張文民高 奪張慧娟張 茜

（1. 國網(wǎng)甘肅電力檢修公司，蘭州 730070；

2. 國網(wǎng)河北省電力公司滄州供電公司，河北 滄州 061000；

3. 河北工業(yè)大學(xué)，天津 300401）

變壓器振動信號稀疏快速傅里葉變換分析

張文民1高 奪2張慧娟3張 茜3

（1. 國網(wǎng)甘肅電力檢修公司，蘭州 730070；

2. 國網(wǎng)河北省電力公司滄州供電公司，河北 滄州 061000；

3. 河北工業(yè)大學(xué)，天津 300401）

變壓器振動信號頻譜具有稀疏性，傳統(tǒng)的信號分析方法需要計(jì)算整個頻率范圍內(nèi)的頻譜成分，計(jì)算速度慢。稀疏快速傅里葉變換（sparse fast Fourier transform，SFFT）算法只計(jì)算變壓器振動信號的主要頻譜成分，利用窗函數(shù)過濾信號，然后散列傅里葉系數(shù)，最后進(jìn)行定位與估值運(yùn)算，能快速的計(jì)算出信號頻譜中k個擁有最大值的傅里葉系數(shù)。該算法結(jié)構(gòu)簡單，運(yùn)行時間相對于信號長度n呈亞線性。通過分析變壓器油箱的實(shí)際振動信號，驗(yàn)證了SFFT算法較之FFT算法運(yùn)行速度快，非常適合振動信號的在線頻譜分析。

變壓器；振動信號；頻譜分析；稀疏快速傅里葉變換

大型電力變壓器屬于電力傳輸?shù)暮诵脑O(shè)備，健康狀況一旦出現(xiàn)問題，損失非常之大。傳統(tǒng)的變壓器健康狀況監(jiān)測方法包括油色譜分析[1]、紅外圖像[2]、光譜分析[3]等，同變壓器本身存在電氣連接，操作存在一定的危險性?；谡駝有盘柕淖儔浩鹘】禒顩r在線監(jiān)測方法不僅具有安裝簡單、不影響變壓器正常穩(wěn)定運(yùn)行等優(yōu)點(diǎn)，而且振動信號中包含著豐富的健康狀況特征信息，能夠檢測出鐵心[4]、繞組[5]等部件的異常狀況，有效降低變壓器的故障率，減少經(jīng)濟(jì)損失。

變壓器振動信號的時域分析能反映出信號幅值隨時間而發(fā)生的變化，但是很難揭示變壓器振動信號的頻率組成及各頻率分量大小。頻譜分析能夠直觀反映出變壓器內(nèi)部各組件產(chǎn)生的振動信號頻率信息[6]。離散傅里葉變換（discrete Fourier transform，DFT）是常用的頻譜分析方法[7]，但由于其計(jì)算量較大、運(yùn)算時間長，在實(shí)際應(yīng)用中受到某種程度的限制?？焖俑道锶~變換（fast Fourier transform，F(xiàn)FT）對DFT進(jìn)行改進(jìn)，減小了計(jì)算量，提高了運(yùn)算速度，在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[8-9]。實(shí)際應(yīng)用中，變壓器振動信號的FFT分析結(jié)果具有稀疏性，即信號的大多數(shù)傅里葉系數(shù)很小甚至接近于零。在頻譜圖中，只有傅里葉系數(shù)較大的頻譜成分才具有某些特征含義，而傅里葉系數(shù)非常小的頻譜成分往往被忽略掉。因此，如果能夠直接得到變壓器振動信號的主要頻譜成分，那么無論是對信號分析計(jì)算的速度還是信號存儲都有很大的意義。

稀疏快速傅里葉變換（sparse fast Fourier transform，SFFT）是一種新的信號處理方法[10]，它將傅里葉系數(shù)隨機(jī)散列[11]進(jìn)多個“頻率區(qū)”[12]，然后對每個“頻率區(qū)”中的傅里葉系數(shù)進(jìn)行定位，并直接計(jì)算出k個最大的傅里葉系數(shù)，相當(dāng)于直接得出信號的主要頻譜成分。其計(jì)算時間取決于稀疏度k和信號長度n，能夠有效提高算法的計(jì)算速度。

