梁 校，郭傳社，柳 明

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

功能梯度壓電梁的非線性熱電耦合分析

梁 校，郭傳社，柳 明

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

針對功能梯度壓電材料(FGPMs)壓電單晶、雙晶致動器在機(jī)械-電-熱耦合下的靜態(tài)彎曲、自由振動等問題。通過Timshenko梁理論和哈密頓方程推導(dǎo)出其控制方程，并考慮了橫向剪切變形與軸向和旋轉(zhuǎn)慣性效應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，討論了幾何非線性對于壓電懸臂梁的影響。數(shù)據(jù)表明，在模型趨于細(xì)長梁時(l/h≥30)，梁的非線性項對于壓電梁壓電效應(yīng)的影響誤差最大可達(dá)到10%以上。

Timoshenko梁理論；功能梯度材料；制動器；幾何非線性

壓電材料由于具有良好的力電耦合特性而被廣泛應(yīng)用于諸多工程領(lǐng)域。為得到較大的驅(qū)動力，工程中目前使用的壓電元件多為多層結(jié)構(gòu)，如壓電雙晶片、Rainbow及壓電堆等。這種結(jié)構(gòu)，雖然獲得了較大的驅(qū)動力，但元件中某些材料成分和性質(zhì)的突然變化常常會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)局部的應(yīng)力失配，即在層間界面處存在明顯的應(yīng)力差，其后果就是粘結(jié)層在低溫易開裂、高溫易蠕變，進(jìn)而縮短了元件的壽命。為解決這一缺陷，1995年，Zhu和Meng[1-2]將FGM的概念引入到壓電材料中，成功制造出功能梯度壓電驅(qū)動器。功能梯度壓電材料就是將“壓電材料”與“功能梯度材料”相結(jié)合發(fā)展起來的一種新型材料，兼具壓電和梯度二者的優(yōu)點，利用其制作壓電元件可克服傳統(tǒng)壓電元件中服了純壓電材料在強(qiáng)度和脆性方面的缺陷。在壓電材料分析的理論研究上，陳偉球等人[3]采用狀態(tài)空間法，基于三維彈性理論，分析了橫觀各向同性壓電板在四邊簡支條件下的自由振動問題。Roundy 等人[4]基于單自由度力學(xué)模型，研究了壓電能量采集器的能量采集特性，并進(jìn)行了相關(guān)實驗驗證。Sodano等人[5]利用 Hamilton 原理和 Rayleigh-Ritz 方法研究了單自由度壓電梁模型，并進(jìn)行了實驗研究。Chen等人[6]根據(jù)Euler梁理論，獲得了功能梯度壓電梁的自由振動頻率。Lee[7]采用有限元法分析了功能梯度雙晶片在熱電耦合作用下的位移與應(yīng)力分布。假定壓電梁由壓電層、功能梯度壓電層與彈性層3層組成，Joshi等人[8]討論了溫度對壓電梁彎曲性能的影響。Adikary和Meng[9]對FGPM 驅(qū)動器的電阻特性進(jìn)行了研究。Qiu和Tani等[10]對高性能功能梯度壓電彎曲控制器的制備進(jìn)行了研究。Chen和Ma[11]采用電泳沉積制備了功能梯度雙晶壓電控制器。Takagi和Li[12]對PZT/Pt FGPM 驅(qū)動器的自備和性能評估進(jìn)行了實驗并發(fā)現(xiàn)在電場作用下，觀測到曲率呈弱非線性。本文從功能性壓電致動器的控制方程出發(fā)、討論了幾何非線性對于壓電制動器的影響。

1 Timoshenko梁的數(shù)學(xué)模型

考慮如圖1所示的由NL層功能梯度材料組成的壓電梁，其中，l,b,h分別為梁的長、寬和總厚度。建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系x-o-z，壓電梁受到分布載荷q(x,t)和電壓V(t)的作用，且假設(shè)溫度均勻變化量為ΔT。同時假設(shè)材料參數(shù)沿z軸均勻變化，并且與x軸無關(guān)。則第k層功能梯度壓電梁的材料參數(shù)可表示為

