于士甲 張 鵬 李彥斌 吳邵慶 費(fèi)慶國(guó)

(1東南大學(xué)土木工程學(xué)院, 南京210096)(2東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 南京 211189)

基于動(dòng)態(tài)子模型法的結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)預(yù)示方法

于士甲1張 鵬1李彥斌2吳邵慶1費(fèi)慶國(guó)2

(1東南大學(xué)土木工程學(xué)院, 南京210096)(2東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 南京 211189)

研究了基于動(dòng)態(tài)子模型法的結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)預(yù)示方法基本理論,并建立了可應(yīng)用于復(fù)雜切割邊界條件下的匹配插值方法．首先以殼-殼及殼-體2種子模型為研究對(duì)象,探究動(dòng)態(tài)子模型法在2種模型中的動(dòng)響應(yīng)分析精度及計(jì)算效率．以復(fù)雜衛(wèi)星模型為研究對(duì)象,驗(yàn)證了動(dòng)態(tài)子模型法在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用性．研究結(jié)果表明:在保證局部運(yùn)算精度的情況下,子模型法可以極大幅提高運(yùn)算效率;殼-殼子模型法和殼-體子模型法通過(guò)1層切割邊界節(jié)點(diǎn)和3層切割邊界節(jié)點(diǎn)即可保證較高響應(yīng)預(yù)示精度;在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中整體模型網(wǎng)格與子模型網(wǎng)格大小相差較大的情況下,子模型法仍能獲得較理想的響應(yīng)預(yù)示結(jié)果．

子模型法;局部響應(yīng);運(yùn)算效率;切割邊界;復(fù)雜結(jié)構(gòu)

在建立復(fù)雜結(jié)構(gòu)有限元模型時(shí),受計(jì)算機(jī)硬件條件的限制,需合理設(shè)置有限單元的尺寸;同時(shí)為提高分析效率,通常對(duì)結(jié)構(gòu)的一些局部細(xì)節(jié)采取一定的簡(jiǎn)化措施[1]．然而,設(shè)置較大單元尺寸及忽略結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)會(huì)降低有限元分析結(jié)果的精度;對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行總體建模分析時(shí),或因單元尺寸過(guò)大難以獲得精確的結(jié)果,或因總體模型過(guò)大無(wú)法求解[2]．對(duì)于大型薄壁結(jié)構(gòu),總體建模時(shí)大多采用殼單元模擬,但殼單元無(wú)法反應(yīng)層間應(yīng)力;對(duì)于大量螺栓連接結(jié)構(gòu),整體建模時(shí)由于忽略螺栓的局部細(xì)節(jié),因而無(wú)法反映螺栓及其周邊部位的局部響應(yīng);在單元連續(xù)性差的部位,引入MPC連接單元后,分析結(jié)果中出現(xiàn)應(yīng)力集中的現(xiàn)象,故與實(shí)際情況不符．

針對(duì)上述問(wèn)題,現(xiàn)階段處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)示問(wèn)題主要采用以下2種方法:① 局部網(wǎng)格細(xì)化法,對(duì)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵區(qū)域采用較小的單元模擬,其余部分采用較大的單元模擬[3];② 子結(jié)構(gòu)法,將結(jié)構(gòu)劃分為若干子結(jié)構(gòu),在模態(tài)空間內(nèi)通過(guò)縮減自由度來(lái)完成求解[4]．在局部網(wǎng)格細(xì)化法中,為保證單元連續(xù)性,模型中網(wǎng)格尺寸過(guò)渡區(qū)域難以保證單元質(zhì)量;在具體關(guān)注區(qū)域未明確的情況下,需大量試算[3]．子結(jié)構(gòu)法預(yù)示的結(jié)構(gòu)響應(yīng)精度與選取的自由度縮聚方案有關(guān),所引起的分析誤差難以評(píng)估[4]．

