曲長文 王昌海 馮 奇 周 強

(1.海軍航空工程學院 煙臺 264001)(2.92543部隊 長治 046000)

時差無源定位系統(tǒng)多機編隊動態(tài)布站優(yōu)化*

曲長文1王昌海2馮 奇1周 強1

(1.海軍航空工程學院 煙臺 264001)(2.92543部隊 長治 046000)

布站形式能夠直接影響多站無源定位效果,合理的運動軌跡對于定位跟蹤效果也有很大的改善。多機編隊的動態(tài)布站問題可以歸結為布站形式和飛行軌跡的優(yōu)化問題,該文以Fisher信息陣的行列式為指標,將其轉化為非線性規(guī)劃問題,并采用分散搜索法獲得全局最優(yōu)解。此外,對于編隊的最優(yōu)航跡選擇和重新布站的時間間隔進行了探討,得到一些有價值的結論。仿真結果表明,針對多機編隊提出的動態(tài)布站優(yōu)化算法對于提高編隊的定位精度有著明顯的效果,具有很好的工程實用價值。

無源定位; 動態(tài)布站; 非線性規(guī)劃; 多機編隊; 全局最優(yōu)解

1 引言

現(xiàn)代高科技局部戰(zhàn)爭的經驗表明,制空權和信息快速獲取能力已成為決定戰(zhàn)爭勝負最為關鍵的兩個因素,兩者密不可分。在這種背景下,多機無源定位跟蹤系統(tǒng)因為具有信息融合能力、隱蔽性好、機動性強、探測距離遠等優(yōu)點,已成為獲取戰(zhàn)場信息的重要手段[1]。

無源定位跟蹤系統(tǒng)的最優(yōu)布站方式或航跡規(guī)劃是國內外學者的研究熱點之一。多站布站優(yōu)化問題主要集中于只測角定位[1～6]和時差定位[7～11]體制下的布站優(yōu)化,而且研究對象多是針對固定觀測站。文獻[1～3]研究了雙站測向交叉定位系統(tǒng)中的最優(yōu)交會角問題,推導了最小圓概率誤差或最小模糊區(qū)面積準則下的必要條件,具有一定的工程指導意義；文獻[4～6]在多站只測角定位體制下以最大化Fisher信息陣(Fisher Information Matrix, FIM)的行列式為準則,給出了FIM行列式的幾種等價形式以及最優(yōu)布站的一般性條件。對于時差定位系統(tǒng),在測量誤差等其他條件保持不變的情況下,布站形式直接決定了多站時差定位的精度。文獻[7～9]以幾何精度因子(Geometric Dilution of Precision, GDOP)作為定位精度指標,通過仿真的方法研究了幾種布站形式對定位精度的影響,并定性給出了最優(yōu)布站原則；文獻[6, 11]推導了多站到達時間(Time of Arrival, TOA)定位的FIM及其行列式,文獻[10]推導了多站時差定位的FIM及其行列式,它們均以FIM行列式最大為準則,采用解析法得出了相同的最優(yōu)布站條件。

盡管文獻[1～3,6,10,11]給出了最優(yōu)布站的解析解,但卻不能直接應用于多機編隊無源定位系統(tǒng)的動態(tài)布站中,這主要是因為載機平臺之間的通信距離通常遠小于目標與飛行編隊的距離,從而很難滿足上述文獻中給出的最優(yōu)布站條件。文獻[12]提出一種只測角無源定位跟蹤系統(tǒng)最優(yōu)機動方法,并以方位角變化率最大為準則從理論上給出并證明了最優(yōu)軌跡方程；文獻[13]根據(jù)最大化FIM行列式準則,以解析法給出了只測角無源定位跟蹤系統(tǒng)的機動控制策略和最優(yōu)軌線方程,并說明了最大方位角變化率準則和最大FIM行列式準則的工程運用。文獻[14]總結了現(xiàn)有的航跡規(guī)劃的方法,以FIM行列式最大為準則,通過引入機動約束和威脅約束條件,將多架無人機(Unmanned Aerial Vehicle, UAV)航跡規(guī)劃問題轉化為非線性約束規(guī)劃問題,但文獻給出的各觀測平臺最優(yōu)軌跡各異與實際中的多機編隊飛行情況不符。

本文研究場景為多機編隊飛行對遠距離固定目標進行時差定位,不僅給出在一段時間內飛行編隊的最優(yōu)布站形式,還要給出編隊的最佳機動策略。為簡化問題,本文暫不考慮機動限制和存在威脅源的情況。

