李 翔，王勇軍，李 智

(1.桂林電子科技大學(xué)電子工程與自動(dòng)化學(xué)院，廣西桂林541004; 2.桂林航天工業(yè)學(xué)院無(wú)人機(jī)遙測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西桂林541004)

航姿系統(tǒng)矢量傳感器非對(duì)準(zhǔn)誤差及其校正*

李 翔1*，王勇軍1，2，李 智2

(1.桂林電子科技大學(xué)電子工程與自動(dòng)化學(xué)院，廣西桂林541004; 2.桂林航天工業(yè)學(xué)院無(wú)人機(jī)遙測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西桂林541004)

航姿參考系統(tǒng)中三軸磁強(qiáng)計(jì)與三軸加速度計(jì)常采用橢球擬合法進(jìn)行誤差校正與補(bǔ)償，其缺點(diǎn)是校正后不同傳感器之間以及傳感器坐標(biāo)系與載體坐標(biāo)系之間往往還存在非對(duì)準(zhǔn)誤差。由定量分析得知此類非對(duì)準(zhǔn)誤差所引起的航姿參考系統(tǒng)航向角誤差具有常值誤差與半圓羅差之和的形式。利用地磁矢量與重力矢量的點(diǎn)積為常數(shù)這一性質(zhì)，并結(jié)合三維旋轉(zhuǎn)矩陣的小角度近似表達(dá)式，對(duì)橢球擬合法校正后的傳感器非對(duì)準(zhǔn)誤差進(jìn)行了補(bǔ)償，在不同磁干擾條件下均可使校正效果得到改善，航向剩余誤差(均方根)平均減小30%以上。

矢量傳感器;誤差校正;橢球擬合;航姿參考系統(tǒng)

三軸磁強(qiáng)計(jì)、三軸加速度計(jì)可分別用于測(cè)量地磁場(chǎng)與重力矢量，并進(jìn)而在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)姿態(tài)與方位(航向)的測(cè)量。二者可構(gòu)成測(cè)量三維姿態(tài)的電子羅盤(pán)，或與 MEMS陀螺儀共同構(gòu)成 9自由度(Degree of Freedom)的航向與姿態(tài)參考系統(tǒng)(Attitude and Heading Reference System，簡(jiǎn)稱航姿參考系統(tǒng)或AHRS)［1－2］。

為保證AHRS使用精度，必須對(duì)三軸磁強(qiáng)計(jì)與三軸加速度計(jì)進(jìn)行誤差校正與補(bǔ)償。在實(shí)驗(yàn)室條件下可采用精密儀器進(jìn)行校準(zhǔn)(標(biāo)定)，而在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合則更多采用基于橢球擬合的校正方法［3－7］。橢球擬合法只需利用三維矢量場(chǎng)(即重力或地磁場(chǎng))的原始測(cè)量數(shù)據(jù)即可完成誤差校正，無(wú)需借助任何外部設(shè)備或精密基準(zhǔn)，簡(jiǎn)便易行，因而應(yīng)用廣泛［8－14］。

橢球擬合法雖能實(shí)現(xiàn)單個(gè)矢量傳感器的誤差校正，但其原理決定了該方法不能辨識(shí)和補(bǔ)償同一航姿參考系統(tǒng)中不同矢量傳感器之間的非對(duì)準(zhǔn)誤差。換言之，橢球擬合法并未完全解決AHRS中矢量傳感器的誤差校正問(wèn)題。然而針對(duì)橢球擬合法的研究往往未能重視這一問(wèn)題;雖有部分文獻(xiàn)提出了若干針對(duì)性措施，但這些措施或僅限于理論分析，或增加了較多操作步驟及要求，不利于實(shí)際應(yīng)用。

本文對(duì)AHRS中加速度計(jì)與磁強(qiáng)計(jì)之間的非對(duì)準(zhǔn)誤差所造成的影響進(jìn)行了理論分析，并提出了一種新校正方法。此方法能有效地補(bǔ)償傳感器間非對(duì)準(zhǔn)誤差，并可保留橢球擬合法操作簡(jiǎn)便的優(yōu)勢(shì)，有助于提高AHRS使用精度。

