張志國,馬 英,耿光有,余夢倫

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京100076)

火箭垂直回收著陸段在線制導凸優(yōu)化方法

張志國,馬 英,耿光有,余夢倫

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京100076)

為了研究火箭垂直回收著陸段的制導律設計問題,通過求解最省燃料問題獲得制導律,將連續(xù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一類二階錐凸優(yōu)化問題(SOCP)。采用凸優(yōu)化問題求解程序,實時計算最優(yōu)軌跡獲得當前制導周期內(nèi)的制導律,導引火箭飛向目標點并垂直軟著陸。該方法對著陸段初始狀態(tài)偏差和下降過程中氣動擾動有較強的適應性。進行了3個算例的仿真,結果表明:凸優(yōu)化方法具有確定的收斂性質(zhì),相較于Radau偽譜法求解更加高效;參數(shù)設置簡單,能夠滿足實時制導需求,具有在線應用的潛力。

火箭回收;垂直著陸;在線制導;凸優(yōu)化

自20世紀60年代開始,世界各航天大國相繼開展了大量可重復使用運載器研制工作,研究圍繞著兩條主線展開:一是以火箭發(fā)動機為動力的重復使用運載器,如航天飛機、X-37等;二是以吸氣式發(fā)動機為動力,如X-30/NASP、高超聲速巡航飛行器(HCV)等。從研究現(xiàn)狀來看,火箭發(fā)動機技術相對比較成熟,已經(jīng)成功應用于一次性運載火箭和部分重復使用的航天飛機上,同時兩級部分重復使用運載器是目前研究發(fā)展的一個熱點,Spacex公司的Falcon 9系列火箭已經(jīng)多次成功實現(xiàn)一子級海上平臺回收和陸上原場回收任務。

火箭垂直回收的制導控制方法是一項關鍵技術。以火箭一子級回收為例,返回任務可以分為[1]調(diào)姿段、減速轉(zhuǎn)彎段、滑行段、動力減速段、氣動減速段和垂直下降段?？紤]到火箭著陸下降段時間短,精度要求高,因此對制導控制方法提出了更高的要求。

美國Apollo計劃時期,已經(jīng)有大量關于有動力著陸制導方法的研究,文獻[2-3]給出了一種閉環(huán)形式的解,在月面著陸任務中,加速度采用時間的二次函數(shù),該解析方法計算簡單能夠?qū)崟r獲得制導律[4],但整個過程無法對推力優(yōu)化和限幅,若出現(xiàn)超出推力幅值的情況,將難以保證落點精度。隨后的幾十年間,多種數(shù)值和近似求解方法被提出。Najson[5]通過求解非最省燃料問題,給出了一種最優(yōu)控制問題的近似解析解。Topcu[6]推導出有動力下降問題的一階必要條件,并且表明燃料最優(yōu)下降的推力控制律是Bang-Bang控制模式。Sostaric[7]采用Legendre偽譜法對定點著陸問題進行了數(shù)值求解。軌跡優(yōu)化問題中的直接法在求解有動力軟著陸問題中有一定的優(yōu)勢,將無限維的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為有限維參數(shù)優(yōu)化問題,可以通過非線性規(guī)劃的方法進行求解。然而如果沒有關于非線性規(guī)劃求解程序收斂性質(zhì)的顯式信息,僅通過一般的迭代算法將無法滿足實時在線制導律求解的要求。

近年來,Acikmese[8]和Blackmore[9]采用凸優(yōu)化方法求解火星軟著陸問題,為火箭有動力回收著陸段制導控制方法提供了新的途徑。隨后采用凸優(yōu)化方法求解飛行器軌跡優(yōu)化問題的研究逐漸增多,如行星軟著陸問題[10]。Liu[11]采用凸優(yōu)化方法研究了避免碰撞、非線性末端約束等復雜約束條件下的航天器交會和接近操作的軌跡優(yōu)化問題。譚峰[12]將凸優(yōu)化方法應用于高超聲速飛行器軌跡跟蹤控制。應用凸優(yōu)化方法的關鍵是將問題構造成凸優(yōu)化的結構。最好是能將參數(shù)優(yōu)化問題構造成一類二階錐凸優(yōu)化問題(second order cone problem,SOCP[13])。二階錐問題復雜程度低,并且可以在多項式時間內(nèi)求解,目前原始對偶內(nèi)點法(primal-dual interior point methods,IPM)已經(jīng)能夠完全求解SOCP,并且存在求解軟件SeDuMi[14],YALMIP,MOSEK[15],CPLEX,SDPT3[16]等。凸優(yōu)化問題的收斂精度可以指定為任意階,并且達到指定精度的迭代程序,其迭代次數(shù)具有確定的上界。因此SOCP數(shù)值求解程序非常適合于在線計算和求解制導問題。