2 動態(tài)布站算法

2.1 FIM行列式最大化指標

最優(yōu)布站和航跡規(guī)劃中常用的指標主要有表征定位精度的幾何精度因子(GDOP)[7～9]、克拉美勞下限(Cramer-Rao Low Bound,CRLB)的跡[15]以及與定位模糊區(qū)體積成反比的FIM行列式[4～6,10,11,13,14]。GDOP通常根據(jù)一個時刻的觀測信息進行計算,可以用作靜態(tài)布站的指標,對于運動中的飛行編隊并不適合。CRLB是無偏估計的理論下限并與采用的估計算法無關,以其作為指標具有更小的位置誤差,并且可以采用位置誤差和速度誤差的加權值作為指標[15]。由于CRLB為FIM的逆陣,與計算CRLB的跡相比,FIM行列式的計算和分析更加簡單方便[5,14],并且將FIM行列式最大作為指標與CRLB的跡最小基本等價。因此本文采用FIM行列式最大作為動態(tài)布站的性能指標。

設1架長機與M-1架僚機編隊飛行,在二維平面內考察時差定位(定義不再贅述,見文獻[6])的FIM行列式指標。為簡化問題,假設各載機的到達時間測量誤差為獨立的具有相同方差的零均值高斯白噪聲,對應的時差(或距離差)測量誤差協(xié)方差如式(1)所示[6,10,11]:

(1)

式中,σr=cσt,c為電磁波傳播速度,設為3×105km/s,σt為到達時間測量誤差。

FIM可由式(2)給出[4～6]:

(2)

式中,F為2×2的FIM,Φ為非線性測量方程,X=[x,y]T為目標位置,RΦ為測量誤差協(xié)方差陣。

可以根據(jù)式(2)推導出多機時差定位系統(tǒng)在k時刻的FIM,如式(3)～式(6)所示:

(3)

式中,

(4)

(5)

(6)

注意到式(3)是只進行一次測量的FIM,在白噪聲的假設下,N次測量的FIM可以寫作式(7)求和的形式:

(7)

多機時差定位系統(tǒng)的動態(tài)布站性能指標如式(8)所示:

(8)

式中取自然對數(shù)是因為FIM行列式數(shù)量級較大,表示比較多有不便,而且行列式取對數(shù)并不影響其特點,文獻[14]也稱之為D-優(yōu)化準則。

2.2 動態(tài)布站的非線性規(guī)劃

如前所述,文獻[1～3,6,10,11]給出了FIM即其行列式在一次測量時的具體表達式,并通過解析的方法求出了FIM行列式最大時滿足的必要條件,而根據(jù)本文的研究背景,飛行編隊經過一段時間多次測量的FIM行列式難以以解析的形式表達,而且需要優(yōu)化的參數(shù)不再關注于觀測站相對于目標的位置參數(shù),而是各僚機相對于長機的布站參數(shù)以及編隊的飛行方向,因此文獻方法不再適用。文獻[14]將多架UAV的航跡規(guī)劃問題轉化為決定UAV當前時刻機動方向的非線性約束規(guī)劃問題,這為解決飛行編隊的動態(tài)布站問題提供了解決思路,因此解決多機編隊動態(tài)布站問題的關鍵便是如何將其轉化為非線性規(guī)劃問題。

以初始時刻長機位置為坐標原點O,以長機指向目標為x軸,目標建立如圖1所示的二維直角坐標系。為簡化問題,本文假設飛行編隊在一段時間內以速度v0勻速直線飛行,且各僚機與長機的相對位置關系在此期間內保持不變。因此在二維平面內,對于M架飛機組成的飛行編隊的動態(tài)布站問題便可以轉化為對一個飛行方向φ、M-1個僚機相對于長機的布站分布角θi以及M-1個僚機相對于長機的距離di的優(yōu)化問題,各參數(shù)的幾何意義由圖1給出。

圖1 飛行編隊與目標的幾何關系圖

不考慮載機運動噪聲和載機位置誤差的影響,若給定長機的初始位置和編隊動態(tài)布站的各個參數(shù),則任意時刻各載機的位置均可以確定,如式(9)和式(10)所示:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

根據(jù)圖1所示,編隊飛行方向角φ的取值范圍為-π≤φ<π；僚機相對于長機的布站分布角θ取值范圍為0≤θi≤θj<2π,其中i

綜合以上,飛行編隊動態(tài)布站的非線性規(guī)劃問題為

(14)

若設定di=dmax,式(14)中僅考慮φ和θ的界定,從而式(14)可以進一步簡化為

3 動態(tài)布站的仿真研究

在二維空間內對目標進行時差定位至少需要三架飛機。圖2為不同飛行方向條件下FIM行列式仿真圖,圖3為不同僚機布站角度情況下FIM行列式仿真圖。由圖可以看到FIM行列式對參數(shù)比較敏感,當某個參數(shù)變化時,FIM行列式改變比較大；FIM行列式存在多個極大值點,且在極大值附近比較平坦平滑,因此實際動態(tài)布站時若布站誤差控制得較小,布站誤差對于布站效果的影響也比較小。

