胡宸然

摘 要：對于函數(shù)圖像，我們所認知的基本初等函數(shù)的圖像特性已成為規(guī)律被人們所掌握，而復雜型函數(shù)的圖像由基本初等函數(shù)以復合、組合的形式構(gòu)成，是有規(guī)律可尋的。該文通過對雙軸法的構(gòu)思、深入討論、對原函數(shù)斜率的分析處理、多組子函數(shù)構(gòu)成組合函數(shù)的圖像、雙軸法的延伸——隱函數(shù)與顯函數(shù)曲線間的疊加5個步驟，對組合型函數(shù)圖像的描繪進行了闡述和推導。

關(guān)鍵詞：雙軸法 組合型函數(shù) 組合函數(shù)圖像 圖像描繪

中圖分類號：F83 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）08（c）-0178-05

對于函數(shù)圖像，我們所認知的基本初等函數(shù)的圖像特性已成為規(guī)律被所人們掌握，而今天的討論便架設在此基礎之上。

對于復雜型函數(shù)，其圖像特征便不再如初等函數(shù)信手拈來，但究其本質(zhì)，是由初等函數(shù)以復合、組合的形式構(gòu)成，便有規(guī)律可尋。復合函數(shù)可由“增增為增，減減為增，增減成減”的單調(diào)性復合規(guī)律再加之極值點進行討論。而“雙軸法”的引出便是對組合函數(shù)（如，等）圖像的討論。

1 雙軸法的構(gòu)思

讓我們先用一個實例為切入點引入該法的概念，以為例。

可以將其看作是兩個函數(shù)的疊加，即與，則函數(shù)值也為兩子函數(shù)疊加。如何讓其在平面直角坐標系中疊加？不妨先做出兩函數(shù)圖像（由基本初等函數(shù)知識，我們很容易做出）（見圖1）。

若直接讓該兩個子函數(shù)在坐標系中疊加，看起來會雜亂無章，可若將其中一個函數(shù)“倒過來”呢？如圖2將兩圖像相互反置在一張圖中。

不難看出，兩函數(shù)疊加形成的陰影部分在軸方向上的長度即為所對應的函數(shù)值；如果把該陰影縱向分割成無數(shù)線段，讓這些線段的下端點都平齊于軸上，即為原函數(shù)圖像，如圖3所示，線段的長度即為所對應函數(shù)值的大小的絕對值，正負性會在接下來進行討論，這便是“雙軸法”概念的引入。

2 對雙軸法進行深入討論

對雙軸法有了初步了解，讓我們繼續(xù)深入探討此法。

2.1 組合型函數(shù)值正負性

在上文中舉出的函數(shù)其子函數(shù)與其值域都為的子集，故用雙軸法疊加后“互不侵犯”，不會到對方的半個坐標系，這樣舉例是為了方便理解，可若兩子函數(shù)值域不為的子集呢？如。

如圖4所示，我們發(fā)現(xiàn)疊加圖像中實線陰影部分出現(xiàn)了“相交”的情況。

在雙軸坐標系中，上部為的正值區(qū)域，同時也是的負值區(qū)域，不妨把其形象看作對于正值的“掠奪”，原本的正值，被負值疊加后成為負值，則實線陰影區(qū)域即為原函數(shù)負值區(qū)域，進行整合時，將組成它的無數(shù)小線段的上端平齊于軸。

如圖5所示，即為原函數(shù)函數(shù)圖像，得出規(guī)律：“相離為正，相交為負”。

2.2 極值與最值

在對函數(shù)圖像的刻畫中，極值點與最值點的定位是一個很重要的環(huán)節(jié)，具有導向性。先拿兩個函數(shù)進行分析（見圖6）。

通過觀察不難發(fā)現(xiàn)幾點規(guī)律。

（1）零點：由“相離”到“相交”之間的轉(zhuǎn)換所對應函數(shù)圖像便是由正值到負值之間的轉(zhuǎn)換，即雙軸疊加圖像中兩個子函數(shù)的交點，即為函數(shù)零點。

（2）單調(diào)性——“喇叭”。觀察圖6中的①②③④，我們會發(fā)現(xiàn)在雙軸疊加圖像中會出現(xiàn)不少這樣的“喇叭”型片段；不討論正負，單討論“值”，很容易發(fā)現(xiàn)，“喇叭”所對的喇叭口方向，即為值的遞增。在正值即“相離”區(qū)域，值的遞增便是函數(shù)值的遞增，沿軸正方向即為單調(diào)遞增，延軸負方向即為單調(diào)遞減；相反地，在負值“相交”區(qū)域中，負值的遞增表達在函數(shù)值中即為遞減，延軸正方向即為單調(diào)遞減，延軸負方向即為單調(diào)遞增。

