鄧東平，李 亮，趙煉恒

(中南大學 土木工程學院，長沙 410075)

極限平衡理論下邊坡穩(wěn)定性抗滑強度參數(shù)反演分析

鄧東平，李 亮，趙煉恒

(中南大學 土木工程學院，長沙 410075)

抗滑強度參數(shù)的取值對正確評估邊坡穩(wěn)定性有著重要影響，而參數(shù)反演是快速準確獲取邊坡抗滑強度參數(shù)的一種有效方法?；谶吰路€(wěn)定性分析結果和滑動面抗滑強度參數(shù)與臨界滑動面一一對應的關系，建立抗滑強度參數(shù)與邊坡安全系數(shù)之間2個特定關系式；由此，在給定臨界滑動面的安全系數(shù)或某一強度參數(shù)時，即可求解反演結果。為了便于計算，考慮多種因素影響，采用極限平衡瑞典法進行穩(wěn)定性分析，并基于臨界圓弧滑動面的判別，推導出參數(shù)反演的顯示表達式。經(jīng)算例對比分析，驗證了該方法的可行性，且簡單適用。同時，參數(shù)影響研究分析表明，臨界滑動面上的監(jiān)測點位間距越大，其點位位置誤差對反演強度參數(shù)的影響越小。最后，將方法應用于工程實例當中，說明了該方法的實用性。

臨界滑動面；安全系數(shù)；邊坡穩(wěn)定性；強度；參數(shù)反演；極限平衡

1 研究背景

邊坡穩(wěn)定性分析中，巖土體抗滑強度參數(shù)是必不可少的數(shù)據(jù)[1-4]。為了獲得巖土體抗滑強度參數(shù)值，通常可采取現(xiàn)場試驗、室內實驗和參數(shù)反演等方法[5-9]。上述方法中，現(xiàn)場試驗和室內實驗方法存在一些不足，如現(xiàn)場試驗法所需經(jīng)費多、試驗周期長及取值難等問題。對于室內實驗法，其取樣存在隨機性，且取樣時易造成巖土體的擾動以致直接影響試驗數(shù)據(jù)的代表性。然而，利用參數(shù)反演法獲得的邊坡抗滑強度參數(shù)可靠、經(jīng)濟合理[10-14]，且簡單可行，故該方法被前人廣泛應用。采用參數(shù)反演法對邊坡抗滑強度參數(shù)進行分析，需滿足如下條件：①易于判斷邊坡滑動面，且此滑動面為邊坡臨界滑動面；②給定滑動面對應的安全系數(shù)能被確定。

基于極限平衡理論對邊坡穩(wěn)定性抗滑強度參數(shù)進行反分析，研究者已做出一系列研究[2]，如有學者提出在失穩(wěn)邊坡的滑動體內任取2個平行于主滑動方向的二維滑動面，然后，對此2個二維滑動面進行穩(wěn)定性分析，由此得到抗滑強度參數(shù)(黏聚力c與內摩擦角φ)的2條關系曲線，進而通過求解這2條關系曲線的交點來獲取反演強度參數(shù)結果。然而，該方法僅當所取2個二維滑動面的性質相同時，其所得交點才較為可靠。另外，Jiang[15-16]利用臨界圓弧滑動面位置與抗滑強度參數(shù)之間存在的特定關系，繪制出一系列實用的強度參數(shù)反演圖表，但該圖表對邊坡問題的復雜性考慮不足。

給定邊坡滑動面對邊坡強度參數(shù)進行反演，可利用邊坡穩(wěn)定性極限平衡解答獲得抗滑強度參數(shù)之間滿足的一個關系式。然而，求解2個反演強度參數(shù)需2個方程。因此，強度參數(shù)之間的另一關系式需被建立。由給定滑動面為臨界滑動面這個條件，可知僅當反演強度參數(shù)與邊坡真實強度參數(shù)一致時，采用反演強度參數(shù)分析得到的臨界滑動面與給定邊坡滑動面最為接近，由此便建立抗滑強度參數(shù)反演的另一關系式。

