吳振飛，宋開宏，吳先球

(安徽大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，安徽 合肥 230601)

任意兩非共軸平行圓線圈間互感系數(shù)的分析

吳振飛，宋開宏，吳先球

(安徽大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，安徽 合肥 230601)

基于圓環(huán)線圈的電磁感應(yīng)傳感器是常用的一種傳感器，其是通過互感的變化實(shí)現(xiàn)測(cè)量的一種裝置。文中針對(duì)非共軸圓環(huán)線圈系統(tǒng)，運(yùn)用紐曼積分公式和Grover公式，分析了任意兩非共軸圓形平行線圈間的互感隨兩線圈平面間的距離、兩線圈半徑及兩線圈軸間距離的變化規(guī)律，并由磁感線方程繪制出了其磁感線的分布圖，從而在物理上直觀驗(yàn)證了互感系數(shù)的大小。仿真結(jié)果驗(yàn)證了公式的正確性，并為電磁感應(yīng)傳感器的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了依據(jù)。

互感系數(shù)；非共軸圓形線圈； Grover公式；紐曼積分公式；磁感線

基于圓形線圈的電磁感應(yīng)傳感器是常用的一種傳感器[1]，這種電磁感應(yīng)傳感器在各種電磁感應(yīng)系統(tǒng)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，如金屬探測(cè)儀[2]、生物醫(yī)學(xué)植入傳感器[3]、感應(yīng)耦合非接觸能量傳輸系統(tǒng)[4-5]以及射頻識(shí)別[6]等領(lǐng)域。這種電磁感應(yīng)傳感器是通過互感的變化實(shí)現(xiàn)測(cè)量的一種裝置，通常由兩組線圈組成，分別稱為主線圈和子線圈，兩個(gè)線圈之間的互感將確定子線圈的感應(yīng)電流和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，互感系數(shù)不僅與線圈的幾何形狀、尺寸、匝數(shù)及周圍媒質(zhì)有關(guān)，且與線圈的相對(duì)位置有關(guān)[7]。人們對(duì)于共軸圓線圈的互感系數(shù)的分析與計(jì)算[8]以及磁感應(yīng)強(qiáng)度[9]的分布已作了大量的研究，其精確性能夠滿足實(shí)際工程設(shè)計(jì)要求。然而在實(shí)際問題中，電磁感應(yīng)傳感器的主線圈和子線圈通常不共軸，因此非共軸線圈情況下互感系數(shù)的計(jì)算與分析及周圍空間磁場(chǎng)強(qiáng)度分布[10]對(duì)感應(yīng)型電磁傳感器的設(shè)計(jì)和優(yōu)化尤其重要，其是確定電磁感應(yīng)傳感器有效性和靈敏度的主要因素。本文根據(jù)紐曼積分公式和Grover公式，討論了圓形線圈平面間的距離、圓形線圈半徑的大小、兩線圈軸之間的距離對(duì)互感系數(shù)的影響，并繪制出了非共軸線圈在水平偏移距離下的磁感線分布圖，這為感應(yīng)型電磁傳感器[11]的設(shè)計(jì)和優(yōu)化奠定了理論基礎(chǔ)。

1 紐曼積分公式

設(shè)有兩個(gè)單匝細(xì)導(dǎo)線回路，如圖1所示?；芈穕1中通有電流I1，則其在回路l2上任意一點(diǎn)p處產(chǎn)生的矢量磁位為A21，通有電流I1的回路l1在回路l2上產(chǎn)生的磁鏈ψ21為

(1)

圖1 橫向偏移具有平行軸兩圓環(huán)線圈結(jié)構(gòu)

根據(jù)定義，任意兩閉合線圈之間的互感[7]可表示為

(2)

式(2)即為紐曼積分公式，其中μ0=4π×10-1H/m為真空中的磁導(dǎo)率；R為源點(diǎn)Q與場(chǎng)點(diǎn)P之間的距離;RP、RS分別為主線圈和子線圈的半徑;d為兩個(gè)線圈軸之間的距離;c為兩線圈所在平面之間的距離。

