李百吉，楊子銘，孔德泰

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京)管理學(xué)院，北京 100083)

煤炭類期貨收益率分布擬合與風(fēng)險(xiǎn)度量

李百吉，楊子銘，孔德泰

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京)管理學(xué)院，北京 100083)

近年來，受煤價(jià)下跌的影響，煤炭類期貨價(jià)格波動(dòng)劇烈，隨之而來的風(fēng)險(xiǎn)也不斷加大。在這樣的市場(chǎng)環(huán)境下，原有的正態(tài)分布的VaR模型已很難準(zhǔn)確度量煤炭類期貨的價(jià)格波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)。因此，如何更好地更準(zhǔn)確地度量煤炭類期貨價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)成為當(dāng)前亟待解決的問題。本文在利用VaR模型的基礎(chǔ)上，借助K-S檢驗(yàn)逐類篩選其他可替換正態(tài)分布的假設(shè)，以更好、更準(zhǔn)確地提高風(fēng)險(xiǎn)度量精度。K-S檢驗(yàn)結(jié)果顯示，煤炭類期貨收益率服從雙曲線分布；概率密度曲線圖和Q-Q圖顯示，雙曲分布比正態(tài)分布擬合效果更優(yōu)；VaR計(jì)算與比較結(jié)果顯示，雙曲線分布VaR比正態(tài)分布VaR更接近歷史VaR，且焦煤VaR大于動(dòng)力煤VaR。因此，基于雙曲線分布的VaR模型更適于投資者度量煤炭類期貨風(fēng)險(xiǎn)，投資焦煤期貨的風(fēng)險(xiǎn)大于投資動(dòng)力煤。

煤炭類期貨；VaR；分布擬合；正態(tài)分布； 雙曲線分布

1 研究現(xiàn)狀與存在問題

隨著實(shí)證研究方法的發(fā)展，金融計(jì)量學(xué)家發(fā)現(xiàn)：絕大多數(shù)金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的分布均存在尖峰、厚尾特征，并不服從正態(tài)分布假設(shè)。因此，原有的正態(tài)分布的VaR模型的風(fēng)險(xiǎn)度量精度受到了懷疑。為提高VaR模型的風(fēng)險(xiǎn)度量精確度，國內(nèi)外學(xué)者做了大量卓有成效的工作，提出了眾多的改進(jìn)方案。這些改進(jìn)工作主要沿兩條路徑展開：一是對(duì)樣本數(shù)據(jù)集的處理，即利用適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換函數(shù)，將不符合正態(tài)分布的初始樣本數(shù)據(jù)集變換成基本滿足正態(tài)分布的計(jì)算樣本數(shù)據(jù)集，然后用變換后的樣本數(shù)據(jù)集來估測(cè)VaR[1]；二是針對(duì)正態(tài)分布假設(shè)偏差的修正，其中包括不考慮分布的方法(如蒙特卡洛模擬法)和更換分布假設(shè)的方法(如Logistic分布、t分布、GED分布等)。

綜合現(xiàn)有相關(guān)研究成果不難發(fā)現(xiàn)，利用轉(zhuǎn)換函數(shù)處理樣本數(shù)據(jù)集的方法需要根據(jù)經(jīng)濟(jì)周期的不同階段選擇不同的轉(zhuǎn)換函數(shù)，操作繁瑣且對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的要求較高；蒙特卡羅模擬法計(jì)算量大，且可能因價(jià)格隨機(jī)過程選擇不當(dāng)而招致失敗。然而，針對(duì)正態(tài)分布假設(shè)偏差的修正只需找到合適的分布假設(shè)即可在原VaR模型的基礎(chǔ)上提高風(fēng)險(xiǎn)度量精度，相比其他方法操作簡(jiǎn)便，易于理解。因此，本文在VaR模型的基礎(chǔ)上，嘗試以雙曲線分布假設(shè)替換正態(tài)分布假設(shè)，以提高風(fēng)險(xiǎn)度量精度。