前述分析建立了抗滑強度參數(shù)之間的2個關系式，由此構成本文邊坡穩(wěn)定性抗滑強度參數(shù)反演的理論基礎。為了便于計算，瑞典法被采用對邊坡進行穩(wěn)定性分析，然后，基于臨界圓弧滑動的判別，推導出抗滑強度參數(shù)反演的顯式計算公式。經(jīng)算例對比分析，驗證了本文方法的可行性。同時，通過參數(shù)分析研究臨界滑動面上監(jiān)測點位誤差對反演參數(shù)的影響。最后，將本文方法應用于工程實例中，說明該方法的實用性。

2 邊坡穩(wěn)定性抗滑強度參數(shù)反演基本理論

2.1 基本理論

極限平衡理論下的邊坡抗滑強度參數(shù)反演基本方法如下所述。

(1) 由邊坡穩(wěn)定性計算方法獲得給定滑動面下邊坡安全系數(shù)與抗滑強度參數(shù)的一個關系式。

(2) 基于(1)中邊坡安全系數(shù)與抗滑強度參數(shù)的關系式，選擇滿足此關系的一系列強度參數(shù)組合，從而利用此系列的強度參數(shù)組合重新計算邊坡穩(wěn)定性，并得到2條曲線。其中：曲線1為給定滑動面的安全系數(shù)與強度參數(shù)的變化曲線；曲線2為利用強度參數(shù)組合計算臨界滑動面的邊坡安全系數(shù)(即最小邊坡安全系數(shù))與強度參數(shù)的變化曲線。

(3) 由(2)中的2條曲線之間的關系可知，當此系列強度參數(shù)組合與真實的強度參數(shù)組合最為接近時，由強度參數(shù)組合搜索得到的臨界滑動面與給定滑動面最為接近，即表現(xiàn)為曲線1和曲線2的斜率相等。

(4) 將(2)中的曲線2采用簡單的一元多次方程擬合，由其與曲線1的斜率相等即可建立安全系數(shù)與抗滑強度參數(shù)的另一關系式。

(5) 基于(1)和(4)中安全系數(shù)與抗滑強度參數(shù)的2個關系式，當給定臨界滑動的安全系數(shù)或邊坡的某一強度參數(shù)已知時，即可求解另外2個參數(shù)。

需說明的是，實際工程中，對邊坡進行抗滑強度參數(shù)反演時，一般認為該邊坡已發(fā)生滑動或存在滑動趨勢，并假設此時邊坡的安全系數(shù)為1。然而，實際發(fā)生滑動的邊坡其安全系數(shù)可能<1，而存在滑動趨勢的邊坡其安全系數(shù)可能>1，且安全系數(shù)的大小也受到其他外部因素的影響。因此，傳統(tǒng)方法以邊坡安全系數(shù)為1對抗滑強度參數(shù)進行反演存在一定的不足。在此，本文考慮當滑動面上巖土體的某一抗滑強度參數(shù)已確定時，對另一抗滑強度參數(shù)和邊坡的安全系數(shù)進行反演。同時，盡管本文方法最適用于反演均質邊坡的抗滑強度參數(shù)，但同樣可對非均質邊坡的綜合強度參數(shù)進行分析。

2.2 臨界滑動面判別與分析

圓弧作為實際滑動面的一種簡化型式，已在實際工程中廣泛使用，并被前人驗證其不僅在均質邊坡中是可行的，在非均質土質邊坡中也可適用。根據(jù)前述分析，本文的研究成果主要應用于類均質邊坡，故在此假定邊坡的臨界滑動面近似為圓弧。對于圓弧滑動面，若確定其上的3個點，即點s1(x1,y1)，s2(x2,y2)，s3(x3,y3)，便可根據(jù)圓弧方程解得圓弧滑動面的圓心坐標(xc，yc)和半徑R，進而確定圓弧滑動面的形狀和位置。