1 橢球擬合法概述

1.1 橢球擬合法的原理

矢量傳感器誤差校正的橢球擬合法是基于以下兩個(gè)基本假設(shè):(1)傳感器無(wú)任何誤差時(shí)，其測(cè)量值分布于以原點(diǎn)為球心的一球面上;(2)傳感器有誤差時(shí)，其測(cè)量數(shù)據(jù)分布于一橢球面上。擬合該橢球面并將其復(fù)原為球面，便實(shí)現(xiàn)了傳感器誤差的校正。

橢球擬合法的實(shí)現(xiàn)還需要如下兩個(gè)前提:其一，傳感器所測(cè)量的矢量場(chǎng)必須為常矢量;其二，傳感器誤差可用式(1)給出的線性模型(亦稱泊松模型)描述，其中u=(u1u2u3)T為被測(cè)矢量場(chǎng)，v=(v1v2v3)T為傳感器輸出，矩陣K=(kij)3×3及矢量b= (b1b2b3)T描述傳感器誤差。

在式(1)的基礎(chǔ)上，取被測(cè)矢量u的模方‖u‖2并令其為常數(shù)，即得到表示橢球面的二次型，從而可進(jìn)行橢球擬合以實(shí)現(xiàn)誤差校正。

1.2 橢球擬合法的缺陷

三維空間中二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程只含9個(gè)獨(dú)立系數(shù)，對(duì)于橢球面方程亦是如此。然而式(1)中描述誤差的矩陣K及矢量b共有12個(gè)參數(shù)，故橢球擬合法不能完全確定所有參數(shù)［15－16］。其后果是經(jīng)橢球擬合法校正后的傳感器坐標(biāo)系存在一個(gè)未知的三維轉(zhuǎn)動(dòng)。從數(shù)學(xué)角度描述，就是矩陣K的計(jì)算結(jié)果包含一個(gè)表示三維旋轉(zhuǎn)的正交矩陣R［17］。

因此，若采用橢球擬合法分別校正AHRS中的加速度計(jì)與磁強(qiáng)計(jì)，則校正后兩傳感器之間及它們與載體坐標(biāo)系之間都可能存在未知的非對(duì)準(zhǔn)誤差。

2 傳感器非對(duì)準(zhǔn)誤差

2.1 非對(duì)準(zhǔn)誤差的影響

將航向角、俯仰角和橫滾角依次記為ψ、θ、φ載體坐標(biāo)系中的地磁場(chǎng)矢量h與地理坐標(biāo)系中的地磁場(chǎng)矢量h0之間的關(guān)系可由式(2)描述:

式中:

由重力矢量的測(cè)量值可計(jì)算θ與φ，從而消去式(2)中的Cθ與Cφ，得到

式中:h0=(h∥0 h⊥)T，h∥與h⊥分別為地磁矢量的水平及豎直分量。又若記hψ=(h1h2h3)T，則h1=h∥cosψ，h2=－h(huán)∥sinψ，從而tanψ=－h(huán)2/h1。當(dāng)h1與h2存在微小誤差δh1、δh2時(shí)，引起的航向誤差為

當(dāng)加速度計(jì)相對(duì)于載體坐標(biāo)系存在非對(duì)準(zhǔn)誤差時(shí)，會(huì)導(dǎo)致俯仰角θ與橫滾角φ的計(jì)算值存在誤差。設(shè)θ與φ的誤差均為小量，分別記之為δθ與δφ，根據(jù)式(2)～(4)，δθ與δφ還會(huì)導(dǎo)致航向角ψ出現(xiàn)式(5)所示的誤差(其中已略去二階小量):

式(5)右邊第1項(xiàng)不含航向角ψ，故當(dāng)載體水平回轉(zhuǎn)時(shí)，該項(xiàng)為一常值誤差(但隨俯仰角θ而增大)。另一方面，式(5)右邊括號(hào)中出現(xiàn)了航向角ψ的正、余弦，這一部分相當(dāng)于磁羅盤(pán)的“半圓羅差”，即載體水平回轉(zhuǎn)一周時(shí)該項(xiàng)誤差恰好按正弦規(guī)律變化一個(gè)周期。

