胡宏昌

(湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 黃石 435002)

弱相依半?yún)?shù)回歸模型的加權(quán)小波估計的漸近正態(tài)性

胡宏昌

(湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 黃石 435002)

本文研究了半?yún)?數(shù) 回 歸 模型 yi=Xi′β +g(ti)+ei,i=1,2,···,n, 其中 {ei} 為 ψ -弱相依隨機誤差序列.利用小波估計的方法得到了參數(shù)、非參數(shù)的加權(quán)小波估計量.在相當(dāng)一般的條件下,獲得了這些小波估計量的漸近正態(tài)性,不僅推廣了半?yún)?shù)回歸模型的相應(yīng)結(jié)果,而且在一定程度上統(tǒng)一了相依半?yún)?shù)回歸模型的漸近正態(tài)性的理論.

半?yún)?shù)回歸模型;ψ -弱相依;小波估計;漸近正態(tài)性

1引言

考慮如下半?yún)?shù)回歸模型

其 中“′”表 示 向 量 或 矩 陣 的 轉(zhuǎn) 置, 隨 機 設(shè) 計 點 列 Xi=(xi1,xi2,···,xid)′, 非 隨 機 點 列ti∈ [0,1], β =(β1,β2,···,βd)′∈ Rd為 d 維 未知 參 數(shù),g(t) 是定 義 在 [0,1] 上 的 未 知函 數(shù), {ei} 為零均值的 ψ - 弱相依 (定義見下文) 序列.

半?yún)?shù)回歸模型自從 Engle 等人提出后 (見文獻(xiàn) [1]),取得了豐碩的研究成果. 獨立誤差下的半?yún)?shù)回歸模型的統(tǒng)計推斷理論比較完善和系統(tǒng) (如文獻(xiàn) [2–3]). 對于各種相依誤差下的半?yún)?shù)回歸模型 (1.1) 及其特殊情形人們也進(jìn)行了研究, 并取得了豐富的成果, 如: 誤差為鞅差的情形參見文獻(xiàn) [4],NA 誤差的情形參見文獻(xiàn) [5–6]; 文獻(xiàn) [7] 討論了一般相依誤差 (包括混合誤差) 下非參數(shù)回歸模型最小二乘估計的相合性; 文獻(xiàn) [8]考慮了一類 ψ - 弱相依誤差的半?yún)?shù)回歸模型,得到參數(shù)和非參數(shù)的廣義最小二乘估計量 (基于核方法) 的漸近正態(tài)性. 由于 ψ - 弱相依隨機序列包含了 Gaussian 序列、各種混合序列、相伴序列、Bernoulli漂移、Markov 鏈等 (見文獻(xiàn) [9–10] 等) 在內(nèi)的相依序列, 因此模型 (1.1) 在一定程度上是各種誤差情形下的半?yún)?shù)回歸模型的較一般形式.我們試圖尋找半?yún)?shù)回歸模型的小波估計的統(tǒng)一推斷理論,本文只研究加權(quán)小波估計量的漸近正態(tài)性.

2 ψ-弱相依序列和小波估計

又記 Fn={h ∈ L∞(R):Lip(h) ＜ ∞,‖h‖∞=supu|h(u)| ≤ 1},F= ∪∞n=1Fn上的兩 類函數(shù)為

和

其中 h,κ ∈ R.

定義2.1[9]隨機序列 {εi,i ∈ N} 稱為 (θ,F,ψ)- 弱相依 (簡稱 ψ - 弱相依), 如 果存在當(dāng) r → ∞ 時遞減到零的序列 θ={θr,r ∈ N} 和函數(shù) ψ, 使得對任何 (i1,i2,···,in) 和(j1,j2,···,jm) 有

其中 i1≤ i2≤ ···≤ in＜ in+r ≤ j1≤ j2≤ ···≤ jm.

設(shè)有一個給定的 刻 度函數(shù) φ(x) ∈ Sl(階為 l 的 Schwartz 空間),相伴 L2(R) 的多尺度分析為 {Vm},其再生核為

記 Ai是 [0,1] 上的分割且 ti∈ Ai,1 ≤ i ≤ n. 采用通常的估計方法, 可以得到參數(shù) β 和非參數(shù) g(t) 的加權(quán)小波估計量分別為

和

其中 Ψ =V ar(e)=(ψij)n×n為 n 階正定矩陣,

3主要結(jié)果

本節(jié)將給出參數(shù) β 和非參數(shù) g(t) 的加權(quán)小波估計量的漸近正態(tài)性,為此先給出如下的一些基本假設(shè)條件:

(I) 存在光滑函數(shù) fj(t),t ∈ [0,1],使得

其中 {ηij} 獨立同分布, 且 Eηij=0,{ηij} 與 {ei} 相互獨立.

(II)g(·),fj(·) ∈ Hα,α ＞12.