在修正模型假設(shè)方面，國內(nèi)外學(xué)者做了如下工作。Mandebrot[2]提出用穩(wěn)定分布假設(shè)代替正態(tài)分布假設(shè)，而Officer[3]、kgiray和Booth等[4]提供了反對(duì)穩(wěn)定分布假設(shè)的證據(jù)，何建敏等[5]對(duì)中國證券市場(chǎng)收益率分布的研究也證實(shí)了穩(wěn)定分布的尾部通常比實(shí)際分布更厚。arndorff-Nielsen[6]引入廣義雙曲分布，并在金融領(lǐng)域得到成功應(yīng)用。Eberlein和Keller[7]率先將它的一個(gè)子類“雙曲線分布”應(yīng)用到金融領(lǐng)域。Barndorff-Nielsen[8]基于正態(tài)逆高斯分布對(duì)股票收益進(jìn)行了研究。Prause[9]，arndoff-Nielsen和Shepard[10]和McNeil[11]等對(duì)GH分布的極限分布“偏t分布”做了研究。在國內(nèi)，鄒健[12]用廣義雙曲線分布研究了普通歐式期權(quán)的定價(jià)問題。郭海燕和李綱[13]將雙曲線分布和NIG分布應(yīng)用于中國證券市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量之中。

上述研究成果都為進(jìn)一步研究風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法奠定了堅(jiān)實(shí)的理論和實(shí)證基礎(chǔ)，但依舊存在如下不足：①現(xiàn)有研究多數(shù)集中于股票市場(chǎng)，將修正過分布假設(shè)的VaR模型應(yīng)用于期貨(尤其是煤炭類期貨)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的文獻(xiàn)極少；②期貨風(fēng)險(xiǎn)度量不同于其他金融資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)度量，需同時(shí)度量多空雙方的風(fēng)險(xiǎn)。因此，現(xiàn)有多數(shù)文獻(xiàn)建模時(shí)僅度量?jī)r(jià)格下跌風(fēng)險(xiǎn)卻忽視價(jià)格上升風(fēng)險(xiǎn)的處理方法不適用于期貨類資產(chǎn)；③現(xiàn)有對(duì)VaR模型各類分布假設(shè)的研究?jī)H對(duì)某一分布假設(shè)下的VaR值進(jìn)行計(jì)算，缺少對(duì)不同分布下VaR值的對(duì)比分析。

針對(duì)已有研究不足，本文在VaR模型的基礎(chǔ)上，借助K-S檢驗(yàn)逐類篩選其他可替換正態(tài)分布的假設(shè)，第一次利用雙曲線分布來研究煤炭類期貨的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度問題；并以對(duì)比概率密度曲線和樣本Q-Q圖的可視化方式證明了新假設(shè)的優(yōu)越性；最后實(shí)際計(jì)算并比較了“左尾”和“右尾”各置信水平下的正態(tài)VaR、雙曲線VaR和歷史VaR以驗(yàn)證修正模型的風(fēng)險(xiǎn)度量精度的提升。

2 實(shí)證研究

2.1 數(shù)據(jù)來源與描述性統(tǒng)計(jì)

數(shù)據(jù)選取時(shí)間范圍從2013年10月21日～2015年12月29日，數(shù)據(jù)以Wind商品品種指數(shù)中焦煤指數(shù)和動(dòng)力煤指數(shù)作為樣本,該品種基期為行業(yè)內(nèi)第一個(gè)上市品種上市首日，基點(diǎn)為第一個(gè)交易日收盤后計(jì)算出的指數(shù)值。

指數(shù)公式見式(1)～(3)。

Wind商品品種指數(shù)=∑合約最新價(jià)×每個(gè)合約權(quán)重

(1)

每個(gè)合約權(quán)重=每個(gè)合約持倉額÷品種總持倉額

(2)

品種總持倉額=∑每個(gè)合約最新價(jià)×持倉量×交易單位，雙邊計(jì)算

(3)

獲得樣本期指數(shù)后以Rt=lnpt-lnpt-1計(jì)算收益率,pt為第t日指數(shù)值,pt-1為第t-1天的指數(shù)值,于是得到各包含539個(gè)樣本的數(shù)據(jù)序列。對(duì)兩Rt序列進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表1。

表1 樣本數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)

對(duì)比可知，兩樣本的偏度和峰度與正態(tài)分布理論值差異較大。因此猜測(cè)其他種類分布能更好的擬合兩序列。為證實(shí)此猜測(cè)，下文以K-S假設(shè)檢驗(yàn)方法嘗試找到最優(yōu)擬合分布。

2.2 最優(yōu)擬合分布的選擇

2.2.1 K-S檢驗(yàn)方法描述

K-S檢驗(yàn)是以兩位蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Kolmogorov和Smirnov的名字命名的一個(gè)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。K-S檢驗(yàn)的基本思路是：先比較資料數(shù)據(jù)的理論累積頻率分布與觀測(cè)的經(jīng)驗(yàn)累積頻率分布，求出兩者最大偏離值，然后在給定的顯著性水平上檢驗(yàn)這種偏離值是否是偶然出現(xiàn)的。

