郭兵，孫乃毅，楊大彬

（1.山東建筑大學(xué)土木工程學(xué)院，山東濟(jì)南250101；2.榮成市建筑工程質(zhì)量造價(jià)監(jiān)督管理站，山東榮成264300）

簡(jiǎn)支梁彈性臨界彎矩計(jì)算方法研究進(jìn)展

郭兵1，孫乃毅2，楊大彬1

（1.山東建筑大學(xué)土木工程學(xué)院，山東濟(jì)南250101；2.榮成市建筑工程質(zhì)量造價(jià)監(jiān)督管理站，山東榮成264300）

整體穩(wěn)定系數(shù)是計(jì)算剛結(jié)構(gòu)受彎構(gòu)件整體穩(wěn)定的重要依據(jù)，而彈性臨界彎矩是影響整體穩(wěn)定系數(shù)的主要因素，因此彈性臨界彎矩準(zhǔn)確與否直接影響穩(wěn)定計(jì)算結(jié)果。目前，簡(jiǎn)單條件下簡(jiǎn)支梁彈性臨界彎矩的計(jì)算方法采用的是精確法，但適用范圍有限；復(fù)雜條件下簡(jiǎn)支梁彈性臨界彎矩的計(jì)算方法采用的是簡(jiǎn)化法，對(duì)于任意荷載和側(cè)向支撐條件下的簡(jiǎn)支梁臨界彎矩，只能借助等效彎矩系數(shù)來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算。文章闡述了簡(jiǎn)單條件下的精確法、復(fù)雜荷載下的精確法、復(fù)雜條件下的簡(jiǎn)化法等不同結(jié)構(gòu)荷載條件下求解臨界彎矩方法的研究進(jìn)展，通過(guò)研究在荷載作用點(diǎn)位置、相鄰梁段間的支持、整體穩(wěn)定系數(shù)等影響因素，闡述了復(fù)雜條件下彈性臨界彎矩計(jì)算的簡(jiǎn)化法存在的問(wèn)題、影響及根源，對(duì)復(fù)雜條件下的簡(jiǎn)支梁彈性臨界彎矩計(jì)算的能量法進(jìn)行了展望。

簡(jiǎn)支梁；彈性臨界彎矩；簡(jiǎn)化法；等效彎矩系數(shù)；總勢(shì)能

0 引言

鋼結(jié)構(gòu)中的受彎構(gòu)件有可能發(fā)生整體失穩(wěn)，需要利用整體穩(wěn)定系數(shù)φb來(lái)進(jìn)行相應(yīng)的穩(wěn)定計(jì)算，而影響φb的主要因素是構(gòu)件的彈性臨界彎矩Mcr，因此Mcr準(zhǔn)確與否直接影響穩(wěn)定計(jì)算結(jié)果［1-6］。彈性穩(wěn)定理論最早由歐拉提出，已經(jīng)發(fā)展了二百年，但有些問(wèn)題至今沒(méi)有徹底解決，簡(jiǎn)支梁的Mcr計(jì)算方法就是其中之一。

均勻受彎簡(jiǎn)支梁的Mcr計(jì)算公式可以通過(guò)靜力平衡法得到，屬于解析解［7-10］，并無(wú)爭(zhēng)議。非均勻受彎簡(jiǎn)支梁的Mcr計(jì)算公式從理論上講可以通過(guò)能量法得到［7-10］，但由于學(xué)術(shù)界對(duì)受彎構(gòu)件的總勢(shì)能公式及變形函數(shù)等問(wèn)題還有不同的看法，導(dǎo)致Mcr的計(jì)算公式很多，利用不同公式得到的計(jì)算結(jié)果也存在一定程度的偏差。

采用能量法計(jì)算Mcr時(shí)要用到受彎構(gòu)件的總勢(shì)能公式，但目前總勢(shì)能公式有很多種，比較有代表性的是Bleich公式［7］、呂烈武公式［8］和童根樹(shù)公式［11］。對(duì)于雙軸對(duì)稱截面受彎構(gòu)件，因截面不對(duì)稱系數(shù)βy＝0，上述3個(gè)總勢(shì)能公式?jīng)]有差別［9］，所得Mcr公式亦相同，但當(dāng)截面單軸對(duì)稱時(shí)，βy≠0，3個(gè)總勢(shì)能公式并不相同，所得Mcr公式［11］或者相關(guān)參數(shù)［12］也不相同。另外，利用能量法計(jì)算Mcr時(shí)需要先假設(shè)構(gòu)件的側(cè)向彎曲變形函數(shù)、扭轉(zhuǎn)變形函數(shù)，所得Mcr屬于近似解，Mcr的精度與假設(shè)變形函數(shù)的精度直接相關(guān)。

1956年，Salvadori［13］針對(duì)端彎矩作用下工字形截面簡(jiǎn)支梁的Mcr計(jì)算提出了一種簡(jiǎn)化方法，通過(guò)等效彎矩系數(shù)βb將非均勻受彎構(gòu)件等效成均勻受彎，并給出了βb計(jì)算公式，該方法簡(jiǎn)便實(shí)用且精度較高，為復(fù)雜條件下簡(jiǎn)支梁的Mcr計(jì)算提供了一條思路?？紤]到工程中的受彎構(gòu)件大多承擔(dān)橫向荷載，1979年Kirby等［14］將上述簡(jiǎn)化方法推廣至任意荷載形式下的雙軸對(duì)稱工字型截面簡(jiǎn)支梁，并給出了相應(yīng)的βb計(jì)算公式，該公式僅適用于橫向荷載作用點(diǎn)位于構(gòu)件的截面剪心［15］。上述諸簡(jiǎn)化方法被美、英、日、加等很多國(guó)家和地區(qū)的規(guī)范采納，我國(guó)規(guī)范也不例外。

