武群麗，彭晨陽

(華北電力大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院，河北 保定 071003)

準確可靠的月徑流預(yù)測對水資源系統(tǒng)有效運行管理具有重要意義。由于受到氣候變化和人類活動等眾多因素的影響，河川徑流表現(xiàn)出非線性的復(fù)雜特性，因此對其未來趨勢的預(yù)測成為了水資源研究領(lǐng)域的難點問題[1]。近年來，計算機技術(shù)的飛速發(fā)展極大地豐富了徑流預(yù)測的研究方法，如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[2,3]，支持向量機[4,5]等非線性方法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型存在易陷入局部最優(yōu)、過學(xué)習(xí)、泛化能力差等缺點[6]。水文時間序列通常是非線性的小樣本數(shù)據(jù)，支持向量機方法在小樣本數(shù)據(jù)情況下預(yù)測效果仍優(yōu)于傳統(tǒng)模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[7]。但由于SVM算法存在超平面參數(shù)選擇問題，致使其求解規(guī)模過大。為此，Suykens[8]等人提出了最小二乘支持向量機算法。李佳[9]、李彥彬[10]、崔慶[11]、周秀平[12]等基于最小二乘支持向量機的建立徑流量預(yù)測模型，預(yù)測實例表明LSSVM在處理小樣本數(shù)據(jù)預(yù)測問題上有效地避免了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的易陷入局部最優(yōu)和過學(xué)習(xí)現(xiàn)象等問題。

隨著人工智能技術(shù)的蓬勃發(fā)展， LSSVM模型獲得廣泛地關(guān)注。而正則化參數(shù)γ和核函數(shù)參數(shù)σ2對LSSVM模型的學(xué)習(xí)和適應(yīng)能力有直接影響，所以一些研究在進行徑流預(yù)測分析時利用智能算法對LSSVM模型進行參數(shù)優(yōu)化。李文莉等[13]和代興蘭[14]分別使用粒子群算法和遺傳算法對LSSVM模型的學(xué)習(xí)參數(shù)進行尋優(yōu)。然而，這些算法比較容易陷入局部最優(yōu)，搜索到局部極小值。為了彌補現(xiàn)有算法的不足，Yang[15]提出了一種基于種群的隨機尋優(yōu)算法—蝙蝠算法(BA)。蝙蝠算法完美結(jié)合了粒子群算法、遺傳算法的主要優(yōu)點，使得蝙蝠算法具有模型簡單、搜索能力強、收斂速度快等優(yōu)點，因此蝙蝠算法已廣泛應(yīng)用到研究中[16-17]。鑒于蝙蝠算法在準確性和有效性方面較其他算法有很大優(yōu)勢，本文使用BA對LSSVM模型的正則化參數(shù)和核函數(shù)參數(shù)進行選擇并獲得全局最優(yōu)解。

1 研究方法與數(shù)據(jù)來源

1.1 蝙蝠算法

蝙蝠算法(BA)是基于蝙蝠的回聲定位理論形成的一種元啟發(fā)式優(yōu)化智能算法，為研究便利做出如下假設(shè)：

(1) 蝙蝠運用回聲定位感應(yīng)距離，并能以某種方式感知獵物和障礙物的差異；

(2) 蝙蝠在Xi位置以速度Vi隨機飛行，以固有頻率fmin、可變波長λ和響度A0搜索食物，它們能夠自動的根據(jù)食物與自身的距離調(diào)節(jié)發(fā)射的脈沖波長(或頻率)，并在靠近食物時調(diào)整脈沖的頻度γ∈[0,1]；

(3) 假定響度的變化從最大值A(chǔ)0(正值)到最小值A(chǔ)min。

蝙蝠算法的基本步驟表示如下：

①初始化蝙蝠種群xi和vi(i=1,2,…,n)；②初始化頻率fi，發(fā)射頻度ri和響度Ai；③While (t<最大迭代次數(shù))；④通過調(diào)整頻率產(chǎn)生新解；⑤更新速度和位置；⑥If (rand >ri)；⑦從最優(yōu)解集中選擇一個解；⑧從選擇的這個最優(yōu)解附近產(chǎn)生一個局部解；⑨End if；⑩通過隨機飛行產(chǎn)生一個新解；If [rand

