獲得的結(jié)果,則決策者對(duì)方案Yi的感知效用為：

ui=v(yi)+R(v(yi)-v(y*))

(1)

其中：y*=max{y1,y2,…,ym}；v(yi)表示決策者能從方案Yi的結(jié)果yi中獲得的效用；R(v(yi)-v(y*))≤0表示決策者選擇方案Yi而放棄方案Y*的后悔值。這里函數(shù)R(·)是一個(gè)單調(diào)遞增的凹函數(shù)[15],滿足R′(·)>0,R″(·)<0且R(0)=0。

1.3 證據(jù)理論

作為一種不確定性的推理方法,證據(jù)理論能夠?yàn)樘幚聿淮_定信息問題提供一種非線性決策信息的融合方法[26]。假設(shè)Θ={θ1,θ2,…,θl}為某一決策問題的所有可能結(jié)果或可能的狀態(tài),集合Θ的所有子集構(gòu)成了冪集2Θ,則2Θ中共有2l個(gè)元素。

注意到,當(dāng)基本信度分配函數(shù)f僅僅定義在單點(diǎn)子集上時(shí),則其將轉(zhuǎn)化成概率形式,即把子集上的基本信度分配函數(shù)賦值在單個(gè)元素上。已有很多學(xué)者提出了不同的將基本信度分配函數(shù)轉(zhuǎn)化為概率的方法,其中文獻(xiàn)[28]基于平均分配提出了如下Pignistic概率轉(zhuǎn)換方法：

(2)

其中：θ是集合Θ={θ1,θ2,…,θl}中的元素,B是2Θ中包含元素θ的子集。

2 基于后悔理論和證據(jù)理論多屬性群決策模型

2.1 猶豫模糊多屬性群決策問題描述

2.2 設(shè)計(jì)方案感知效用值的計(jì)算方法

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

考慮到隨機(jī)變量的特征,令

(8)

(9)

(10)

2.3 群決策模型的建立

針對(duì)現(xiàn)實(shí)中的多屬性群決策問題,由于客觀世界和決策者們自身的主觀影響,使得決策者無法事先獲得每個(gè)自然狀態(tài)發(fā)生的概率和各屬性的權(quán)重大小。因此,本節(jié)將首先運(yùn)用證據(jù)理論計(jì)算群決策問題中各自然狀態(tài)發(fā)生的概率,然后基于后悔理論和最優(yōu)化模型構(gòu)建猶豫模糊多屬性群決策方法,最后選擇綜合感知效用最優(yōu)的備選方案。

基于后悔理論和證據(jù)理論,構(gòu)建猶豫模糊多屬性群決策方法,具體步驟如下：

步驟1 群決策矩陣標(biāo)準(zhǔn)化。

步驟3 運(yùn)用證據(jù)理論計(jì)算自然狀態(tài)θt發(fā)生的概率pt。

依據(jù)證據(jù)理論中的Pignistic概率轉(zhuǎn)換方法,計(jì)算每個(gè)自然狀態(tài)θt發(fā)生概率pt的計(jì)算公式如下：

(11)

其中：θt是集合Θ={θt|t∈T}中的元素,B是冪集2Θ中包含自然狀態(tài)θt的子集。

步驟4 建立綜合感知效用矩陣U=(uij)m×n。

(12)

步驟5 基于最優(yōu)化模型確定屬性權(quán)重向量。

(13)

步驟6 計(jì)算備選方案Yi的綜合感知效用ui(i∈M),其中：

(14)

步驟7 依據(jù)各備選方案的綜合感知效用值對(duì)各方案進(jìn)行優(yōu)劣排序。若綜合感知效用值越大,則對(duì)應(yīng)的決策方案Yi越優(yōu)。

