楊超亞, 汪 權, 王建國

(合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥 230009)

地震作用下高層結構重疊分散H∞控制魯棒性研究

楊超亞, 汪 權, 王建國

(合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥 230009)

文章針對地震作用下高層建筑結構振動控制的魯棒性問題,將集中H∞控制理論與多重疊分散控制理論相結合導出重疊分散H∞控制算法；采用該算法將20層鋼結構Benchmark結構模型分別劃分為2、4、8個子結構進行數值計算與分析,比較當結構剛度變化+15%和-15%時的控制效果。結果表明,當結構剛度在一定范圍變化時,重疊分散H∞控制算法可以有效地抑制結構地震反應,控制效果不僅接近傳統(tǒng)的集中控制方法,而且提高了高層結構大系統(tǒng)分散控制的魯棒性。該算法可應用于大尺度高層結構振動控制中,實現高層建筑結構地震反應的可靠控制。

高層建筑;地震作用;重疊分散控制;魯棒性

0 引 言

魯棒性的概念于20世紀60年代被提出,目前在系統(tǒng)控制等領域得到廣泛應用。魯棒性指系統(tǒng)在內部不確定性因素影響和外部環(huán)境干擾下仍能保持穩(wěn)定工作的能力。在實際的建筑結構振動控制中,建筑結構的模型參數(例如結構的阻尼和剛度)難以用數學模型來精確描述,結構的不確定性會導致系統(tǒng)控制的不穩(wěn)定和控制性能惡化,因此,研究對結構參數和外部擾動具有較好魯棒性、調節(jié)簡單的控制算法是土木工程結構振動控制研究的一個重要方向[1]。

文獻[2]考慮一維地震動作用和結構參數不確定性的影響,提出了一種基于線性矩陣不等式(linear matrix inequalities,LMI)的魯棒H∞控制方法;文獻[3]對變化的非線性系統(tǒng)的魯棒無源性、反饋無源化和總體的魯棒穩(wěn)定性提出了新的控制方法;文獻[4]研究了考慮建筑結構動力特性具有不確定性的多目標魯棒H2/H∞控制問題;文獻[5]通過設置特殊矩陣的方式,提出了一種基于建筑物相鄰4層信號的魯棒分散控制方法;文獻[6]針對地震作用下的結構,采用包含原理設計了重疊(多重疊)控制器,對某5層框架結構進行了數值模擬。上述研究成果在魯棒性和分散控制上有所貢獻,但是未將控制算法應用于高層結構。文獻[7]將模糊邏輯理論與遺傳算法原理相結合提出分散遺傳-模糊控制算法；文獻[8-9]對重疊分散控制做了進一步研究,并對20層框架結構進行了數值模擬,都取得了滿意的振動控制效果；文獻[7-9]雖然將控制算法應用于高層結構,但是未考慮建筑結構模型參數的不確定性。

本文從結構振動控制魯棒性出發(fā),基于H∞理論與多重疊分散理論相結合導出重疊分散的H∞魯棒控制方法,并對20層Benchmark建筑結構模型進行數值模擬與分析,將結構分別劃分為2、4、8個子結構,比較當結構剛度變化+15%和-15%時的控制效果。

1 基本理論

1.1 分散控制系統(tǒng)模型

考慮線性連續(xù)時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型S,即

(1)

其中,x、u、y分別為系統(tǒng)S的狀態(tài)向量、輸入向量和輸出向量,x∈Rn,u∈Rm,y∈Rl。

(2)

(3)

1.2 H∞控制算法

考慮一類線性時不變系統(tǒng)S的方程為：

(4)

其中,x(t)為狀態(tài)向量,x(t)∈Rn;u(t)為控制力輸出向量,u(t)∈Rp;w(t)為干擾輸入向量;y(t)為觀測輸出向量,y(t)∈Rq;z(t)為控制輸出向量,z(t)∈Rn；A、B、E、Cy、Cz、Dz為已知的、真實連續(xù)合適維數的矩陣。對于一個給定的輸出反饋控制率u(t)=Gy(t),G為增益矩陣,(4)式可轉化為:

(5)

從干擾w(t)到控制輸出z(t)的閉環(huán)轉換函數為:

(6)

其中，s為系統(tǒng)的零點。

(7)

定理1 考慮(4)式中的線性連續(xù)時間系統(tǒng)S,對于給定的γ>0,假定存在矩陣X>0及矩陣W,滿足線性矩陣不等式,輸出反饋控制器u(t)=Gy(t)使具有H∞有界范數γ的閉環(huán)系統(tǒng)(5)式是漸進穩(wěn)定的。線性矩陣不等式為：

(8)

其中,*代表對稱部分;X為對稱正定矩陣,X∈Rn×n;W=GCyX。

推論1 在定理1中,若γ>0使(8)式可解,則(9)式的最優(yōu)化問題是可行的。

(9)

1.3 靜態(tài)輸出的反饋控制方法

為了獲得(4)式所示系統(tǒng)S的輸出反饋控制器u(t)=Gy(t),有必要分離出增益矩陣G。

首先尋找一個滿秩的n×(n-q)維矩陣Qy,使得CyQy=0。求解(8)式的線性矩陣不等式,設

(10)

(11)

1.4 重疊分散靜態(tài)反饋H∞魯棒控制算法

(12)

其中,i=1,2,…,N;2≤N≤n-1。

(13)

(14)

1.5 重疊分散H∞控制器設計

其中,ζ為輸出矩陣系數。

圖1 子系統(tǒng)劃分工況

例如,將整個建筑結構振動控制系統(tǒng)擴展后解耦為4個子系統(tǒng),如圖2所示。

圖2 4個子系統(tǒng)的重疊分解

圖2中第5、10、15層的信息為2個子系統(tǒng)所共享。對4個子系統(tǒng)分別設計獨立的H∞控制器,由參數最優(yōu)化比較可得ζ=10-7.9時經濟性最好,限于篇幅,此處不贅述。

同理,可以得出2個子系統(tǒng)和8個子系統(tǒng)的情況。

2 算 例

本文將導出的重疊分散H∞控制方法應用于Benchmark控制問題,研究的對象是按照美國加州規(guī)范設計的鋼結構,模型平、立面圖參見文獻[1]。為了分析方便,采用靜力縮聚法對原有限元模型進行降階,縮聚結構模型的樓層質量和剛度參數參見文獻[10]。地震激勵選用El Centro(NS,1940)波,將其峰值調整為5 m/s2,持時30 s,采樣步長0.02 s。將結構劃分為2、4、8個子結構,依次記為OD2、OD4和OD8。本文采用Matlab進行數值仿真,計算各個工況下的地震響應,并與集中H∞控制算法[7]相比較。

為說明重疊分散H∞控制算法的魯棒穩(wěn)定性,考察當結構剛度變化時其控制效果。選取20層Benchmark模型作為“基準建筑物”,并考慮2個附加的建筑物:一個為剛度高于基準建筑15%的“+15%建筑”,將基準建筑的剛度矩陣乘以1.15的系數得到其剛度矩陣;另一個為剛度低于基準建筑15%的“-15%建筑”,同理可得其剛度矩陣。將重疊分散H∞控制算法應用于這些建筑,可得出在地震作用下,各工況下不同剛度的結構振動控制地震響應,如圖3～圖8所示。可以看出，各子結構劃分工況都可以有效地減小結構的地震響應,控制效果不僅接近傳統(tǒng)的集中H∞控制,而且提高了高層結構分散控制的可靠性。由(7)式得OD2、OD4和OD8的控制指標γG分別為4.42、4.18和4.24,因此劃分為4個子結構時為較優(yōu)劃分。