近年來(lái),隨著商用有限元軟件的普及,子模型法在復(fù)雜結(jié)構(gòu)局部響應(yīng)預(yù)示中得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用．該方法從總體結(jié)構(gòu)中切割出結(jié)構(gòu)關(guān)鍵區(qū)域作為子模型,對(duì)子模型進(jìn)行精細(xì)化建模,并將總體模型在切割邊界上的位移響應(yīng)作為強(qiáng)迫位移激勵(lì)施加于子模型的切割邊界,對(duì)子模型上得到的響應(yīng)進(jìn)行分析．根據(jù)圣維南原理,子模型在切割邊界附近的響應(yīng)預(yù)示結(jié)果可能存在較大誤差,但在遠(yuǎn)離邊界的區(qū)域,響應(yīng)預(yù)示結(jié)果具有足夠的精度．與局部網(wǎng)格細(xì)化法及子結(jié)構(gòu)法相比,子模型法不需要設(shè)置網(wǎng)格尺寸過(guò)渡區(qū)域,減輕了建模工作量,在便于獲取關(guān)鍵區(qū)域精確響應(yīng)分布的同時(shí)提高了工作效率．

目前,子模型法借助Ansys內(nèi)置的Sub-modelling模塊,廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化[5-6]、機(jī)械構(gòu)件的響應(yīng)預(yù)示及強(qiáng)度評(píng)估[2, 7-9]、大型橋梁及地下工程的設(shè)計(jì)[1, 10-11]等眾多工程領(lǐng)域．吳誥珪等[5]提出了靜態(tài)力作用下子模型法的基本理論;Ramsay等[12]研究了不同單元類型對(duì)子模型法的響應(yīng)預(yù)示精度的影響．目前,基于Ansys的子模型法要求子模型與整體模型空間位置一致,切割邊界只能經(jīng)過(guò)殼單元或體單元,這限制了子模型法的應(yīng)用范圍及進(jìn)一步的發(fā)展．此外,目前尚未形成成熟的動(dòng)態(tài)子模型法理論,其分析精度亦有待驗(yàn)證．

本文基于傳統(tǒng)子模型法,推導(dǎo)得到基于動(dòng)態(tài)子模型法的響應(yīng)預(yù)示方法．并以對(duì)邊簡(jiǎn)支板為研究對(duì)象,探究殼-殼及殼-體2種子模型法的準(zhǔn)確性及高效性;進(jìn)而以復(fù)雜衛(wèi)星模型為研究對(duì)象,驗(yàn)證動(dòng)態(tài)子模型法在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用性．

1 基于動(dòng)態(tài)子模型法的響應(yīng)預(yù)示理論

考慮黏性阻尼時(shí),結(jié)構(gòu)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(1)

式中,M為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣;C為結(jié)構(gòu)黏性阻尼矩陣;K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣;f為結(jié)構(gòu)外荷載向量;u為結(jié)構(gòu)待求位移向量．假設(shè)系統(tǒng)為線性系統(tǒng),對(duì)式(1)在零初始條件下進(jìn)行傅里葉變換,可得

DU=F

(2)

式中,D=K+jCω-ω2M為系統(tǒng)動(dòng)剛度矩陣;U,F分別為u,f的傅里葉變換．

將結(jié)構(gòu)分割為區(qū)域Ω1和區(qū)域Ω2兩部分,如圖1所示．其中,已知Ω1中位移響應(yīng),記切割邊界上的節(jié)點(diǎn)位移為Ua,除Ua之外的節(jié)點(diǎn)位移為U1．Ω2中除邊界上的節(jié)點(diǎn)位移外,其余節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)均為未知,記為U2．邊界上節(jié)點(diǎn)位移Ua可通過(guò)下式求得:

(3)

式中,Fm,Dmn(m,n=1,a,2)分別為系統(tǒng)的分塊載荷向量和動(dòng)剛度矩陣．

圖1 有限元分析模型

(4)

(5)

記切割邊界為L(zhǎng),由整體模型在L上的節(jié)點(diǎn)位移向量Ua要插值獲得子模型在L上的節(jié)點(diǎn)位移向量Ub，還存在以下2個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題:① 子模型與整體模型空間位置不對(duì)應(yīng)問(wèn)題;② 子模型與整體模型在切割邊界上網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)不重合問(wèn)題．