2 非共軸圓線圈互感系數(shù)的Grover公式

Grover根據(jù)紐曼積分公式推導(dǎo)出任意位置下的互感計(jì)算公式[12]，稱為Grover公式。文獻(xiàn)[13]從矢量磁位出發(fā)得到的互感計(jì)算公式與Grover公式完全一致，表明Grover公式的正確性。任意兩非共軸圓形線圈之間互感系數(shù)的Grover公式為

(3)

式中

(4)

(5)

其中,k為模數(shù)，F(xiàn)(k)和E(k)分別為第一類和第二類完全橢圓積分[14 ]

(6)

3 非共軸線圈的場(chǎng)分布

對(duì)于圖1所示的任意非共軸圓線圈系統(tǒng)，在柱坐標(biāo)系中，由文獻(xiàn)[9]可知，系統(tǒng)的磁感線應(yīng)滿足方程

(7)

(8)

其中，

4 計(jì)算結(jié)果與討論

4.1Grover公式的正確性驗(yàn)證

以文獻(xiàn)[8]中的例子來驗(yàn)證Grover公式的正確性，主線圈的半徑RP=15.24cm，子線圈的半徑RS=15.24cm，兩線圈共面c=0cm，將計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 Grover公式與諾依曼公式的計(jì)算結(jié)果比較

由表1可知,Grover公式與諾依曼公式及參考文獻(xiàn)[8]的計(jì)算結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了Grover公式的正確性，但諾依曼公式為雙重積分，而Grover公式為單重積分，因此對(duì)于具有一定厚度和長(zhǎng)度的圓形線圈，Grover公式計(jì)算互感的效率更高。

4.2 幾何參數(shù)對(duì)互感系數(shù)的影響

為了研究線圈的尺寸和位置對(duì)互感系數(shù)的影響，對(duì)式(3)作無量綱化處理，令M0=2μ0/π，主線圈的半徑RP=1.0 m。研究?jī)删€圈的互感系數(shù)隨兩線圈平面距離d/RP=0.4的變化，圖2給出了兩線圈軸距RS/RP=0.5,1.0,1.5,2.0的情況下，兩線圈的半徑比 時(shí)互感系數(shù)的變化。由圖2可知，在偏移距離d一定時(shí)，兩線圈平面垂直距離越小，互感系數(shù)越大，并在兩線圈共面時(shí)達(dá)到最大值。

討論軸間距離對(duì)互感系數(shù)的影響，以RSRP=1.0為例，在c/RP=0.0,0.2,0.4,0.6時(shí)，互感系數(shù)隨軸間距離的變化如圖3所示。當(dāng)軸間距離較小時(shí)，互感為正；當(dāng)軸間距離超過某一值時(shí)，互感將變?yōu)樨?fù)號(hào)，因子線圈偏移一定距離后穿過子線圈的總磁通量的方向發(fā)生了變化；同時(shí)表明在偏移距離d一定時(shí)，互感系數(shù)的絕對(duì)大小隨兩線圈平面距離的增大而減小。

圖2 互感系數(shù)與垂直距離的關(guān)系

圖3 互感系數(shù)與偏移距離的關(guān)系

圖4 互感系數(shù)與線圈尺寸的關(guān)系

圖5 互感最大值位置與線圈尺寸的關(guān)系

再次討論線圈尺寸對(duì)互感系數(shù)的影響，圖4給出共面時(shí)互感隨線圈尺寸的變化關(guān)系，圖4表明，當(dāng)d/RP<1.0時(shí)，互感為正值，隨子線圈的尺寸增大而增大，達(dá)到最大值后，隨子線圈的增大而減??；當(dāng)d/RP<1.0時(shí)，互感隨子線圈的尺寸增大而增大到最大負(fù)值，然后隨子線圈尺寸增大而達(dá)到最大正值，最后隨子線圈的增大而減小。