(III)g(·),fj(·) 滿足 γ 階 Lipschitz 條件,γ ＞ 0,1 ≤ j ≤ d.

(IV) φ(·) ∈ Sl(l≥ α),φ 滿足 1 階 Lipschitz 條件且具有緊支撐,當(dāng) ξ→ 0 時,|φ?(ξ)?1|= O(ξ),其中 φ?為 φ 的 Fourier 變換.

注1對于隨機設(shè)計情形下的半?yún)?shù)回歸模型的小波估計,假設(shè)條件 (I)–(V) 是相當(dāng)弱的條件,如文獻(xiàn) [4,6]等均使用這些條件.假設(shè) (VI) 比文獻(xiàn) [8] 的假設(shè) 4 要弱,且去掉了文獻(xiàn) [8]的假設(shè) 2 中的 (b) 和 (c).

基于上面的基本假設(shè),可以得到如下的主要結(jié)果.

定理3.1如基本假設(shè)條件 (I)–(VI) 成立, 又設(shè)或弱相依序列且有

其中“D”表示依分布收斂.

定理3.2如滿足定理 3.1 的所有條件, 則

其中

注2當(dāng)誤差 {ei} 為 Gaussian 序列、各種混合序列、相伴序列、Bernoulli漂移、Markov鏈等時,上述結(jié)論顯然成立.由此可知,本文的結(jié)論不僅推廣了獨立誤差情形的半?yún)?shù)回歸模型的相應(yīng)結(jié)論,而且在一定程度上統(tǒng)一了相依半?yún)?shù)回歸模型的漸近正態(tài)性的理論.

4主要結(jié)果的證明

為了證明本文的主要結(jié)果, 我們先給出若干必要的引理, 其中引理 4.1 和 4.2 是小波估計常用的兩個結(jié)論 (見文獻(xiàn) [11]等), 引理 4.3 參見文獻(xiàn) [6],引理 4.4 是仿照文獻(xiàn) [8] 的方法而得到.下文中的 C 表示常數(shù),且在不同的地方可以取不同的值.

引理4.1[11]若條件 (I)–(IV) 成立,則

和

其中

引理4.2[11]若條件 (IV) 成立, 則

引理4.3[6]若條件 (III)、(IV) 成立, 且 Eη21j＜ ∞,則

引理4.4如基本假設(shè)條件 (I)–(VI) 成立,則依概率有

由假設(shè) (VI) 及引理 4.1,得

由引理 4.3 容易得到 ‖W ηj‖2=OP(n16 log n), 于是由此及假設(shè) (VI),得

和

因而由 (4.3) 和 (4.4) 式可以得到

由假設(shè) (VI), 引理 4.1,得

由 (4.1),(4.2),(4.5) 和 (4.6) 式即可證明該引理.

定理4.1的證明由 (2.1) 式得

考慮 ?X′Ψ?1W ΨW′Ψ?1?X 的第 (i,j) 元素,由引理 4.1 和假設(shè) (VI),得

考慮 ?X′W′Ψ?1?X 的第 (k,j) 元素的平方

于是由 (4.8)–(4.10) 式可得

利用文獻(xiàn) [8]的方法容易證明

由 (4.7),(4.11) 和 (4.12) 式即可得到定理 1.

定理4.2的證明注意到

由定理 4.1 和引理 4.3 可得

從而有

由定理 4.1 和引理 4.1–4.2 容易得到

從而由 (4.13)–(4.16) 式知,要證明定理 4.2 成立,只需證明下式成立即可

類似于 (4.12) 式的證明方法,很容易得到 (4.17) 式,在此略.

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ASYMPTOTIC NORMALITY OF WEIGHTED WAVELET ESTIMATORS IN A SEMIPARAMETRIC REGRESSION MODEL WITH WEAKLY DEPENDENT ERRORS

HU Hong-chang
(School of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Huangshi 435002,China)

Consider the following semiparametric regression model yi=Xi′β +g(ti)+ei,i= 1,2,···,n,where random errors{ei}are ψ-weakly dependent.Using the wavelet method,we obtain some estimators of the parametric component and the nonparametric component.Under general conditions,we investigate the asymptotic normality of these wavelet estimators.We not only generalize the corresponding conclusions of semiparametric regression models,but also unify asymptotic normal theorey of semiparametric regression models with dependent errors to some certain degree.

semiparametric regression model; ψ-weakly dependent;wavelet estimation; asymptotic normality

tion:62G05;62G20

2G05;62G20

O212.1

A

0255-7797(2017)02-0340-07

2014-08-11 接收日期:2014-11-05

國家自然科學(xué)基金資助 (11471105).

胡宏昌 (1971–), 男, 湖北英山,教授, 主要研究方向: 回歸模型的統(tǒng)計推斷理論及其應(yīng)用.