為解決問(wèn)題1,需要確定2個(gè)有限元模型之間的空間位置轉(zhuǎn)換關(guān)系,即

Ub=UaQ+ΔU

(6)

式中,Q為3×3的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,

(7)

ΔU為平移向量:

(8)

為解決問(wèn)題2,需對(duì)切割邊界上的節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行插值處理,位移Ua,Ub應(yīng)滿足下面的映射關(guān)系[13]:

Ub=GUa

(9)

式中,G為位移關(guān)聯(lián)矩陣．

(10)

(11)

3個(gè)面積之和為

A=Ai1+Ai2+Ai3

(12)

(13)

由此,利用式(10)及(13)中節(jié)點(diǎn)位移的線性插值方法,即可獲得子模型邊界的節(jié)點(diǎn)位移．

2 動(dòng)態(tài)子模型法響應(yīng)預(yù)示分析流程

本文建立的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)子模型法具體流程如圖2所示,虛線框所包含部分為自主編程實(shí)現(xiàn)過(guò)程．其技術(shù)路線如下:

1) 創(chuàng)建結(jié)構(gòu)整體有限元模型,借助商用有限元軟件MSC. Nastran進(jìn)行動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析,得到結(jié)構(gòu)整體位移響應(yīng)．

2) 切割邊界盡量避開(kāi)應(yīng)力集中位置,同時(shí)參考整體結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和幾何特征,對(duì)所關(guān)心的區(qū)域建立精細(xì)化有限元子模型．

3) 提取整體結(jié)構(gòu)切割邊界的節(jié)點(diǎn)信息及位移響應(yīng),利用式(6)匹配模型空間位置關(guān)系,以及式(10)及(13)將位移插值到子模型邊界對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)．

4) 對(duì)精細(xì)化子模型在給定位移邊界條件下進(jìn)行分析,求解結(jié)構(gòu)局部響應(yīng)．

圖2 子模型法計(jì)算流程圖

與傳統(tǒng)Ansys子模型法相比,上述基于動(dòng)態(tài)子模型法的響應(yīng)預(yù)示方法具有如下優(yōu)勢(shì):總體模型與子模型的空間位置不必嚴(yán)格對(duì)應(yīng);總體模型與子模型在切割邊界上的節(jié)點(diǎn)不必一一對(duì)應(yīng);切割邊界沒(méi)有單元類型的限制．

3 算例驗(yàn)證

3.1 研究對(duì)象

以對(duì)邊簡(jiǎn)支板為研究對(duì)象,結(jié)構(gòu)幾何尺寸與材料參數(shù)如表1所示．本文建立了3個(gè)有限元模型,分別為粗糙整體模型(單元邊長(zhǎng)20 mm)、基于粗糙整體模型求解的精細(xì)化子模型(單元邊長(zhǎng)6.7 mm)及作為參照的精細(xì)化整體模型(單元邊長(zhǎng)6.7 mm)．假設(shè)板在長(zhǎng)度方向0.4～0.6 m范圍內(nèi)為重點(diǎn)分析區(qū)域,設(shè)定為子模型,在整體模型上表面部分區(qū)域受P=1 Pa的均布?jí)毫?如圖3所示．分析整體模型與子模型1～1 000 Hz的結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)．

表1 板的幾何尺寸及材料屬性

(a) 粗糙整體模型(單位：m)

(b) 子模型

(c) 精細(xì)化整體模型

3.2 殼-殼子模型法

大型復(fù)雜薄壁結(jié)構(gòu)整體建模通常簡(jiǎn)化為殼單元,而子模型則可以根據(jù)具體情況選取合適的單元類型．如切割出來(lái)的子模型仍屬于薄壁結(jié)構(gòu),則可以繼續(xù)采用殼單元建模,稱為殼-殼子模型法．