后來(lái)，Greiner等［16］、Suryoatmono等［17］、Serna等［18］和陳驥［19］等又對(duì)Kirby提出的βb計(jì)算公式進(jìn)行了修正，但區(qū)別不大，仍僅適用于橫向荷載作用的截面剪心。羅金輝等［20］針對(duì)橫向均布荷載及反對(duì)稱彎矩共同作用下的單軸對(duì)稱截面簡(jiǎn)支梁，楊波［21］針對(duì)一端彎矩和上翼緣橫向均布荷載共同作用下的雙軸對(duì)稱截面簡(jiǎn)支梁，周芬等［22］針對(duì)上翼緣均布荷載、下翼緣跨中集中荷載共同作用下的雙軸對(duì)稱截面簡(jiǎn)支梁分別提出了相應(yīng)的βb計(jì)算公式，可見(jiàn)βb的計(jì)算公式都有特定的適用范圍。

周緒紅等［23］曾給出過(guò)簡(jiǎn)支梁的Mcr通用計(jì)算公式，可適用于不同的荷載形式，比如端彎矩、滿跨均布荷載、單個(gè)集中荷載，但只能為單一荷載，不適用于多種荷載同時(shí)作用。劉占科等［24］對(duì)周緒紅的Mcr通用公式進(jìn)行了修正，可同時(shí)考慮多種荷載，但更適合對(duì)稱荷載，荷載越不對(duì)稱偏差越大，當(dāng)荷載反對(duì)稱時(shí)完全不適用。管海龍等［25］也提出了Mcr的通用計(jì)算公式，可適用于端彎矩、均布荷載及集中荷載共同作用下的簡(jiǎn)支梁，荷載可以不對(duì)稱，但其中的集中荷載數(shù)量只能為單個(gè)，而且均布荷載與集中荷載在截面上的作用點(diǎn)位置必須相同。褚昊等［26］針對(duì)單個(gè)移動(dòng)集中荷載下的簡(jiǎn)支梁，給出了Mcr的表達(dá)式。

僅荷載形式就已經(jīng)使簡(jiǎn)支梁的穩(wěn)定問(wèn)題非常復(fù)雜，當(dāng)簡(jiǎn)支梁跨中設(shè)有任意側(cè)向支撐時(shí)，相鄰梁段間的支持作用將使問(wèn)題變得更加復(fù)雜，目前各國(guó)規(guī)范普遍忽略了相鄰梁段間的支持作用，計(jì)算結(jié)果很保守［15，27-29］。

由此可見(jiàn)，現(xiàn)有簡(jiǎn)支梁的彈性穩(wěn)定理論還不完善，Mcr計(jì)算方法都有特定的適用范圍，有些方法還過(guò)于簡(jiǎn)化，不能滿足工程需求。雖然利用有限元等數(shù)值方法可以得到任意受彎構(gòu)件的Mcr高精度值，但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，對(duì)工程設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)也不現(xiàn)實(shí)。為便于說(shuō)明問(wèn)題，文章針對(duì)雙軸對(duì)稱工字形截面彈性簡(jiǎn)支梁的現(xiàn)有各種Mcr計(jì)算方法進(jìn)行討論，通過(guò)若干典型算例，就其存在的問(wèn)題以及產(chǎn)生問(wèn)題的原因進(jìn)行探討，目的是找出今后的研究方向，以期引起學(xué)術(shù)界和工程界的重視。

1 簡(jiǎn)單條件下Mcr計(jì)算的精確法

當(dāng)簡(jiǎn)支梁的荷載及邊界條件都比較簡(jiǎn)單時(shí)，利用靜力平衡法或者能量法可以得到彈性臨界彎矩Mcr的解析解或者高精度解［7-10］。

1.1 均勻受彎簡(jiǎn)支梁

對(duì)于承擔(dān)均勻彎矩M且跨中無(wú)側(cè)向支撐的彈性簡(jiǎn)支梁，如圖1所示，構(gòu)件有可能發(fā)生側(cè)向彎扭失穩(wěn)，由靜力平衡法得到的Mcr解析解可采用式（1）表示為

式中：Mcr為梁的彈性臨界彎矩，N·m；l為梁的跨度，m；βy為截面不對(duì)稱系數(shù)，無(wú)量綱；Iy為繞弱軸的慣性矩，m4；It為抗扭慣性矩，m4；Iω為翹曲慣性矩，m6；E為鋼材的彈性模量，N/m2；G為鋼材的剪切模量，N/m2。

1.2 跨中央單個(gè)橫向集中荷載作用下的簡(jiǎn)支梁

當(dāng)簡(jiǎn)支梁跨中央作用有單個(gè)橫向集中荷載Q且跨中設(shè)有等間距布置的側(cè)向支撐時(shí)，如圖2所示，由能量法得到的Mcr高精度近似解可由式（2）表示為

式中：C1、C2、C3分別為與側(cè)向支撐數(shù)量有關(guān)的參數(shù)，無(wú)量綱，取值見(jiàn)表1，表中括號(hào)內(nèi)為GB 50017—2012鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范修訂報(bào)批稿［30］（規(guī)范修訂報(bào)批稿）的建議值；lb為等間距布置的側(cè)向支撐間距，m，如圖2所示，當(dāng)跨中無(wú)側(cè)向支撐時(shí)lb＝l；a為橫向荷載作用點(diǎn)至截面剪心S的距離，m，當(dāng)作用點(diǎn)位于剪心之上時(shí)a取負(fù)值，反之a(chǎn)取正值。