本文結(jié)合變壓器振動信號FFT分析結(jié)果，利用SFFT算法分析計(jì)算實(shí)際測得的變壓器油箱振動信號，驗(yàn)證了SFFT算法快速分析變壓器振動信號頻率特性的有效性。

1 變壓器油箱振動的振源分析

根據(jù)相關(guān)研究，變壓器油箱表面的振動主要來源于其內(nèi)部繞組和鐵心產(chǎn)生的振動經(jīng)過變壓器油傳播到達(dá)油箱而引起的[13]。其中，電流通過繞組時產(chǎn)生的電動力是繞組振動的主要原因，由于該電動力與電流和磁場強(qiáng)度的乘積成正比，漏磁通與電流成正比，因此變壓器繞組所受電動力正比于電流的平方，對應(yīng)產(chǎn)生的振動信號基頻為100Hz。鐵心的振動主要取決于硅鋼片的磁致伸縮，考慮到加載電壓和磁通密度之間存在線性關(guān)系，可知鐵心所受磁致伸縮引起的振動力與加載電壓之間存在平方關(guān)系，振動信號的基頻也為100Hz。當(dāng)變壓器處于正常狀態(tài)時，繞組和鐵心壓緊力均勻，故振動信號50Hz分量及奇數(shù)分量很小，可以不計(jì)。在繞組和鐵心發(fā)生異常后，壓緊力不對稱，磁滯回線等級不嚴(yán)格正負(fù)對稱，將引起振動頻率50Hz分量及其奇數(shù)倍增加[14]。

2 稀疏快速傅里葉變換（SFFT）原理

2.1 散列過程

對于n維變壓器振動時域信號序列x(i)，首先定義一個變換P,στ，則該序列的排列為

式中，σ、τ 均為整數(shù)，且σ 在模n下是可逆的；τ ∈ [n]={1, 2, …, n-1}。

信號排列(Pσ,τx )i的傅里葉變換為

supp(y)?supp(F)=[w]={1, 2,…, w-1}。

上述過程完成了將n個傅里葉系數(shù)散列進(jìn)B個“頻率區(qū)”，通過對變壓器振動時域信號的排列來實(shí)現(xiàn)頻譜的排列，分開距離較近的傅里葉系數(shù)。定義描述該過程的散列函數(shù)hσ(i)=round(σiB/n)，偏移量oσ(i)=σi-hσ(i)(n/B)?！邦l率區(qū)”中存放的是傅里葉系數(shù)對應(yīng)的頻率值，然而該散列過程打亂了原傅里葉系數(shù)的實(shí)際位置。

2.2 傅里葉系數(shù)定位與估值

為了確定傅里葉系數(shù)的實(shí)際位置，對散列函數(shù)求逆，并從散列后的“頻率區(qū)”中重建出傅里葉系數(shù)對應(yīng)的頻率值，該過程稱為傅里葉系數(shù)定位。具體步驟如下：

1）利用變換Pσ,τ對原始變壓器振動信號x(i)進(jìn)行排列，得(Pσ,τx)i=xσi+τ。為了避免小傅里葉系數(shù)對應(yīng)的頻率被散列進(jìn)“頻率區(qū)”，造成傅里葉系數(shù)被錯誤定位，通過選擇隨機(jī)變量σ，τ∈[n]，使得頻譜排列為隨機(jī)排列。

2）原始信號經(jīng)隨機(jī)頻譜排列和窗函數(shù)過濾后，得到序列y=F·(Pσ,τx)。

3）對y執(zhí)行子采樣，得到B維序列z；然后對序列z進(jìn)行FFT得到z?，將原始信號的傅里葉系數(shù)被散列進(jìn)B個“頻率區(qū)”。

4）保留z?中d·k個最大幅值對應(yīng)的頻率，存入集合J中。其中，d=O(1/ε)。

5）散列求逆。前三個步驟描述了散列函數(shù)hσ（hσ(i)∈J）的散列過程。通過求hσ的逆函數(shù)將散列進(jìn)J中的頻率反向求取，得到傅里葉系數(shù)的實(shí)際位置。

計(jì)算出傅里葉系數(shù)的實(shí)際位置后，然后估算傅里葉系數(shù)的值。由于散列過程的隨機(jī)性，傅里葉系數(shù)估值需要重新執(zhí)行散列部分的計(jì)算，然后基于傅里葉系數(shù)的定位結(jié)果計(jì)算。

