邵玉龍段慶林,?,,2)高 欣李錫夔張洪武

?(大連理工大學工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室，大連116024)

?(成都理工大學地質災害防治與地質環(huán)境保護國家重點實驗室，成都610059)

??(武漢大學水資源與水電工程科學國家重點實驗室，武漢430072)

自適應一致性高階無單元伽遼金法1)

邵玉龍?段慶林?,?,??,2)高 欣?李錫夔?張洪武?

?(大連理工大學工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室，大連116024)

?(成都理工大學地質災害防治與地質環(huán)境保護國家重點實驗室，成都610059)

??(武漢大學水資源與水電工程科學國家重點實驗室，武漢430072)

近來提出的一致性高階無單元伽遼金法通過導數修正技術大幅度減少了所需積分點數目，并能夠精確地通過線性和二次分片試驗，顯著改善標準無單元伽遼金法的計算效率、精度和收斂性.本文在此基礎之上，充分利用無單元法易于在局部區(qū)域添加節(jié)點的優(yōu)勢，發(fā)展了一致性高階無單元伽遼金法的h型自適應分析方法.根據應變能密度梯度該方法自適應地確定需節(jié)點加密的區(qū)域，基于背景積分網格的局部多層細化要求生成新的計算節(jié)點，同時考慮了節(jié)點分布由密到疏漸進過渡的情形.采用相鄰兩次計算的應變能的相對誤差作為自適應過程的停止準則,將所發(fā)展自適應無網格法應用于由幾何外形、邊界外載和體力等因素造成的應力集中問題的計算分析.數值結果表明，所發(fā)展方法能夠自適應地對高應力梯度區(qū)域進行節(jié)點加密，自動給出合理的計算節(jié)點分布.與已有的標準無網格法的自適應分析相比，所發(fā)展方法在計算效率、精度和應力場光滑性等方面均展現出顯著優(yōu)勢.與采用節(jié)點均勻分布的一致性高階無單元伽遼金法相比，它大幅度地減少了計算節(jié)點數目，有效提高了一致性高階無單元伽遼金法在分析應力集中等存在局部高梯度問題時的計算效率和求解精度.

無單元伽遼金法，無網格法，自適應分析，應變能密度，應力集中

引言

無單元伽遼金(element-free Galerkin,EFG)法作為一種具代表性的無網格方法，由于具有易于建立高階近似函數、易于處理大變形和實現自適應計算等優(yōu)勢而引發(fā)計算力學界的廣泛關注，已被成功應用于金屬成型[1-2]、裂紋擴展[3-4]以及板彎曲[5]等眾多問題的數值分析與模擬中.然而，EFG方法的計算效率不高這一缺陷仍然阻礙著該方法在實際工程問題中的廣泛應用.導致其效率低下的一個主要原因是其需要較多的數值積分點.例如，采用背景三角形積分網格的二階EFG方法通常要求在每個三角形積分子域內至少使用16個積分點，這嚴重降低了它的計算效率.近來很多學者對此進行了改進[6-9]，其中由段慶林等[8-9]提出的一致性無單元伽遼金(consistent EFG,CEFG)法通過導數修正技術大幅度減少了所需的積分點數目.例如，二階的CEFG方法在每個背景三角形積分子域內僅需3個積分點.更重要的是，二階CEFG方法能夠精確地通過線性和二次分片試驗，因而同時具有很高的計算精度和效率，已在熱傳導[10]、動力響應[11]、三維彈塑性[12]以及不可壓縮固體的變形分析[13-14]等多種問題中獲得成功應用，展現出良好的發(fā)展?jié)摿?

本文目的是在CEFG方法的基礎之上，充分利用無網格法便于在局部區(qū)域添加計算節(jié)點的優(yōu)勢，為CEFG發(fā)展自適應分析方法，進一步提高它求解局部高梯度問題的計算效率.

