張 鵬 費慶國 吳邵慶 李彥斌

(東南大學土木工程學院, 南京 210096)

基于模態(tài)疊加法的面壓載荷與基礎激勵等效方法

張 鵬 費慶國 吳邵慶 李彥斌

(東南大學土木工程學院, 南京 210096)

基于模態(tài)疊加法,將隨機面壓載荷等效為隨機基礎激勵,為薄壁構件的振動臺試驗替代成本較高的噪聲試驗提供依據．該方法要求等效前后2種載荷作用下主模態(tài)位移一致,將單源載荷等效這一超靜定問題合理簡化為靜定問題．以炭/炭復合材料懸臂板為研究對象,來驗證載荷等效方法的有效性．分析結果顯示,在隨機面壓載荷及等效隨機基礎激勵作用下,板上典型部位隨機正應力響應的功率譜密度高度吻合,在分析頻段內危險點處x軸向正應力響應均方根分析誤差低于1%,分布在板上的5個響應點處x軸向正應力響應均方根分析誤差低于2%．該方法能有效地將隨機面壓載荷等效為基礎激勵,保證等效前后2種載荷作用下薄壁構件的隨機動應力響應在頻域及空間域上的分布一致性．

面壓載荷; 基礎激勵; 載荷等效; 替代試驗; 模態(tài)疊加法

高強隨機脈動壓力作用下先進復合材料結構的力學行為是工程上較為關注的問題之一[1-3]．在高強隨機脈動壓力作用下,復合材料薄壁結構可能會發(fā)生疲勞破壞[4]．在設計階段,必須通過地面試驗分析校核結構的可靠性．然而,噪聲試驗對設備的要求較高．在構件級設計階段,復合材料的性能具有較大離散性,需開展批量試驗分析,從而導致噪聲試驗的實施成本較高．因此,尋求一種節(jié)約成本的替代試驗分析方法具有現實意義．振動臺基礎激勵對平板類構件的作用效果類似于面壓載荷,等同于一種分布載荷．振動臺可以同時對多個較小尺寸構件施加基礎激勵,振動臺試驗的實施成本較低,因而采用振動臺基礎激勵試驗代替噪聲試驗具有較高的可行性．開展替代試驗的關鍵是進行載荷等效,即將隨機面壓載荷等效為振動臺基礎激勵的強迫位移載荷．

載荷等效在工程中得到了廣泛的應用,主要包括將動載荷等效為靜載荷[5-10]以及將動載荷等效為動載荷[11]兩種情況．將動載荷等效為靜載荷可有效簡化結構在動載荷作用下的響應分析過程,提高結構強度、剛度設計以及結構優(yōu)化設計的效率．該類方法主要包括加速度等效靜載荷法[5]、位移等效靜載荷法[6-7]、應力等效靜載荷法[8-9]和能量等效靜載荷法[10],其等效原則為,在等效前后2種載荷作用下,結構特定響應量相等．將動載荷等效為動載荷一般服務于疲勞壽命評估,其目的主要是簡化疲勞試驗加載、加速疲勞試驗過程,等效原則為,等效前后結構關鍵部位的損傷量相同或呈特定比例[11]．

本文以C/C復合材料懸臂板為研究對象,基于模態(tài)疊加法,將板面受到的隨機面壓載荷等效為基礎激勵的隨機強迫位移載荷．該載荷等效方法將動載荷等效為動載荷．將動應力響應作為疲勞壽命評估的輸入條件.為服務于疲勞壽命評估,要求在隨機面壓載荷和等效基礎激勵的隨機強迫位移載荷這2種載荷作用下,復合材料板上的隨機動應力響應一致．特定頻率點處結構的最大動應力響應多由單個主模態(tài)主導,因此上述載荷等效的直接目標為,載荷等效前后分析頻率點處主模態(tài)的隨機位移響應一致．分析結果表明,以主模態(tài)位移為直接等效目標,可使等效前后2種載荷作用下,結構上的隨機動應力響應在頻域及空間域上分布一致．