當(dāng)磁強(qiáng)計(jì)相對(duì)于載體坐標(biāo)系存在非對(duì)準(zhǔn)誤差時(shí)，若該誤差為小量，則對(duì)應(yīng)的三維旋轉(zhuǎn)矩陣可近似表示為式(6):

式中δ1、δ2和δ3分別表示繞3個(gè)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)過(guò)的小角度(均以弧度計(jì))。將式(6)代入式(2)～式(4)，可知由此造成的航向誤差近似為(略去二階及以上小量):

式(7)較式(5)更復(fù)雜，但仍可分為不顯含航向角ψ的常值誤差以及含有航向角ψ的正、余弦的“半圓羅差”兩部分。

綜上所述，不論加速度計(jì)或磁強(qiáng)計(jì)的非對(duì)準(zhǔn)誤差，均會(huì)引起航向誤差，且其變化規(guī)律較為復(fù)雜。這也正是橢球擬合法所無(wú)法克服的缺陷。

2.2 非對(duì)準(zhǔn)誤差的校正

加速度計(jì)的非對(duì)準(zhǔn)誤差直觀地反映為俯仰角θ與橫滾角φ的誤差，相對(duì)而言較易修正。磁強(qiáng)計(jì)的非對(duì)準(zhǔn)誤差則常與各種磁干擾引起的誤差相混合，增加了其辨識(shí)和補(bǔ)償?shù)碾y度。

從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，磁強(qiáng)計(jì)非對(duì)準(zhǔn)誤差的校正可歸為正交Procustes問(wèn)題。因此，Procustes問(wèn)題的經(jīng)典解法可用于磁強(qiáng)計(jì)安裝誤差的校正［18－19］。然而，該方法必須同時(shí)獲取地磁場(chǎng)矢量在傳感器坐標(biāo)系以及載體坐標(biāo)系下的若干組讀數(shù)，才能由此求出從傳感器坐標(biāo)系到載體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣。顯而易見(jiàn)，若僅靠磁強(qiáng)計(jì)自身的讀數(shù)，則無(wú)法實(shí)施這一校正方法;而若地磁矢量在載體坐標(biāo)系和傳感器坐標(biāo)系下的讀數(shù)均為已知，則意味著式(1)右邊的被測(cè)矢量場(chǎng)u為已知，于是便可結(jié)合磁強(qiáng)計(jì)讀數(shù)直接求解矩陣K及矢量 b，而不需單獨(dú)考慮正交 Procustes問(wèn)題。

目前較實(shí)用的非正交誤差校正方法有“繞軸旋轉(zhuǎn)法”［20］和“常數(shù)夾角法”［21］。

“繞軸旋轉(zhuǎn)法”的原理是:將AHRS繞加速度計(jì)某一軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，如旋轉(zhuǎn)過(guò)程中該軸磁強(qiáng)計(jì)讀數(shù)保持不變，則表明磁強(qiáng)計(jì)與加速度計(jì)在該軸上不存在非對(duì)準(zhǔn)誤差;否則，根據(jù)該軸磁場(chǎng)讀數(shù)的變化，可以推算出磁強(qiáng)計(jì)在該軸的非對(duì)準(zhǔn)誤差。由此可依次求出式(6)中的3個(gè)小角度δ1、δ2和δ3?！袄@軸旋轉(zhuǎn)法”雖然只需用到加速度計(jì)與磁強(qiáng)計(jì)讀數(shù)，但操作上需保證旋轉(zhuǎn)軸與加速度計(jì)敏感軸方向重合，否則影響校正效果。

“常數(shù)夾角法”是利用地磁矢量與重力矢量的夾角為常數(shù)這一性質(zhì)，求取磁強(qiáng)計(jì)與加速度計(jì)之間的旋轉(zhuǎn)矩陣。但由于旋轉(zhuǎn)矩陣包含9個(gè)元素，故該方法的計(jì)算量較大。另一方面，三維旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)碚撋蠎?yīng)是一個(gè)正交矩陣，但由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到的旋轉(zhuǎn)矩陣則不一定能確保其正交性，因而不能確保校正效果。