(1)

圖1 功能梯度壓電梁的模型圖

根據(jù)Timoshenko梁理論[13]，功能梯度壓電梁的位移模式可給定為

(2)

Wang和Quek[14]給定了壓電梁的電勢滿足

(3)

考慮幾何非線性的影響，則Timoshenko梁的幾何關(guān)系可表示為

(4)

其中，z方向位移w0表示初始的幾何缺陷，同時忽略x方向初始缺陷的影響。

同時采用d型壓電本構(gòu)關(guān)系，采用平面應(yīng)力假設(shè)，可得到功能梯度壓電Timoshenko梁的本構(gòu)關(guān)系為

(5)

其中，Q11,Q55為彈性剛度；α1是材料的熱膨脹系數(shù)；p3為熱電系數(shù)。同時由式(3)可得到Ex、Ez和E0，可分別表示為

(6)

采用Hamilton原理推導(dǎo)功能梯度壓電梁的動力學(xué)控制方程，由總能量的變分可得

(7)

其中，電焓的變分δH，動能的變分δH及由外力q(x,t)所做功的變分δR可分別表示為

(8)

(9)

(10)

(11)

其中,公式中的系數(shù)滿足

并由Timoshenko梁的物理意義可得到功能梯度壓電Timoshenko梁的軸力N(x)，剪力Q(x)和彎矩M(x)可表示為

(12)

(13)

(14)

同時由相應(yīng)的Hamilton原理可得到相應(yīng)的電學(xué)邊界條件為

(15)

給定初值條件為

(16)

因此，問題歸結(jié)為求滿足平衡微分方程方程式(11)，力學(xué)邊界條件和電學(xué)邊界條件式(15)和初值條件式(16)的解?？梢姷玫絾栴}的解析解較為困難。文中采用微分求積法來對功能梯度壓電層合梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解。

2 數(shù)值結(jié)果

2.1 計算模型及參數(shù)

如圖2所示，考慮幾種功能梯度層合梁。其中每層梁厚為hk=Zk-Zk-1。功能梯度壓電層(FGPM)選用PZT-4和PZT-5H作為兩種基本組分，極化方向如圖2所示。除了雙晶體壓材料的下層體分?jǐn)?shù)按照式(17)取值外，其他各層按照式(18)取值。用λk表示第k層的梯度指標(biāo)，為便于計算，假設(shè)每層的λk相同，并統(tǒng)一表示為λ

(17)

(18)

圖2 不同的FGPM驅(qū)動器構(gòu)型

本文引用各類材料的參數(shù)如下：

PVDF：E=2.0 GPa,G=0.8 GPa,V=0.29,d31=-23×10-12C/N,d15=-670×10-12C/N,∈11=12.43∈0,∈33=11.98∈0。

PZT-4：Q=81.3 GPa,Q55=25.6 GPa,d31=123×10-12C/N,d31=495×10-12C/N,∈11=1 470∈0,∈33=1 300∈0,p3=2.5×10-5C/(m2K),a1=0.2×10-5K-1,ρ=7 500 kg/m3。

PZT-5H：Q=60.6 GPa,Q55=23.0 GPa,d31=-274×10-12C/N,d31=741×10-12C/N，∈11=3 130∈0,∈33=3 400∈0,p3=0.548×10-5C/(m2K),a1=1×10-5K-1,ρ=7 500 kg/m3。

2.2 數(shù)值結(jié)果的驗證

考慮標(biāo)準(zhǔn)壓電雙晶片(雙層懸臂梁)，由兩層PZT-5H制作而成，兩層的極化方向相反，上表面作用均布荷載q=10 kN/m2或外加電壓為100 V，其自由端端部位移及基頻列于表1中，解析解取自Lee等人的工作。當(dāng)離散點數(shù)N=15時，本文數(shù)值方法趨于收斂，并與上述解析解吻合較好，驗證了本文在靜力荷載作用下及自由振動問題求解的準(zhǔn)確性。

