李 敏 張桂珠

(江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院 江蘇 無錫 214122)

密度峰值優(yōu)化初始中心的K-means算法

李 敏 張桂珠

(江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院 江蘇 無錫 214122)

K-means算法隨機(jī)選取初始聚類中心，容易導(dǎo)致聚類結(jié)果不穩(wěn)定。為此，提出一種快速密度峰值搜索算法CFSFDP(clustering by fast search and find of density peaks)優(yōu)化初始中心的K-means算法。首先針對CFSFDP算法中截?cái)嗑嚯x的選取影響局部密度的計(jì)算這一缺點(diǎn)，提出用動(dòng)力學(xué)中的勢能替換數(shù)據(jù)點(diǎn)的局部密度；在此基礎(chǔ)上，利用改進(jìn)的CFSFDP算法選取初始聚類中心，實(shí)現(xiàn)K-means聚類。在UCI數(shù)據(jù)集和人工模擬數(shù)據(jù)集上的測試結(jié)果表明，優(yōu)化后的新算法具有更好的聚類結(jié)果。

K-means算法 CFSFDP算法 密度峰值 引力勢能

0 引 言

聚類分析是一種無監(jiān)督的分類方法，是數(shù)據(jù)挖掘中的重要研究方向之一[1]。聚類分析是通過一定的準(zhǔn)則將一個(gè)數(shù)據(jù)集劃分成不同的類或簇，使相同類或簇內(nèi)的數(shù)據(jù)對象之間具有較高的相似性，而不同的類或簇之間的相異性則盡可能的大。目前在諸如模式識別、機(jī)器學(xué)習(xí)、圖像分析、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、客戶細(xì)分以及生物醫(yī)學(xué)等其他領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[2]。傳統(tǒng)的聚類分析方法大致分為五類：基于劃分的方法、基于層次的方法、基于密度的方法、基于網(wǎng)格的方法以及基于模型的方法[3]。

在聚類分析方法中， K-means算法是最著名和最常用的基于劃分的聚類算法[4]，K-means具有簡單、速度快的優(yōu)點(diǎn)，并且能夠有效地處理大文本集。但K-means算法要求事先選取初始聚類中心，初始聚類中心的選取嚴(yán)重影響聚類結(jié)果的好壞和算法的迭代次數(shù)。為此，很多學(xué)者致力于K-means算法初始聚類中心優(yōu)化研究。文獻(xiàn)[5]提出一種確定性的方法，計(jì)算樣本點(diǎn)的局部密度，以密度為根據(jù)選擇K-means算法的K個(gè)初始聚類中心。文獻(xiàn)[6]利用譜方法估計(jì)特征中心尋求初始聚類中心。文獻(xiàn)[7]采用密度敏感度量樣本相似性來計(jì)算對象密度，啟發(fā)性地生成初始聚類中心。文獻(xiàn)[8-10]使用不同的數(shù)據(jù)點(diǎn)密度計(jì)算方法，選擇互相距離最遠(yuǎn)的K個(gè)位于高密度區(qū)域的數(shù)據(jù)點(diǎn)作為初始中心。上面所述的方法在一定程度上優(yōu)化了K-means算法的性能，但這些算法都需要通過人工選取參數(shù)，缺少客觀性。為此，本文基于數(shù)據(jù)點(diǎn)本身的密度大，且與比其密度大的其他點(diǎn)有相對更大的距離原理，提出利用密度峰值優(yōu)化初始中心的K-means算法。

快速密度峰值搜索算法CFSFDP[11]是一種基于密度的聚類算法。該算法思想簡單新穎，對于任意形狀的數(shù)據(jù)集，該算法能夠快速發(fā)現(xiàn)其密度峰值點(diǎn)。CFSFDP算法可以很好地剔除孤立點(diǎn)，并且能很好地處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集。然而該算法也存在一些缺陷：該算法的成敗在某種意義上依賴于用于計(jì)算局部密度的截?cái)嗑嚯xdc，文獻(xiàn)[11]中對dc的選取只是提供了一個(gè)參考建議，沒有給出一個(gè)計(jì)算方法；其次，對同一個(gè)類存在多密度峰值[12]的情況，該算法聚類并不理想。