1.3 滿跨均布荷載作用下的簡(jiǎn)支梁

當(dāng)簡(jiǎn)支梁承擔(dān)滿跨均布荷載q且跨中設(shè)有等間距布置的側(cè)向支撐時(shí)，采用能量法同樣可以得到Mcr表達(dá)式，與式（2）完全相同，只有參數(shù)C1、C2、C3的取值不同，見(jiàn)表1。

由式（2）和表1可以看出，橫向荷載類型、荷載作用點(diǎn)位置、側(cè)向支撐數(shù)量等參數(shù)均對(duì)Mcr影響較大。由于式（2）是基于整個(gè)構(gòu)件的總勢(shì)能公式得出的，綜合考慮了各種因素的影響，無(wú)需再進(jìn)行修正。

圖1 跨中無(wú)側(cè)向支撐的均勻受彎簡(jiǎn)支梁圖

圖2 跨中央單個(gè)橫向集中荷載作用下的簡(jiǎn)支梁圖

表1 參數(shù)C1、C2、C3值

1.4 端彎矩作用下的簡(jiǎn)支梁

當(dāng)簡(jiǎn)支梁承擔(dān)端彎矩M1、M2且跨中無(wú)側(cè)向支撐時(shí)，利用能量法可得到Mcr的高精度近似解，因表達(dá)式較為復(fù)雜，可由式（3）［8-10］表示為

式中：βb為等效彎矩系數(shù)，無(wú)量綱；M0cr為均勻受彎簡(jiǎn)支梁的臨界彎矩，由式（2）計(jì)算。

由式（3）可以看出，利用βb可以將非均勻受彎簡(jiǎn)支梁等效成均勻受彎簡(jiǎn)支梁，使穩(wěn)定計(jì)算大為簡(jiǎn)化。影響βb的主要因素是荷載形式（端彎矩的比值）和梁截面類型，βb與M2／M1的關(guān)系曲線如圖3所示，在陰影區(qū)范圍內(nèi)上下波動(dòng)。1956年，Salvadori［13］通過(guò)分析后給出了兩個(gè)βb的擬合公式，由式（4）和（5）表示為

式中：M1、M2為端彎矩，N·m。當(dāng)｜M1｜≥｜M2｜，M1、M2使梁產(chǎn)生同向曲率時(shí)同號(hào)，而產(chǎn)生異向曲率時(shí)異號(hào)。

圖3 端彎矩作用下簡(jiǎn)支梁的βb—M2／M1曲線圖

歐洲EC 3—2005規(guī)范采納了式（4）做為βb的上限；日本AIJ2010規(guī)范、加拿大CAN/CSAS16—09規(guī)范以及規(guī)范修訂報(bào)批稿等多國(guó)規(guī)范采納式（5）做為βb的下限。

2 復(fù)雜荷載下Mcr計(jì)算的精確法

對(duì)于跨中無(wú)側(cè)向支撐的簡(jiǎn)支梁，當(dāng)荷載比較復(fù)雜時(shí)也可以利用能量法得到彈性臨界彎矩Mcr的高精度解［23-26］，Mcr的表達(dá)式與Clark［31］給出的簡(jiǎn)單荷載下的Mcr表達(dá)式在形式上完全相同，由式（6）表示為

式（6）稱為各類荷載下Mcr的通用表達(dá)式，不同的荷載形式對(duì)應(yīng)不同的C1、C2、C3值，其中簡(jiǎn)單荷載下的C1、C2、C3值見(jiàn)表1。周緒紅等［23］、劉占科等［24］、管海龍等［25］和褚昊等［26］都曾經(jīng)給出過(guò)復(fù)雜荷載下C1、C2、C3的計(jì)算表達(dá)式，這些研究成果有以下共同的特點(diǎn)：

（1）C1、C2、C3需要進(jìn)行復(fù)雜的積分運(yùn)算，設(shè)計(jì)時(shí)不方便使用；

（2）具有一定的適用范圍，要么要求荷載必須對(duì)稱，要么對(duì)荷載數(shù)量有限制，在適用范圍內(nèi)是準(zhǔn)確的，一旦超出范圍，偏差很大。

因此，真正意義上的Mcr通用表達(dá)式并沒(méi)有找到，但上述文獻(xiàn)都為今后的研究提供了有益借鑒思路。目前各國(guó)規(guī)范對(duì)復(fù)雜條件下簡(jiǎn)支梁的Mcr只能采用簡(jiǎn)化方法來(lái)計(jì)算。

3 復(fù)雜條件下Mcr計(jì)算的簡(jiǎn)化法

雖然式（1）～（3）的精度較高，但有特定的適用范圍，遠(yuǎn)不能滿足工程中荷載形式、側(cè)向支撐復(fù)雜多變的需求；式（2）雖然涉及到側(cè)向支撐，但必須為等間距布置；式（6）雖然可以用于復(fù)雜荷載，但計(jì)算過(guò)程非常繁瑣。因此目前各國(guó)規(guī)范中復(fù)雜條件下簡(jiǎn)支梁的彈性臨界彎矩Mcr都是采用簡(jiǎn)化法來(lái)計(jì)算，也就是通過(guò)修改等效彎矩系數(shù)βb并借助于式（3）來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