檢驗(yàn)步驟如下所述。

1)提出假設(shè)。H0:Sn(x)=F0(x),H1:Sn(x)≠F0(x)。Sn(x)是隨機(jī)樣本觀察值的累計(jì)概率分布函數(shù)，即經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，樣本量為n；F0(x)是一個(gè)特定的累計(jì)概率分布函數(shù)，即理論分布函數(shù)。

2)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Dmax=max|Sn(x)-F0(x)|與相應(yīng)p值。D=|Sn(x)-F0(x)|，如果對(duì)于每一個(gè)x值，Sn(x)和F0(x)都十分接近，則表明經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與理論分布函數(shù)的擬合程度很高，有理由認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)來自服從該理論分布的總體。

3)比較p值與給定的顯著性水平α。若p>α，則在α的顯著性水平上，不能拒絕H0；否則，拒絕H1。

2.2.2 逐類排除錯(cuò)誤分布

按照以上步驟進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)：無效假設(shè)(一般譯為原假設(shè))為“焦煤/動(dòng)力煤指數(shù)收益率Rt服從正態(tài)分布”。通過計(jì)算得到焦煤樣本的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量=0.079 917,且p值為0.002 046，于是在1%的顯著性下拒絕無效假設(shè)，接受了備擇假設(shè)“焦煤指數(shù)收益率Rt不服從正態(tài)分布”；動(dòng)力煤樣本的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Ddlm=0.148 61，且p值為9.138×10-11，于是在1%的顯著性下拒絕無效假設(shè)，接受了備擇假設(shè)“動(dòng)力煤指數(shù)收益率Rt不服從正態(tài)分布”。

為了排除不適用于描述煤炭類期貨收益率分布的分布類型，以K-S檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)焦煤與動(dòng)力樣本Rt是否服從beta, cauchy, chi-squared, exponential, f, gamma, geometric, log-normal,lognormal,logistic,negative binomial,normal,Poisson,t以及weibull分布。結(jié)果均顯示在5%的顯著性下應(yīng)拒絕無效假設(shè)，即均不服從這些常用分布，因此嘗試雙曲線分布。

2.2.3 雙曲線分布的K-S檢驗(yàn)

以上各類分布的K-S檢驗(yàn)在R軟件中均有成熟的函數(shù)，因此可用來直接檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)。但雙曲線分布的K-S檢驗(yàn)無成熟函數(shù)，因此需先假設(shè)焦煤和動(dòng)力煤樣本Rt服從雙曲線分布，估計(jì)出分布參數(shù)，再進(jìn)行K-S雙樣本檢驗(yàn)。

一維的廣義雙曲分布(GH)具有如下形式的密度函數(shù)[14]，見式(4)～(6)。

(4)

(5)

(6)

式中：x∈R,μ∈R,Kλ(t)是λ階的第三類修正貝塞爾函數(shù)，t>0。參數(shù)的取值范圍為:如果λ>0，則δ≥0,|β|<α；如果λ=0，則δ>0,|β|<α；如果λ<0，則δ>0,|β|≤α。

GH分布的性質(zhì)由參數(shù)向量θ=(λ,α,β,δ,μ)決定，α和δ決定密度函數(shù)的峰度，β決定偏度，μ和δ分別決定位置和尺度，λ決定尾部的厚度并標(biāo)記不同的子類。改變?chǔ)丝傻貌煌膊亢穸鹊姆植己瘮?shù)，衍生出不同尾部厚度的GH分布族的子類，λ=-0.5時(shí)為正態(tài)逆高斯分布，比如λ=1時(shí)為雙曲線分布。雙曲線分布的參數(shù)向量由θ=(π,ζ,δ,μ)表示。

分別生成兩組服從以上雙曲線分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行K-S雙樣本檢驗(yàn)。焦煤檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Djm=0.051 9，p值為0.461 1；動(dòng)力煤檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Ddlm=0.027 8，p值為0.985 1。結(jié)果均顯示在5%顯著性下不能拒絕無效假設(shè)“煤炭類期貨收益率服從雙曲線分布”。