2.3 改進(jìn)的非對(duì)準(zhǔn)誤差校正法

記磁強(qiáng)計(jì)輸出為v=(v1v2v3)T，又假定橢球擬合法已給出式(1)中的K與b。如前所述，K可能包含一個(gè)未知旋轉(zhuǎn)矩陣Cδ，該矩陣可近似由式(6)表示。于是載體坐標(biāo)系中的地磁矢量為

式中記hC=K(v－b)。又因地磁矢量與重力矢量夾角為常數(shù)，故二者的點(diǎn)積亦為常數(shù)，即

將式(9)按元素展開(kāi)即得關(guān)于δ1、δ2和δ3的線性表達(dá)式:

由式(10)即可利用加速度計(jì)與磁強(qiáng)計(jì)讀數(shù)，通過(guò)最小二乘擬合求出3個(gè)小角度δ1、δ2和δ3，并進(jìn)而修正橢球擬合法中的矩陣K。

需要指出，式(10)右邊的常數(shù)僅影響校正后地磁矢量的大小，不影響其方向，故其值不需精確選取。

以上方法計(jì)算簡(jiǎn)便，與橢球擬合法配合使用時(shí)基本不需增加系統(tǒng)軟件及校正操作的開(kāi)銷(xiāo)。盡管該方法對(duì)矩陣Cδ采用了近似形式即式(6)，但該式確保Cδ非對(duì)角元是反對(duì)稱的，這有利于算法的魯棒性。

3 算法驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)條件

實(shí)驗(yàn)中，AHRS分別采用3種不同的傳感器配置:①磁強(qiáng)計(jì)為HMC1021+HMC1022，加速度計(jì)為ADXL213;②磁強(qiáng)計(jì)為 HMC5883，加速度計(jì)為ADXL345;③9軸模塊MPU9250，該芯片內(nèi)集成了3軸加速度計(jì)、3軸磁強(qiáng)計(jì)和3軸陀螺儀。

針對(duì)每種傳感器配置，分別在無(wú)干擾、小干擾和大干擾3種情形下進(jìn)行磁強(qiáng)計(jì)校正實(shí)驗(yàn):①無(wú)干擾，即移除系統(tǒng)周邊所有可能存在磁干擾的物件;②小干擾，即AHRS采用有較弱磁性的螺釘?shù)刃〔考?③大干擾，即在AHRS外殼上附加一定尺寸的鋼鐵部件。

對(duì)磁強(qiáng)計(jì)進(jìn)行校正時(shí)，分別采用3種不同方式:①只采用橢球擬合法;②先用橢球擬合法，再用“常數(shù)夾角法”;③先用橢球擬合法，再用2.3節(jié)所述新方法。對(duì)三者校正后的航向剩余誤差(以均方根誤差即RMSE計(jì))進(jìn)行對(duì)比。

校正過(guò)程中，AHRS分別在水平和向左、右、前、后傾斜等5種狀態(tài)下各繞豎直軸回轉(zhuǎn)一圈采集數(shù)據(jù)。校正后，按同樣方式驗(yàn)證航向剩余誤差。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

無(wú)干擾、小干擾和大干擾3種情形下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果依次見(jiàn)表1～表3。

表1 無(wú)干擾時(shí)航向誤差(均方根)

表2 小干擾下航向誤差(均方根)

表3 大干擾下航向誤差(均方根)

由表1～表3可見(jiàn)，常數(shù)夾角法在無(wú)干擾時(shí)效果較好，但在有外加干擾磁場(chǎng)時(shí)，其校正效果則不如本文所述方法。其主要原因正如2.2節(jié)中所述，常數(shù)夾角法在求解三維旋轉(zhuǎn)矩陣時(shí)，不能確保其正交性，這便有可能造成附加的誤差。

