顏凝香 吳利華 范克

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Biot方程的完備通解在一維情況下的驗證

顏凝香1吳利華2范克2

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基于三維飽和彈性土體Biot方程的完備通解，構(gòu)造了一維情況下的一組中間變量，這些變量是坐標(biāo)和時間的函數(shù)，進(jìn)而得到一維情況下位移和孔壓的解析解表達(dá)形式。通過給出一維算例的邊界條件求出中間變量表達(dá)式中的系數(shù)，得出位移和孔壓的最終表達(dá)式，即Biot方程的一維解答。

飽和土Biot固結(jié)完備通解理論解

1 引言

Biot（1941）在從嚴(yán)格的固結(jié)機理出發(fā)推導(dǎo)出能準(zhǔn)確反映孔壓消散與土骨架變形相互關(guān)系的三維固結(jié)方程，具有重要的理論及工程應(yīng)用價值。但是Biot固結(jié)方程是一組偏微分方程，在數(shù)學(xué)上求解非常困難，對于軸對稱問題和一些簡單的平面應(yīng)變問題，有人推出了解析解；對于一般復(fù)雜邊界的土層情況，便無法求得解析解。河海大學(xué)王媛教授給出了三維Biot飽和土理論的完備通解。本文在直角坐標(biāo)系下分別應(yīng)用該通解和太沙基理論來解答土體單向固結(jié)的算例。以驗證Biot方程通解表達(dá)的實用性。Biot理論和太沙基理論的假定是基本一致的，即符合骨架線性彈性、變形微小，滲流符合達(dá)西定律等，所不同的是太沙基理論增加了土體在固結(jié)過程中法向總應(yīng)力和不隨時間而變的假定，對于一維固結(jié)問題，則不存在這個問題，此時的太沙基方程和Biot固結(jié)方程是一致的。

2 通解中參數(shù)的構(gòu)造

三維Biot飽和土理論的方程組為：

式中：u為位移，p表示孔壓，k和γw分別為土體滲透系數(shù)和水的重度。

方程組（1）有如下通解：

由于（2）是（1）的完備解，因此求解Biot邊值問題轉(zhuǎn)變成求出滿足方程（3）的h、，使其滿足（2）就可以了。

一維情況下，構(gòu)造滿足（3）式的h，可表達(dá)為：

式（2）在一維情況下可寫為：

將式（4）、式（5）代入（6）得

3 Biot理論一維算例解答

圖1為均質(zhì)、各向同性的飽和粘土層，位于不透水的巖層上、粘土層的厚度為H，在自重應(yīng)力作用下已固結(jié)穩(wěn)定，僅考慮外加荷載引起的固結(jié)。若在水平地面上施加連續(xù)均布壓力，則在土層內(nèi)部引起的豎向附加應(yīng)力沿高度的分布將是均勻的，且等于外加均布壓力，即σz=p0。

圖1 飽和粘土的一維固結(jié)圖

則有空隙水應(yīng)力初始條件和邊界條件如下：

位移初始條件和邊界條件：

另外，根據(jù)有效應(yīng)力原理，有以下應(yīng)力條件：

將以上式（8c）（8d）（9b）（9c）可求得

記Cn=fc，則上式中位移表達(dá)式寫為以下通式：

只有當(dāng)n'=n時，上式左邊不為0。則有

將上式代入式（10）得

則孔壓可表達(dá)為：

4 太沙基解答

太沙基一維固結(jié)微分方程式：

式中，Cv為固結(jié)系數(shù)。

分離變量，假定p可以表示為：

代入微分方程（14）得

方程兩邊為不同變量的函數(shù)，只有當(dāng)它們都等于常量時才有可能，令這個常量為-B2。

可解得F（z）=A1cosBz+A2sinBz

解得G（t）=A3exp（-B2Cvt）

將它們代入式（14）得

利用透水面邊界（8b）得A1=0。上式第一項消去，即

利用不透水邊界條件（8c）對上式求解：

代入式（16）并寫成通式：

利用初始應(yīng)力條件（8a）得

只有當(dāng)n'=n時，上式左邊不為0，得

將上式代入式（19）得

可見式（20）與Biot方程的解即式（13）是相同的。

5 結(jié)論

本文構(gòu)造了直角坐標(biāo)系下符合三維Biot飽和土理論通解的參量，并以此為依據(jù)得到一維固結(jié)情況下的詳細(xì)解答，同時以太沙基理論求解同一算例，結(jié)果證明兩種解答在一維情況下是一致的。驗證了Biot方程完備通解的實用性。此外，基于Biot固結(jié)理論完備通解在二維和三維情況下的應(yīng)用正在研究中■