復(fù)雜條件下簡(jiǎn)支梁可以分為兩類：（1）荷載復(fù)雜，包括荷載形式、荷載在截面的位置等；（2）側(cè)向支撐復(fù)雜，包括支撐的數(shù)量、位置等。

3.1 任意荷載作用下的簡(jiǎn)支梁

Kirby等［14］認(rèn)為跨中無(wú)側(cè)向支撐簡(jiǎn)支梁在任意荷載作用下的Mcr仍可用式（3）來(lái)計(jì)算，并給出了荷載作用在截面剪心時(shí)雙軸對(duì)稱工字形截面簡(jiǎn)支梁的βb經(jīng)驗(yàn)公式，由式（7）表示為

式中：Mmax為梁的最大彎矩，N·m；MA、MB、MC分別為梁跨四分點(diǎn)處的彎矩（如圖4所示），N·m；以上各彎矩均取絕對(duì)值。

圖4 任意荷載作用下的簡(jiǎn)支梁圖

對(duì)于荷載作用在截面剪心的雙軸對(duì)稱工字形截面簡(jiǎn)支梁，式（7）精度較高，被多國(guó)規(guī)范略加修改后推廣至單軸對(duì)稱工字形截面受彎構(gòu)件，其中，規(guī)范修訂報(bào)批稿及美國(guó)ANSI/AISC 360—10規(guī)范均采用式（8）表示為

英國(guó)BS5950—1：2000規(guī)范則采用了式（9）表示為

后來(lái)，Greiner等［16］采用有限單元法、Suryoatmono等［17］采用有限差分法分別研究了各類邊界條件下荷載作用在剪心時(shí)雙軸對(duì)稱工字形截面受彎構(gòu)件的βb，并提供了相應(yīng)的計(jì)算表格。Serna等［18］利用上述成果，給出了雙軸對(duì)稱工字形截面的βb閉合解，由式（10）表示為

陳驥［19］認(rèn)為式（10）的安全余地偏小，建議調(diào)整式（10）由式（11）表達(dá)為

以圖5所示的兩個(gè)雙軸對(duì)稱工字形截面簡(jiǎn)支梁為例，假設(shè)橫向集中荷載Q均作用在構(gòu)件的截面剪心，利用式（7）～（11）得到的βb值見(jiàn)表2，其中括號(hào)內(nèi)為與有限元解的誤差百分比?？梢钥闯觯畲笳`差不足6%，且均為負(fù)偏差，說(shuō)明上述各式的精度較高且略偏安全。

雖然圖5（b）所示簡(jiǎn)支梁的跨中央設(shè)有一個(gè)側(cè)向支撐，但因構(gòu)件與荷載均對(duì)稱，左右兩個(gè)梁段之間并無(wú)相互支持作用，兩個(gè)梁段的βb相等，可只取其中的一個(gè)梁段來(lái)計(jì)算。

圖5 橫向集中荷載作用下的簡(jiǎn)支梁圖

表2 荷載作用在剪心時(shí)根據(jù)不同公式得到的βb值

值得注意的是，式（7）～（11）都是根據(jù)荷載作用在構(gòu)件截面剪心時(shí)的工字形截面得出的，而工程中的橫向荷載普遍不作用在剪心，比如吊車梁等，因此實(shí)際適用范圍仍然很有限，但各國(guó)規(guī)范中并沒(méi)有提及相應(yīng)的對(duì)策。

除了上述βb公式之外，楊波［21］針對(duì)雙軸對(duì)稱工字形截面簡(jiǎn)支梁，采用有限元法分析了一端彎矩M和上翼緣橫向均布荷載q共同作用下的βb分段擬合公式，由式（12）～（14）表示為

式中：α為端彎矩M與ql2／8的比值，無(wú)量綱；l為梁的跨度，m；ξ為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，無(wú)量綱；l1為受壓翼緣的自由長(zhǎng)度，m；t1為受壓翼緣的厚度，m；b1為受壓翼緣的自由寬度，m；h為梁截面高度，m。

周芬等［22］針對(duì)雙軸對(duì)稱工字形截面簡(jiǎn)支梁，采用能量法推導(dǎo)了上翼緣均布荷載q、下翼緣跨中央集中荷載Q作用下的βb分段擬合公式，由式（15）、（16）表示為

式中：α為集中荷載Q與ql的比值，無(wú)量綱。

式（12）～（16）雖然可以考慮荷載作用點(diǎn)不在剪心時(shí)的影響，但荷載的形式比較特殊，適用范圍很有限，只能作為一種補(bǔ)充。

3.2 任意側(cè)向支撐下的簡(jiǎn)支梁

當(dāng)跨中設(shè)有不等間距的任意側(cè)向支撐時(shí)，短梁段的線剛度較大，長(zhǎng)梁段的線剛度較小，長(zhǎng)梁段有先于短梁段發(fā)生整體失穩(wěn)的趨勢(shì)，相鄰的短梁段必然會(huì)對(duì)長(zhǎng)梁段提供約束支持作用，最終同步發(fā)生失穩(wěn)，這使得梁的彈性屈曲分析非常復(fù)雜。由于研究資料匱乏，目前各國(guó)普遍采用下述簡(jiǎn)化法［19，29］來(lái)計(jì)算任意側(cè)向支撐下簡(jiǎn)支梁的彈性臨界彎矩：