1 基礎理論

1.1 模態(tài)疊加法

對于一個具有N自由度的線性平板結構,在板一側的面壓載荷p(ω)作用下(見圖1(a)),頻域內的動力學方程為

(-ω2M+jωC+K)X(ω)=Lp(ω)

(1)

式中,M,C,K分別為N×N階質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;X(ω)為結構在頻域內的N×1階位移響應向量,其中ω為角頻率;L為N×1階面壓載荷影響向量,取決于面壓載荷的有限元離散．式(1)由時域變換而來,該變換的初始條件為,初始位移與初始速度均為零．

(a) 面壓載荷 (b) 基礎激勵

模態(tài)坐標系下頻域內結構動力學方程為

(-ω2Mq+jωCq+Kq)Xq(ω)=ΦTLp(ω)

(2)

式中,Φ=[φ1φ2…φq]為N×q階滿足質量歸一化條件的正則模態(tài)振型矩陣,其中,φi為第i階模態(tài)振型,q為模態(tài)截斷后的模態(tài)數;Mq,Cq,Kq分別為q×q階模態(tài)質量矩陣、模態(tài)阻尼矩陣和模態(tài)剛度矩陣,且Mq=ΦTMΦ=I;Xq(ω)為結構在頻域內的q×1階模態(tài)位移響應向量,且X(ω)≈ΦXq(ω)．

求解方程(2),可得第i階模態(tài)的位移響應xi(ω)為

xi(ω)=Hip(ω)p(ω)

(3)

式中,Hip(ω)為第i階模態(tài)位移響應對面壓載荷p(ω)的頻響,即結構在單位面壓載荷作用下第i階模態(tài)的位移響應,且

(4)

式中,ωi為第i階模態(tài)的固有頻率．

進一步可求得隨機面壓作用下結構在任一自由度k上隨機位移響應的自功率譜密度為

(5)

式中,Spp(ω)為隨機面壓載荷的自功率譜密度．

1.2 等效基礎激勵

令結構在固支或簡支邊界上的節(jié)點為約束節(jié)點,其余節(jié)點為非約束節(jié)點．當結構受到基礎作用時,約束節(jié)點的位移等于基礎激勵的強迫位移載荷xe(ω) (見圖1(b)),結構在頻域內的動力學方程為

(-ω2M+jωC+K)X(ω)=0

(6)

式中,結構在頻域內的位移響應X(ω)可表示為基礎激勵強迫位移xe(ω)與非約束節(jié)點相對約束節(jié)點的相對位移Xm(ω)之和,即

(7)

式中,Xm(ω)為m×1階相對位移向量,其中,m+n=N,m為非約束自由度個數,n為約束自由度個數;E為N×1階強迫位移載荷的影響向量,對應xe(ω)方向位移自由度的元素為1,其余為0．

令

(8)

將式(7)和(8)代入式(6)可得

(-ω2M+jωC+K)Y(ω)=Q(ω)xe(ω)

(9)

式中,Q(ω)為基礎激勵作用下等效節(jié)點力激勵的N×1階影響向量,且

Q(ω)=-(-ω2M+jωC+K)E

(10)

式(9)與式(1)具有相同的形式,等同于在分布載荷作用下的結構動力學方程．可通過模態(tài)疊加法求解式(9),得到第i階模態(tài)的位移響應為

yi(ω)=Hie(ω)xe(ω)

(11)

式中,Hie(ω)為第i階模態(tài)位移響應對基礎強迫位移載荷xe(ω)的頻響,即結構在單位基礎強迫位移載荷作用下第i階模態(tài)的位移響應,且

(12)

進一步可求得隨機基礎激勵作用下結構在任一自由度k上隨機相對位移響應的自功率譜密度為

(13)

式中,See(ω)為基礎激勵隨機強迫位移的自功率譜密度．

按位移等效原則,當基礎激勵作用下任一自由度k上的相對位移響應與面壓載荷作用下該自由度上的絕對位移響應一致時,2種載荷作用下結構上的應力分布也一致,此時可認為該基礎激勵為面壓載荷的等效載荷,有

(14)