綜合上述問題，本文提出了優(yōu)化方案。首先，利用勢能[13]代替局部密度來優(yōu)化CFSFDP算法，優(yōu)化后的算法(P-CFSFDP)解決了算法的好壞取決于參數(shù)dc的問題，然后用P-CFSFDP算法來確定初始聚類中心，最后用K-means算法進(jìn)行迭代聚類。KP-CFSFDP算法可以自主地確定合適的初始聚類中心，解決了K-means算法隨機(jī)選取初始聚類中心而導(dǎo)致聚類結(jié)果不穩(wěn)定[14]的問題，且避免了聚類結(jié)果嚴(yán)重依賴于參數(shù)的選取問題，同時(shí)有效減少迭代次數(shù)。測試結(jié)果證實(shí)，KP-CFSFDP算法有更好的聚類效果。

1 快速密度峰值搜索算法及其改進(jìn)

1.1 快速密度峰值搜索算法(CFSFDP)

CFSFDP算法的核心思想在于對聚類中心的刻畫上。聚類中心同時(shí)具有兩個(gè)特點(diǎn)：一是數(shù)據(jù)點(diǎn)本身的密度大，即它被密度小于它的鄰居包圍；二是與比它本身密度更大的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間有相對更大的距離。

在文獻(xiàn)[5]中，對于數(shù)據(jù)集s={xi|xi∈Rn,i=1,2,…,n}，Is={1,2,…,N}為相應(yīng)的指標(biāo)集。數(shù)據(jù)集s中的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)xi，定義兩個(gè)計(jì)算量：局部密度ρi和距離δi。

局部密度ρi有兩種計(jì)算公式，包括Cut-offkernel和Gaussiankernel。

Cut-offkernel：

(1)

其中dij=dist(xi,xj)代表數(shù)據(jù)點(diǎn)xi與xj之間的(某種)距離。函數(shù)χ(x)定義為：

(2)

截?cái)嗑嚯x參數(shù)dc>0，需要通過人工選取。

Gaussiankernel：

(3)

對比式(1)和式(3)可知，Cut-offkernel為離散值，Gaussiankernel為連續(xù)值。

距離δi是通過計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)xi到任何比其密度大的點(diǎn)的最小距離得到的：

(4)

圖1 數(shù)據(jù)點(diǎn)分布

圖2 決策圖

由圖2可以發(fā)現(xiàn)，編號為1和10號的數(shù)據(jù)點(diǎn)由于同時(shí)具有較大的ρ值和δ值，于是脫穎而出，而這兩個(gè)點(diǎn)恰巧是圖1中的數(shù)據(jù)集的兩個(gè)聚類中心。而編號為26、27、28數(shù)據(jù)點(diǎn)是離群點(diǎn)，它們有共同的特點(diǎn)是：ρ值很小、但δ值很大。

為了能自動(dòng)確定聚類中心的個(gè)數(shù)，本文提出計(jì)算一個(gè)綜合考慮ρ值和δ值的量γ。

γi=ρiδii∈IS

(5)

圖3所示為γ值降序排列結(jié)果。其中，下標(biāo)為橫軸，γ值為縱軸。由圖可知，非聚類中心的γ值比較平滑，而從非聚類中心過渡到聚類中心時(shí)γ值有一個(gè)明顯的跳躍，這個(gè)跳躍可以明顯判斷出來。

圖3 γ值降序排列

1.2P-CFSFDP算法

文獻(xiàn)[5]中對于截?cái)嗑嚯x參數(shù)dc，在沒有人工介入的情況下，對于如何選取dc值是不清楚的。然而，參數(shù)dc的選取對于局部密度的影響是很大的。例如，當(dāng)dc取值過大時(shí)，ρi的值就會(huì)很接近而使區(qū)分度不高，極端情況是當(dāng)dc>dmax時(shí)，數(shù)據(jù)集中的所有點(diǎn)被分為一個(gè)簇；而當(dāng)dc取值過小時(shí)，同一個(gè)簇就可能被分成多個(gè)簇，極端情況是當(dāng)dc

文獻(xiàn)[5]中必須通過人工選取一個(gè)敏感參數(shù)的情況是遺憾的，我們更希望文中的算法對參數(shù)不敏感，甚至希望參數(shù)可以被一個(gè)不變的或者一個(gè)自動(dòng)選取值來代替。因此本文使用引力勢能代替數(shù)據(jù)點(diǎn)的局部密度，提出一種基于勢能的優(yōu)化的快速密度峰值搜索算法(P-CFSFDP算法)。在物理學(xué)中勢能概念的基礎(chǔ)上，將數(shù)據(jù)集假想為一個(gè)勢能場，所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)對其它任何一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都會(huì)有影響，所以能夠計(jì)算出每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的勢能。