（1）將側(cè)向支撐間的各梁段看作獨(dú)立的簡(jiǎn)支梁；

（2）采用式（3）來(lái)分別計(jì)算各梁段的臨界彎矩，當(dāng)梁段的彎矩呈線性變化時(shí)βb采用式（4）、（5）來(lái)計(jì)算，當(dāng)梁段的彎矩呈非線性變化時(shí)βb采用式（8）或（9）來(lái)計(jì)算；

（3）將全部梁段中最小的臨界彎矩作為整個(gè)構(gòu)件的臨界彎矩。

依據(jù)上述簡(jiǎn)化方法得到臨界彎矩顯然由最弱的梁段控制，由于忽略了相鄰梁段對(duì)最弱梁段提供的支持作用，所得臨界彎矩必然偏低，這是偏于安全的，但有時(shí)會(huì)過(guò)于保守。

4 復(fù)雜條件下Mcr計(jì)算的簡(jiǎn)化法存在的問(wèn)題、影響及根源

對(duì)于復(fù)雜荷載或側(cè)向支撐條件下的彈性簡(jiǎn)支梁，各國(guó)規(guī)范提供的計(jì)算Mcr簡(jiǎn)化法要么假設(shè)橫向荷載作用在截面剪心，要么忽略了相鄰梁段間的相互支持作用，計(jì)算結(jié)果必然有偏差，下面逐一舉例分析。

4.1 荷載作用點(diǎn)位置的影響

從前面可以看出，任意荷載及側(cè)向支撐條件下的簡(jiǎn)化法均采用了式（3）來(lái)計(jì)算Mcr，僅是βb的計(jì)算方法不同。式（3）原本是由端彎矩作用下的簡(jiǎn)支梁得出的［13］，不涉及橫向荷載，也就沒(méi)有荷載作用點(diǎn)位置的問(wèn)題，而任意荷載下勢(shì)必涉及到橫向荷載，也就有荷載作用點(diǎn)位置問(wèn)題。為能夠繼續(xù)利用式（3），各國(guó)規(guī)范推薦的相對(duì)應(yīng)βb公式無(wú)不假設(shè)荷載作用在構(gòu)件的截面剪心，這是合適的，但也回避了荷載作用點(diǎn)位置的問(wèn)題。

荷載作用點(diǎn)位置對(duì)Mcr的影響很大［10］，仍以圖5所示的兩個(gè)簡(jiǎn)支梁為例，利用式（3）、（8）計(jì)算的荷載作用在不同位置時(shí)的Mcr和修正［29］計(jì)算的Mcr見(jiàn)表3，其中括號(hào)內(nèi)為與有限元解的誤差百分比。由表3可以看出：當(dāng)荷載作用在剪心時(shí)，誤差很小且略偏安全；當(dāng)荷載作用在上、下翼緣時(shí)，誤差接近±30%，偏高和偏低現(xiàn)象并存，偏低尚可允許，偏高則會(huì)帶來(lái)安全隱患。

表3 荷載作用點(diǎn)位置對(duì)Mcr的影響/（kN·m）

為解決上述問(wèn)題，陳紹蕃［29］提出了一種修正方法，將式（8）分別乘以調(diào)整系數(shù)0.75、1.5來(lái)考慮荷載作用點(diǎn)位置的影響，可由式（17）、（18）表示為

荷載作用在上翼緣時(shí)

荷載作用在下翼緣時(shí)

利用上述修正方法計(jì)算的Mcr，見(jiàn)表3。用于圖5（a）構(gòu)件時(shí)盡管誤差不大，但仍然存在正偏差；用于圖5（b）構(gòu)件時(shí)誤差較大的現(xiàn)象依然存在，甚至偏高30%，可見(jiàn)該方法只能用于一些特定情況，并沒(méi)有徹底解決問(wèn)題。

4.2 相鄰梁段間的支持作用

當(dāng)簡(jiǎn)支梁跨中設(shè)有側(cè)向支撐時(shí)，如果相鄰梁段的長(zhǎng)度或彎矩圖不相同，各梁段的側(cè)向抗彎和抗扭能力也不同，有強(qiáng)有弱，導(dǎo)致梁段間存在相互支持作用，由于簡(jiǎn)化法忽略了該支持作用，所得Mcr必然偏低。

以圖6所示跨中設(shè)有一個(gè)側(cè)向支撐的均勻受彎簡(jiǎn)支梁為例，利用式（3）、（5）得到的Mcr和修正法［27-28］計(jì)算的Mcr見(jiàn)表4，其中括號(hào)內(nèi)為與有限元解的誤差百分比，可見(jiàn)偏低幅度在30%以上，雖無(wú)安全問(wèn)題，但明顯過(guò)于保守，側(cè)向支撐分布越不均勻，梁段間的支持作用越顯著，簡(jiǎn)化法越保守。

圖6 側(cè)向支撐不等間距時(shí)的均勻受彎簡(jiǎn)支梁圖

表4 梁段間支持作用對(duì)Mcr的影響/（kN·m）

考慮梁段間支持作用的研究資料也不多，目前較簡(jiǎn)便的方法是修正法，在式（3）的基礎(chǔ)上引入梁段的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ來(lái)對(duì)Mcr進(jìn)行修正。修正后的Mcr可由式（19）表示為

式中：μ為用來(lái)考慮梁段間支持作用的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)，無(wú)量綱；lb為所計(jì)算梁段的長(zhǎng)度，m。

Nethercot等［27］、Tong等［28］都提供了確定μ的方法，兩種方法區(qū)別不大，都是借鑒了有側(cè)移框架柱μ的計(jì)算方法，也就是把弱梁段比作框架柱，把相鄰的左右梁段比作框架梁，通過(guò)其線剛度的比值來(lái)計(jì)算μ，具體過(guò)程如下：