另外，實際工程中，為了判別臨界滑動面的位置，采用不同方法(如勘察和邊坡深部位移監(jiān)測)獲得臨界滑動面上的點位基本多于3個，即為有一系列的點位，此時可采用曲線擬合的方法來獲得邊坡臨界滑動圓弧的圓心坐標(xc，yc)和半徑R。

2.3 邊坡穩(wěn)定性分析

圖1為邊坡穩(wěn)定性分析計算模型。

圖1 邊坡穩(wěn)定性分析計算模型Fig.1 Calculation models of slope stability analysis

當考慮外界振動作用(或地震作用)時，采用擬靜力法進行計算，將其分解為水平和豎直2個方向力，大小采用水平和豎直向作用系數(shù)kH和kV與坡體重力的乘積來表示，其中，當振動(或地震)水平力指向坡外方向時kH為正值，當振動(或地震)豎直力與坡體重力方向相反時kV為正值。

如圖1(b)所示，取一般情況下微單元土條abcd進行受力分析，作用其上的力有：重力dW、水平振動力(或地震力)kHdW、豎直振動力(或地震力)kVdW、滲透力dJ、滑動底面剪切力dS和法向力dN。α為滑動底面傾角，θ為浸潤線傾角。采用以土骨架為分析對象，則可得整個滑動體上的滑動力dT和抗滑力dR的微單元計算式分別為：

dT=kHcosαdW+

(1)

(2)

式中：c為土的黏聚力；φ為土的內摩擦角。

微單元土條中重力dW和滲透力dJ的計算分別為：

(3)

(4)

式中：λ1=γ′/γ；λ2=γw/γ；γ′為土的浮重度；γ為土的天然重度；γw為水的重度，dx為微單元土條寬度，h1為浸潤線到滑動底面的豎直距離，h2為坡面線到浸潤線的豎直距離。

對于h1和h2，其計算分別為：

(5)

(6)

式中：y1為坡面線方程；y2為浸潤線方程；yx為滑動圓弧方程。

當土條i邊界的x軸范圍為 (xi-1,xi)時，y1，y2，yx的計算分別為：

(7)

(8)

(9)

為了能表示安全系數(shù)與抗滑強度參數(shù)的簡單關系，采用瑞典法對邊坡穩(wěn)定性進行分析，其安全系數(shù)的計算公式為

(10)

式中I1，I2，I3為計算參量。

將sinα= (x-xc)/R和cosα=(yc-yx)/R代入式(1)和式(2)中，并聯(lián)合式(3)和式(4)，可得I1，I2，I3的計算分別為：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式中：A，B，C，a11，a12，a13，b11，b12，s11，s12，s13，a21，a22，a23，b21，b22，s21，s22和s23均為計算參數(shù)，其中，aij(i= 1, 2和j= 1, 2, 3),bij(i= 1, 2和j= 1, 2)和sij(i= 1, 2和j= 1, 2, 3)的計算公式見表1。

上述計算公式是在一般情況下根據(jù)土條受力所推導而得。然而，滑動體內土條劃分可存在如下4種情形：①土條完全處于水位以下，且無滲流力作用；②土條完全處于水位線以上，且無滲流力作用；③土條部分處于水位線以上，且有滲流力作用；④土條部分處于水位線以上，且無滲流力作用。由此，根據(jù)劃分土條所處的這4種不同情形，式(9)中參數(shù)存在不同計算取值，并作如下規(guī)定：

(2) 對于情形③和④，式(9)中各參數(shù)不變。

2.4 邊坡穩(wěn)定性抗滑強度參數(shù)反演

邊坡抗滑強度參數(shù)反演模型有2種模式，如圖2所示。

表1 參數(shù)計算Table 1 Calculation formulas for parameters

圖2 邊坡抗滑強度參數(shù)反演模型Fig.2 Models of back analysis of slope’s anti-slide strength parameters