2.3 SFFT算法實(shí)現(xiàn)

1）算法初始化。設(shè)置變壓器振動信號長度n，稀疏度k，窗口函數(shù)F的參數(shù)，定位運(yùn)算和估值運(yùn)算的計(jì)算次數(shù)L=O(logn)。

2）進(jìn)行L次傅里葉系數(shù)定位運(yùn)算，獲得L次運(yùn)行結(jié)果Ir（r∈{1, …, L}），Ir中包含頻率。

3）計(jì)算Ir中的每個頻率在L次運(yùn)算中出現(xiàn)的總次數(shù)。

4）保留總次數(shù)超過L/2的頻率成分，組成新的集合Ir′。

5）根據(jù)集合Ir′進(jìn)行L次傅里葉系數(shù)估值運(yùn)算，得到L個包含對應(yīng)頻率的幅值集合。

2.4 SFFT算法運(yùn)算時間

由以上分析可知，散列過程的時間復(fù)雜度為O(w+BlogB)=O(Blog(n/δ)+BlogB)=O(Blog(n/δ))。因此，定位過程和估值過程的時間復(fù)雜度均為O(Blog(n/δ)+dkn/B)，計(jì)算Ir′和中位數(shù)所需的時間均為O(L·dkn/B)。所以，SFFT算法總的運(yùn)算時間為

由式（5）可知，SFFT算法的時間復(fù)雜度取決于k和n的值。而對于n=2M的FFT時間提取算法，由于有M級蝶形運(yùn)算，且每級蝶形運(yùn)算有（n/2）個基本蝶形運(yùn)算，所以FFT時間提取算法需要(n/2)·M= (n/2)log2n次復(fù)數(shù)乘法和(n/2)·M×2=nM=nlog2n次復(fù)數(shù)加法，即其時間復(fù)雜度為O(nlogn)。相比之下，SFFT運(yùn)算速度較快。

綜上所述，這種SFFT算法的步驟可用圖1表示。

圖1 SFFT算法流程圖

3 變壓器振動信號SFFT分析

選取某變電站內(nèi)一臺正在運(yùn)行的型號為SFPSZ-120000/220的220kV三相電力變壓器作為試驗(yàn)對象，ICP振動加速度傳感器（靈敏度為100mv/g）通過磁鐵吸附在油箱表面采集振動信號?？紤]到變壓器振動信號通常為低頻成分，根據(jù)采樣定理，只要采樣率大于等于特征頻率的兩倍便可采集得到完整的頻譜特征。但是，實(shí)際測量時信號成分比較復(fù)雜，為了不產(chǎn)生遺漏，實(shí)際采集設(shè)備的采樣頻率為46.75kHz，振動傳感器之間分開一定間隔吸附在油箱表面，如圖2所示。利用實(shí)際從變電站獲取的變壓器油箱振動數(shù)據(jù)進(jìn)行SFFT分析，并與傳統(tǒng)的FFT算法進(jìn)行比較分析。

圖2 現(xiàn)場測量傳感器安裝圖

選取變壓器油箱上某測量通道測得的振動信號作為樣本，首先利用FFT對樣本進(jìn)行頻譜分析，根據(jù)頻譜能量分布得出0～1000Hz傅里葉變換頻譜圖。變壓器振動信號的主頻為200Hz，除了100Hz及其倍頻外，450Hz附近也存在幅值較大的頻點(diǎn)，噪聲頻率存在于整個頻譜中，如圖3所示。

圖3 變壓器振動信號FFT頻譜圖

下面給出SFFT算法的計(jì)算結(jié)果。從理論上分析，稀疏度k的取值越小，SFFT算法的運(yùn)行時間越短。因此，我們選擇稀疏度k的值分別為50、40、30、20、10的情況進(jìn)行稀疏快速傅里葉變換分析，結(jié)果如圖4至圖8所示。