自適應方法能夠根據解的性態(tài)對網格或節(jié)點進行局部自動加密，可大幅度減少節(jié)點數目和減小計算規(guī)模，通過較小的計算量便能得到高精度解，因而在現代工程計算中得到了廣泛應用[15-17].無網格法(如EFG法)近似函數的建立不依賴于網格單元，因而在建立節(jié)點形函數的意義上無須將新生成節(jié)點與周圍節(jié)點連成網格單元，這為局部加密提供了很大便利.因而，不少學者在無網格法的自適應分析方法方面開展了大量的研究工作.Duarte和Oden[18]首先提出了h,p和h-p型自適應Hp無單元云團法.劉欣等[19]在此基礎上，針對平面彈性問題發(fā)展了一種顯示后驗誤差指標，對平面裂紋進行了自適應分析.數值結果表明，該自適應方案能夠在高應力梯度的裂紋尖端進行自適應網格加密，并具有很好的收斂性和精度.Chung和Belytschko[20]采用縮減影響域的形函數，在EFG方法的框架下提出了一種簡單且易于實現的誤差分析方法，并成為后續(xù)多種自適應無單元方法[21-22]的基礎.Hiiussler-Combe和Korn[23]以及Rabczuk和Belytschko[24]將基于Taylor展開的誤差估計應用于線彈性斷裂的自適應分析，發(fā)現基于該誤差分析的自適應方法收斂性好，并能夠對高應力梯度區(qū)域進行網格加密.Liu和Tu[25]采用不同數量的積分點對能量進行數值積分，將它們的差作為評價背景網格是否需要細化的標準，提出了基于背景網格的自適應EFG方法.干年妃等[26]對該方法進行了改進，發(fā)展了基于RKPM方法的自適應無網格法，對撞擊、擠壓成型等具有局部高梯度的問題進行了成功的數值模擬.Luo和Combe[27]使用平均應變能梯度作為網格加密準則，提出了基于應變能密度梯度的自適應EFG方法.張征等[28]將基于應變能的自適應準則應用于接觸問題，相對于均勻網格大幅度提高了分析效率.由于重新構造形函數比較耗時，Metsis等[29]提出了一個兩級h型自適應無單元方法，僅需要計算所添加節(jié)點對剛度陣的貢獻，不需要重新計算初始剛度陣.

應指出的是，盡管自適應分析的研究已有如前所述的大量工作，但它們均基于標準的無網格法(如EFG方法)，在每個積分子域內仍然須使用大量積分點，如Chung和Belytschko[20]在每個積分單元上使用了5×5的高斯積分點，Sethuraman等[21]則更是使用了6×6的積分點配置，這仍然嚴重影響了計算效率.與此不同的是，本文發(fā)展的自適應方法是基于已大幅度減少積分點且能精確通過分片試驗的一致性無單元伽遼金法,將能展現出更好的計算效率和精度.

1 一致性無單元伽遼金法：積分格式與導數修正

考慮區(qū)域為Ω、邊界為Γ的二維彈性體，平衡方程和相應的邊界條件為

其中，σ為Cauchy應力，b為體力，n為邊界的單位外法線矢量，分別為邊界上的固定力和位移.彈性本構關系可寫為

其中ε為應變，D為彈性模量矩陣.

采用無單元伽遼金法，位移近似為

其中，uI為節(jié)點位移參數向量.

為形函數矩陣，NI(x)為節(jié)點的無網格形函數，它的計算過程可參見文獻[30].采用Nitsche法[31]施加固定位移邊界條件，最終的伽遼金離散方程為其中K為剛度陣，f為等效節(jié)點載荷向量，β為懲罰系數，KΓu,Kp,fΓu和fp為Nitsche法引入的額外項，具體的推導過程參見文獻[8].

由于EFG方法的節(jié)點形函數是非多項式的有理函數，為保證計算的穩(wěn)定性和精度，需要較多的數值積分點，這嚴重降低了計算效率.針對該問題，本文采用Duan等[8]提出的一致性無單元伽遼金法.對于本文考慮的二階近似，該方法采用如圖1所示的二階一致三點積分格式 (quadratically consistent 3-point integration,QC3).圖1中的黑色實心點表示CEFG法的計算節(jié)點，將它們連成背景積分子域，每個子域采用3個域內積分點(紫五角星)，在每條邊上使用兩個一維高斯點(紅花點)用于計算邊界積分.

圖1 QC3積分方法示意圖Fig.1 Schematic diagram of the QC3 integration method

域積分點上形函數的空間導數由如下它與形函數之間的散度定理確定

其中，ΩS是背景積分子域，ΓS為積分子域的邊界，是MLS形函數的基底函數向量.本文采用二次近似，即

應用圖1積分格式對式(7)進行數值積分得到

求解方程式(11)，可得到3個積分點上的x方向的修正導數NI,x(x)，y方向修正導數NI,y(x)同理可求得.這些導數將被用于計算剛度陣K.

