王廣欣,鄧佳,王朋,李林杰

(1.大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028；2.中國中車齊齊哈爾軌道交通裝備有限責任公司，黑龍江 齊齊哈爾 161002) *

章動面齒輪傳動的嚙合原理與動態(tài)仿真

王廣欣1,鄧佳1,王朋1,李林杰2

(1.大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028；2.中國中車齊齊哈爾軌道交通裝備有限責任公司，黑龍江 齊齊哈爾 161002)*

根據(jù)嚙合原理推導內(nèi)切面齒輪的齒面方程、嚙合方程和界限條件，以及內(nèi)切面齒輪與外切面齒輪嚙合的共軛條件，構(gòu)成共軛嚙合的“面-面”齒輪副，結(jié)合章動原理提出新型章動面齒輪傳動.根據(jù)推導的面齒輪齒面方程，利用Pro/E軟件構(gòu)建章動面齒輪傳動的三維模型，并采用ADAMS軟件對其進行動態(tài)嚙合力仿真，分析了新型章動面齒輪副動態(tài)嚙合力的變化規(guī)律，為傳動裝置的優(yōu)化設計及動力學分析提供了參考依據(jù).

章動傳動；齒輪；仿真

0 引言

面齒輪傳動是一種圓錐齒輪(面齒輪)與直齒圓柱齒輪相嚙合的傳動[1-3]，具有重合度大，振動小，噪聲低的優(yōu)點，在高速、重載的情況下有很好的應用.章動齒輪傳動是一種將章動原理應用于齒輪傳動的新型傳動[4-6]，具有傳動平穩(wěn)、結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強和效率高等優(yōu)點，可應用于冶金、礦山和石油化工等各類機械中.章動面齒輪傳動綜合了章動齒輪傳動和面齒輪傳動的優(yōu)點[7]，在直升機、盾構(gòu)機等大功率領(lǐng)域具有良好的應用前景.

為實現(xiàn)章動面齒輪傳動中“面-面”齒輪副的共軛嚙合，本文結(jié)合面齒輪的加工原理給出“內(nèi)切”面齒輪齒面形成條件并研究了“內(nèi)切”面齒輪的齒面形成.由于齒輪傳動中輪齒的嚙合沖擊往往是導致齒輪傳動振動、噪音和點蝕破壞的主要原因[8-9]，獲取章動面齒輪傳動中輪齒接觸力的變化規(guī)律具有重要的意義.因此，進行傳動的動態(tài)受載研究.

1 結(jié)構(gòu)原理

章動面齒輪傳動的基本組成結(jié)構(gòu)主要包括輸入軸、固定面齒輪、行星面齒輪和轉(zhuǎn)動面齒輪，圖1是基本型章動面齒輪傳動的機構(gòu)簡圖.圖中，固定面齒輪與機架固連，輸入軸的軸線與行星面齒輪所在傾斜軸段處軸線的夾角為章動角β. 根據(jù)硬幣的章動現(xiàn)象可知，若將行星面齒輪左側(cè)輪齒看作硬幣，固定面齒輪看作桌面，則當輸入軸轉(zhuǎn)動一周時行星面齒輪左側(cè)輪齒會繞自身軸線轉(zhuǎn)過一個轉(zhuǎn)角；同理，若將行星面齒輪右側(cè)輪齒看作硬幣，轉(zhuǎn)動面齒輪看作桌面，則當輸入軸轉(zhuǎn)動一周時行星面齒輪右側(cè)輪齒也會繞自身軸線轉(zhuǎn)過一個轉(zhuǎn)角；由于行星面齒輪兩側(cè)輪齒是一個整體，故二者之間必然存在“轉(zhuǎn)角差”，當行星面齒輪與轉(zhuǎn)動面齒輪嚙合時，會將這個“轉(zhuǎn)角差”傳遞給轉(zhuǎn)動面齒輪，從而實現(xiàn)動減速運動.

圖1 章動面齒輪裝置結(jié)構(gòu)簡圖

根據(jù)章動傳動原理設計兩對共軛嚙合“面-面”齒輪副，得到章動面齒輪傳動裝置的結(jié)構(gòu)簡圖，如圖2所示.，這里對“面-面”齒輪副不作解釋，在下一節(jié)將作具體介紹.

圖2 章動面齒輪裝置結(jié)構(gòu)簡圖

由圖2可知，固定面齒輪上的z1個齒與行星面齒輪左側(cè)的z2個齒構(gòu)成“面-面”嚙合副，行星面齒輪右側(cè)的z3個齒與轉(zhuǎn)動面齒輪上的z4個齒構(gòu)成“面-面”嚙合副.當輸入軸以恒定角速度轉(zhuǎn)動時，帶動行星輪作章動運動，行星輪在兩側(cè)“面-面”齒輪副的作用下，將運動與轉(zhuǎn)矩傳遞給轉(zhuǎn)動面齒輪，從而實現(xiàn)減速傳動.