1.2 最小二乘支持向量機

最小二乘支持向量機(LSSVM)是標準支持向量機(SVM)的一種改進算法，采用與SVM不同損失函數(shù)，用等式約束代替不等式約束，同時最小化誤差的平方項。它將解二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組的問題，有效提高了標準支持向量機的訓(xùn)練速度和精度。設(shè)樣本訓(xùn)練集S={(xi,yi)|i=1,2,3,…,t}，其中xi∈Rn，yi∈R。最小二乘支持向量機的基本思想是使用一個非線性映射函數(shù)將數(shù)據(jù)映射到一個高維特征空間，然后在高維空間進行線性回歸，最后映射回原空間完成輸入空間的線性回歸，其線性回歸函數(shù)可以表示為：

f(x)=ωTφ(x)+b

(1)

式中：φ(x)為核空間映射函數(shù)；ω為權(quán)向量；b為常數(shù)。

根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則確定參數(shù)ω，b，則有：

(2)

式中：‖ω‖2表示模型的復(fù)雜程度；γ是正規(guī)化參數(shù)；Remp為經(jīng)驗風(fēng)險函數(shù)；LSSVM是化目標函數(shù)為誤差ξi的二次項，故優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為：

(3)

s.t.yi=ωφ(xi)+ξi+b,i=1,2,3,…,t

式中：ξi為預(yù)測誤差，用拉格朗日法求解該問題，則有：

(4)

式中：λi(i=1,2,3,…,t) 是拉格朗日乘子。

根據(jù)Karush-Kuhn-Tucker(KKT)優(yōu)化條件，可得：

(5)

上述優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為求解線性方程：

式中：λ=[λ1,λ2,…,λt]T；I=[1,1,…,1]T為t×1維列向量；y=[y1,y2,…,yt]T，Jij=φ(xi)Tφ(xj)=K(xi,xj)，K為滿足Mercer條件的核函數(shù)，最后得出預(yù)測模型的函數(shù)為：

(7)

這里采用徑向基函數(shù)(RBF)作為核函數(shù)。

(8)

式中：σ2為核函數(shù)參數(shù)。

在選定核函數(shù)之后，LSSVM需要選取正則化參數(shù)γ和核參數(shù)σ2，在現(xiàn)存的文獻中，這兩個參數(shù)大多還是憑個人經(jīng)驗、實驗對比或者網(wǎng)格搜索法及交叉驗證等方法進行尋優(yōu)，這樣做耗時，效率低下而且預(yù)測結(jié)果不佳。而在本文中采用蝙蝠算法(BA)優(yōu)化這兩個參數(shù)，可進一步改善了模型的適應(yīng)性，有效提高預(yù)測精度。

1.3 蝙蝠算法-最小二乘支持向量機模型

基于BA算法的LSSVM的參數(shù)優(yōu)化步驟如下：

(1)參數(shù)設(shè)置。蝙蝠參算法的主要參數(shù)：蝙蝠種群大小n，最大迭代次數(shù)N，蝙蝠的響度A，脈沖頻率r，蝙蝠位置向量x，速度向量v。

(2)種群初始化。初始化蝙蝠種群的位置，每一個蝙蝠位置由LSSVM參數(shù)組合(γ,σ)構(gòu)成，公式如下：

x=xmin+rand(1,d)×(xmax-xmin)

(9)

式中：種群的維數(shù)d=2。

(3)更新參數(shù)。計算種群適應(yīng)度，找出當前最佳解，同時更新蝙蝠的飛行速度、脈沖頻率和位置，方法如下：

fi=fmin+(fmax-fmin)β

(10)

vti=vt-1i+(xti-x*)fi

(11)

xti=xt-1i+vti

(12)

式中：β∈[0,1]是均勻分布的隨機數(shù)；fi∈[fmin,fmax]是蝙蝠 的搜索脈沖頻率；vti、vt-1i分別表示蝙蝠i在t和t-1時刻的速度；xti、xt-1i分別表示當前蝙蝠i在t和t-1時刻的位置；x*表示當前所有全局最優(yōu)解。

(4)更新蝙蝠個體。如果有rand>ri，則對當前種群中最優(yōu)蝙蝠x*進行隨機擾動，產(chǎn)生新的蝙蝠個體；如果randf(x*)，則接受產(chǎn)生的新蝙蝠，并根據(jù)公式(13)和(14)更新響度Ai和脈沖頻率ri。