2 自適應方案

2.1 細化區(qū)域的確定

本文采用Luo和Hiiussler-Combe[27]提出的基于應變能密度梯度的準則來確定需節(jié)點加密的區(qū)域，其中應變能密度為

定義應變能密度的平均梯度為

顯然，GSED能夠識別出應變能密度變化劇烈的區(qū)域，如應力集中區(qū)域.然而，在識別出的高梯度區(qū)域上是否需要進一步細分網格(加密節(jié)點)，還需考慮該區(qū)域當前的網格分布情況.為此，定義網格密度為

其中，N為面積為A的區(qū)域內的節(jié)點數.為進一步度量當前計算網格關于應變能密度梯度的密集程度，引入網格強度rd，定義為如下應變能密度的平均梯度與網格密度的比值

將網格強度在全域上的最大和最小值分別表示為

可定義介于Rmin和Rmax之間的兩網格強度RC1和RC2作為網格細化的標準，采用兩級的方式，即當rd＞RC1時，僅進行一層加密；當rd＞RC2時，進行兩層加密.

在本文采用的方法中，為計算網格強度rd，需要計算應變能密度的導數和網格密度.考慮一個節(jié)點數為Nk，面積為A的背景積分網格k，節(jié)點的應變能密度為

可通過積分網格k內Nk個節(jié)點間能量密度的平均變化近似計算應變能密度的導數

2.2 細化方案

由以上闡述的應變能密度梯度準則可確定需要加密的背景積分單元.如圖2所示，由于無網格法允許懸空節(jié)點的存在(如圖2(b)中的點D)，因此可方便地對積分網格直接進行局部細化，并將其邊上中點作為新引入的計算節(jié)點，以實現節(jié)點的加密.對于需二層加密的積分網格，如圖3中的網格單元abc，可使用積分網格邊上的四等分點作為新節(jié)點對該網格進行二次細化，同時還須對共用該網格節(jié)點的臨近網格進行加密以保證網格分布的光滑過渡.顯然，無網格法形函數僅依賴于節(jié)點，不依賴于網格，因而允許出現懸空節(jié)點，這為計算節(jié)點的局部加密提供了極大便利.

圖2 一層網格加密示意圖Fig.2 Schematic diagram of one-level mesh refinemen

圖3 兩層網格加密示意圖Fig.3 Schematic diagram of two-level mesh refinemen

應注意的是，積分網格的局部加密還影響了式(7)中網格邊界積分的計算.如圖4所示，按式(7)計算單元acd內3個積分點上的形函數導數時，邊ac的積分須使用圖示的4個積分點，而非圖1所示的2個積分點，這是CEFG方法應用于自適應分析須特別注意之處.

圖4 自適應QC3積分方案示意圖Fig.4 Schematic diagram of the adaptive QC3 integration scheme

其中δ為介于0和1之間的一個計算參數.通過選取合適的δ，當式(24)得到滿足時，即相鄰兩次計算的應變能相對誤差小于δ時，自適應過程終止，此即是本文所采用的自適應停止準則，詳見文獻[27].

3 數值算例

本節(jié)將通過數值算例考察和驗證本文發(fā)展的自適應CEFG方法的有效性和優(yōu)越性.所有算例的參數均無量綱化，彈性模量E=1×107，泊松比ν=0.3.為作比較，對同樣采用應變能密度梯度自適應準則的標準EFG方法也進行了程序實現，并稱之為自適應EFG方法，它在每個三角形積分子域內使用16個積分點，積分點上形函數的導數采用標準形式(即對形函數直接求導)，而非由式(11)求得的修正導數，這是這兩種方法的本質區(qū)別所在.

3.1 方板圓孔問題

該算例是彈性力學的經典考題之一，計算域尺寸、邊界條件和載荷如圖5所示.初始的計算節(jié)點分布和積分網格(節(jié)點典型間距h=0.5)如圖6所示.

自適應方案中的兩個網格強度參數分別取為RC1=20%Rmax和RC2=80%Rmax，自適應停止指標δ=1×10-4.圖7顯示了本文方法經過自適應節(jié)點加密后的計算節(jié)點分布和積分網格.可以看出，本文方法能夠準確地對存在應力集中的小孔周邊區(qū)域進行自適應加密.而且，本文方法能夠十分精確地得出圖5中A點處的應力集中系數為3.注意到，該問題的解析解表明A點附近的應力集中程度遠高于B點附近，相應地，本文自適應方法得到的計算節(jié)點分布在A點的密集程度也遠高于B點.這些結果表明了本文方法的正確性及其處理局部應力集中問題的有效性.