本文將凸優(yōu)化方法應用到火箭有動力回收著陸段在線制導律的設計中,通過實時計算最優(yōu)軌跡獲得當前制導周期內(nèi)的制導律,導引火箭飛向目標點并最終垂直著陸。凸優(yōu)化方法具有確定的收斂性質(zhì),能夠保證問題的收斂性和高效性。最后考察了該制導方法對于著陸點初始偏差和著陸過程中氣動干擾的適應性。

1 火箭有動力著陸段動力學模型

首先建立著陸表面固定參考系。由于著陸段飛行距離較短,假設在整個著陸過程中地表為一個平面。如圖1所示,rx方向垂直于著陸表面;ry方向為預先設定好的地表水平橫向;rz方向滿足右手坐標系,為地表水平側向。假設火箭發(fā)動機的推力始終沿著箭體軸的方向,火箭飛行攻角在著陸段保持180°,火箭著陸段的動力學方程為[8]

(1)

式中:r(t),v(t)分別為火箭當前的位置和速度矢量;m(t)為火箭當前質(zhì)量;Fc(t)為火箭的推力矢量;ge(t)為引力加速度矢量;Ispg0為發(fā)動機比沖,為簡化后續(xù)推導過程的表達式,定義α=1/Ispg0為比沖的倒數(shù),是一個常量;aD(t)為火箭在下降過程中受到的空氣阻力加速度矢量,考慮到著陸段火箭飛行速度較低,氣動阻力相對推力為小量級,因此首先將其當作擾動力進行分析。

圖1 火箭垂直軟著陸下降示意圖

在火箭下降的過程中,火箭制導系統(tǒng)需要根據(jù)當前狀態(tài)和目標狀態(tài)提供控制指令和關機指令,通過優(yōu)化推力矢量Fc(t)的大小和方向,以最省燃料的方式實現(xiàn)火箭的精確定點著陸。根據(jù)飛行剩余質(zhì)量計算公式:

(2)

由于Ispg0>0,因此在下降過程中最省燃料控制優(yōu)化問題的目標函數(shù)為

(3)

式中:tf為火箭著陸過程的飛行時間,在應用制導算法前,可以通過軌跡優(yōu)化方法給出tf的設計值,也可以利用經(jīng)驗公式進行估算。在下降過程中,火箭還需要滿足各種約束條件。

①推力大小約束。

如果設計的制導控制律超過火箭自身控制能力的范圍,將無法保證精確著陸的要求,因此優(yōu)化設計過程中需要設置推力幅值約束,即

0≤F1≤‖F(xiàn)c(t)‖≤F2, ?t∈[0,tf]

(4)

式中:F1和F2分別代表推力幅值的下限和上限,在整個飛行時間內(nèi)推力設計值不能超出范圍。

②火箭與著陸點位置關系約束。

此約束主要包括兩點。首先,需要保證火箭飛行過程中不能與地面相撞,即

rx(t)≥0, ?t∈[0,tf]

(5)

(6)

③推進劑剩余量約束。

由于火箭在著陸段飛行之前已經(jīng)歷多個飛行階段,剩余燃料有限,因此在著陸段進行制導律的設計時需要考慮推進劑剩余量的約束:

m(t0)=mwet,m(tf)≥mdry

(7)

式中:m(t0)為著陸階段起始時刻的火箭質(zhì)量;mwet為含燃料總質(zhì)量;mdry代表燃料耗盡極限情況下火箭的結構質(zhì)量,為火箭飛行過程中質(zhì)量的下限。