圖2 不同飛行方向條件下FIM行列式仿真圖

FIM行列式多極值的特點意味著一般非線性規(guī)劃方法(如罰函數(shù)法、梯度法等)的結果受初始值的影響比較大,因此必須尋找能夠找到全局最優(yōu)解得優(yōu)化算法。文獻[16]采用基于多起始框架(Multistart Framwork)下的分散搜索(Scatter Search)方法來尋找非凸非線性規(guī)劃問題的全局最優(yōu)解,這為解決動態(tài)布站問題提供了必備數(shù)學工具。

本文采用分散搜索法對式(15)進行求解,可以獲得多個FIM行列式的極大值及對應的局部最優(yōu)解,經觀察發(fā)現(xiàn)所求得的FIM行列式的值基本可以分為兩類,一類非常接近全局最大值,另一類則與最大值有較大差距。因此可以首先通過設置門限或聚類的方法對求得的諸多FIM行列式極大值選出較大的一類,然后在這類結果中合并相同的結果便可以得到動態(tài)布站問題的最優(yōu)解和滿意的次優(yōu)解。本文之所以還要給出次優(yōu)解的原因在于,次優(yōu)解的行列式指標與最優(yōu)解相比非常相近,但動態(tài)布站的各項參數(shù)卻有著較大的差別,因此完全可以作為一種備選方案以利于飛行編隊的實際應用。表1給出二維平面內三機動態(tài)布站的最優(yōu)解及次優(yōu)解。

圖3 不同僚機布站角度情況下FIM行列式仿真圖

仔細觀察表1中計算結果可以看到,在前文所述的仿真背景下,采用編隊最佳飛行方向在±78°,各僚機大致分布于長機飛行方向的前后兩側,這與陸基時差定位系統(tǒng)的常用的星形布站、倒三角形布站、菱形布站等[7～8]完全不同,體現(xiàn)了適于飛行編隊布站的新特點；此外,編隊的最優(yōu)飛行軌跡有兩條,且關于長機飛行方向即x軸對稱。

表1 三機動態(tài)布站解

4 動態(tài)布站問題的進一步探討與仿真

根據(jù)式(15)可以得到一段時間內飛行編隊的最佳飛行方向和布站形式,但依然存在兩個問題需要進一步探討。首先,如表1結論,編隊的最佳飛行方向受初始值的影響必然有兩條,并且關于x軸對稱,相應的布站幾何關系也必然關于x軸對稱。編隊飛行一段時間之后,按照式(8)FIM行列式最大化指標重新優(yōu)化飛行方向和布站形式時也必將有兩條路徑可以選擇,如圖4所示,則應該選擇軌跡O1→O2→O31還是O1→O2→O32？

圖4 編隊飛行軌跡示意圖

其次,在已有的航跡規(guī)劃中,通常是根據(jù)當前時刻的觀測站與目標的距離、速度等信息來決定下一時刻觀測站的最佳機動方案[12～14]。在本文背景下,問題被簡化為一段時間內飛行編隊保持勻速直線飛行,那么應該多長時間進行一次飛行方向和隊形的重新調整,以利于提高目標定位跟蹤效果？

針對第一個問題,文獻[13]在單站最優(yōu)機動軌跡優(yōu)化中也出現(xiàn)兩條最優(yōu)軌跡的選擇問題,并通過解析論證的方式給出了相鄰兩個采樣時刻如何選擇最優(yōu)軌跡,即始終保持觀測平臺的舷角不變[13]。然而本文難以給出多次測量的FIM行列式的解析式并進行分析論證,只能通過仿真的方法來驗證類似的結論,即軌跡O1→O2→O31應優(yōu)于O1→O2→O32。以二維空間中三機編隊為例,其他仿真條件同第2節(jié),以O3處的FIM行列式為指標,仿真結果如表2所示。通過表2中的數(shù)據(jù)即可以驗證,始終保持目標在編隊飛行方向的一側有利于提高定位的精度,同時這也利于編隊的飛行控制,降低飛機的機動性要求。

表2 最優(yōu)飛行軌跡對比

第二個問題是關于如何選取編隊重新布站的時間間隔。重新布站的時間間隔太短,則失去編隊飛行的意義；間隔太長,減少了飛行編隊的機動次數(shù),但可能對定位精度的提高有所影響。下面以仿真的方法對重新布站的時間間隔進行研究,以二維空間中三機編隊為例,仿真條件同第2節(jié),采取不同的重新布站時間間隔時各飛機航跡如圖5所示。