（3）極值。對（2）的延伸討論即為“梭”形（圖6中②③），梭形對于“值”的變化即為由小到大再由大到小，那么不難理解其梭形“最寬處”在原函數(shù)圖像中即對應一個極值點。

在“相交”負值區(qū)域中，“最寬處”對應負值最大值，表現(xiàn)在原函數(shù)中即為極小值；在“相離”正值區(qū)域，相反地，“最寬處”為一個極大值。

觀察上圖7中的⑤，函數(shù)雙軸疊加圖像中，亦會有這樣的“葫蘆形”片段出現(xiàn)在正值共域或負值共域中（共域：區(qū)域內(nèi)函數(shù)值都為正或都為負，即都為“相交”或都為“相離”）。經(jīng)過前面的討論，可以直接得出其規(guī)律：“最窄處”對應一個值的最小點，在“相交”負值共域中，對應一個極大值，在“相離”正值共域中，表現(xiàn)為一個極小值（也有可能為該定義域內(nèi)的最值，具體要和相鄰定義域的圖像情況結(jié)合起來分析）。

（4）最值。對于一個區(qū)域性極值，對區(qū)域兩端函數(shù)圖像單調(diào)性進行分析即可得出其是否為最值，如圖6中②③“喇叭”片段中為一個區(qū)域極小值，對①與④進行分析，發(fā)現(xiàn)位于軸負方向上的①片段是一個單調(diào)遞減區(qū)間，位于軸正方向上的④片段是一個單調(diào)遞增區(qū)間，綜合分析得出結(jié)論：在原函數(shù)中是一個最小值點。

（5）值域。對比分析原函數(shù)最值便可輕易推算出函數(shù)在定義域內(nèi)的值域；對函數(shù)雙軸疊加圖像進行分段處理單獨分析也可推算出單個區(qū)間的值域。

如圖6中①②片段，作為一個極小值點出現(xiàn)，而①②片段為單調(diào)遞減，故①②片段最小值，則在區(qū)間上值域為。

3 對原函數(shù)斜率的分析處理（以下子函數(shù)的斜率為雙軸圖中直觀斜率）

（1）斜率的大小。

從導數(shù)的定義我們可以知道，原函數(shù)導數(shù)為子函數(shù)導數(shù)之和，滿足單純的加減運算。如原函數(shù)，子函數(shù)即為與，可推知：。

（2）斜率正負性與大小對于單調(diào)性的判斷。

由前文我們了解了由雙軸疊加圖像中一些形如“喇叭”“梭”“葫蘆”形等簡單片段對于原函數(shù)單調(diào)性的判斷，可復雜型組合函數(shù)有更多的是像圖8這樣復雜、直觀無法判斷的圖像，為了方便雙軸法疊加圖像更加直觀，我們可對原函數(shù)進行配比：。

框中圖像片段并不好直觀進行判斷，并且其斜率的計算也比較復雜：。那么，我們應該如何根據(jù)雙軸疊加圖像判斷原函數(shù)的單調(diào)性呢？

這個片段判斷單調(diào)性的難處在于在上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞增，減少量與增加量誰大誰小難以判斷。在這里，為了方便理解，我們可以引入物理學的概念，把函數(shù)的斜率看作其函數(shù)值基于均勻變化而變化的速度，即“速度”；而斜率變化的快慢看作“速度”的“加速度”，即“二階導數(shù)”；既然無法直接判斷減少量與增加量誰大誰小，不如宏觀判斷究竟是“加得快”還是“減得快”。

這種情況，兩子函數(shù)在雙軸圖中斜率具有（即直觀來看同時向下或向上延伸）。

將其分為4種類型如圖9所示。

在圖9①中，雙軸上部子函數(shù)初始斜率小于下部。

觀察實線情況，二階導數(shù)恒正，二階導數(shù)恒負。不斷增大，不斷減小，當時，達到極小值，之后便開始單調(diào)遞增；即時，單調(diào)遞減，當時，開始單調(diào)遞增。

觀察虛線情況，恒負，而恒正。不斷減小，不斷增大，又由于，所以增長的速度要永遠慢于的減小速度，呈單調(diào)遞減。

在圖9②中，雙軸圖上部子函數(shù)初始斜率大于下部。

觀察實線情況，恒正，恒負。不斷增大，不斷減小，又由于，所以增長的速度要永遠快于的減小速度，呈單調(diào)遞增。

觀察虛線情況，恒負，而恒正。不斷減小，不斷增大，當時，達到極大值，之后開始單調(diào)遞減；即時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減。