由萬有引力定律，空間中的兩點(diǎn)i和j之間的引力為：

(6)

其中，G是萬有引力常量，mi和mj分別是質(zhì)點(diǎn)i和j的質(zhì)量，rij為質(zhì)點(diǎn)i和質(zhì)點(diǎn)j之間的距離。

根據(jù)勢能義可知，質(zhì)點(diǎn)j對質(zhì)點(diǎn)i產(chǎn)生的勢能為：

(7)

這里假設(shè)在歐氏空間中，每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的質(zhì)量都取1。為避免由于數(shù)據(jù)點(diǎn)i和數(shù)據(jù)點(diǎn)j之間的距離無限接近于零，使結(jié)果產(chǎn)生奇異值，這里通過設(shè)置閾值λ進(jìn)行修正。則引力公式為：

(8)

相應(yīng)的，勢能公式則變?yōu)椋?/p>

(9)

令G=1，則式(9)變?yōu)椋?/p>

(10)

那么在假想的這個(gè)勢能場中，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)對數(shù)據(jù)點(diǎn)i產(chǎn)生的勢能總和為：

(11)

通過大量選取不同的λ值嘗試發(fā)現(xiàn)，在避免結(jié)果產(chǎn)生奇異值得情況下，閾值λ越小，找出初始聚類中心的能力越強(qiáng)。

(12)

(13)

其中，MinDi是數(shù)據(jù)點(diǎn)i與其他數(shù)據(jù)點(diǎn)之間距離的最小值，通過式(12)和式(13)便能計(jì)算出閾值λ。

2 改進(jìn)的K-means算法

2.1KP-CFSFDP算法思想

本文KP-CFSFDP(密度峰值優(yōu)化初始中心的K-means算法)算法，是為了解決快速密度峰值搜索算法和K-means存在的問題而提出的。其貢獻(xiàn)是利用勢能Wi代替CFSFDP算法中數(shù)據(jù)點(diǎn)xi的局部密度ρi，通過CFSFDP算法生成的決策圖確定類個(gè)數(shù)k，以及初始聚類中心。然后使用K-means算法進(jìn)行聚類。

2.2KP-CFSFDP算法描述

輸入：具有N個(gè)對象的待分類的數(shù)據(jù)集

輸出：滿足目標(biāo)函數(shù)最小化的k個(gè)簇

Step1 初始化及預(yù)處理

1) 計(jì)算距離dij，令dji=dij，i

Step3 計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和每個(gè)類的聚類中心的距離，將數(shù)據(jù)點(diǎn)歸類到與其距離最小的類中。

Step4 重新計(jì)算每個(gè)簇的質(zhì)心，并計(jì)算聚類誤差平方和。

Step5 使用新的質(zhì)心進(jìn)行重新聚類，并計(jì)算聚類誤差平方和。

Step6 當(dāng)聚類誤差平方和不再發(fā)生明顯變化，則算法終止，否則轉(zhuǎn)Step3。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文算法的優(yōu)越性，分別在UCI數(shù)據(jù)集和經(jīng)典人工模擬數(shù)據(jù)集上進(jìn)行測試，并對算法進(jìn)行了對比試驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Intel(R) Core(TM) i3 CPU M 380 @ 2.53 GHz 2.53 GHz，內(nèi)存2.0 GB，操作系統(tǒng)為Windows 7，使用 MATLAB R2011a進(jìn)行仿真試驗(yàn)。

3.1 P-CFSFDP算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文提出的P-CFSFDP算法使用勢能代替數(shù)據(jù)點(diǎn)的局部密度計(jì)算，下面將用Aggregation、Example和Flame這3個(gè)數(shù)據(jù)集對P-CFSFDP算法進(jìn)行測試。Aggregation和Flame數(shù)據(jù)集為經(jīng)典人工模擬數(shù)據(jù)集，Example數(shù)據(jù)集來自文獻(xiàn)[5]，數(shù)據(jù)集的構(gòu)成描述如表1所示。將本文提出的P-CFSFDP算法與快速密度峰值搜索算法進(jìn)行比較，驗(yàn)證本文提出的P-CFSFDP算法的優(yōu)越性。