2.4.1 參數(shù)反演模式1

反演邊坡穩(wěn)定性抗滑強度參數(shù)，根據(jù)前述可知，邊坡滑動面及其對應的安全系數(shù)Fs已知。由式(10)可得滿足該滑動面上安全系數(shù)為Fs的一系列c和φ組合，為了便于表示，采用無量綱參數(shù)c/γH和tanφ表達此關系，即

(21)

前述分析表明，由式(21)得到的一系列c和φ組合僅有一組滿足其搜索得的臨界滑動面與所給定滑動面一致，而其他組合則不滿足，即其他組合搜索得臨界滑動面的邊坡安全系數(shù)(即最小邊坡安全系數(shù))均小于此定值Fs。因此，當取滿足式(10)的若干強度參數(shù)組合來計算邊坡最小安全系數(shù)時，表現(xiàn)為如圖2(a)所示性質，即僅當滿足搜索得的臨界滑動與所給定滑動面一致時，則該組c和φ所計算得的邊坡最小安全系數(shù)最大。

根據(jù)上述分析，選取一定范圍內的內摩擦角φ，由式(21)獲得相應的黏聚力c。然后，由這些不同c和φ組合計算最小邊坡安全系數(shù)，并采用一元多次方程對該曲線進行擬合，其擬合關系式為

f=a0+a1tanφ+a2tan2φ+a3tan3tanφ。

(22)

式中：f為安全系數(shù)；a0，a1，a2，a3均為擬合參數(shù)。由后續(xù)算例表明采用該式對圖2曲線進行擬合的線性關系R2均>0.99。

在式(22)中令df/dtanφ= 0，則可得到模式一下邊坡抗滑強度參數(shù)反演的第2個關系式，結合第1個關系式(即式(10))，從而解得參數(shù)反演結果，即黏聚力c和內摩擦角φ。

2.4.2 參數(shù)反演模式2

如前所述，考慮到理論模型與實際模型的差別，若給定滑動面的某一強度參數(shù)已知，則仍可通過式(10)來反算另一強度參數(shù)和該滑動面相對應的邊坡安全系數(shù)Fs。同樣，對式(10)轉換形式，采用無綱量參數(shù)c/γH和tanφ表達此關系，即

(23)

式(23)表明給定滑動面的邊坡安全系數(shù)與抗滑強度參數(shù)成線性關系。同樣，可知若選取的強度參數(shù)搜索得的臨界滑動面與給定滑動面不一致時，則該強度參數(shù)搜索得臨界滑動面的邊坡安全系數(shù)(即最小邊坡安全系數(shù))要小于式(23)計算得的邊坡安全系數(shù)，表現(xiàn)為如圖2(b)所示性質，即僅當強度參數(shù)取值使搜索得的臨界滑動面與給定滑動面一致時，其計算得的最小邊坡安全系數(shù)與式(10)所得的安全系數(shù)最為接近。

由上述分析，選取一定范圍內的強度參數(shù)，計算不同強度參數(shù)所得最小邊坡安全系數(shù)，并同樣采用式(22)對該曲線進行擬合。當在式(22)中令df/dtanφ=I2/I3或df/d(c/γH) = (I1/I3)H時，則可得到模式2下邊坡抗滑強度參數(shù)反演的第2個關系式，結合第1個關系式(即式(10))，從而解得參數(shù)反演結果，即另一反演強度參數(shù)和給定滑動面的邊坡安全系數(shù)。

3 計算對比分析

3.1 算例驗證

算例1[17]：如圖3(a)所示，邊坡坡高H=20 m，坡角β=45°，土的天然重度γ=25 kN/m3，文獻中給定黏聚力c=42 kPa，內摩擦角φ=17°。以坡腳點為原點建立xoy軸坐標系，邊坡的臨界圓弧滑動面圓心坐標為(-0.480 m，28.840 m)，半徑R=28.840 m，對應的安全系數(shù)Fs=1.062。