分析完①②兩種類別，仔細觀察③④，會發(fā)現(xiàn)它們分別是①與②繞軸旋轉(zhuǎn)180°形成的圖像，規(guī)律相似，故不再重復分析。

以上分析的情況中，永遠與正負性相異，是較簡單的情況，比較容易分析。

那么，要是與正負性相同呢？（見圖10）

在圖10①中，上部子函數(shù)初始斜率小于下部，且與恒正。

觀察虛線情況，。與不斷增大，且增長速度要快于，又由于，所以的減小量恒大于的增大量，單調(diào)遞減。

觀察實線情況，。與不斷增大，在時，單調(diào)遞減，在時，單調(diào)遞增。

在圖10②中，上部子函數(shù)初始斜率大于下部，且與恒正。

觀察虛線情況，當時單調(diào)遞增即在片段內(nèi)全部單調(diào)遞增。

觀察實線情況，當時單調(diào)遞增，當時單調(diào)遞減，即在該片段內(nèi)先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減。

分析到這里，我們大致可以總結(jié)出一個規(guī)律：當增長量子函數(shù)斜率絕對值大于減少量子函數(shù)斜率絕對值時，函數(shù)

單調(diào)遞增，反之單調(diào)遞減（其中，斜率是指雙軸圖中直觀斜率）。

舉個簡單的例子：，則，。

對圖11雙軸疊加圖像進行分析，在與上為典型的“喇叭”型，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。分析區(qū)間：，（圖中直觀斜率），故，一開始減小速度快于增長速度，呈單調(diào)遞減。不斷減小，不變，當時：，故當大于后，，單調(diào)遞增；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

4 多組子函數(shù)構(gòu)成組合函數(shù)的圖像

以上我們分析的都是由兩組子函數(shù)構(gòu)成的組合函數(shù)，但要是兩組以上呢？

我們可以累計逐一疊加，舉個例子（如圖

12）：。

如上，用如此逐一累加的方法就可以逐步做出由兩組以上子函數(shù)構(gòu)成的組合函數(shù)的圖像。

5 雙軸法的延伸——隱函數(shù)與顯函數(shù)曲線間的疊加

形如，這樣的隱函數(shù)曲線，所對應的在軸方向上并不具有單一性，如果直接使用雙軸法將其與顯函數(shù)曲線進行疊加，雙軸疊加圖像會顯得雜亂不堪，不好進行辨別。那么，應該用什么樣的方法進行疊加才會讓它變得直觀可辨呢？我們可以用一些技巧，讓隱函數(shù)曲線變得像顯函數(shù)曲線一樣（如圖13）。

——“分而治之”：

舉個例子，如：與（-1≤≤1）。

通過以上的討論，我們已對雙軸法的構(gòu)思和復雜性組合函數(shù)圖像的描繪方法有了一定的了解。筆者相信，雙軸法的推廣和使用，會讓函數(shù)與曲線圖像的繪制與其性質(zhì)的研究更加方便，一定會成為研究數(shù)學、物理、化學、生物、計算機及其他學科的好工具，也能讓更多與函數(shù)相關(guān)領(lǐng)域的應用中多了一種解決問題的方案，會給人們帶來更多快捷！

參考文獻

[1] 人民教育出版社，課題材料研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心編著.普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學1必修A版[M].2版.北京：人民教育出版社，2007.

[2] 人民教育出版社，課題材料研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心編著.普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學4必修A版[M].2版.北京：人民教育出版社，2007.

[3] 人民教育出版社，課題材料研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心編著.普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學1-1選修A版[M].3版.北京：人民教育出版社，2007.

[4] 人民教育出版社，課題材料研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心編著.普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學2-2選修A版[M].2版.北京：人民教育出版社，2007.

[5] 劉菊芬，田朗華，吳芳.初等函數(shù)讀圖教學突破策略[J].銅仁學院學報，2013，15（6）：169-171.

[6] 沈恒，劉薇.函數(shù)圖像中的數(shù)學文化[J].上海中學數(shù)學，2009（11）：23-25.

[7] 黃超.函數(shù)的圖像與性質(zhì)[J].中學數(shù)學教學參考，2016（3）：

47-51.

[8] 王光輝.圖像在解答函數(shù)題中的作用[J].考試：高考數(shù)學版，2013（1）：48-52.