2.3 正態(tài)與雙曲分布擬合度的可視化比較

為進(jìn)一步證明雙曲分布比正態(tài)分布更適于描述焦煤期貨收益率,本文分別繪制了概率密度曲線對(duì)比圖、正太分布Q-Q圖、雙曲線分布Q-Q圖，見圖1～3。

圖2是焦煤期貨指數(shù)正態(tài)分布Q-Q圖,圖3是雙曲分布Q-Q圖。圖2、圖3中斜線比較標(biāo)準(zhǔn)，斜率為1，如果散點(diǎn)與斜線重合度較高則樣本數(shù)據(jù)分位點(diǎn)與理論分布分為點(diǎn)較為接近，即可證明樣本服從該類型分布的可能性較高。圖2散點(diǎn)曲線多次彎折，與斜線重合度不高，但圖3散點(diǎn)曲線基本與直線重合，比較圖2、圖3可判定樣本數(shù)據(jù)服從雙曲分布的概率更高。

為進(jìn)一步證明雙曲分布比正態(tài)分布更適于描述動(dòng)力煤期貨收益率,本文繪制了概率密度曲線對(duì)比圖、正太分布Q-Q圖、雙曲線分布Q-Q圖，見圖4～6。

圖1 焦煤樣本、正態(tài)、雙曲線概率密度曲線圖

圖2 焦煤正態(tài)Q-Q圖

圖3 焦煤雙曲分布Q-Q圖

圖4 動(dòng)力煤樣本、正態(tài)、雙曲線概率密度曲線圖

圖5 動(dòng)力煤正態(tài)Q-Q圖

圖6 動(dòng)力煤雙曲分布Q-Q圖

圖5、圖6分別為動(dòng)力煤正態(tài)分布與雙曲線分布Q-Q圖，圖5、圖6中斜線比較標(biāo)準(zhǔn)，斜率為1，如果散點(diǎn)與斜線重合度較高則樣本數(shù)據(jù)分位點(diǎn)與理論分布分為點(diǎn)較為接近，即可證明樣本服從該類型分布的可能性較高。圖5散點(diǎn)曲線多次彎折，與斜線重合度不高，但圖6散點(diǎn)曲線基本與直線重合，比較圖5、圖6，可判定樣本數(shù)據(jù)服從雙曲分布的概率更高。

3 VaR對(duì)比結(jié)果與結(jié)論

3.1 VaR方法描述

VaR是指面臨“正?！钡氖袌?chǎng)波動(dòng)時(shí)“處于風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)的價(jià)值”，即在給定的置信水平和一定的持有期限內(nèi)，預(yù)期的最大損失量。通俗來講就是一定可能性下某段時(shí)間損失的最大錢數(shù)。由此可知，要確定一個(gè)金融機(jī)構(gòu)或資產(chǎn)組合的VaR值或建立VaR模型，必須首先確定以下三個(gè)參數(shù)：一是持有期間的長(zhǎng)短；二是置信水平的大小；三是觀察時(shí)點(diǎn)[15]。用公式表達(dá)，見式(4)。

VaRα=inf{l∈R:P(L>l)≤1-α}L=Vt-Vt-T

(4)

式中：T為持有期長(zhǎng)度；a為置信水平;t為觀察時(shí)點(diǎn);L為損失;V為資產(chǎn)價(jià)值;l是使F(1)=a的數(shù)。

計(jì)算VaR通常用Risk Metrics模型。該方法假定資產(chǎn)組合的價(jià)值變化服從正態(tài)分布，即：L=(Vt-Vt-1)～N(μ,δ2)。VaR的計(jì)算公式為:VaR=P0×Zα。其中P0表示資產(chǎn)的初始市場(chǎng)價(jià)值，表示正態(tài)分布的分位數(shù)。本文以雙曲線分布修正了正態(tài)分布假設(shè)，是對(duì)Za的修正。

此外，歷史模擬法也常用于計(jì)算VaR。該方法以樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n與置信水平a的乘積取整得到序數(shù)N，取由小到大排列后的第N個(gè)樣本數(shù)據(jù)，其值則為歷史VaR。

3.2 結(jié)果與結(jié)論

參數(shù)確定后的雙曲線分布不同顯著性水平下的分位值與資產(chǎn)初值的乘積為VaR。取資產(chǎn)初值為100萬元可得出不同顯著性水平下的VaR值，在表2、表3中列示(期貨可以做空，因此表2和表3列舉了上下尾部對(duì)稱的3對(duì)分位點(diǎn))。