2 齒面形成

2.1 “內(nèi)切”面齒輪形成原理

傳統(tǒng)面齒輪傳動中，面齒輪的加工是通過刀具(漸開線直齒輪)直接外切得到的，可稱為“外切”面齒輪.根據(jù)齒輪嚙合原理可知，這樣直接得到的兩個面齒輪是無法共軛嚙合的.在章動齒輪傳動中，為保證共軛嚙合，形成章動面齒輪副，須采用與真實刀具結(jié)構(gòu)參數(shù)相同的假想刀具加工“內(nèi)切”面齒輪.如圖3所示，這時假想刀具的齒面外法矢方向與真實刀具的內(nèi)法矢方向相同，這樣得到的面齒輪就是內(nèi)切面齒輪.

圖3 假想刀具與內(nèi)切面齒輪的嚙合面

這樣由同一刀具加工得到的外切面齒輪與內(nèi)切面齒輪可共軛嚙合，即構(gòu)成“面-面”齒輪副. 這里，固定面齒輪和轉(zhuǎn)動面齒輪是外切面齒輪，行星輪兩側(cè)輪齒采用內(nèi)切面齒輪齒形，則固定面齒輪和轉(zhuǎn)動面齒輪各自與行星面齒輪兩側(cè)輪齒構(gòu)成“面-面”齒輪副.為了便于研究，把固定面齒輪定義為面齒輪1，行星輪在固定面齒輪側(cè)和轉(zhuǎn)動面齒輪側(cè)分別定義為面齒輪2和面齒輪3，轉(zhuǎn)動面齒輪定義為面齒輪4.

如圖4所示，β1和β2分別為面齒輪1和面齒輪2的節(jié)錐角，γs為刀具的節(jié)錐角，γ1為面齒輪1和刀具的軸間角，γ2為面齒輪2和假想刀具的軸間角，面齒輪1與面齒輪2共軛嚙合時其節(jié)錐和節(jié)錐頂點重合.

圖4 刀具與面齒輪嚙合示意圖

為保證刀具與面齒輪1外切，而假想刀具與面齒輪2內(nèi)切，其軸間角和節(jié)錐角需滿足下列條件[10]：

(1)

給定面齒輪和假想刀具的齒數(shù)以及章動角，根據(jù)式(2)，即可求出β1、β2、γs、γ1和γ2.

(2)

結(jié)合仿真算例，給定面齒輪和假想刀具的基本參數(shù)，如表1和表2所示.

表1 面齒輪的基本參數(shù)

表2 假想刀具的基本參數(shù)

2.2 內(nèi)切面齒輪齒面方程和嚙合方程

根據(jù)空間嚙合原理[11]建立如圖5所示的空間坐標系，其中S20(O20,X20,Y20,Z20)是與內(nèi)切面齒輪相固連的固定坐標系，S0(O,X,Y,Z)是與假想刀具相固連的固定坐標系，S2(O2,X2,Y2,Z2)是與內(nèi)切面齒輪相固連的動坐標系，Ss(Os,Xs,Ys,Zs)是與假想刀具相固連的動坐標系.上述四個坐標系的坐標原點重合，且Z20軸與Z2軸重合，Z0軸與Zs軸重合，Zs軸與Z2軸之間的夾角為γ2，則γm2=180°-γ2，φ2角為內(nèi)切面齒輪的瞬時轉(zhuǎn)角，φs為假想刀具的瞬時自轉(zhuǎn)角，β為章動角.本文中坐標系遵循右手定則，取右手的螺旋方向為正方向.

圖5 各坐標系之間的關(guān)系

由坐標系Ss到坐標系S2的變換矩陣M2s為：

(3)

式中，b11=cosφ2cosφs+sinφ2cosγm2sinφs

b12=-cosφ2sinφs+sinφ2cosγm2cosφs

b13=-sinφ2sinγm2

b21=-sinφ2cosφs+cosφ2cosγm2sinφs

b22=sinφ2sinφs+cosφ2cosγm2cosφs

b23=-cosφ2sinγm2

b31=sinγm2sinφs

b32=sinγm2cosφs

b33=cosγm2

已知假想刀具的齒面方程rs(θs,us)為：

(4)

式中，rbs為假想刀具的基圓半徑，θs0為假想刀具輪齒對稱線到漸開線起始點的角度，θs為假想刀具漸開線上任一點的角度，us為假想刀具上任一點的軸向參數(shù)，xs、ys和zs分別是假想刀具上任一點在x軸、y軸和z軸上的坐標.