（1）先把側(cè)向支撐間的各梁段按獨(dú)立的簡(jiǎn)支來(lái)考慮，利用式（3）、（8）可以計(jì)算出各梁段的臨界彎矩。

（2）找出臨界彎矩最小的梁段，該梁段稱為最弱梁段，為了便于解釋，這里假設(shè)第i個(gè)梁段為最弱梁段，其臨界彎矩記作Mcr，i，相鄰左右梁段的臨界彎矩分別記作Mcr，i-1、Mcr，i＋1。

（3）按式（20）～（22）分別計(jì)算最弱梁段及相鄰梁段的線剛度αi、αi-1及αi＋1。

最弱梁段

相鄰的第i-1梁段

相鄰的第i＋1梁段

式中：li、li-1、li＋1分別為第i、i-1、i＋1梁段的幾何長(zhǎng)度，m；γ為線剛度調(diào)整系數(shù)，無(wú)量綱，當(dāng)遠(yuǎn)端鉸接時(shí)γ＝3，遠(yuǎn)端固接時(shí)γ＝4，遠(yuǎn)端為連續(xù)梁時(shí)γ＝2。

（4）利用式（23）計(jì)算相鄰梁段的線剛度之比K1、K2，然后再由式（24）計(jì)算最弱梁段的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ。

仍以圖6所示簡(jiǎn)支梁為例，按上述修正法計(jì)算的臨界彎矩見(jiàn)表4，可以看出，修正法比簡(jiǎn)化法有一定的進(jìn)步。由于式（19）是基于式（1）、（3）得到的，修正法同樣無(wú)法考慮橫向荷載作用點(diǎn)位置的影響。

4.3 簡(jiǎn)化法對(duì)整體穩(wěn)定系數(shù)的影響

工程設(shè)計(jì)中，受彎構(gòu)件的整體穩(wěn)定都是通過(guò)穩(wěn)定系數(shù)φb來(lái)計(jì)算的，目前世界各國(guó)規(guī)范普遍借鑒軸壓構(gòu)件的柱子曲線來(lái)構(gòu)建受彎構(gòu)件的φb—λb曲線［2，4］，如圖7所示，λb為受彎構(gòu)件的正則化長(zhǎng)細(xì)比，無(wú)量綱。

圖7 受彎構(gòu)件的φb—λb曲線圖

規(guī)范修訂報(bào)批稿借鑒歐洲和日本的方法并結(jié)合我國(guó)國(guó)情給出的φb—λb曲線可由式（25）、（26）表示為

式中：λb0為初始正則化長(zhǎng)細(xì)比，無(wú)量綱；n為與截面類型和成型方式有關(guān)的參數(shù)，無(wú)量綱；γx為對(duì)強(qiáng)軸的截面塑性發(fā)展系數(shù)，無(wú)量綱；Wx為按受壓翼緣確定的繞強(qiáng)軸的毛截面模量，m3；fy為鋼材的屈服強(qiáng)度，N/m2。鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范修訂報(bào)批稿給出了參數(shù)λb0和n的查用表格及計(jì)算方法，不再羅列。

由式（25）、（26）可以看出，Mcr準(zhǔn)確與否將直接影響φb值。仍以圖5、6所示的簡(jiǎn)支梁為例（假設(shè)材料均為Q235），將表3、4中各種方法計(jì)算的Mcr代入式（25）、（26）后，所得φb見(jiàn)表5、6，其中括號(hào)內(nèi)為與有限元解的誤差百分比?？梢钥闯?，現(xiàn)有簡(jiǎn)化方法、修正方法引起的φb誤差同樣不可忽略，而且仍然存在正偏差情況，意味著偏于不安全，應(yīng)引起足夠的重視。

4.4 問(wèn)題的根源

式（3）原本是利用能量法分析端彎矩作用下跨中無(wú)側(cè)向支撐的簡(jiǎn)支梁所得到的結(jié)論，采用的總勢(shì)能公式［7］、構(gòu)件彎矩表達(dá)式、構(gòu)件側(cè)向彎曲變形、扭轉(zhuǎn)變形表達(dá)式可分別由式（27）～（30）［13］表示為

表5 現(xiàn)有方法計(jì)算圖5構(gòu)件所得φb

表6 現(xiàn)有方法計(jì)算圖6構(gòu)件所得φb

式中：Π為總勢(shì)能，J；z為構(gòu)件的縱向坐標(biāo)，m，如圖1所示；M為z坐標(biāo)處的截面彎矩，N·m；u為z坐標(biāo)處截面剪心的側(cè)向位移，m；θ為z坐標(biāo)處截面繞剪心的扭轉(zhuǎn)角，rad；A1、A2、B分別為側(cè)向彎曲變形函數(shù)和扭轉(zhuǎn)變形函數(shù)的獨(dú)立參數(shù)（廣義坐標(biāo)），無(wú)量綱。

由于式（28）能夠準(zhǔn)確描述構(gòu)件的彎矩，式（29）、（30）描述的側(cè)向彎曲和扭轉(zhuǎn)變形形式也與構(gòu)件的實(shí)際變形相匹配，因此代入式（27）后得到的式（3）是比較精確的。但是簡(jiǎn)化方法將式（3）推廣至任意條件下的簡(jiǎn)支梁時(shí)，存在以下缺陷：