算例2[18]：如圖3(b)所示，邊坡坡高H=15 m，坡面由5段折線組成，其中，h1=3 m和β1=60°，h2=3 m和β2=50°，h3=3 m和β3=40°，h4=3 m和β4=30°，h5=3 m和β5=20°；土的天然重度γ=18.0 kN/m3；水平向地震作用系數(shù)kH=0.0，豎直向地震作用系數(shù)kV=0.3；文獻中給定黏聚力c=26 kPa，內摩擦角φ=20°。以坡腳點為原點建立xy軸坐標系，邊坡的臨界圓弧滑動面圓心坐標為(-0.284 m，25.098 m)，半徑R=28.840 m，對應的安全系數(shù)Fs=1.627。

圖3 邊坡算例模型Fig.3 Models of slope examples

算例3[19]：如圖3(c)所示，2個臺階型邊坡參數(shù)坡高H1=6 m，坡角β1=60°，臺階寬B1=2 m；坡高H2=4 m，坡角β2=45°，臺階寬B2=2 m；坡高H3=2 m，坡角β3=30°。土的天然重度γ=17.2 kN/m3，飽和重度γsat=19.2 kN/m3；坡外水位高hs1=3 m；浸潤線傾角θ=20°，浸潤線最高點到坡頂點的水平距離z=4 m；文獻中給定黏聚力c=28.33 kPa，內摩擦角φ=22°。以坡腳點為原點建立xy軸坐標系，邊坡的臨界圓弧滑動面圓心坐標為(3.009 m，15.918 m)，半徑R=16.200 m，對應的安全系數(shù)為Fs=1.401。

針對上述3個算例，采用給定邊坡滑動面及其對應的安全系數(shù)反演強度參數(shù)，計算結果見表2。

表2 邊坡抗滑強度參數(shù)反演結果Table 2 Results of back analysis of slope’s anti-slide strength parameters

由表2可知：各算例中采用本文方法所得反演結果與文獻值頗為接近，可說明本文方法的正確性。

3.2 滑動面位置變動對強度參數(shù)反演結果影響

如圖4所示，邊坡坡高H=10 m，坡角β=45°，土的天然重度γ=17.8 kN/m3。臨界圓弧滑動面參數(shù)由其上的3個監(jiān)測點按前述方法計算獲得，其中，臨界圓弧滑動面對應的安全系數(shù)Fs=1.000。

圖4 臨界滑動面上監(jiān)測點位Fig.4 Monitoring points on critical slip surface

實際工程中，臨界滑動面上點位位置的判斷可能存在一定的誤差，而這些誤差將會對反演結果產(chǎn)生影響。為了研究這種影響的大小，令各監(jiān)測點分別在原位置向上或向下移動△h=0.1 m，由此形成6種情況，如圖4所示。

以坡腳點為原點建立xoy軸坐標系，設定這3個監(jiān)測點s2與s1、s3與s2在x軸上間距s分別為3.0，3.5，4.0，4.5，5.0 m，點s1、點s2和點s3的坐標見表3。

表3 臨界滑動面上監(jiān)測點點位坐標Table 3 Coordinates of monitoring points on critical slip surface m

圖6 邊坡實例模型Fig.6 Model of slope example

根據(jù)前述方法，由表3中不同間距下的臨界滑動面監(jiān)測點位數(shù)據(jù)所反演得抗滑強度參數(shù)結果如圖5(a)所示，當監(jiān)測點分別向上或向下移動△h所產(chǎn)生的6種情況反演得的抗滑強度參數(shù)結果如圖5(b)和圖5(c)所示。

由圖5可知： 相比滑動面上的監(jiān)測點位之間小間距，監(jiān)測點位大間距時反演得的黏聚力c要小，而反演得的內摩擦角φ要大；滑動面上的監(jiān)測點位間距較大時，監(jiān)測點位位置誤差影響對反演參數(shù)的影響越小。