表2 100萬元焦煤期貨投資在不同置信度下VaR值(萬元)的對(duì)比

比較不同方法所得VaR值，可以得到以下三點(diǎn)結(jié)論。

1)雙曲分布VaR與歷史VaR最為接近。此結(jié)果證明，把正態(tài)分布假設(shè)修正為雙曲分布假設(shè)可以提高煤炭類期貨價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)度量的精度。

2)焦煤雙曲線VaR與歷史VaR間的差值小于動(dòng)力煤雙曲線VaR與歷史VaR間的差值。此結(jié)果說明，雙曲線法對(duì)焦煤期貨指數(shù)VaR的估計(jì)更準(zhǔn)。

3)各置信度下焦煤VaR均大于動(dòng)力煤VaR。此結(jié)果說明，投資焦煤期貨的風(fēng)險(xiǎn)高于動(dòng)力煤期貨。

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重大專項(xiàng)

編者按：

2013年9月，習(xí)近平總書記提出“一帶一路”戰(zhàn)略構(gòu)想，描繪了具有劃時(shí)代意義的全球戰(zhàn)略新藍(lán)圖，為新形勢(shì)下中國礦業(yè)全球化提供新的戰(zhàn)略思路?！耙粠б宦贰钡貐^(qū)能源及重要礦產(chǎn)資源極為豐富，與中國在礦業(yè)及相關(guān)領(lǐng)域互補(bǔ)性強(qiáng)，合作前景廣闊。開展礦業(yè)與冶煉加工產(chǎn)業(yè)等領(lǐng)域產(chǎn)能合作是中國全面實(shí)施 “一帶一路”戰(zhàn)略最重要的組成部分，對(duì)促進(jìn)各國經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、保障中國資源產(chǎn)業(yè)安全和國際運(yùn)輸通道安全均具有極為重要的意義。中國地質(zhì)科學(xué)院礦產(chǎn)資源研究所陳其慎、于汶加研究團(tuán)隊(duì)以地質(zhì)調(diào)查二級(jí)項(xiàng)目“‘一帶一路’64國礦產(chǎn)資源供需格局及產(chǎn)能合作布局研究”項(xiàng)目為依托，系統(tǒng)開展了“一帶一路”沿線國家經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、礦產(chǎn)資源分布及供需趨勢(shì)、礦業(yè)及相關(guān)產(chǎn)業(yè)發(fā)展現(xiàn)狀及趨勢(shì)判斷以及產(chǎn)能合作建議等方面的研究。本次專欄展示了研究團(tuán)隊(duì)對(duì)東南亞、伊朗、烏茲別克斯坦和波蘭等幾個(gè)典型國家的研究成果，以期為各類相關(guān)人員提供參考。

Distribution fitting and risk metrics of coal futures returns

LI Baiji, YANG Ziming, KONG Detai

(School of Management, China University of Mining and Technology (Beijing), Beijing 100083, China)

In recent years, the influence of falling coal prices makes coal futures’ price volatility risk increases. The market environment leads the VaR model which based on the normal distribution could not measure coal futures price risk accurately. Therefore, how to measure coal futures price risk accurately becomes a serious problem. This paper based on the VaR model, tries using K-S tests to find other distributions, which can improve the risk metrics accuracy, to replace the normal distribution assumptions. The K-S test results show that coal futures returns comply with the hyperbolic distribution; probability density curves and Q-Q figures show that the hyperbolic distribution fits the reture series better than the normal distribution; VaR calculation and comparison shows that the hyperbolic VaRs are closer to history VaRs than the normal VaRs, and coking coal futures’ VaRs are greater than power coal futures’ VaRs. Therefore, the VaR model based on the hyperbolic distribution is more suitable for coal futures investors to measure risk; investment risk of coking coal futures is bigger than that of power coal futures.

coal class futures; VaR; distribution fitting; normal distribution; hyperbolic distribution

2016-11-22

李百吉(1962-)，男，黑龍江大慶人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)楹暧^經(jīng)濟(jì)、金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理、市場(chǎng)營銷、能源經(jīng)濟(jì)管理，E-mail:13911056088@163.com；

楊子銘(1988-)，男，河北石家莊人，博士研究生，研究方向?yàn)槟茉唇鹑?，E-mail: 2282375429@qq.com;

孔德泰(1985-)，男，河北衡水人，博士研究生，研究方向?yàn)閯?chuàng)新管理。

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1004-4051(2017)03-0043-05