3 案例分析

表1 市場環(huán)境好(θ1)時(shí)的決策矩陣H1

表2 市場環(huán)境中(θ2)時(shí)的決策矩陣H2

表3 市場環(huán)境差(θ3)時(shí)的決策矩陣H3

為了解決該多屬性群決策問題,下面利用上文構(gòu)建的決策方法選擇出在所有自然狀態(tài)下綜合表現(xiàn)最優(yōu)的公司進(jìn)行投資,具體過程如下:

步驟2 依據(jù)定義2,計(jì)算得到三種市場環(huán)境下的猶豫模糊得分函數(shù)矩陣s(Ht)(t=1,2,3)：

步驟3 運(yùn)用式(11)得到三種自然狀態(tài)發(fā)生的概率分別為p1=0.450,p2=0.375,p3=0.175。

再運(yùn)用式(12)得到綜合感知效用矩陣U=(uij)5×4：

步驟6 依據(jù)式(14),計(jì)算各備選方案Yi(i=1,2,3,4,5)的綜合感知效用分別為：u1=-0.103 0,u2=0.051 3,u3=0.154 9,u4=0.017 6,u5=0.271 0。

步驟7 因?yàn)閡5>u3>u2>u4>u1,則五家公司的優(yōu)劣順序?yàn)閅5?Y3?Y2?Y4?Y1(“?”表示前者優(yōu)于后者),因此該投資銀行應(yīng)該選擇旅游公司Y5進(jìn)行投資。

針對(duì)上述群決策問題,接下來將運(yùn)用文獻(xiàn)[10]中提出的基于前景理論的猶豫模糊多屬性決策方法進(jìn)行簡要求解,并分析本文方法的優(yōu)勢。

文獻(xiàn)[10]提出的決策方法,首先計(jì)算各個(gè)自然狀態(tài)下所有方案在所有屬性下發(fā)生的概率權(quán)重函數(shù)；其次依據(jù)決策者給定的決策參考點(diǎn),計(jì)算出各種自然狀態(tài)下每家公司在所有屬性下的前景函數(shù)值；然后運(yùn)用題目中給定的屬性權(quán)重向量,依據(jù)加權(quán)算術(shù)平均的原則,計(jì)算各家公司的綜合前景價(jià)值。由于版面的限制,下面僅以求解食品公司Y1的綜合前景價(jià)值v1為例說明具體的決策過程。

類似可計(jì)算得到v2=0.204 4,v3=0.315 5,v4=0.271 7,v5=0.399 6；最后依據(jù)綜合前景價(jià)值的大小對(duì)決策方案進(jìn)行優(yōu)劣排序,由于v5>v3>v4>v2>v1,則有這五個(gè)公司的優(yōu)劣排序?yàn)閅5?Y3?Y4?Y2?Y1。于是該投資銀行應(yīng)該選擇投資旅游公司Y5。

由上述分析可知,雖然運(yùn)用本文的群決策方法得到的公司排序結(jié)果與應(yīng)用文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[23]中的決策方法得到的公司排序結(jié)果稍有不同,但是最合適進(jìn)行投資的公司均為旅游公司Y5,這說明了本文提出的群決策方法是可行的。同時(shí),本文的決策方法存在以下優(yōu)點(diǎn)：

1)本文提出的群決策方法中屬性信息效用值是依據(jù)決策者提供的決策信息和t-分布估計(jì)方法計(jì)算得出的,與決策者給定決策參考點(diǎn)相比,本文算法更加客觀合理。

2)在群決策計(jì)算過程中,應(yīng)用后悔理論時(shí),不需要計(jì)算或要求決策者給定決策參考點(diǎn)。文獻(xiàn)[23]中的決策方法是基于前景理論得到的,而在建立前景價(jià)值綜合矩陣的過程中需要考慮如何選取風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度系數(shù)和損失規(guī)避系數(shù)等參數(shù),這些參數(shù)主要是由決策者給定的,因此將使得決策結(jié)果帶有較多的主觀性,導(dǎo)致不能得到客觀可靠的決策結(jié)果。但是后悔理論涉及的計(jì)算公式中參數(shù)個(gè)數(shù)比較少,使得計(jì)算時(shí)的不確定性減小,從而得到的決策結(jié)果更為合理可靠。