面壓載荷及基礎激勵均為單源載荷,因此式(14)為超靜定問題．結構低頻響應一般由頻率點處的主模態(tài)主導,忽略其余模態(tài)對響應的貢獻,式(14)可簡化為

(15)

式中,Hdp(ω)為第d階模態(tài)位移響應對面壓載荷p(ω) 的頻響;Hde(ω)為第d階模態(tài)位移響應對面壓載荷xe(ω)的頻響．

基于式(15),可求得等效基礎激勵的強迫位移功率譜為

(16)

根據式(16),將隨機面壓載荷等效為基礎激勵的隨機強迫位移載荷,其等效原則為,等效前后主模態(tài)的位移響應一致．由式(16)獲得的等效載荷可最大限度地滿足式(14)所示的超靜定方程．

2 算例驗證

為驗證所提載荷等效方法的有效性,以一開孔C/C復合材料懸臂板為研究對象,開展仿真研究．該懸臂板的有限元模型如圖2所示．板尺寸為400 mm×300 mm×3 mm,板材料參數如下:x,y,z方向上的軸向拉伸模量分別為Ex=60 GPa,Ey=55 GPa,Ez=40 GPa;xy,xz,yz平面上的剪切模量分別為Gxy=32 GPa,Gxz=30 GPa,Gyz=29 GPa;xy,xz,yz平面上的泊松比分別為μxy=0.05,μxz=0.09,μyz=0.08;密度ρ=1 800 kg/m3．在一短邊處30 mm范圍內采用夾具夾持以實現固定約束．

圖2 C/C復合材料懸臂板有限元模型(單位:mm)

2.1 模態(tài)位移頻響分析

在懸臂板上表面施加單位面壓載荷,分析獲得板前39階模態(tài)在0～2 000Hz內的位移,即板模態(tài)位移響應對面壓載荷的頻響Hip(ω),結果見圖3(a)．類似地,可分析獲得板模態(tài)位移響應對基礎強迫位移載荷的頻響Hie(ω),結果見圖3(b)．

(a) 面壓載荷

(b) 基礎強迫位移載荷

圖3中結果顯示,在分析頻段內,懸臂板第1,3,6,10,17,24階模態(tài)對2種載荷的頻響,在其固有頻率附近頻段內的取值遠大于其余模態(tài)．這些模態(tài)在相應頻段內即為主模態(tài),板振動響應由主模態(tài)主導．圖4給出懸臂板在0～2 000 Hz內各主模態(tài)振型及固有頻率fi．由圖可知,各主模態(tài)具有一個共同的特征:模態(tài)振型在短邊方向(y軸向)的波數為零．這表明相對于其他模態(tài),該類模態(tài)更易被面壓載荷及基礎強迫位移載荷激發(fā)．

2.2 載荷等效

噪聲試驗廣泛采用中華人民共和國軍用標準(GJB 150.17—86)推薦的用于噪聲試驗的1/3倍頻程譜．本研究將該噪聲1/3倍頻程譜的上限轉換成面壓功率譜密度Spp,如圖5所示(雙對數坐標),其中基準功率譜密度S0為

S0=10(Lp-L0)/10

(17)

式中,Lp為噪聲總聲壓級;L0=123.1dB．

采用式(16)計算等效載荷前,需確定各頻率點處的主模態(tài)．圖3中結果顯示,基于模態(tài)位移對2種載荷的頻響所確定的主模態(tài)存在差異．例如,由圖3(a)可確定第1階模態(tài)在多頻段內為主模態(tài), 但由圖3(b)可判定第1階模態(tài)僅在起始頻段內為主模態(tài)．經比較,根據圖3(b)中結果確定主模態(tài)階次更合理．載荷等效過程中,各頻率點處主模態(tài)階次d如圖6所示．

(a) 1階，f1=20 Hz

(b) 3階，f3=125 Hz

(c) 6階，f6=350 Hz

(d) 10階，f10=681 Hz

(e) 17階，f17=1 132 Hz

(f) 24階，f24=1 687 Hz

圖5 雙對數坐標下的隨機面壓載荷功率譜密度

在確定主模態(tài)的基礎上,采用式(16)計算得到不同量級面壓載荷下等效基礎激勵強迫位移的功率譜密度(見圖7)．由圖可知,在主模態(tài)發(fā)生更替的臨界頻率處,等效基礎激勵強迫位移功率譜的大小會發(fā)生突變．為考查圖7中等效載荷的有效性,對載荷等效前后懸臂板上的應力響應進行了對比．