各控制算法結構位移和加速度反應峰值分別見表1、表2所列。從表1、表2可以得出,對于基準建筑,OD2的位移控制效果達77%～94%,加速度控制效果達28%～77%。對于ΔK=+0.15K建筑,位移控制效果達77%～93%,加速度控制效果達30%～74%;對于ΔK=-0.15K建筑,位移控制效果達78%～93%,加速度控制效果達28%～78%。同理,可以得出OD4、OD8在基準建筑、ΔK=+0.15K建筑、ΔK=-0.15K建筑下的位移和加速度控制效果。

上述數值模擬結果表明,當結構剛度變化+15%和-15%時,不同的子結構劃分工況控制效果都很接近,說明重疊分散H∞控制算法具有良好的魯棒性。

圖3 基準建筑最大層間位移 圖4 基準建筑最大加速度

圖5 ΔK=+0.15K時建筑最大層間位移 圖6 ΔK=-0.15K時建筑最大層間位移

圖7 ΔK=+0.15K時建筑最大加速度 圖8 ΔK=-0.15K時建筑最大加速度 表1 不同控制算法在第1、5、10、15、20層處結構位移反應峰值比較

cm

表2 不同控制算法在第1、5、10、15、20層處結構加速度反應峰值比較 m/s2

3 結 論

本文從高層建筑結構振動控制的魯棒性出發(fā),基于集中H∞控制理論與多重疊分散理論相結合導出重疊分散的H∞魯棒控制方法,并對20層Benchmark建筑結構模型進行數值模擬與分析,給出了3種子結構劃分工況的控制效果,與全狀態(tài)輸出H∞集中控制以及無控制情況相比較;結果表明本文方法可以作為抑制地震響應的有效方法。同時將提出的多重疊分散H∞控制算法,用于考慮結構剛度不確定性對結構魯棒控制影響,證明其具有良好的魯棒性,可以用于高層建筑的地震反應控制中。

[1] 歐進萍.結構振動控制:主動、半主動和智能控制[M].北京:科學出版社,2003:10-100.

[2] 李志軍,王社良.建筑結構基于LMI的魯棒非脆弱H∞控制[J].工程力學,2013,30(4):204-210.

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[4] 寧響亮,劉紅軍,譚平,等.基于LMI的結構振動多目標魯棒H2/H∞控制[J].振動工程學報,2010,23(2):167-172.

[5] 蔣揚,周星德,王玉,等.建筑結構魯棒分散控制方法研究[J].振動與沖擊,2012,31(6):37-41.

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[10] 王建國,汪權,張鳴祥.結構地震響應線性二次型最優(yōu)迭代學習控制[J].應用科學學報,2010,28(2):197-202.

(責任編輯 張淑艷)

Robustness research on overlapping decentralizedH∞control of tall buildings under earthquakes

YANG Chaoya, WANG Quan, WANG Jianguo

(School of Civil and Hydraulic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

In view of the robustness problem of vibration control of tall buildings under earthquakes, by combining the centralizedH∞control and multi-overlapping decentralized control strategies, an algorithm named overlapping decentralizedH∞control is derived. A typical 20-floor seismically excited Benchmark building is used for analyzing the performance of the control strategy. The building is divided respectively to two, four and eight substructures, and their control effects are compared when the structural stiffness increases 15% or decreases 15%. The results indicate that the overlapping decentralizedH∞control strategy can weaken the structural seismic response as effectively as the centralized control strategy. But the former is superior in guaranteeing the system’s robustness. When applied in vibration control, the strategy can achieve a reliable control of the seismic action on tall buildings.

tall building; seismic action; overlapping decentralized control(ODC); robustness

2015-12-10；

2016-01-19

國家自然科學基金資助項目(51408178);土木工程防災減災安徽省工程技術研究中心資助項目(教秘[2007]368號)

楊超亞(1992-),男,安徽岳西人,合肥工業(yè)大學碩士生; 王建國(1954-),男,安徽懷寧人,博士,合肥工業(yè)大學教授,博士生導師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.02.015

TU973.31

A

1003-5060(2017)02-0215-06