圖5分別給出了重新布站時間間隔為30s、60s、240s和600s時的編隊飛行航跡,并給出了若干時間點編隊的具體布站形式。由圖中可以看到,飛行航跡基本以螺旋形逼近目標,但采用不同的重新布站時間間隔時的飛行航跡也有著較大的差異。表3給出了測量總時間一定,采取不同重新布站時間間隔時FIM行列式、定位誤差下限和主站與目標的相對距離的對比。

通過表3中的數(shù)據(jù)比對可以看到,在總的測量時間一定時,采用不同的布站時間間隔對于定位精度的影響比較小,距離定位精度差別在米級,主要差別在于編隊與目標的相對距離。當間隔30s或600s重新布站時,飛行編隊能夠較快地接近目標,目標的定位精度也比較高,可以為有源雷達提供引導；當間隔120s～180s重新布站時,飛行編隊能夠較為緩慢地接近目標,目標的相對定位精度比較高,有利于保持無源偵察優(yōu)勢。因此實際飛行時具體采用多長時間進行重新布站,可以根據(jù)戰(zhàn)術目的進行合理選擇。

表3 不同布站時間間隔指標對比

圖5 不同重新布站時間間隔的編隊航跡

可以注意到,之前所有的討論均基于假設目標位置確切已知,從理論上研究最優(yōu)航跡和布站形式。當目標位置未知或只獲得其估計值,可以將估計值代入式(7)、式(8)中來計算行列式指標,并求解最優(yōu)布站形式和飛行方向,然后測量進一步提高目標定位精度并用于下一次編隊的布站隊形和飛行方向調整。這種思想簡單實用,下面通過仿真來驗證這種邊規(guī)劃邊定位的算法有效性。以二維空間中三機編隊為例,重新布站的時間間隔120s,其他條件同第2節(jié)；始終保持勻速直線飛行的三架飛機作為對比,飛行方向偏離目標45°；采用UKF算法對目標進行定位,給定目標初始位置估計值為(280km,20km),仿真結果如圖6所示。

圖6 邊規(guī)劃邊定位效果仿真

由圖6可以看到,邊規(guī)劃邊定位算法的定位精度非常接近理想航跡規(guī)劃的CRLB,并且與不經規(guī)劃的定位精度相比具有明顯的提高。這說明飛行編隊進行動態(tài)布站能夠更好地發(fā)揮編隊優(yōu)勢提高定位精度,而且采用邊規(guī)劃邊定位的方式對于定位精度的影響非常小,因此具有很好的工程實用價值。

5 結語

本文研究了多機編隊飛行的動態(tài)布站優(yōu)化問題,以FIM行列式最大值為指標,通過非線性規(guī)劃的方法對一段時間內編隊應采取的最優(yōu)布站形式和飛行方向進行優(yōu)化,得到了一些有價值的結論,并給出了一種實用的邊規(guī)劃邊定位的算法。此外,本文還對飛行編隊動態(tài)布站的相關問題進行了探討,并給出了編隊的最優(yōu)航跡。通過仿真表明,本文所提的動態(tài)布站算法以及邊規(guī)劃邊定位算法是有效的,具有較高的工程實用價值。

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Dynamic Deployment Optimization of Multi-flight Formation Based on TDOA

QU Changwen1WANG Changhai2FENG Qi1ZHOU Qiang1

(1. Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001)(2. No. 92543 Troops of PLA, Changzhi 046000)

The deployment of multiple sensors has a direct effect on the multi-sensor passive location, and a proper trajectory of a moving observer can evidently improve its passive location accuracy. Dynamic deployment of multi-flight formation can boil down to deployment of multiple sensors and optimization of flight heading. It can be translated into nonlinear programming by the determinant of Fisher information matrix criterion, with scatter search method applied to find the global optimal solution. What’s more, how to choose the optimal trajectory of the formation and how long to re-deploy the formation are discussed and some valuable conclusions are drew. Simulation results show that the optimization algorithm of dynamic deployment proposed in this paper visibly improves the accuracy of multi-flight formation passive location, making it meaningful in the engineering.

passive radar, dynamic deployment, nonlinear programming, multi-flight formation, global optimal solution

TN958.97

2016年9月11日,

2016年10月21日

曲長文,男,教授,博士生導師,研究方向:無源定位與跟蹤技術、合成孔徑雷達成像、目標檢測與識別。王昌海,男,碩士,研究方向:無源定位與跟蹤技術。馮奇,男,博士研究生,研究方向:無源定位與跟蹤技術。周強,男,博士,研究方向:合成孔徑雷達成像、目標檢測與識別。

TN958.97

10.3969/j.issn.1672-9730.2017.03.010