尤其值得注意的是，表2所列實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，在3種不同的傳感器配置下，經(jīng)過(guò)橢球擬合法校正后的航向剩余誤差(RMSE)均已減小到1°以內(nèi);然而再經(jīng)過(guò)常數(shù)夾角法進(jìn)一步校正后，航向剩余誤差反而有所增大。

與之形成對(duì)比的是，由表1至表3所列結(jié)果可見(jiàn)，不論在無(wú)干擾、小干擾或大干擾情形下，本文提出的非對(duì)準(zhǔn)誤差校正方法均能獲得較好效果，可使航向剩余誤差(RMSE)相對(duì)于僅采用橢球擬合法時(shí)平均減小30%以上。

3.3 討論

常數(shù)夾角法與本文所述方法，都是將橢球擬合法校正后的剩余誤差視作一個(gè)三維旋轉(zhuǎn)矩陣Cδ。因此，這兩種方法的補(bǔ)償效果取決于2個(gè)關(guān)鍵因素:①待校正的誤差是否能用三維旋轉(zhuǎn)矩陣準(zhǔn)確描述(即校正算法對(duì)誤差的建模是否與實(shí)際情況符合);②該矩陣的求解結(jié)果是否準(zhǔn)確(即校正算法本身精度如何)。

首先討論第1個(gè)因素即誤差建模問(wèn)題。在2.1節(jié)理論推導(dǎo)中已經(jīng)得知，由三維旋轉(zhuǎn)矩陣引起的航向誤差應(yīng)當(dāng)是常值誤差和半圓羅差之和。其中，半圓羅差的直觀表現(xiàn)是:在載體旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，航向角的誤差呈現(xiàn)出類似于正弦函數(shù)(或余弦函數(shù))一個(gè)周期的變化規(guī)律。

以HMC1021+HMC1022這一傳感器配置為例，小干擾及大干擾條件下，經(jīng)過(guò)橢球擬合法校正后的航向剩余誤差變化曲線分別如圖1和圖2所示。從直觀上看，圖2所示航向剩余誤差較大，但其曲線十分符合半圓羅差的特征;圖1中的航向剩余誤差雖然較小，但其變化規(guī)律較復(fù)雜，僅用半圓羅差不足以準(zhǔn)確描述。由此不難預(yù)料，常數(shù)夾角法以及本文所述算法對(duì)于圖2所示情形將得到更好的效果。這與表2、表3中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符，即:在大干擾情形下HMC1021+HMC1022磁強(qiáng)計(jì)的校正結(jié)果要好于小干擾情形。

圖1 小干擾下HMC1021/2磁強(qiáng)計(jì)經(jīng)橢球擬合法校正后剩余誤差

圖2 大干擾下HMC1021/2磁強(qiáng)計(jì)經(jīng)橢球擬合法校正后剩余誤差

對(duì)于上述第2個(gè)因素，即校正算法本身的精度，在表2、表3所列實(shí)驗(yàn)結(jié)果中已經(jīng)有所展現(xiàn)。為更直觀地比較常數(shù)夾角法和本文算法的性能，現(xiàn)將小干擾情形下兩種算法各自對(duì)HMC1021+HMC1022磁強(qiáng)計(jì)校正后的誤差曲線示于圖3和圖4;大干擾下兩種算法對(duì)HMC1021+HMC1022的校正結(jié)果則分別示于圖5與圖6。

圖3 小干擾下HMC1021/2磁強(qiáng)計(jì)經(jīng)常數(shù)夾角法校正后剩余誤差

圖4 小干擾下HMC1021/2磁強(qiáng)計(jì)經(jīng)本文算法校正后剩余誤差

圖5 大干擾下HMC1021/2磁強(qiáng)計(jì)經(jīng)常數(shù)夾角法校正后剩余誤差

圖6 大干擾下HMC1021/2磁強(qiáng)計(jì)經(jīng)本文算法校正后剩余誤差

從圖3和圖5可以看到，常數(shù)夾角法校正后的剩余誤差曲線呈現(xiàn)出較為明顯的半圓羅差形態(tài)，這表明該算法對(duì)三維旋轉(zhuǎn)矩陣的求解結(jié)果不準(zhǔn)確，不但未能起到補(bǔ)償作用，反而引入了更大誤差。而由圖4和圖6可見(jiàn)，無(wú)論對(duì)于小干擾或大干擾情形，本文算法均有較好的效果。即便實(shí)際誤差與理論模型存在一定出入(圖1)，本文算法仍能在橢球擬合法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步縮小航向剩余誤差(圖4)。