④精確著陸約束。

火箭垂直回收最關鍵的任務是保證火箭最終能夠精確定點著陸,即最終著陸瞬間的位置速度降為0:

r(0)=r0,v(0)=v0;r(tf)=0,v(tf)=0

(8)

式中:r0,v0分別為火箭著陸段的起始位置和速度;著陸末端約束保證位置r(tf)和速度v(tf)同時降為0。同時,火箭姿態(tài)需要保持垂直,由于推力方向沿著箭體軸的假設,最終推力方向垂直地面可以保證火箭姿態(tài)垂直著陸的條件,即加速度矢量的末端值需要滿足在水平橫向和側向都為0,在豎直方向不為0,即

(9)

從上述優(yōu)化問題模型中不難看出,存在質(zhì)量隨時間變化的非凸約束和最省燃料的非凸性能指標。若要采用凸優(yōu)化方法進行求解,需要將原非凸問題進行凸化處理。

2 模型的凸化處理

在動力學方程(1)中,問題的非凸性質(zhì)主要在于加速度右邊項質(zhì)量變量m(t)出現(xiàn)在分母中,可以通過取對數(shù)的形式轉(zhuǎn)化為凸約束。原優(yōu)化問題經(jīng)過凸優(yōu)化處理后得到的新問題與原問題優(yōu)化結果的一致性可以參考文獻[9]給出的證明,這里直接利用其證明結論。定義新的變量:

z(t)lnm(t)

(10)

對應地定義新的控制變量:

u(t)Fc(t)/m(t),σ(t)‖F(xiàn)c(t)‖/m(t)

(11)

動力學方程可以寫為

(12)

式中:z(t)為新定義的質(zhì)量變量對數(shù)形式,u(t)和σ(t)為新定義的控制變量。相應地,推力幅值不等式約束變?yōu)?/p>

F1≤‖F(xiàn)c(t)‖≤F2?F1e-z(t)≤σ(t)≤F2e-z(t)

(13)

對不等式約束兩端進行Taylor展開,只保留一階線性項:

(14)

新的不等式約束也定義了一個凸的可行域:

F1e-z0[1-(z(t)-z0(t))]≤σ(t)≤F2e-z0[1-(z(t)-z0(t))]

(15)

式中:z0為t時刻z(t)值的下確界,z0(t)=ln(mwet-αF2t),為了保證新定義的變量z(t)不違反原來的質(zhì)量邊界約束,定義新的約束:

ln(mwet-αF2t)≤z0(t)≤ln(mwet-αF1t)

(16)

火箭與著陸點位置關系角度約束方程(6)可以簡寫為

(17)

其他的約束都為線性或者凸約束,不需要進行額外處理,至此,原非凸優(yōu)化約束和性能指標已經(jīng)完成凸化處理,原連續(xù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題:

F1e-z0[1-(z(t)-z0(t))]≤σ(t),

σ(t)≤F2e-z0[1-(z(t)-z0(t))],

ln(mwet-αF2t)≤z(t)≤ln(mwet-αF1t),

rx(t)≥0, ‖Sx‖+cTx≤0, ?t∈[0,tf],

(18)

3 著陸段制導模型及求解

通過時間等間隔離散,將原來的無限維優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為有限維的優(yōu)化問題,在每個時間節(jié)點給出約束條件,采用數(shù)值程序求解離散問題。由于約束都是線性的或者二階錐形式的,因此優(yōu)化問題將是一個有限維的SOCP問題,可以通過文獻[14]的程序快速求解。對于任意給定的時間區(qū)間[0,tf],均勻離散為N段,每段時間間隔為Δt,則對應離散節(jié)點的時間為

tk=kΔt,k=0,1,…,N

(19)

式中:NΔt=tf。然后通過M個離散點的控制量基函數(shù)來表示各離散時間節(jié)點的控制量u和σ:

(20)

式中:φ1,φ2,…,φM為M個離散點的控制量基函數(shù),pj(tk)∈R4×1為待優(yōu)化求解的常系數(shù)向量?；瘮?shù)的選取有多種,可以選擇簡單常值函數(shù),也可以選擇插值多項式的形式,如果選擇后者,則控制量的維數(shù)M可以遠少于問題維數(shù)N(M?N),這將能夠明顯減少SOCP問題的維數(shù),減少問題求解的時間。選擇不同的基函數(shù),系數(shù)矩陣的定義也將不同,但是最優(yōu)化問題的求解形式非常接近。因此,在這里將基函數(shù)選為分段常值函數(shù),將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題:

(21)

在各個時間節(jié)點處的微分方程的解和控制量可以通過下面的系數(shù)表示:

其中:

(22)

式中:x(tk)和η(tk)為離散時刻tk處的狀態(tài)量和控制量矢量;I為單位矩陣。由于著陸下降段高度變化較小,重力加速度按照常值矢量處理:

ge(t)=(-9.806 65 0 0)T

(23)

對于氣動加速度項,根據(jù)假設,火箭在飛行過程中攻角保持為180°,因此氣動加速度方向為速度的反方向,由于著陸段飛行速度較小,氣動阻力作為擾動力加入,后面將通過數(shù)值模擬考察該制導方法對氣動阻力的適應性。至此,原來的連續(xù)優(yōu)化問題完全轉(zhuǎn)化成為有限維的凸優(yōu)化問題:

(24)

對于離散點N的選取,隨著N取值增大,達到同樣的算法收斂精度,求解時間將變長,但是得到的制導律結果更加光滑,制導精度更高。一般N值選取需要兼顧制導精度和凸優(yōu)化問題規(guī)模,對于本文研究的問題,當N<200時,離散問題規(guī)模小于5 000,可以保證單次求解燃料最優(yōu)問題時間小于300 ms。上述模型(24)定義了有限維二階錐問題,利用現(xiàn)有的SOCP求解程序可以在保證收斂的前提下非常高效地求解。

4 考慮氣動力的制導模型

(25)

氣動力項中,速度為時變量,加入問題離散矩陣中將改變狀態(tài)空間矩陣A定常的性質(zhì),因此這里采用近似處理,在每一個離散時刻,速度幅值采用當前時刻速度v(tk)和終點速度0的平均速度‖v(tk)‖/2幅值。由于加入氣動力,對應的狀態(tài)空間矩陣需要進行修正:

(26)

式(26)與式(22)中的矩陣A表示相同的含義。除此之外,其他約束條件處理方法與第3節(jié)一致。

5 仿真算例

仿真算例選擇Falcon 9 v1.2[17]發(fā)射600 km圓軌道,一子級回收返回原場任務,火箭氣動減速段結束時刻位置、速度、質(zhì)量作為著陸段制導狀態(tài)量初始條件,其他結構參數(shù)(結構質(zhì)量、發(fā)動機比沖)選擇Falcon 9一子級結構參數(shù),推力上限設為1臺Merlin-1D發(fā)動機滿推Fmax,下限設為0,即假設發(fā)動機具有連續(xù)任意大小可調(diào)節(jié)的推力,因此對于有動力下降段燃料最優(yōu)問題,發(fā)動機只需要具備多次開關機功能即可實現(xiàn)?；鸺w行末端狀態(tài)量與著陸點狀態(tài)量一致。模擬著陸段制導律仿真參數(shù)設置如表1所示。

表1 火箭一子級著陸仿真參數(shù)表[17]

1)算例一?？疾焱箖?yōu)化實時制導方法的求解效率。仿真過程中,每次求解凸優(yōu)化問題獲得一個制導周期內(nèi)的制導律,火箭實時按照當前周期內(nèi)制導律的引導,逐漸飛向目標著陸點。具體實現(xiàn)步驟如圖2所示。

圖2 凸優(yōu)化制導方法過程圖

①根據(jù)給定(預測)的火箭著陸段起始點位置x(t0),用凸優(yōu)化方法求解x(t0)→x(tN)的制導律u(t0)。

②實際進入時段t0→t1內(nèi)采用控制u(t0)。

③在第x(tk-1)處,采用上一時刻求解得到的u(tk-1)預測tk時刻的狀態(tài)量x(tk),用凸優(yōu)化方法求解x(tk)→x(tN)的制導律u(tk)。