由式(3)和式(4)，整理可得內(nèi)切面齒輪的齒面方程r2(us,θs,φs)為：

(5)

式中，x2、y2和z2分別是內(nèi)切面齒輪上任一點在x軸、y軸和z軸上的坐標.

根據(jù)空間嚙合原理[11]，可推得假想刀具與內(nèi)切面齒輪的相對速度ν(s,2)〗為：

(6)

由此可推得假想刀具與內(nèi)切面齒輪的齒面嚙合方程為：

(7)

則假想刀具的軸向參數(shù)us可表示為：

(8)

2.3 內(nèi)切面齒輪界限條件

圖6 內(nèi)切面齒輪的限制尺寸

根據(jù)面齒輪不產(chǎn)生根切的條件[11]，有如下關(guān)系式:

(9)

將式(4)、(6)和(7)整理后代入式(9)，可得：

(10)

當內(nèi)切面齒輪的齒槽變尖時，由圖6可知，有如下關(guān)系式：

(11)

式中，rps是假想刀具的節(jié)圓半徑，ag是假想刀具的齒頂高.

表 3 內(nèi)切面齒輪的界限尺寸值

2.4 共軛條件

以面齒輪1和面齒輪2構(gòu)成的面-面齒輪副為例，由于面齒輪1和面齒輪2是由同一刀具分別外切、內(nèi)切形成，故刀具的軸向參數(shù)us需滿足：

(12)

(13)

根據(jù)刀具與面齒輪1、假想刀具與面齒輪2的嚙合方程，整理可得到共軛嚙合時，刀具展角參數(shù)θs的取值范圍為：

(14)

表4 刀具展角參數(shù)θs取值范圍

根據(jù)表3列出實例的界限尺寸值，即可得到刀具展角參數(shù)θs的取值范圍，具體如表4所示.

2.5 建立三維模型

根據(jù)表4中展角θs的取值范圍，由式(5)，即可求算例中面齒輪1和面齒輪2的齒面接觸線，如圖7(a)和7(b)所示.利用Pro/E軟件，即可構(gòu)建章動面齒輪傳動裝置的三維裝配模型簡圖，如圖7(c)所示.

(a) 面齒輪1三維模型

(b) 面齒輪2三維模型

(c) 章動面齒輪傳動副的裝配簡圖

3 仿真

3.1 仿真設置

以隧道掘進領(lǐng)域土壓平衡盾構(gòu)機主減速器作為應用目標，設計章動面齒輪傳動減速器.其基本參數(shù)如下：傳動比為52，功率為38kW，輸入轉(zhuǎn)速為n1=294.84r/m(1769.04°/s)[12].材料的具體屬性見表5.

表5 主要零件的材料和材料屬性

假設各零件都為剛體，將建立好的三維模型導入ADAMS中，設置零件的材料屬性，并定義如下約束、驅(qū)動和載荷[13]：

(1)在固定面齒輪與地面之間建立固定副1；

(2)在輸入軸與地面之間建立旋轉(zhuǎn)副2；

(3)在轉(zhuǎn)動面齒輪與地面之間建立旋轉(zhuǎn)副3；

(4)在行星面齒輪和輸入軸之間建立旋轉(zhuǎn)副4；

(5)在固定面齒輪和行星面齒輪之間施加接觸；

(6)在轉(zhuǎn)動面齒輪和行星面齒輪之間施加接觸；

(7)在旋轉(zhuǎn)副2上添加驅(qū)動，輸入角速度為1769.04°/s；

(8)在轉(zhuǎn)動面齒輪上施加負載扭矩，負載扭矩為60 803.4 N/m.

將上述設置完成后，可得到章動面齒輪傳動的虛擬樣機模型.

3.2 仿真設置

章動面齒輪傳動在傳動過程中，面齒輪與面齒輪之間的接觸力包括碰撞力和摩擦力，其中碰撞力在ADAMS中定義為[14]：

F_impact=

(15)

式中，STEP為階躍函數(shù)，q0為兩物體間初始距離，q為物體碰撞過程中的實際距離，q0-q為碰撞過程中的變形量，K為剛度系數(shù)，C為阻尼系數(shù)，e為碰撞指數(shù)項，d為滲透深度.而摩擦力定義為庫倫摩擦力，主要參數(shù)有[15]：靜滑移速度νs、動滑移速度νd、動摩擦系數(shù)μd和靜摩擦系數(shù)μs，這些參數(shù)由經(jīng)驗值確定，如表6所示.

表6 接觸力參數(shù)經(jīng)驗值表

3.3 仿真結(jié)果

將仿真步數(shù)設為1 000，仿真時間設為10 s進行仿真，可得理想情況下固定面齒輪和轉(zhuǎn)動面齒輪的動態(tài)受力曲線，如圖8所示.