為驗(yàn)證殼-殼子模型法在響應(yīng)預(yù)示中的準(zhǔn)確性及計(jì)算效率,選取遠(yuǎn)離切割邊界的模型幾何中心作為響應(yīng)關(guān)注位置,整體模型與子模型響應(yīng)關(guān)注位置的位移與應(yīng)力頻率響應(yīng)如圖4所示,整體模型響應(yīng)與子模型在500 Hz處的位移與Von Mises應(yīng)力響應(yīng)云圖如圖5所示．表2給出了子模型與精細(xì)化整體模型的計(jì)算時(shí)間．

(a) 位移

(b) Von Mises應(yīng)力

(a) 位移

(b) Von Mises應(yīng)力

表2 殼-殼子模型法計(jì)算時(shí)間對(duì)比

由圖4分析可知:殼-殼子模型法具有較高精度,是一種有效的計(jì)算結(jié)構(gòu)局部響應(yīng)的手段,能夠考慮更多局部信息,提高了整體模型的計(jì)算精度．由圖5分析可知,子模型法位移連續(xù)性較好,這是由于子模型法基于位移求解,邊界節(jié)點(diǎn)的線性插值方案能夠較好模擬原模型邊界節(jié)點(diǎn)的位移分布;在切割邊界處,子模型法的應(yīng)力與整體模型相差較大,在離切割邊界較遠(yuǎn)處二者幾乎相同,與圣維南原理所闡述的現(xiàn)象相同．由表2可知,與精細(xì)化整體模型求解方法相比,子模型法僅需其30%的計(jì)算時(shí)間,在保證精度的同時(shí)提高了計(jì)算效率．

3.3 殼-體子模型法

如果子模型不屬于薄壁結(jié)構(gòu)或需要考慮螺栓連接、層間應(yīng)力等細(xì)節(jié),則子模型必須采用實(shí)體單元建模,稱為殼-體子模型法．與殼單元不同,普通實(shí)體單元上的節(jié)點(diǎn)只有3個(gè)平動(dòng)方向自由度,無(wú)法模擬殼單元附帶的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向自由度.為模擬轉(zhuǎn)動(dòng)位移,在切割邊界上選取2層或3層單元節(jié)點(diǎn)作為切割邊界進(jìn)行插值．本文建立4個(gè)有限元模型,分別為粗糙整體模型(單元邊長(zhǎng)0.02 m)、子模型1(1層切割邊界)、子模型2(2層切割邊界)及子模型3(3層切割邊界),其中3種子模型單元邊長(zhǎng)均為0.01 m．選取模型上表面中點(diǎn)作為響應(yīng)關(guān)注位置,關(guān)注位置的位移與Von Mises應(yīng)力頻率響應(yīng)如圖6所示,子模型500 Hz的Von Mises應(yīng)力響應(yīng)云圖如圖7所示．表3給出了子模型與精細(xì)化整體模型的計(jì)算時(shí)間．

(a) 位移

(b) Von Misee應(yīng)力

(a) 精細(xì)化整體模型

(b) 子模型3

由圖6分析可知:殼-體子模型法具有較高精度;對(duì)位移來(lái)說(shuō), 1層切割邊界的子模型結(jié)果不夠準(zhǔn)確,2層或3層切割邊界的子模型結(jié)果與精細(xì)化整體模型吻合較好;對(duì)應(yīng)力來(lái)說(shuō),1層或2層切割邊界的子模型結(jié)果均不夠準(zhǔn)確,3層切割邊界的子模型結(jié)果與精細(xì)化整體模型結(jié)構(gòu)較吻合．由圖7可以看出,在離切割邊界較遠(yuǎn)處,能夠體現(xiàn)出層間應(yīng)力等殼單元無(wú)法獲得的信息．由表3可知,與精細(xì)化整體模型求解方法相比,殼-體子模型法僅需其14.2%的計(jì)算時(shí)間,提高計(jì)算效率的效果十分明顯．

