景慧麗，劉 華，趙偉舟

(火箭軍工程大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710025)

一個不定積分的計算方法探討

景慧麗，劉 華，趙偉舟

(火箭軍工程大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710025)

針對一道不定積分的題目進(jìn)行探討，提出8種計算方法，即可以利用湊微分法、分部積分法、三角代換、根式代換等方法進(jìn)行計算，有利于學(xué)員突破思維的局限性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維和綜合能力.

不定積分；湊微分法；分部積分法；根式代換

0 引言

不定積分是微積分學(xué)中最基本的概念之一，能正確地計算不定積分是學(xué)員學(xué)習(xí)微積分必須掌握的基本能力之一.計算不定積分常用的方法有基本公式法、湊微分法(也叫第一類換元積分法)、第二類換元積分法和分部積分法[1]194-208等，當(dāng)然每種方法都有自己的使用條件和適用范圍.而且有的題目可以用多種方法來計算，有時計算結(jié)果形式上也會不一樣，換句話說就是不定積分的計算比較開放，其實這種開放性對培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維很有幫助，因此，在教學(xué)中教員可以通過不定積分的計算來培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維.本文就一個不定積分題目的計算進(jìn)行探討，提出8種計算方法，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維.

1 利用湊微分法

2 利用分部積分法

注2 分部積分法是計算兩類函數(shù)乘積的不定積分的一種有效方法，遇到被積函數(shù)是兩類函數(shù)的乘積的不定積分時，首先對其中一個函數(shù)(或構(gòu)成這個函數(shù)的初等函數(shù))求導(dǎo)，如果該導(dǎo)數(shù)等于另一個函數(shù)的常數(shù)倍，就可以用湊微分計算該不定積分；如果該導(dǎo)數(shù)不等于另一個函數(shù)的常數(shù)倍，就用分部積分來計算.

注4 分部積分可以多次使用，需要注意的是每次使用所選u的類型必須一致.

3 三角代換法

注7 在應(yīng)用第二類換元積分法求解不定積分時一定要記著“回代”，即一定要把積分結(jié)果換成原來變量的函數(shù)[2]24-26.

4 根式代換法

5 先恒等變形再利用根式代換

6 先恒等變形再利用整體代換

7 先利用換元積分法再利用分部積分法

8 結(jié)語

由上述計算方法可以看出，對一道題目的解法往往有不同的思路，知識點之間表面上看是相互獨立的，實際上它們具有一定的聯(lián)系.另外，高等數(shù)學(xué)課程中很多題目都可以用多種思路和方法來求解，教員在應(yīng)用這類一題多解的題目組織教學(xué)時，必須以學(xué)員為本，鼓勵學(xué)員積極參與教學(xué)活動，鼓勵學(xué)員敢于標(biāo)新立異，勇于提出問題、開展交流和討論，這樣才有利于學(xué)員突破思維的局限性，培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維和綜合能力[3]24-26.

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上)[M].7版.北京：高等教育出版社,2007.

[2] 景慧麗.一道不定積分題的多種解法[J].玉溪師范學(xué)院學(xué)報，2016,32(04).

[3] 景慧麗，楊寶珍，劉 華，等.一個不等式的證明方法探討[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014,31(08).

[責(zé)任編輯 梧桐雨]

Research on Calculating Method for One Indefinite Integral

JING Huili, LIU Hua, ZHAO Weizhou

(SchoolofNaturalScience,theRocketForceUniversityofEngineering,Xi’an710025,China)

The papey discussed the subject for an indefinite integral and proposed eight kinds of calculation methods that can be used to scrape together differentiation, integration by parts, substitution triangle, radical substitution methods to help students break through the limitations of thinking and to cultivate students divergent thinking and comprehensive ability.

indefinite integral; improvising differential; integration by parts

2016-10-04

火箭軍工程大學(xué)2015年度教育教學(xué)立項課題“基于高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的軍校學(xué)員問題意識培養(yǎng)研究”(EPGC2015008)

景慧麗(1983- )，女，河南平頂山人，火箭軍工程大學(xué)理學(xué)院副教授，碩士，主要從事最優(yōu)化和大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究。

O172.2

A

1671-8127(2017)01-0082-03