圖5 方板圓孔問題示意圖Fig.5 Schematic diagram of the plate with a hole problem

圖6 方板圓孔問題的初始配置Fig.6 Initial set-up for the plate with a hole problem

圖7 方板圓孔問題的自適應結果Fig.7 Adaptivity for the plate with a hole problem

與已有的CEFG方法相比，本文方法的優(yōu)勢在于所引入的自適應節(jié)點加密方案，這一點可由圖8看出.顯然，要取得同樣的高精度，本文發(fā)展的自適應CEFG方法所需的計算節(jié)點數比CEFG方法要少得多，因而可大幅度減少CPU時間.

圖8 方板圓孔問題的位移誤差--節(jié)點數曲線Fig.8 Displacement error-number of nodes curve of the plate with a hole problem

與同樣采用自適應技術的EFG方法相比，本文方法在計算精度和計算效率方面具有顯著優(yōu)勢，這集中反映在表1中.而且，如圖9所示，本文發(fā)展的自適應CEFG方法得到的應力場要比自適應EFG方法的好得多.這些數值結果表明本文方法的優(yōu)越性.

圖9 方板圓孔問題σyy應力場比較Fig.9 Comparison of σyystress fiel of the plate with a hole problem

表1 方板圓孔問題的兩種自適應方法比較Table 1 Comparison of the two adaptive methods for the plate with a hole problem

3.2 受壓半無限平面問題

該算例也是彈性力學的經典考題，其解析解見文獻[32].如圖10所示，計算域取為3×3區(qū)域，上邊界的固定位移和右邊界的載荷均按解析解施加.

初始的計算節(jié)點配置取為節(jié)點典型間距h=0.25的均勻分布，自適應停止指標δ=5×10-5.圖11顯示了本文自適應方法得到的計算節(jié)點分布和相應的積分網格.顯然，它能自適應地對下邊界受壓區(qū)域進行局部的節(jié)點加密，得到合理的計算節(jié)點分布，因而能比未采用自適應技術的CEFG方法節(jié)省大量的計算節(jié)點，如圖12所示.

圖10 受壓半無限平面問題示意圖Fig.10 Schematic diagram of the pressure-loaded half plane problem

圖11 受壓半無限平面問題的自適應結果Fig.11 Adaptivity for the pressure-loaded half plane problem

圖12 受壓半無限平面問題的位移誤差--節(jié)點數曲線Fig.12 Displacement error-number of nodes curve of the pressure-loaded half plane problem

表2比較了本文發(fā)展的自適應CEFG方法與已有的自適應EFG方法計算該考題的誤差和消耗的CPU時間，顯然，本文方法具有更好的精度和效率.而且，如圖13所示，本文方法能得到更好的應力場.

表2 受壓半無限平面問題的兩種自適應方法比較Table 2 Comparison of the two adaptive methods for the pressure-loaded half plane problem

3.3 變體力板

該算例考察本文方法對于非均勻體力造成局部高梯度問題的有效性.如圖14所示，考慮一4×4的平板受到如下的非均勻體力

由以上的解析解可以看出，隨著到中心原點處距離的增加，位移和應力均急劇地下降為0，因而在中心附近造成了局部高梯度的存在.

圖13 受壓半無限平面問題σxx應力場比較Fig.13 Comparison of the σxxstress fiel of the pressure-loaded half plane problem

圖14 變體力板示意圖及初始節(jié)點分布Fig.14 Schematic diagram of the plate with non-constant body force problem and its initial node distribution

如圖 14所示，初始節(jié)點分布均勻，典型間距h=0.2，自適應停止指標所有邊界均按解析解施加位移固定邊界條件.

圖15顯示了本文方法得到的節(jié)點分布和相應的積分網格，它能夠自適應地在中心附近進行局部節(jié)點加密.兩種自適應方法的計算結果比較如表3所示.顯然，本文方法具有更好的計算精度和效率.圖16顯示了兩種自適應方法得到的應力場，也可以看出，本文自適應CEFG方法更加準確.