④當火箭實際進入時段tk→tk+1內(nèi)采用控制u(tk)。

⑤當飛行時刻到達tN時或經(jīng)判斷已實現(xiàn)著陸,結束制導指令。

采用本文設計的凸優(yōu)化方法,整個仿真過程采用Matlab版本的凸優(yōu)化求解工具箱SeDuMi 1.02進行凸優(yōu)化問題的求解,得到仿真結果如圖3～圖8所示。作為對比,采用Radau偽譜法[18]求解同樣的制導問題,得到對比仿真結果如圖6～圖8所示。

圖4 凸優(yōu)化制導著陸段一子級位置-時間變化曲線

圖5 凸優(yōu)化制導著陸段一子級速度-時間變化曲線

圖6 著陸段火箭一子級推力幅值-時間變化曲線

圖7 著陸段火箭一子級水平橫向距離-高度軌跡曲線

圖8 著陸段火箭一子級水平側向距離-高度軌跡曲線

從仿真結果曲線中可以看出,控制策略在每個制導周期內(nèi)保持常值,如圖3所示,能夠?qū)б鸺w向著陸點,并在著陸瞬間僅有高度方向加速度ax,保證了垂直著陸的需求;著陸段終點位置如圖4、速度如圖5，在火箭飛行末端都降為0,實現(xiàn)了軟著陸的目的;無論是從水平橫向距離-高度曲線(圖7),還是水平側向距離-高度曲線(圖8),火箭著陸時刻的姿態(tài)為垂直著陸(推力矢量方向分別為89.524 2°和89.263 9°);從圖5中可以看出發(fā)動機的推力形式為典型的Bang-Bang控制,符合最優(yōu)控制推力結果的一般規(guī)律,同時說明通過推力分檔調(diào)節(jié)和姿態(tài)控制結合可以實現(xiàn)火箭垂直著陸并保證了推力幅值約束。

表2為凸優(yōu)化方法與偽譜法制導效率的對比,表中,tp為2種方法分別求解軌跡優(yōu)化問題獲得制導律的單次平均計算時間,e為收斂精度,s為迭代次數(shù)。

表2 凸優(yōu)化方法與偽譜法的制導效率對比表

整個仿真過程,凸優(yōu)化方法制導周期選擇為500 ms,單次制導律求解所需要的計算時間為200～300 ms(數(shù)值仿真過程采用臺式機CPU3.19 GHz,內(nèi)存1.93 GB,編程語言Matlab,算法收斂精度為1.0×10-9,凸優(yōu)化原始與對偶問題的對偶間隙為1.0×10-15),而同樣的基于Radau偽譜法的單步求解時間需要1 s以上。從計算效率角度對比,凸優(yōu)化方法更適合應用于在線實時制導律的設計中。另一方面,偽譜法在求解軌跡優(yōu)化問題時,需要給出過程中各狀態(tài)量的范圍區(qū)間,范圍過大或者過小都會影響求解效果,甚至無法求解,而凸優(yōu)化方法的設置則非常簡單,只要將原問題轉(zhuǎn)化為凸問題,無需其他設置,就能夠?qū)崿F(xiàn)快速求解,這些特點表明該方法具有一定的在線制導實用能力。

2)算例二。考察凸優(yōu)化制導方法對著陸段起始狀態(tài)偏差的適應性?；鸺诖髿鉁p速階段需要防止過載和熱流過大,著重考慮力熱約束,對制導控制精度允許一定范圍的誤差。大氣減速階段的終點誤差將會導致著陸段起始狀態(tài)的偏差,因此,著陸段制導方法應該對初始狀態(tài)偏差具有一定的適應能力,即只要大氣減速段能夠?qū)⒒鸺母叨?、速度降低到一定范圍?nèi),利用著陸制導方法都能保證最終的定點著陸精度要求。下面同時考慮高度rx、水平橫向ry和水平側向rz3個方向位置一定范圍的初始偏差(各±20%和±50%),采用上述同樣的方法進行制導律設計,加偏差仿真結果如表3所示。