表1 在不同載荷下離散點的數(shù)量對數(shù)值求解的影響

采用有限元方法，Lee研究了功能梯度壓電雙晶片驅(qū)動器，尺寸為80 mm×10 mm×0.22 mm，即每層厚0.11 mm，外加電壓為600 V，驅(qū)動器外表面為100%的PVDF,其撓度曲線如圖3所示。本文結(jié)果與Lee的結(jié)果吻合良好。

圖3 外加電壓下(600V)的雙晶FGPM變形曲線比較

2.3 非線性彎曲研究

(1)線性結(jié)果與非線性結(jié)果的比較。給定雙晶壓電梁的非均勻指標(biāo)λ=1,6，載荷分別為：Q=60 KN,V=0 V和Q=0 KN，V=600 V。設(shè)長細(xì)比a=L/h。圖4給出了在不同非均勻指標(biāo)下， 對中點變形的影響?？梢钥闯觯瑹o論是在給定力還是電載荷的情況下對于細(xì)長梁(l/h≥30)而言，幾何非線性的影響會隨著梁的增大而增大。由此可知在對細(xì)長的壓電梁模型進(jìn)行仿真與分析時，幾何非線性的影響不可忽略。

圖4 長細(xì)比對單晶梁中間點撓度的影響(λ=1,6)

(2)非均勻指標(biāo)的影響。給定Q=60 kN,V=0 V和Q=0 kN,V=600 V，研究非均勻指標(biāo)對雙晶壓電梁力學(xué)特性的影響(在機(jī)械載荷和電載荷作用下的非線性彎曲性能。計算中給定l/h=30?？煽闯鲈趫D5(a)施加力載荷中，長細(xì)比較小時非線性不明顯，長細(xì)比增大非線性影響也慢慢明顯，其影響最大值約為15%。在圖5(b)施加電荷過程中，非線性影響一直存在，且大小隨長細(xì)比變化不大，其值約為10%。

圖5 非均勻指數(shù)對單晶的壓電梁中點撓度的影響(l/h=30)

3 結(jié)束語

功能梯度壓電制動器的機(jī)械—熱—電耦合的研究主要依據(jù)Timoshenko梁理論和哈密頓原理，可得到壓電制動器在考慮到橫向剪切力等影響的控制方程，主要討論了單晶體雙晶體壓電懸臂梁在不同長細(xì)比，不同非均勻指標(biāo)下，施加不同載荷時線性結(jié)果與非線性結(jié)果的對比，可看出在不同情況下非線性對于壓電梁的影響。計算發(fā)現(xiàn)在模型趨于細(xì)長梁時(l/h≥30)，梁的非線性項對于壓電梁壓電效應(yīng)有明顯的影響。

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Thermo-electro-mechanical Nonlinear Characteristics of Functionally Graded Piezoelectric Actuators

LIANG Xiao，GUO Chuanshe，LIU Ming

(School of Mechanical Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093, China)

Aiming at the static bending, free vibration, of monomorph, bimorph, and multimorph actuators made of functionally graded piezoelectric materials (FGPMs) under a combined thermal-electro-mechanical load. The governing equations of the beam are derived by using Timoshenko beam theory and Hamilton’s principle, and the transverse shear deformation and axial and rotational inertia effects are considered. On the basis of this, the influence of geometric nonlinearity on the piezoelectric cantilever beam is discussed. The data show that the effect which is caused by the nonlinear term of the beam may leading to error of 10% on the piezoelectric effect of the piezoelectric beam when the model tends to be a slender beam(l/h≥30).

Timoshenko beam theory; FGPMs; actuator; geometric nonlinearity

2016- 03- 15

上海市教委創(chuàng)新基金資助項目(12YZ092,12YZ074)；滬江基金資助項目(D14005)

梁校(1990-)，男，碩士研究生。研究方向：工程力學(xué)。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2017.01.001

TN751.1

A

1007-7820(2017)01-001-05