表1 數(shù)據(jù)集描述

圖4到圖9展示的上述三個(gè)數(shù)據(jù)集分別在快速密度峰值搜索算法(CFSFDP算法)和本文提出P-CFSFDP算法的實(shí)驗(yàn)生成的決策圖。圖4和圖5對比，圖6和圖7對比，圖8和圖9對比。在CFSFDP算法中，截?cái)嗑嚯xdc的選取滿足每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的平均鄰居個(gè)數(shù)約為數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)的2%。

圖4 Aggregation數(shù)據(jù)集在CFSFDP算法中的決策圖

圖5 Aggregation數(shù)據(jù)集在P-CFSFDP算法中的決策圖

圖6 Example數(shù)據(jù)集在CFSFDP算法中的決策圖

圖7 Example數(shù)據(jù)集在P-CFSFDP算法中的決策圖

圖8 Flame數(shù)據(jù)集在CFSFDP算法中的決策圖

圖9 Flame數(shù)據(jù)集在P-CFSFDP算法中的決策圖

通過對比，本文P-CFSFDP算法在不需要人工介入選取參數(shù)的情況下能很好地找到初始聚類中心及類簇個(gè)數(shù)。尋找聚類中心的能力并不比CFSFDP算法差。綜合可知，本文P-CFSFDP算法能更好地選擇初始聚類中心。

3.2KP-CFSFDP算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

采用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為UCI機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)庫的Iris、Wine、Balance-scale和New-thyroid，并把本文算法與文獻(xiàn)[9-10]以及傳統(tǒng)K-means算法進(jìn)行比較。

聚類評判結(jié)果使用聚類誤差平方和、聚類準(zhǔn)確率，以及Rand指數(shù)和Jaccard系數(shù)進(jìn)行評價(jià)[15]。一個(gè)聚類j及與此相關(guān)的分類i的準(zhǔn)確率定義為：

準(zhǔn)確率：Precision(i,j)=Nij/Ni

其中，Nij是在聚類j中分類i的數(shù)目；Ni是分類i中所有對象的數(shù)目。

Rand指數(shù)和Jaccard系數(shù)定義如下：設(shè)U和V分別是基于數(shù)據(jù)集的兩種劃分，其中U是已知正確劃分，而V是通過聚類算法得到的劃分，對于數(shù)據(jù)集中的任一對數(shù)據(jù)點(diǎn)，計(jì)算下列項(xiàng)：

SS：兩個(gè)點(diǎn)在V中同一簇，且在U中同一簇；

SD：兩個(gè)點(diǎn)在V中同一簇，但U中不同簇；

DS：兩個(gè)點(diǎn)不在V中同一簇，但在U中同一簇；

DD：兩個(gè)點(diǎn)不在V中同一簇，且不在U中同一簇。

設(shè)a、b、c、d分別表示SS、SD、DS、DD的數(shù)目，則a+b+c+d=M是數(shù)據(jù)集中所有樣本對的個(gè)數(shù)，即M=N(N-1)/2。其中，N為數(shù)據(jù)集的樣本數(shù)。Rand指數(shù)和Jaccard系數(shù)的定義如下：

Rand指數(shù)：R=(a+d)/M

Jaccard系數(shù)：J=a/(a+b+c)

其中，R表示Rand指數(shù)；J表示Jaccard系數(shù)。

由上述定義可知，Rand指數(shù)表示聚類結(jié)果與原始數(shù)據(jù)樣本分布的一致性；Jaccard系數(shù)表示正確聚類的樣本對越多，聚類效果越好。

UCI數(shù)據(jù)集的描述如表2所示。

表2 UCI數(shù)據(jù)集描述

下面用本文算法以及其他優(yōu)化初始中心的K-means算法進(jìn)行測試，其他算法均使用最佳參數(shù)設(shè)置。其他算法對參數(shù)很敏感，本文使用其他算法的最佳結(jié)果與本文算法比較。表3為每個(gè)算法在UCI數(shù)據(jù)集上運(yùn)行100次后的平均聚類誤差平方和。