4 工程實例

如圖6所示，某高速公路邊坡土的天然重度γ=18.2 kN/m3，飽和重度γsat=21.6 kN/m3，邊坡上層為巖土層堆積體，下層為基巖，在巖層與堆積體界面位于坡腳點下方豎直距離h=14.8 m處，巖層傾角δ=15°。該邊坡在施工期已發(fā)生失穩(wěn)，通過實測邊坡滑動點位和勘探資料，當以坡腳點為原點建立xoy軸坐標系時，擬合得到臨界圓弧滑動面圓心坐標為(-149.809 m，1 301.406 m)，半徑R=1 310.000 m，臨界圓弧滑動面對應的安全系數(shù)Fs=1.0。

在采用本文強度參數(shù)反演時，由于基巖的強度參數(shù)遠大于巖土堆積體，故不考慮滑動面會出現(xiàn)在基巖層中。同時，考慮到模型對實際情況的簡化，令滑動面的下滑動位于原點上，由此，反演得此邊坡的強度參數(shù)為：c=16.169 kPa，φ=10.481°。

5 結 論

通過分析給定滑動面時邊坡的穩(wěn)定性，可得邊坡抗滑強度參數(shù)與給定滑動面對應的安全系數(shù)之間的一個關系式。由選取滿足該關系式的不同強度參數(shù)組合，并以此組合計算臨界滑動面對應的最小安全系數(shù)。當該組強度參數(shù)與真實的強度參數(shù)相接近時，計算得的最小安全系與給定滑動面對應的安全系數(shù)最為接近，且搜索得到的臨界滑動面與給定滑動面基本相同。利用該規(guī)律便可得到邊坡抗滑強度參數(shù)與給定滑動面對應的安全系數(shù)之間存在的另一個關系式。在前述2個關系式的基礎上，應用極限平衡瑞典法，考慮多種復雜因素，基于臨界圓弧滑動面的判別，推導得強度參數(shù)反演的顯式計算公式，該公式簡單實用。經(jīng)算例對比分析，驗證了本文方法的可行性，且經(jīng)參數(shù)分析可得如下結論：

(1) 本文方法不僅適用于強度參數(shù)反演，而且當給定滑動面上某一強度參數(shù)確定時，可對給定滑動面對應的安全系數(shù)進行反演。

(2) 臨界滑動面上監(jiān)測點位的間距越大，則監(jiān)測點位的位置誤差影響對反演強度參數(shù)影響不大。

最后，本文方法應用于實際工程算例中，表明了該方法的實用性。

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(編輯：姜小蘭)

Back Analysis of Anti-slide Strength Parameters of Slope StabilityBased on Limit Equilibrium Theory

DENG Dong-ping, LI Liang, ZHAO Lian-heng

(College of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

The values of anti-slide strength parameters have important influence on the calculation of slope stability, and back analysis is an effective method to obtain the anti-slide strength parameters quickly and accurately. In this article, two specific equations for anti-slide strength parameters and factor of safety are established based on the results of slope stability analysis and the relationship between anti-slide strength parameters and the corresponding critical slip surface. Thus the results of back analysis can be obtained when the factor of safety or a strength parameter is known for the given critical slip surface. For the sake of convenient calculation, the explicit expressions for back analysis of parameters are deduced by adopting the limit equilibrium Swedish method to analyze slope stability in consideration of a variety of factors. Furthermore, the critical slip surface is assumed to be circular and is determined by survey methods. Through comparison with some examples, the correctness of this method is verified. Moreover, researches on the parameter analysis show that the larger spacing of monitoring sites on critical slip surface, the smaller effect of position error of monitoring sites on the inversion result. Application of the present method to engineering example illustrates its practicability.

critical slip surface; factor of safety; slope stability; strength parameters; back analysis; limit equilibrium

2015-12-30；

2016-02-22

國家自然科學基金項目(51608541)；中國博士后科學基金面上項目(2015M580702)；貴州省交通運輸廳科技項目(2010-122-020, 2014-122-006)

鄧東平(1985-)，男，湖南岳陽人，博士后，從事道路與鐵道工程等方面的研究，(電話)13975150476(電子信箱)dengdp851112@126.com。

10.11988/ckyyb.20151127

2017,34(3):67-73，79

TU434

A

1001-5485(2017)03-0067-07