4 結(jié)論

橢球擬合法只需利用傳感器自身讀數(shù)即可實(shí)現(xiàn)三軸磁強(qiáng)計(jì)與加速度計(jì)的校正，但其校正后剩余的傳感器非對(duì)準(zhǔn)誤差會(huì)影響AHRS航姿精度。本文對(duì)此類誤差進(jìn)行了定量分析，并提出了一種改進(jìn)的校正方法。實(shí)驗(yàn)表明，本文方法對(duì)于不同型號(hào)傳感器以及不同磁干擾條件均能起到改善AHRS航向精度的作用，可使航向剩余誤差(以均方根計(jì))相對(duì)于僅用橢球擬合法時(shí)平均降低30%以上。

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［17］李智，李翔.基于橢球假設(shè)的三軸電子羅盤(pán)羅差補(bǔ)償研究［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2011，32(10):2210－2215.

［18］Vasconcelos J F，Elkaim G，Silvestre C，et al.Geometric Approach to Strapdown Magnetometer Calibration in Sensor Frame［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2011，47(2): 1293－1306.

［19］謝啟源，陸宇平，喬兵，等.一種基于橢球約束和Procrustes分析的磁矢量傳感器校正算法［J］.傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2012，25 (13):1684－1687.

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［21］ Liu Yanxia，Li Xisheng，Zhang Xiaojuan，et al.Novel Calibration Algorithm for a Three-Axis Strapdown Magnetometer［J］.Sensors，2014，14(5):8485－8504.

李 翔(1984－)，男，廣西陸川人，博士，講師，主要研究方向?yàn)樽藨B(tài)測(cè)量與智能傳感器，xli1984@hotmail.com;

王勇軍(1985－)男，山東聊城人，博士生，講師，主要研究方向?yàn)闊o(wú)人機(jī)組合導(dǎo)航技術(shù)，dongwang@guat.edu.cn;

李 智(1965－)，男，廣西靈川人，博士，教授，主要研究方向?yàn)橹悄軆x器系統(tǒng)，cclizhi@guat.edu.cn。

Inter-Triad Misalignment of Vector Field Sensors in Attitude and Heading Reference Systems and Its Calibration*

LI Xiang1*，WANG Yongjun1，2，LI Zhi2
(1.School of Electronic Engineering and Automation，Guilin University of Electronic Technology，Guilin Guangxi 541004，China; 2.Key Laboratory of Unmanned Aerial Vehicle Telemetry，Guilin University of Aerospace Technology，Guilin 541004，China)

Ellipsoid fitting method is frequently used to eliminate the error of tri-axial magnetometer and accelerometer in attitude and heading reference system(AHRS).But the defect is that it cannot resolve the inter-triad misalignment between different sensors，as well as between the sensor frame and the carrier’s body frame.According to quantitative analysis，the heading error of AHRS caused by inter-triad misalignment consists of constant and sinusoidal components.Using the constant dot product of geomagnetic vector and gravity vector，additional with small angle approximation of three dimensional rotation matrices，the inter-triad misalignment left by ellipsoid fitting method can be compensated.With different magnetic disturbances，the residual heading error(RMSE)can be reduced over 30%on average.

vector field sensor;error calibration;ellipsoid fitting;attitude and heading reference system

TP212.9

A

1004－1699(2017)02－0266－06

C:7220;7310L

10.3969/j.issn.1004－1699.2017.02.017

項(xiàng)目來(lái)源:國(guó)家自然科學(xué)基金地區(qū)基金項(xiàng)目(61361006);廣西自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目(2015GXNSFBA139253);廣西自動(dòng)檢測(cè)技術(shù)與儀器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室主任基金項(xiàng)目(YQ15107，YQ14203)

2016－07－06 修改日期:2016－09－05