圖6 不同頻段內主模態(tài)的階次

圖7 等效基礎激勵強迫位移的功率譜密度

圖8給出了等效前后2種載荷作用下板上A1，A2兩個典型位置處的應力響應功率譜密度,隨機面壓載荷總聲壓級為140 dB．由圖8可知,載荷等效前后板上典型位置處正應力響應的功率譜密度吻合較好,僅在遠離峰值頻率的頻段內出現差異,該差異對應力響應均方根的影響甚微．在總聲壓級為140 dB的面壓載荷作用下,載荷等效前后,板上A1～A5五個響應點處x軸向正應力響應在0～2 000 Hz范圍內的均方根如表1所示．

(a) A1

(b) A2

圖8 140 dB面壓載荷等效前后板上x軸向正應力響應功率譜密度

表1 x軸向正應力響應均方根

表1中結果顯示,最大應力響應出現在固支端,即危險點出現在固支端．載荷等效引起的A1～A5五個響應點處x軸向正應力響應均方根計算誤差不超過2%,危險點處x軸向正應力響應均方根誤差不超過1%,這對結構的強度設計及疲勞評估所產生的影響可忽略不計．圖8及表1中分析結果驗證了所提載荷等效方法的有效性．

3 結語

本文借助仿真分析手段,基于模態(tài)疊加法,將隨機面壓載荷等效為隨機基礎激勵．該方法以主模態(tài)的位移為等效目標,忽略了其余模態(tài)對結構位移響應的貢獻,將單源載荷等效這一超靜定問題合理地轉化為靜定問題,簡單易行．研究結果顯示,在等效基礎激勵作用下,結構典型部位正應力響應功率譜密度與等效前所得結果吻合較好,所選5個響應點處x軸向正應力響應均方根誤差不超過2%,危險點處x軸向正應力響應均方根誤差不超過1%,從而驗證了所提載荷等效方法的有效性．

References)

[1]孟光, 周徐斌, 苗軍. 航天重大工程中的力學問題[J]. 力學進展, 2016, 46(1): 267-322. DOI:10.6052/1000-0992-15-018. Meng Guang, Zhou Xubin, Miao Jun. Mechanical problems in momentous projects of aerospace engineering[J].AdvancesInMechanics, 2016, 46(1): 267-322. DOI:10.6052/1000-0992-15-018.(in Chinese)

[2]Ciappi E, de Rosa S, Franco F, et al. On the dynamic behavior of composite panels under turbulent boundary layer excitations [J].JournalofSoundandVibration, 2016, 364: 77-109. DOI:10.1016/j.jsv.2015.11.024.

[3]李彥斌, 張鵬, 吳邵慶, 等. 復合材料加筋板計及熱效應的聲-固耦合分析[J]. 振動工程學報, 2015, 28(4): 531-540. DOI:10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.005. Li Yanbin, Zhang Peng, Wu Shaoqing, et al. Structural-acoustic coupling analysis of a composite stiffened panel in a thermal environment[J].JournalofVibrationEngineering, 2015, 28(4): 531-540. DOI:10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.005.(in Chinese)

[4]Liu L, Guo Q, He T. Thermal-acoustic fatigue of a multilayer thermal protection system in combined extreme environments [J].AdvancesinMechanicalEngineering, 2014, 6: 176891. DOI:10.1155/2014/176891.

[5]Leung K, Foist B L. Prediction of acoustically induced random vibration loads for shuttle payloads [C]//Proceedingsof36thStructures,StructuralDynamics,andMaterialsConferenceandExhibit. Washington DC, USA,1995: 1200-1208. DOI:10.2514/6.1995-1200.

[6]Lee H M. Testing for random limit load versus static limit load [R]. Huntsville, Alabama,USA: NASA, 1997.