為進(jìn)一步討論電磁感應(yīng)傳感器產(chǎn)生最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的位置，最后給出了互感最大值的偏移位置與線圈尺寸和線圈平面距離之間的關(guān)系，如圖5所示。當(dāng)RS/RP<1時(shí)，隨著RS/RP的增加，互感最大值的位置向d減小的方向移動(dòng)；當(dāng)RS=RP時(shí)，最大值位置在d=0處；當(dāng)RS/RP>1時(shí)，隨RS/RP的增加，互感最大值的位置向d增大的方向移動(dòng)，這為電磁感應(yīng)傳感器線圈尺寸的選擇以及空間位置的放置提供了理論依據(jù)。

4.3 非共軸線圈的場(chǎng)分布

為了更加形象的理解互感系數(shù)的大小，根據(jù)式(8)可繪制出磁感線分布圖。當(dāng)兩線圈中通以等大同向電流，當(dāng)RS/RP=1.0，d/RP=0.4時(shí)，由Matlab軟件[15]繪出c/RP=0.5和2.0時(shí)YOZ平面內(nèi)的磁感線分布，圖6(a)中的磁感線更為密集，表明圖6(a)的互感互感較大，這與圖2和圖3所說明的結(jié)論一致；當(dāng)RS/RP=1.0、c/RP=0時(shí)，圖6(c)和圖6(d)兩圖分別給出d/RP=0.4和0.8時(shí)的磁感應(yīng)線分布，比較圖6(c)與圖6(d)及圖6(c)圖的磁感線更為密集，表明圖6(c)的互感較大，這與圖3和圖4所說明的結(jié)論一致。

圖6 非共軸線圈的磁感線分布

5 結(jié)束語

本文根據(jù)Grover公式，討論了圓形線圈平面間的距離、圓形線圈的尺寸以及兩圓線圈軸之間的距離對(duì)互感系數(shù)大小的變化規(guī)律：當(dāng)偏移距離、線圈尺寸一定時(shí)，兩線圈的互感隨平面距離的增加而減??；當(dāng)兩線圈平面距離一定時(shí)，互感的絕對(duì)大小由偏移距離和線圈尺寸共同確定；互感的正負(fù)變化，說明了穿過子線圈總磁通量的方向發(fā)生了變化，互感的極值說明了總磁通量達(dá)到極值。最后根據(jù)磁感線方程繪制出了其磁感線在空間上的分布圖，從而在物理上直觀理解互感系數(shù)的大小，為電磁感應(yīng)傳感器的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了理論依據(jù)。

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Any of the Two Non Coaxial Circular Coils of Mutual Inductance Coefficient

WU Zhenfei，SONG Kaihong，WU Xianqiu

(School of Electronics and Information Engineering, Auhui University, Hefei 230601, China)

Electromagnetic induction sensor based on circular coils is a common one, which is an apparatus to measure by variety of the mutual inductance. The change law of the mutual inductance is discussed in detail by Neumann integral formula and Grover’s formula for any two non-coaxial circular coils, the numerical results show that the distance between plans of coils, the radius of the two coils and the distance between axes can lead to a varying mutual inductance. The magnetic induction line is drawn by the equation of the magnetic induction line to understand intuitively the size of mutual inductance in physics. Simulation results show the correctness of formulas and provide basis for design and optimization of the electromagnetic induction sensors.

mutual inductance; non-coaxial circular coils; Grover’s formula; Neumann integral formula; magnetic induction line

2016- 06- 10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51277001)；安徽大學(xué)科研訓(xùn)練計(jì)劃基金資助項(xiàng)目(kyxl2013031)

吳振飛(1993-)，男，碩士研究生。研究方向：電磁兼容與電磁耦合。宋開宏(1969-)，男，副教授，碩士生導(dǎo)師。研究方向：天線的分析與設(shè)計(jì)。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2017.01.018

TP212

A

1007-7820(2017)01-065-04