At+1i=αAti

(13)

rt+1i=r0i[1-exp(-γt)]

(14)

式中：0<α<1,γ>0均為常數(shù)。

(5)輸出全局最優(yōu)參數(shù)。對種群的所有蝙蝠的適應(yīng)度值進行排序，找出當前最優(yōu)解，重復(fù)步驟(2)至(4)，到最大迭代次數(shù)終止，輸出全局最優(yōu)參數(shù)，建立月徑流預(yù)測模型。

綜合以上所述步驟，可將BA-LSSVM算法流程用圖1表示。本文選擇月降水量作為預(yù)測月徑流的輸入變量。首先，利用LSSVM模型訓(xùn)練原始數(shù)據(jù)，以預(yù)測值與真實值的均方誤差作為蝙蝠算法的適應(yīng)度值。然后通過蝙蝠算法(BA)尋找LSSVM的群體最優(yōu)參數(shù)。最后，獲取最優(yōu)化參數(shù)的LSSVM模型用來預(yù)測月徑流。

圖1 BA-LSSVM模型流程圖Fig.1 Flowchart of BA-LSSVM

1.4 數(shù)據(jù)來源

本文選取了位于西江流域內(nèi)的柳州水文站2000-2014年實測月徑流資料作為研究對象。西江流域是珠江水系的主干流，上游南盤江發(fā)源于云南省沾益縣內(nèi)的馬雄山。而珠江流域是我國南方的重要水系，年徑流量僅次于長江流域，居全國第2位。西江流域面積為35.21 萬km2，占珠江流域總面積的77.8%[18]。西江流域是濕熱多雨的熱帶、亞熱帶氣候，大部分地區(qū)的年平均溫度在14～22 ℃之間，多年平均濕度在71%～80%，西江流域多年平均降雨量1 200～2 200 mm[19]。西江流域是廣東省和廣西省的經(jīng)濟、文化和政治中心。對西江流域內(nèi)的柳州水文站的月徑流進行預(yù)測，可為西江流域內(nèi)水資源管理提供科技支撐，更好地實現(xiàn)水資源的可持續(xù)發(fā)展。本文以2000-2011年各月徑流量作為訓(xùn)練樣本，以2012-2014年各月徑流量為測試樣本。研究期內(nèi)各月徑流量如圖2所示。

圖2 2000-2014年各月徑流量Fig.2 Monthly runoff data from 2000 to 2014

2 結(jié)果與分析

2.1 模型精度評價

本文選用確定性系數(shù)(Dy)、均方根相對誤差(RMSE)、平均絕對誤差百分比(MAPE)3個指標作為評價各種模型預(yù)測效果的依據(jù)。根據(jù)水文情報預(yù)報規(guī)范[20]，確定性系數(shù)DY值越大，模型精度越高。各評價指標計算公式如下：

(17)

2.2 模型參數(shù)選取

在實際應(yīng)用中，LSSVM模型的性能依賴于其參數(shù)的選擇，要建立最優(yōu)化的預(yù)測模型，必須進行參數(shù)尋優(yōu)。BA 作為一種新的群智能優(yōu)化算法為LSSVM參數(shù)的優(yōu)化提供了新的思路。本文中的LSSVM 模型選用徑向基函數(shù)(RBF)作為核函數(shù)，RBF函數(shù)的參數(shù)相對較少，且數(shù)值限制條件少，可以降低模型的復(fù)雜程度，提高訓(xùn)練速度，正則化參數(shù)γ和核函數(shù)參數(shù)σ2由BA自動搜索進行優(yōu)化。BA的主要參數(shù)如表1所示。

表1 BA的主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of BA

另外，為驗證BA-LSSVM模型良好的預(yù)測性能，本文同時使用粒子群算法優(yōu)化LSSVM模型的參數(shù)(PSO-LSSVM)，網(wǎng)格搜索與交叉驗證算法優(yōu)化的LSSVM模型，以及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進行對比。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)速率取0.01，循環(huán)次數(shù)取300，采用“試錯法”確定隱含層節(jié)點數(shù)為11。PSO-LSSVM模型的最大迭代次數(shù)為200，初始粒子群數(shù)為30。LSSVM模型的正則化參數(shù)γ和核函數(shù)參數(shù)σ2如表2所示。

表2 LSSVM模型的參數(shù)選擇結(jié)果Tab.2 The related parameters of different LSSVM models