3)本文的決策方法運(yùn)用證據(jù)理論處理自然狀態(tài)發(fā)生的概率未知的不確定狀況,使得決策結(jié)果更能反映實(shí)際情況。

4 結(jié)語

近些年來,隨著后悔理論和證據(jù)理論的發(fā)展,使得它們得到越來越多學(xué)者的關(guān)注和研究。本文設(shè)計(jì)了一種猶豫模糊環(huán)境下基于后悔理論和證據(jù)理論的多屬性群決策方法。該群決策方法首先基于證據(jù)理論中的Pignistic概率轉(zhuǎn)換方法計(jì)算每種自然狀態(tài)發(fā)生的概率；然后運(yùn)用轉(zhuǎn)換后的區(qū)間模糊矩陣、t-分布估計(jì)以及得分函數(shù)矩陣確定屬性信息的效用值,進(jìn)而依據(jù)后悔理論得到各自然狀態(tài)下的感知效用矩陣；通過簡單加權(quán)平均計(jì)算綜合感知效用矩陣,并以所有方案的綜合感知效用最大化為目標(biāo)函數(shù)建立最優(yōu)化模型確定屬性權(quán)重,從而得到每個(gè)備選方案的綜合感知效用值,進(jìn)而對(duì)決策方案進(jìn)行優(yōu)劣排序。通過投資銀行選擇公司進(jìn)行投資的實(shí)例驗(yàn)證了本文提出的群決策方法的可行性和有效性。在后續(xù)研究中,針對(duì)評(píng)價(jià)信息和屬性權(quán)重為猶豫模糊語言信息的群決策問題以及后悔理論中后悔規(guī)避系數(shù)的選擇方法,可以作進(jìn)一步考慮和研究。

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This work is partially supported by the Jiangsu Province Science and Technology Support Program (Industrial) Key Project (BE2013005- 3).

ZHU Lun, born in 1974, M.S., senior engineer.His research interests include electronic information technology, intelligent decision making.

Hesitant fuzzy decision-making method based on regret theory and evidence theory

ZHU Lun*

(SchoolofInformationScienceandEngineering,ChangzhouUniversity,ChangzhouJiangsu213016,China)

Under the hesitant fuzzy environment, considering the decision makers’ psychological behavior, a method based on regret theory and evidence theory was proposed to cope with Multi-Attribute Group Decision Making (MAGDM) problems that the attribute value is hesitant fuzzy information, the attribute weights and probability information of situation are completely unknown.First, evidence theory was utilized to calculate the probability information of the states.Then, based on the interval fuzzy matrices, the estimation oft-distribution and the score function matrices, the utility values of attribute values were determined.Moreover, by using regret theory, the decision makers’ perceived utility values were obtained.The overall perceived utility of each alternative was acquired on the basis of the weighted arithmetic mean.After that, all the alternatives were ordered.Finally, the proposed approach was applied to a numerical example about the selection of enterprise.The experimental results show that the proposed method can get the same results as the existing methods, but only a small number of parameters needed to be considersed in the decision process.The results of comparative analysis domonstrate that the decision making results obtained by the proposed method are reasonable and reliable, which can reflect the actual situation.

Hesitant Fuzzy Set (HFS); regret theory; evidence theory; overall perceived utility; multi-attribute group decision making

2016- 07- 11;

2016- 09- 08。 基金項(xiàng)目:江蘇省科技支撐計(jì)劃(工業(yè))重點(diǎn)項(xiàng)目(BE2013005- 3)。

朱輪(1974—)，男，江蘇常州人，高級(jí)工程師，碩士，主要研究方向：電子信息技術(shù)、智能決策。

1001- 9081(2017)02- 0540- 06

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.02.0540

TP273.4; O159

A