（1）任意條件下簡(jiǎn)支梁的彎矩表達(dá)式、側(cè)向彎曲和扭轉(zhuǎn)變形函數(shù)不可能與式（28）～（30）完全一致，因此結(jié)構(gòu)應(yīng)變能有差別，必然影響總勢(shì)能；

（2）端彎矩作用下的簡(jiǎn)支梁不涉及橫向荷載，式（27）中也就沒(méi)有橫向荷載產(chǎn)生的外力勢(shì)能項(xiàng)，而任意條件下涉及橫向荷載，也就有相應(yīng)的外力勢(shì)能，因此總勢(shì)能有差別；

（3）βb原本是用來(lái)考慮荷載形式（端彎矩比值）和截面類型對(duì)Mcr影響的參數(shù)，若再令其兼顧考慮荷載作用點(diǎn)位置、梁段間支持作用等對(duì)Mcr的影響，很難實(shí)現(xiàn)。

由此可見(jiàn)，由上述缺陷引發(fā)的一系列問(wèn)題不可能僅通過(guò)修正βb或者增加μ等簡(jiǎn)單方法就能解決，甚至有可能顧此失彼。

5 展望

目前簡(jiǎn)單條件下簡(jiǎn)支梁的彈性臨界彎矩計(jì)算方法已比較準(zhǔn)確，而復(fù)雜條件下簡(jiǎn)支梁的彈性臨界彎矩計(jì)算方法還不完善，各國(guó)規(guī)范不得不采用簡(jiǎn)化法，這導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果可能偏低也可能偏高，直接影響整體穩(wěn)定系數(shù)，進(jìn)而影響到結(jié)構(gòu)的安全性和經(jīng)濟(jì)性，需引起足夠的重視。

復(fù)雜條件下簡(jiǎn)支梁的彈性臨界彎矩可以采用能量法來(lái)求解，今后的主要研究方向是找出能夠模擬任意荷載及側(cè)向支撐條件下簡(jiǎn)支梁的通用側(cè)向彎曲變形函數(shù)、通用扭轉(zhuǎn)變形函數(shù)以及通用彎矩表達(dá)式，這樣才能精確計(jì)算出簡(jiǎn)支梁的總勢(shì)能，從而得到復(fù)雜條件下簡(jiǎn)支梁的臨界彎矩通用表達(dá)式及高精度解。由于能量法已經(jīng)全面考慮了各種可能的影響因素，無(wú)需再對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正或調(diào)整，可以從根本上徹底解決問(wèn)題。

找到簡(jiǎn)支梁的通用側(cè)向彎曲變形函數(shù)、通用扭轉(zhuǎn)變形函數(shù)相對(duì)容易，可以采用由多個(gè)可能位移函數(shù)通過(guò)線性組合而成的多項(xiàng)式來(lái)表達(dá)，其中可能位移函數(shù)可采用三角函數(shù)的形式。變形函數(shù)的多項(xiàng)式不宜超過(guò)兩項(xiàng)，否則計(jì)算總勢(shì)能時(shí)過(guò)于復(fù)雜，得到的臨界彎矩表達(dá)式會(huì)比較繁瑣，給使用帶來(lái)不便。另外，變形函數(shù)應(yīng)至少滿足位移邊界條件，如果還能同時(shí)滿足力學(xué)邊界條件，則計(jì)算精度會(huì)更高。

找到簡(jiǎn)支梁的通用彎矩表達(dá)式則有一定的困難。由于簡(jiǎn)支梁的荷載類型、數(shù)量及位置復(fù)雜多變，彎矩圖也隨之變化，如果不給定具體的荷載類型、數(shù)量及位置，則很難寫出彎矩表達(dá)式，也就不能進(jìn)行總勢(shì)能計(jì)算。一旦給定了具體的荷載類型、數(shù)量及位置，雖然可以寫出彎矩的準(zhǔn)確表達(dá)式，但又不具備通用性，這是一對(duì)矛盾，相信工程界和學(xué)術(shù)界總會(huì)找到合適的解決辦法。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 郭彥林.純彎等截面焊接工字形梁整體穩(wěn)定系數(shù)研究［J］.建筑科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2012，29（2）：89-95.

［2］ 童根樹(shù).鋼梁穩(wěn)定性再研究：中國(guó)規(guī)范的演化及其存在問(wèn)題（Ⅰ）［J］.工業(yè)建筑，2014，44（1）：149-153.

［3］ 童根樹(shù).鋼梁穩(wěn)定性再研究：國(guó)際上的試驗(yàn)研究和理論分析（Ⅱ）［J］.工業(yè)建筑，2014，44（2）：142-146.

［4］ 童根樹(shù).鋼梁穩(wěn)定性再研究：國(guó)際上規(guī)范對(duì)比及其可靠度分析（Ⅲ）［J］.工業(yè)建筑，2014，44（3）：162-168.

［5］ 童根樹(shù).鋼梁穩(wěn)定性再研究：國(guó)內(nèi)近年的研究成果和建議（Ⅳ）［J］.工業(yè)建筑，2014，44（4）：146-151.

［6］ 丁陽(yáng)，郭鵬.高強(qiáng)鋼焊接工字梁整體穩(wěn)定性能分析［J］.建筑結(jié)構(gòu)，2015，45（21）：25-29.

［7］ Bleich F..Buckling Strength of Metal Structures［M］.New York：McGraw-Hill，1952.

［8］ 呂烈武，沈世釗，沈祖炎，等.鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件穩(wěn)定理論［M］.北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，1983.

［9］ 童根樹(shù).鋼結(jié)構(gòu)的平面外穩(wěn)定（修訂版）［M］.北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2013.