表3 各算法在UCI數(shù)據(jù)集的聚類誤差平方和

由表3可知，本文算法在自動(dòng)確定所給數(shù)據(jù)集的類簇個(gè)數(shù)和初始聚類中心的情況下，聚類誤差平方和明顯優(yōu)于傳統(tǒng)K-means算法、文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[9]算法。文獻(xiàn)[9]通過密度參數(shù)計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)所在區(qū)域的密度，選擇互相距離最遠(yuǎn)的K個(gè)位于高密度區(qū)域的數(shù)據(jù)點(diǎn)作為K-means算法的初始聚類中心。文獻(xiàn)[10]以數(shù)據(jù)點(diǎn)為中心，計(jì)算以某一正數(shù)為半徑的球形域內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作為數(shù)據(jù)點(diǎn)密度，選擇互相距離最遠(yuǎn)的K個(gè)位于高密度區(qū)域的數(shù)據(jù)點(diǎn)作為K-means算法的初始聚類中心。

圖10-圖12分別是每個(gè)算法的聚類準(zhǔn)確率、聚類結(jié)果的RandIndex參數(shù)和Jaccard系數(shù)。

圖10 聚類準(zhǔn)確率

圖11 聚類結(jié)果的Rand Index參數(shù)

圖12 聚類結(jié)果的Jaccard系數(shù)

由圖10可知，本文算法在New-thyroid數(shù)據(jù)集上盡管與文獻(xiàn)[9]有一樣的聚類效果，但在其他數(shù)據(jù)集上的聚類效果明顯優(yōu)于其他算法。圖11是關(guān)于數(shù)據(jù)集在四種算法上的聚類結(jié)果的Rand參數(shù)，由圖可知，本文算法在各個(gè)測試數(shù)據(jù)集上都有更好的聚類結(jié)果，在Balance-scale數(shù)據(jù)集上的聚類結(jié)果尤為突出。圖12是關(guān)于數(shù)據(jù)集在不同算法上的聚類結(jié)果的Jaccard系數(shù)，由圖可知，本文算法在每個(gè)測試數(shù)據(jù)集上的聚類結(jié)果都是較好的。通過分析可知，本文算法在沒有人工參與確定參數(shù)的情況下，能夠取得更好的聚類效果。

4 結(jié) 語

針對K-means算法隨機(jī)選取初始聚類中心導(dǎo)致聚類結(jié)果不好，且已有的對K-means優(yōu)化初始聚類中心的算法須要設(shè)置參數(shù)，且算法嚴(yán)重依賴參數(shù)的選取。本文利用快速密度峰值搜索算法對聚類中心刻畫的原理，將勢能的概念引入，避免了快速密度峰值搜索算法的聚類結(jié)果取決于截?cái)嗑嚯x參數(shù)的選取問題。使用優(yōu)化的快速密度峰值搜索算法對數(shù)據(jù)集預(yù)處理，得到初始聚類中心，提出了基于密度峰值優(yōu)化的K-means算法。在UCI機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)庫數(shù)據(jù)集和經(jīng)典人工模擬數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，優(yōu)化后的新算法在不需要人為確定參數(shù)的情況下，不但能更好地確定類簇?cái)?shù)和初始聚類中心，且比已有優(yōu)化初始中心K-means算法聚類結(jié)果更加精確。

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K-MEANS ALGORITHM OF OPTIMIZED INITIAL CENTER BY DENSITY PEAKS

Li Min Zhang Guizhu

(SchoolofIOTEngineering,JiangnanUniversity,Wuxi214122,Jiangsu,China)

K-means algorithm randomly selects the initial cluster centers, which can easily lead to the instability of clustering results. To overcome this deficiency, a K-means algorithm named clustering by fast search and find of density peaks (CFSFDP) is proposed to optimize the initial center. Firstly, aiming at the disadvantage that the selection of truncated distance in CFSFDP algorithm affects the local density, it is proposed that the local density of each point can be replaced by gravitational potential energy. Based on this, K-means clustering can be implemented by using the optimized CFSFDP algorithm to select initial cluster centers. The proposed algorithm is tested on UCI data sets and synthetic data sets. Experimental results show that the new algorithm can achieve better clustering.

K-means algorithm CFSFDP algorithm Density peak Gravitational potential energy

2016-04-06。江蘇省自然科學(xué)

BK20140165)。李敏，碩士生，主研領(lǐng)域：數(shù)據(jù)挖掘。張桂珠，副教授。

TP18

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2017.03.038