2.3 不同模型預(yù)測結(jié)果分析

為保證模型的適用性和可靠性，本文分別采用BPNN，LSSVM，PSO-LSSVM和BA-LSSVM 4種方法對2000-2014年的月徑流數(shù)據(jù)進行訓(xùn)練和預(yù)測。其訓(xùn)練樣本集數(shù)為144，測試集樣本數(shù)為36。測試樣本的預(yù)測值與實測值如圖3所示。為了便于觀察和比較，表3給出了不同模型的月徑流預(yù)測結(jié)果。

圖3 預(yù)測值與實測值對比Fig. 3 Comparison of forecasting values and actual values

評價指標預(yù)測模型BALSSVMPSOLSSVMLSSVMBPNNDY0.98910.96680.93110.9278RMSE0.16640.31750.44820.5401MAPE/%15.1329.3141.1148.27

由圖3可知，不同預(yù)測方法得出的實測值與預(yù)測值的絕對誤差是不同的，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的絕對誤差較其他模型是最大的，而BA-LSSVM模型在絕大部分月份的預(yù)測值均是可以接受的。與使用網(wǎng)格搜索和交叉驗證算法進行參數(shù)優(yōu)化的LSSVM模型相比，通過智能算法對LSSVM模型進行參數(shù)優(yōu)化得到的改進模型更適合預(yù)測月徑流量。另外，與PSO-LSSVM相比，基于BA改進的LSSVM預(yù)測模型能夠顯著提高LSSVM模型的預(yù)測性能，表現(xiàn)出更好的泛化能力。

3 討 論

由表3可非常直觀的評價不同模型的預(yù)測性能，從中可以得出：本文建立了兩個改進的LSSVM模型(BA-LSSVM，PSO-LSSVM)，就 、RMSE、MAPE三個評價指標而言，BA-LSSVM模型達到的預(yù)測效果明顯優(yōu)于PSO-LSSVM混合預(yù)測模型，例如，BA-LSSVM模型的RMSE是0.166 4，而PSO-LSSVM模型的RMSE是0.317 5， BA-LSSVM模型的MAPE是15.13%，而PSO-LSSVM模型的MAPE是29.13%。這是因為BA吸收了現(xiàn)有智能算法的優(yōu)點，同時還結(jié)合了蝙蝠驚人的回聲定位能力，而粒子群算法實際是簡化的蝙蝠算法的特殊情形，所以蝙蝠算法的參數(shù)尋優(yōu)能力明顯優(yōu)于粒子群算法；BA-LSSVM和PSO-LSSVM模型的預(yù)測效果優(yōu)于使用網(wǎng)格搜索和交叉驗證進行參數(shù)優(yōu)化的LSSVM模型，原因是改進的LSSVM模型加入了參數(shù)自動搜索尋優(yōu)的過程，使得LSSVM模型具有更強的學(xué)習(xí)能力和泛化能力，也更易獲得全局最優(yōu)解； BA-LSSVM、PSO-LSSVM和LSSVM模型的預(yù)測精度都好于BPNN模型，這是因為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較強的非線性映射能力，能實現(xiàn)對非線性函數(shù)的逼近，但容易陷入局部最優(yōu)。另外，BPNN不能確保收斂到全局最優(yōu)解，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)也不易確定，從而造成月徑流預(yù)測精度較低。總體而言，本文提出的基于蝙蝠算法優(yōu)化最小二乘支持向量機模型適用于非線性的徑流序列分析和預(yù)測，并能顯著提高了對徑流序列的預(yù)測能力和預(yù)測精度，對實際的水文時序具有良好的適用性。

4 結(jié) 語

為對月徑流量進行有效的預(yù)測，本文建立了一個組合智能模型BA-LSSVM。以月降雨量作為輸入量，通過蝙蝠算法對LSSVM模型的正則化參數(shù) 和核函數(shù)參數(shù) 進行優(yōu)化，最終得到具有良好學(xué)習(xí)和泛化能力的模型對2011-2014年的月徑流量進行預(yù)測。

與PSO-SSVM 模型，使用網(wǎng)格搜索和交叉驗證算法優(yōu)化LSSVM模型以及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型相比， BA-LSSVM模型的各項精度評價指標值均較為理想，這表明BA-LSSVM具有很強的預(yù)測能力和實用性，為月徑流預(yù)報研究提供了新的思路。

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