表中:Δr0為著陸段起始點狀態(tài)量相對于標準設計值的偏差;ηΔr0為其相對偏差;Δrf和Δvf分別為終點位置和速度的偏差量幅值。仿真結果如圖9所示,著陸段凸優(yōu)化制導方法的結果對于初值狀態(tài)的偏差具有較強的適應性,即使初始偏差達到50%,在剩余燃料足夠的條件下,該方法都能夠有效地保證導引火箭垂直精確著陸于預定的著陸點,這就等價于氣動減速段的末端約束可以進一步放寬,拓寬了火箭回收減速段的可設計范圍。

圖9 不同初始狀態(tài)偏差條件下的火箭著陸段三維飛行曲線

3)算例三。通過數(shù)值模擬來考察該制導方法對阻力的適應性?？疾?種情況:算例3-1,制導過程采用忽略氣動力模型;算例3-2,制導過程采用增加氣動力修正模型;算例3-3,制導過程也采用增加氣動力修正模型,同時rx和ry方向初始位置和速度大小在前面初值基礎上降低50%。3個算例實際飛行都采用增加氣動力全模型,制導周期仍為500 ms,ode45積分,仿真結果如表4所示。

表4 考慮氣動阻力的不同模型制導精度誤差表

表4中,Δrf和Δvf分別為終點位置和速度的偏差量向量值。仿真結果如圖10所示。圖中,算例3-2曲線、算例3-1(a)曲線火箭下降初始位置和速度采用表1中的參數(shù);算例3-3曲線、算例3-1(b)曲線火箭下降rx和ry方向的初始位置和速度大小在表1參數(shù)基礎上降低50%。當豎直位移rx=0時積分終止。

圖10 增加氣動力模型與原模型飛行軌跡對比圖

經(jīng)過增加氣動力修正后的模型(算例3-2)能夠保證在有氣動力的條件下,火箭落點位置水平誤差在0.1 m以內(nèi),速度縱向誤差在10 m/s以內(nèi),速度水平誤差在3 m/s以內(nèi)。由于算例采取的初始縱向高度和速度較大,通過氣動減速段讓著陸段起點縱向速度進一步降低,可以保證最終火箭垂直著陸末端縱向速度誤差進一步減低到6 m/s以內(nèi)(算例3-3)。在實際工程中,該速度可以通過增加緩沖機構實現(xiàn)軟著陸的要求,表明本文設計的凸優(yōu)化制導方法已經(jīng)可以使火箭在有氣動力的條件下具有定點垂直精確著陸的應用潛力。

6 結束語

本文設計的火箭垂直回收著陸段凸優(yōu)化制導方法,能夠在滿足各種約束條件下,以最省燃料的方式導引火箭一子級精確定點著陸。原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為SOCP問題,利用凸優(yōu)化求解程序能夠在多項式時間內(nèi)實現(xiàn)任意階求解精度,保證較高的求解效率,并且該制導算法設置簡單,具有在線應用的潛質(zhì)。后續(xù)研究可以考慮建立更加精確的氣動力模型,并加入地球自轉(zhuǎn)對落點位置的影響,來滿足更高精度制導律的設計需求。

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Convex Optimization Method Used in the Landing-phase On-line Guidance of Rocket Vertical Recovery

ZHANG Zhi-guo,MA Ying,GENG Guang-you,YU Meng-lun

(Beijing Institute of Aerospace System Engineering,Beijing 100076,China)

To study the guidance law for vertical-recovery landing phase of rocket,the guidance law was obtained by solving the problem of saving most fuel.The continuous optimization problem was transformed into a second-order cone program(SOCP)convex optimization problem.During each guidance-period,the guidance law was obtained by calculating the optimal trajectory to guide the rocket to the preassigned target and achieve vertical soft landing.The method has strong adaptability to the initial state variables deviation and aerodynamic disturbance during descending.The simulation of three examples was carried out.The results show that the convex optimization method has deterministic convergence properties,and it is an efficient solving method compared with Radau pseudo-spectrum method.The setting of parameters by the method is easy,and it meets real-time guidance requirement and can be implemented for on-line application.

rocket recovery;vertical landing;on-line guidance;convex optimization

2016-10-24

張志國(1991- ),男,博士研究生,研究方向為航天器動力學,導航、制導與控制。E-mail:zhangzhiguo08@yeah.net。

V448.13

A

1004-499X(2017)01-0009-08