(a) 固定面齒輪

(b) 轉(zhuǎn)動面齒輪

將圖8(a)和8(b)中運動平穩(wěn)后的曲線截取放大，可得到圖9(a)和9(b) .

將圖8(a)和8(b)中的曲線進行FFT變換，即可得到固定面齒輪和轉(zhuǎn)動面齒輪動態(tài)受力的頻譜曲線，如圖10(a)和10(b)所示.

從圖8(a)和9(a)中可以看出，對于固定面齒輪，剛開始嚙合時，由于面齒輪與面齒輪間存在間隙，且假定面齒輪與面齒輪之間是剛體接觸，所以嚙合時其齒面接觸力存在波動；隨著嚙合的進行，間隙消除，所以運動趨于平穩(wěn)，波動明顯減?。粡钠椒€(wěn)后的局部放大圖可知，其平穩(wěn)時的接觸力變化具有周期性，變化周期大約為0.7s，波動幅度為0～8 572.5 N.

(a) 固定面齒輪

(b) 轉(zhuǎn)動面齒輪

(a) 固定面齒輪

(b) 轉(zhuǎn)動面齒輪

從圖8(b)和9(b)中可以看出，對于轉(zhuǎn)動面齒輪，剛開始嚙合時，其接觸力同樣存在的波動，且波動比固定面齒輪大，這是由于轉(zhuǎn)動面齒輪與行星輪間的碰撞力較大；運動平穩(wěn)后，波動明顯減??；從平穩(wěn)后的局部放大圖可知，其平穩(wěn)時的接觸力變化也具有周期性，變化周期與固定面齒輪接觸力變化周期相同，波動幅度為0～17 600 N；與固定面齒輪相比，其受力周期性更強.

從圖10(a)和10(b)中可以看出，固定面齒輪沒有幅值突出的譜線，而轉(zhuǎn)動面齒輪有2條幅值突出的譜線：一條是頻率為50 Hz，它對應行星輪與轉(zhuǎn)動面齒輪的嚙合頻率；另一條是頻率為150 Hz，它對應行星面齒輪與轉(zhuǎn)動面齒輪的3倍嚙合頻率.

4 結(jié)論

(1)本文將章動原理與面齒輪齒形結(jié)合，提出了章動面齒輪傳動.根據(jù)齒輪嚙合原理，推導出外切面齒輪與內(nèi)切面齒輪構(gòu)成“面-面”齒輪副的共軛嚙合條件;

(2)根據(jù)推導的齒面構(gòu)建章動面齒輪三維模型，應用ADAMS軟件對章動面齒輪傳動副的動態(tài)受力進行仿真.分析可知，齒輪副嚙合過程中接觸力的波動具有一定的周期性.行星輪和轉(zhuǎn)動面齒輪之間接觸力的波動更劇烈些，故失效更容易發(fā)生行星輪和轉(zhuǎn)動面齒輪之間；章動面齒輪傳動的嚙合頻率取決于轉(zhuǎn)動面齒輪和行星面齒輪之間的嚙合頻率，與固定面齒輪和行星面齒輪之間的嚙合頻率關(guān)系不大.

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Meshing Principle and Dynamic Simulation of Nutation Drive with Face-Gar

WANG Guangxin1, DENG Jia1, WANG Peng1, LI Linjie2

(1.School of Mechanical Engineering, Dalian Jiaotong University, Dalian 116028, China; 2.CRRC Qiqihar Railway Rolling Stock Co., Ltd, Qiqihar 161002, China)

According to the tooth surface equation, the meshing equation and boundary condition of internal face-gear and combining the conjugate meshing condition of external face-gear and internal face-gear, the internal face-gear and the external one may constitute “surface-surface” gear pair under the conjugate meshing, and a new nutation drives with face-gear was proposed based on the nutation principle. The establishment of the 3D model of nutation drives with face-gear using PRO/E software is introduced based on tooth surface equation of face-gear, and the meshing force simulation is executed by ADAMS software. The change rule of dynamic meshing force of the new type of nutation drives pairs with face-gear are analyzed. The results provide referential basis for the optimization design and dynamics analysis of the transmission device.

nutation drive; gear; simulation

1673- 9590(2017)02- 0048- 07

2016-04-01 基金項目：國家自然科學基金資助項目(50905021,51375063)；大連市高層次人才創(chuàng)新支持計劃資助項目(2015R072)

王廣欣(1979-)，男，副教授，博士，主要從事新型傳動、運動與康復器械、機械動力學的研究 E- mail:wgx@djtu.edu.cn.

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