［10］陳驥.鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論與設(shè)計(jì)（第6版）［M］.北京：科學(xué)出版社，2014.

［11］童根樹(shù)，張磊.薄壁鋼梁穩(wěn)定性計(jì)算的爭(zhēng)議及其解決［J］.建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，2002，23（3）：44-51.

［12］郭耀杰，方山峰.鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件彎扭屈曲問(wèn)題的計(jì)算和分析［J］.建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，1990，11（3）：38-43.

［13］Salvadori M.G..Lateral buckling of eccentrically loaded I-columns［J］.Transactions of the American Society of Civil Engineers，1956，121（1）：1163-1178.

［14］Kirby P.A.，Nethercot D.A..Design for Structural Stability［M］.Suffolk：Constrado Monographs，1979.

［15］羅金輝，李元齊.均布荷載作用下有約束鋼梁的整體穩(wěn)定［J］.南昌大學(xué)學(xué)報(bào)（工科版），2012，34（3）：224-228.

［16］Greiner R.，Lindner J..Proposals for buckling resistance of members［R］.Flexural and Lateral Torsional Buckling，ECCS Validation Group，1992.

［17］Suryoatmono B.，Ho D..The moment-gradient factor in lateraltorsional buckling on wide flange steel sections［J］.Journal of Constructional Steel Research，2002，58（9）：1247-1264.

［18］Serna M.A.，López A.，Puente I.，et al..Equivalent uniform moment factors for lateral-torsional buckling of steelmembers［J］. Journal Constructional Steel Research，2006，62（6）：566-580.

［19］陳驥.各國(guó)鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中受彎構(gòu)件穩(wěn)定設(shè)計(jì)的比較［J］.工業(yè)建筑，2009，39（6）：5-12.

［20］羅金輝，顧強(qiáng)，方有珍.端彎矩及橫向均布荷載共同作用下鋼梁的整體穩(wěn)定研究［J］.鋼結(jié)構(gòu)，2009，24（增刊1）：148-152.

［21］楊波.工字梁在彎矩和均布荷載作用下的整體穩(wěn)定［J］.鋼結(jié)構(gòu)，2012，27（11）：23-25，86.

［22］周芬，池云祥，杜運(yùn)興.上下翼緣同時(shí)受荷的工字形鋼梁整體穩(wěn)定性分析［J］.湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，39（11）：7-12.

［23］周緒紅，劉占科，陳明，等.鋼梁彎扭屈曲臨界彎矩通用公式研究［J］.建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，2013，34（5）：80-86.

［24］劉占科，周緒紅，何子奇，等.復(fù)合荷載作用下簡(jiǎn)支鋼梁彈性彎扭屈曲研究［J］.建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，2014，35（4）：78-85.

［25］管海龍，郭兵，褚昊.復(fù)合荷載下簡(jiǎn)支梁的彈性彎扭屈曲［J］.山東建筑大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，31（3）：249-253.

［26］褚昊，郭兵，管海龍.單個(gè)移動(dòng)集中荷載下簡(jiǎn)支梁的彈性臨界彎矩［J］.山東建筑大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，31（5）：466-470.

［27］Nethercot D.A..Buckling of laterally or torsionally restrained beams［J］.Journal of the Engineering Mechanics Division，ASCE，1973，99（4）：773-791.

［28］Tong G.S.，Chen S.F..Buckling of laterally and torsionally braced beams［J］.Journal of Constructional Steel Research，1988，11（1）：41-55.

［29］陳紹蕃.有約束梁的整體穩(wěn)定［J］.鋼結(jié)構(gòu)，2008，23（8）：20 -25，41.

［30］GB 50017—201X，鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范（報(bào)批稿）［S］.北京：中國(guó)計(jì)劃出版社，2012.

［31］Clark J.W.，Hill H.N..Lateral buckling of beams［J］.Journal of Structural Division，1960，86（ST7）：175-196.

Research process of elastic criticalmoment of sim ple beam s

Guo Bing1，Sun Naiyi2，Yang Dabin1
（1.School of Civil Engineering，Shandong Jianzhu Univesity，Jinan 250101，China；2.Rongcheng Supervision and Management Station of Construction Engineering Quality and Cost，Rongcheng 264300，China）

The overall stability coefficient is an importantbasis for calculating the structure just by the overall stability of bendingmember.Elastic criticalmoment is themain factor affecting the diameter of the overall stability coefficient so the accuracy directly affects the stability of the calculation results. The calculation method of critical elastic moment of simple beam under simple conditions is accurate method，but the application scope is limited；the calculationmethod of criticalmomentof elastic beam under complex conditions is the simplified method，and the criticalmoment for beam arbitrary loading and lateral support conditions，only to simplify the calculation bymeans of equivalentbendingmoment coefficient.This paper expounds the simple conditions，exact method under complex load under complicated conditions，exact method simplified method of different load conditions for the critical moment of criticalmomentmethod and the research progress in influence factors through the research on the position of the loading pointand the adjacent beam segmentbetween the supportand the overall stability coefficient under the influence of the simplified method under complex conditions elastic criticalmoment calculation problems and causes.and makes prospect for the energy method for the calculation of criticalmoment of elastic beam under complex conditions.

simple beams；elastic critical moment；simplified method；equivalent moment coefficient；total potential energy

TU391

A

1673-7644（2017）01-0069-09

2016-12-23

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51308326）

郭兵（1970-），男，教授，博士，主要從事鋼結(jié)構(gòu)等方面的研究.E-mail：sdgb123＠163.com