圖4 SFFT頻譜（k=50）

圖5 SFFT頻譜（k=40）

圖6 SFFT頻譜（k=30）

圖7 SFFT頻譜（k=20）

圖8 SFFT頻譜（k=10）

對比圖4至圖8可以看出，SFFT頻譜為稀疏頻譜。隨k值的減小，SFFT頻譜圖中的頻率成分逐漸減少。結(jié)合傳統(tǒng)FFT計(jì)算結(jié)果分析，圖4至圖7中的頻譜反映出了振動信號的主要頻率信息，包括變壓器振動信號基頻及其倍頻。SFFT頻譜反映出了絕大部分振動頻率，適合用于在線頻譜分析。并且SFFT頻譜中的噪聲成分比較少，使SFFT頻譜更加清晰可觀，便于在線監(jiān)測。圖8中稀疏度值較小，從而使SFFT頻譜中未識別出振動信號的部分主要頻率?？梢?，稀疏度k影響SFFT算法識別振動頻率，合理的選擇稀疏度k能保證SFFT算法識別出變壓器油箱表面振動信號的主要特征頻率。

進(jìn)而計(jì)算SFFT頻譜同F(xiàn)FT頻譜之間的相似度，見表1。從表中可以看出，稀疏度k取值在20～50范圍內(nèi)，相似度能達(dá)到0.9以上，當(dāng)稀疏度偏小時相似度較低。對比圖4至圖7可以看出，稀疏度值較大時，在主要特征頻率附近存在幅值較小的頻率值，這些頻點(diǎn)是否存在并不影響主要特征頻率。因此，在實(shí)際應(yīng)用中會選擇稀疏度值較小的頻譜，既可以反映振動信號主要特征頻率，又可以加快計(jì)算速度。

表1 不同稀疏度下頻譜相似度

當(dāng)變壓器繞組出現(xiàn)松動、變形等異常時，測得的振動信號中50Hz、150Hz頻率成分的幅值會變大[15]。采用SFFT分析所得頻譜中會包含有50Hz、150Hz頻率成分。

圖9給出了SFFT算法在不同稀疏度下分析變壓器振動信號的運(yùn)算時間。從圖中可以看出，傳統(tǒng)FFT運(yùn)算時間為0.06923s，不同k值的SFFT算法運(yùn)行時間隨稀疏度的增大以亞線性增加。

圖9 SFFT在不同稀疏度k下的運(yùn)算時間

4 結(jié)論

針對變壓器振動信號頻譜稀疏特性，本文研究了SFFT算法進(jìn)行信號頻譜分析的基本實(shí)現(xiàn)原理和過程。SFFT算法使用高斯窗函數(shù)和矩形窗函數(shù)卷積來截取部分采樣信號進(jìn)行計(jì)算，從而避免了頻譜泄露，然后將傅里葉系數(shù)散列進(jìn)“頻率區(qū)”，最后通過定位運(yùn)算和估值運(yùn)算計(jì)算出稀疏信號的k個最大的傅里葉系數(shù)。本文將SFFT算法用于變壓器油箱振動信號頻譜的在線監(jiān)測分析，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，運(yùn)算速度相對于傳統(tǒng)快速傅里葉變換有極大提高。

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Sparse Fast Fourier Transform Analysis of Transformer Vibration Signal

Zhang Wenmin1Gao Duo2Zhang Huijuan3Zhang xi3
(1. State Grid Gansu Electric Power Maintenance Company, Lanzhou 730070;2. State Grid Hebei Cangzhou Power Supply Company, Cangzhou, Hebei 061000;3. Hebei University of Technology, Tianjin 300401)

The frequency spectrum of the transformer vibration signal of is sparse, and to the traditional signal analysis methods, frequency components in the whole frequency range need to be calculated, so the calculation speed is slow. To the sparse fast Fourier transform (SFFT) algorithm, only the main frequency components of transformer vibration signal are calculated. First, SFFT algorithmutilizes window function to filter vibration signal. Then, after the Fourier coefficients being hashed, the largest coefficients ofthe Fourier Transform of vibration signal can be estimated by location and estimation methods. SFFT algorithm with sub linear runtime in the signal size has a simple structure. The analysis result of vibration signal of transformer oil tankin this paper has verified the faster performance of the SFFT algorithm than FFT algorithm in on-line spectrum analysis.

transformer; vibration signal; spectrum analysis; sparse fast Fourier transform

張文民（1963-），男，碩士，從事電力設(shè)備檢修工作。