表3 殼-體子模型法計(jì)算時(shí)間對(duì)比

4 復(fù)雜系統(tǒng)中的應(yīng)用

以某型號(hào)衛(wèi)星模型為研究對(duì)象,忽略衛(wèi)星隔板間的連接,建立整體分析的粗糙有限元模型,切割邊界單元大小為80 mm,如圖8(a)所示．考慮隔板間螺栓連接,建立重點(diǎn)分析區(qū)域的子模型,切割邊界單元大小為6 mm,其中圖8(b)紅心所示的某螺栓部位為分析的關(guān)注位置．結(jié)構(gòu)在底部固支約束,衛(wèi)星側(cè)面受單位噪聲壓力．分析子模型在1～500 Hz內(nèi)響應(yīng),關(guān)注位置的位移及Von Mises應(yīng)力頻響曲線如圖9所示．

(a) 粗糙整體模型

(b) 局部精細(xì)化子模型

(a) 位移

(b) Von Mises應(yīng)力

由圖9可知,即使粗糙整體模型與子模型結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)不同、切割邊界的單元尺寸相差巨大,結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)仍基本吻合,說(shuō)明結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)預(yù)示精度對(duì)結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)依賴程度不高;粗糙整體模型與子模型計(jì)算所得的應(yīng)力響應(yīng)相差較大,這表明粗糙的整體模型所計(jì)算的結(jié)果已不具有可信度,根據(jù)精細(xì)化子模型所求得的響應(yīng)預(yù)示結(jié)果更能反映結(jié)構(gòu)的真實(shí)受力情況．

5 結(jié)論

1) 殼-殼子模型法分析結(jié)果比原粗糙整體模型的分析結(jié)果更加精確;子模型位移與粗糙整體模型基本相同,子模型Von Mises應(yīng)力在切割邊界附近與粗糙整體模型有很大差異,遠(yuǎn)離切割邊界的位置二者基本相同.

2) 殼-體子模型法中,欲保證子模型位移響應(yīng)的準(zhǔn)確性,切割邊界應(yīng)有2層插值節(jié)點(diǎn);欲保證子模型應(yīng)力響應(yīng)的準(zhǔn)確性,切割邊界應(yīng)有3層插值節(jié)點(diǎn).

3) 殼-體子模型法中,子模型可較好體現(xiàn)層間應(yīng)力等殼單元無(wú)法獲得的信息.

4) 殼-殼子模型法與殼-體子模型法均可大幅提高計(jì)算效率.

5) 子模型法可應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)中整體模型網(wǎng)格與子模型網(wǎng)格大小相差比較大的情況,且能得到較理想結(jié)果．

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Structural response prediction based on dynamic sub-modelling method

Yu Shijia1Zhang Peng1Li Yanbin2Wu Shaoqing1Fei Qingguo2

(1School of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)(2School of Mechanical Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China)

Based on the theoretical derivation, the basic formula of the dynamic response of sub-modelling method was obtained based on structural dynamic stiffness under complex cutti4ng boundary conditions. Firstly, a sub-modelling method was studied by using 2 sub-models of shell-shell and shell-solid as a research object based on a simply supported plate. The accuracy and the high efficiency in the 2 sub-models were researched. Then, the good applicability of dynamic sub-modelling method on the complex structure was proved by using a satellite model as a research object. The results show that the computational efficiency is improved with the sub-modelling method under a premise of local computation precision. The high precision can be achieved with only 1 layer and 3 layers of boundary nodes when using shell-shell and shell-body sub-modelling methods, respectively. Fine results can also be obtained under the condition of a sharp incompatibility between the whole model and the sub-model on complex structures.

sub-modelling method; local response; computational efficiency; cutting boundary; complex structure.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.02.021

2016-09-04. 作者簡(jiǎn)介: 于士甲(1992—),男,碩士生;費(fèi)慶國(guó)(聯(lián)系人),男,博士,教授,博士生導(dǎo)師,qgfei@seu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11402052, 11572086)、教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃資助項(xiàng)目(NCET-11-0086)、江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK20140616)．

于士甲，張鵬，李彥斌，等.基于動(dòng)態(tài)子模型法的結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)預(yù)示方法[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,47(2):325-330.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.02.021.

V414.8;O32

A

1001-0505(2017)02-0325-06