[7]馮若強, 丁靜鵠, 李慶祥, 等. 肋環(huán)型單層曲板網殼結構的風振響應及等效靜風荷載[J]. 東南大學學報(自然科學版), 2012, 42(2): 328-333. DOI:10.3969/j.issn.1001-0505.2012.02.026. Feng Ruoqiang, Ding Jinghu, Li Qingxiang, et al. Wind-induced response and equivalent static wind load of single-layer geiger lattice shell with curved plate[J].JournalofSoutheastUniversity(NaturalScienceEdition), 2012, 42(2): 328-333. DOI:10.3969/j.issn.1001-0505.2012.02.026.(in Chinese)

[8]柯世堂, 王浩. 考慮地形效應的大型電視塔等效靜風荷載分析[J]. 東南大學學報(自然科學版), 2016, 46(3): 545-551. Ke Shitang, Wang Hao. Analysis on equivalent static wind loads of large television tower considering topographic effect [J].JournalofSoutheastUniversity(NaturalScienceEdition), 2016, 46(3): 545-551. (in Chinese)

[9]Ke S T, Ge Y J, Zhao L, et al. A new methodology for analysis of equivalent static wind loads on super-large cooling towers [J].JournalofWindEngineeringandIndustrialAerodynamics, 2012, 111: 30-39. DOI:10.1016/j.jweia.2012.08.001.

[10]張艷崗, 毛虎平, 蘇鐵熊, 等. 基于關鍵時間點的能量等效靜態(tài)載荷法及結構動態(tài)響應優(yōu)化[J]. 機械工程學報, 2016, 52(9): 151-157. DOI:10.3901/JME.2016.09.151. Zhang Yangang, Mao Huping, Su Tiexiong, et al. Energy equivalent static load method based on critical time point and structure dynamic response optimization[J].JournalofMechanicalEngineering, 2016, 52(9): 151-157. DOI:10.3901/JME.2016.09.151.(in Chinese)

[11]Rajaneesh A, Satrio W, Chai G B, et al. Long-term life prediction of woven CFRP laminates under three point flexural fatigue[J].CompositesPartB:Engineering, 2016, 91: 539-547. DOI:10.1016/j.compositesb.2016.01.028.

Equivalence method of pressure load and foundation excitation based on mode superposition technique

Zhang Peng Fei Qingguo Wu Shaoqing Li Yanbin

(School of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)

The random pressure load is equivalent to the random foundation excitation based on the modal superposition method to provide evidence for the replacement of the expensive acoustic tests with the shaking table tests for thin-walled structures. The displacement of the leading modes under the two loads are required to be identical. The statically indeterminate problem of the single source load equivalence is properly simplified to a determinate problem. A carbon/carbon (C/C) composite cantilever plate is used as a research subject to investigate the validity of the load equivalence method. The results show that the power spectral density of the random stress responses at typical points of the plate under the random pressure load agrees well with that under the equivalent random foundation excitation. In the analysis of frequency band, the error of the root-mean-square (RMS) of thex-axial normal stress response at the high-risk point on the plate is less than 1%, and the errors of the RMSs of thex-axial normal stress responses at five points distributed on the plate are less than 2%. By using the proposed method, the random pressure load can be effectively equivalent to the foundation excitation, ensuring the consistency of the random stress responses on the thin-walled structures in both the frequency domain and the spacial domain when the structures are subjected to the two loads.

pressure load; foundation excitation; load equivalence; alternative test; mode superposition method

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.02.022

2016-08-08. 作者簡介:張鵬(1987—)，男，博士生；費慶國(聯系人)，男，博士，教授，博士生導師，qgFei@seu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目(11402052，11572086)、教育部新世紀優(yōu)秀人才支持計劃資助項目(NCET-11-0086)、江蘇省自然科學基金資助項目(BK20140616).

張鵬,費慶國,吳邵慶,等. 基于模態(tài)疊加法的面壓載荷與基礎激勵等效方法[J].東南大學學報(自然科學版),2017,47(2):331-336.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.02.022.

TH113

A

1001-0505(2017)02-0331-06