圖15 變體力板問題的自適應結果Fig.15 Adaptivity for the plate with non-constant body force problem

表3 變體力板問題兩種自適應方法比較Table 3 Comparison of the two adaptive methods for the plate with non-constant body force problem

圖16 變體力板問題σxx應力場比較Fig.16 Comparison of the σxxstress fiel of the plate with non-constant body force problem

4 結論

本文在已有的一致性高階無網格法的基礎之上，充分利用無網格法易于實現自適應計算的優(yōu)勢，采用應變能密度梯度準則驅動自適應過程，發(fā)展了自適應一致性高階無單元伽遼金法.數值結果表明，該方法在分析應力集中等局部高梯度問題時，大量減少了所需的節(jié)點數目，顯著提高了一致性高階無網格法分析該類問題的計算效率.與已有的標準無網格法的自適應分析相比，所發(fā)展方法在計算效率、精度、應力場光滑度等方面也均展現出了顯著優(yōu)勢.

應說明的是，對于由幾何突變造成的應力集中問題(如算例1)，容易判別出應力集中區(qū)域因而可以事先進行手動加密.然而，對于從幾何外形上無法判別應力集中區(qū)域的問題(如算例3)，自適應分析則十分有用.再考慮到局部高梯度區(qū)域隨計算發(fā)生演化的問題，如裂尖高梯度應力場隨裂紋擴展而移動等，所發(fā)展的自適應一致性高階無單元伽遼金法在分析此類問題時應具有顯著的優(yōu)勢.當然，它在這些復雜問題中的具體應用仍有賴于深入研究.

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ADAPTIVE CONSISTENT HIGH ORDER ELEMENT-FREE GALERKIN METHOD1)

Shao Yulong?Duan Qinglin?,?,??,2)Gao Xin?Li Xikui?Zhang Hongwu?

?(State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment，Dalian University of Technology，Dalian116024，China)

?(State Key Laboratory of Geohazard Prevention and Geoenvironment Protection，Chengdu University of Technology，Chengdu610059，China)

??(State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science，Wuhan University，Wuhan430072，China)

The recently developed consistent high order element-free Galerkin(EFG)method not only dramatically reduces the number of quadrature points in domain integration but also accurately passes the linear and quadratic patch tests,and remarkably improves the computational efficiency,accuracy and convergence of the standard EFG methods.On this basis,this work presents the h-adaptive analysis for consistent high order EFG method by taking advantage of the convenience of the EFG method in adding approximation nodes locally.The proposed method adaptively determines the region which needs nodal refinemen according to the gradient of the strain energy density.The generation of the new approximation nodes is based on the multi-level local mesh refinemen of the background integration mesh.The gradualtransition between the regions with and without nodal refinemen is also considered.The relative error of the strain energy in two successive computation is adopted as the stop-criterion of the adaptive process.The proposed adaptive meshfree method is applied to the analysis of stress concentration caused by geometry,external boundary loads and body forces.Numerical results show that the developed method is able to refin the region with high stress gradient adaptively and to generate reasonable distribution of approximation nodes automatically.In comparison with the existing adaptive schemes of the standard EFG method,the proposed method shows remarkable advantages on computational efficiency, accuracy and the smoothness of the resulting stress fields In comparison with the consistent high order EFG method using uniform nodal distribution,the proposed adaptive method dramatically reduces the number of computational nodes. As a consequence,it significantl improves the computational efficiency and accuracy of the consistent high order EFG method for the analysis of problems with local high gradients such as stress concentration.

element-free Galerkin method，meshfree/meshless methods,adaptive analysis，strain energy density,stress concentration

O343.1

A doi：10.6052/0459-1879-16-252

2016-09-07收稿，2016-11-04錄用,2016-11-07網絡版發(fā)表.

1)國家自然科學基金 (11232003,11372066)、中央高校基本科研業(yè)務費專項資金 (DUT15LK07)、遼寧省教育廳重點實驗室基礎研究(LZ2014002)、水資源與水電工程科學國家重點實驗室開放基金(2015SGG03)和地質災害防治與地質環(huán)境保護國家重點實驗室開放基金(SKLGP2016K007)資助項目.

2)段慶林，副教授，博士，主要研究方向為無網格法、材料破壞分析與模擬等.E-mail：qinglinduan@dlut.edu.cn

邵玉龍,段慶林,高欣,李錫夔,張洪武.自適應一致性高階無單元伽遼金法.力學學報,2017,49(1)：105-116

Shao Yulong,Duan Qinglin,Gao Xin,Li Xikui,Zhang Hongwu.Adaptive consistent high order element-free Galerkin method.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(1)：105-116