黃忠釗，譚立新

(1.西安理工大學(xué) 水力學(xué)研究所,西安 710048； 2.福建長(zhǎng)樂市水利局，福建 長(zhǎng)樂 350200)

一種改進(jìn)的聚合模型在污泥絮凝-沉降模擬中的應(yīng)用

黃忠釗1,2，譚立新1

(1.西安理工大學(xué) 水力學(xué)研究所,西安 710048； 2.福建長(zhǎng)樂市水利局，福建 長(zhǎng)樂 350200)

鑒于在試驗(yàn)中難以觀測(cè)到污泥絮團(tuán)的粒徑分布情況，且以往類似模擬中鮮有考慮絮團(tuán)分形特征及絮團(tuán)黏結(jié)效率的問題，通過一種改進(jìn)的聚合模型來模擬污泥顆粒間的分形聚合機(jī)理，并在群體平衡模型(PBM)和兩相流Mixture模型基礎(chǔ)上對(duì)污泥的絮凝-沉降進(jìn)行三維數(shù)值模擬。模擬結(jié)果表明：建立的數(shù)學(xué)模型能較好地反映黏性污泥分形絮凝-沉降規(guī)律，具預(yù)測(cè)絮團(tuán)粒徑分布的能力；在同一時(shí)刻絮團(tuán)的粒徑分布范圍隨著分形維數(shù)的降低逐漸變寬，大粒徑絮團(tuán)數(shù)量迅速增加，小粒徑絮團(tuán)數(shù)量逐漸減少；初始顆粒數(shù)量的衰減速率隨分形維數(shù)的增大而增大；絮團(tuán)數(shù)量總體呈先增加后減少的趨勢(shì)，但當(dāng)分形維數(shù)不同時(shí)，其最大值隨分形維數(shù)的增大而增大，出現(xiàn)時(shí)間隨著分形維數(shù)的增大而有所縮短。

改進(jìn)聚合模型；群體平衡模型；污泥絮凝；沉降；絮團(tuán)粒徑分布；分形維數(shù)；數(shù)值模擬

1 研究背景

至今為止， 人們對(duì)絮凝過程的模擬研究幾乎都是建立在簡(jiǎn)化模擬條件和附加模擬假定之上[1]。 在早些的絮凝數(shù)值模擬方法中對(duì)于絮團(tuán)的聚合模型大多數(shù)是假定絮團(tuán)為無空隙的實(shí)心球體， 即絮團(tuán)體積等于聚合顆?；蛐鯃F(tuán)的體積之和， 且絮團(tuán)密度始終等于初始顆粒密度[2]， 這與實(shí)際絮團(tuán)包含顆粒及水的松散不規(guī)則多空隙結(jié)構(gòu)顯然不符。 近年來， 人們更深入地研究了顆粒或絮團(tuán)碰撞聚合速率和絮團(tuán)分形維數(shù)、 顆?；蛐鯃F(tuán)粒徑之間的關(guān)系[3]。 1992年， G.L.Du等[4]對(duì)B.E.Logan[5]和Q.Jiang[6]的結(jié)論進(jìn)行改進(jìn)， 得到了更適合用于數(shù)值模擬的絮團(tuán)碰撞頻率函數(shù)， 然而， 該函數(shù)雖然比較充分地考慮了絮團(tuán)分形維數(shù)的特征， 但是G.L.Du等未曾對(duì)顆?；蛐鯃F(tuán)的曲線碰撞作進(jìn)一步研究。 2010年， 趙明[7]在考慮絮團(tuán)分形與曲線碰撞的前提下， 建立了黏性泥沙的絮凝沉降數(shù)學(xué)模型， 但該模型函數(shù)也遺傳了前人關(guān)于顆粒碰撞效率為一定值的缺陷性假設(shè)。

因此，本次模擬研究將基于絮團(tuán)分形理論，運(yùn)用群體平衡模型(PBM)定義初始污泥顆粒的的尺寸，通過一種改進(jìn)的聚合模型來模擬污泥顆粒間的分形聚合機(jī)理，并且耦合上述模型和兩相流Mixture模型對(duì)污泥的絮凝-沉降進(jìn)行三維數(shù)值模擬，以期尋求一種既能充分考慮絮團(tuán)的分形特征，又能有效避免盲目地選擇絮團(tuán)黏結(jié)效率的污泥絮凝-沉降數(shù)值模擬方法。

2 數(shù)學(xué)模型描述

2.1 一種改進(jìn)的聚合模型

聚合模型是為了確定顆粒間的碰撞聚合速率，是絮凝模擬研究中的關(guān)鍵問題，因此碰撞聚合速率函數(shù)也必然是本次模擬研究需要著重考慮的問題。H.Luo[8]在顆粒的碰撞聚合研究中通過試驗(yàn)?zāi)M推演得到了顆粒碰撞頻率和碰撞黏結(jié)效率與顆粒布朗運(yùn)動(dòng)、顆粒間速度差、顆粒表面張力、顆粒相對(duì)粒徑等因素的函數(shù)關(guān)系，但其卻不考慮顆粒聚合的分形特征。為了解決上述模型缺陷，本文對(duì)G.L.Du和H.Luo及趙明等人的研究結(jié)果進(jìn)行整合改進(jìn)，得到一種改進(jìn)的聚合模型，其表達(dá)式為：

(1)

βag(Vi,Vj)=

(2)

Pag(Vi,Vj)=

(3)式中：α(Vi，Vj)表示由體積分別為Vi，Vj的顆粒碰撞生成新顆粒的速率；βag(Vi，Vj)表示顆粒間的碰撞頻率；Pag(Vi，Vj)表示顆粒碰撞的黏結(jié)效率；Vi是第i級(jí)絮團(tuán)的體積；Vj是第j級(jí)絮團(tuán)的體積；κ是玻爾茲曼常數(shù)；T是指絕對(duì)溫度；μ是液相的動(dòng)力學(xué)黏度；V0是初始顆粒的體積；DF是絮團(tuán)的分形維數(shù)；ρw表示液相的密度；ρ0表示顆粒相的密度；g是重力加速度；c1為統(tǒng)一秩序常數(shù)；xij為顆粒i粒徑與顆粒j粒徑的比值；Weij為無量綱韋伯?dāng)?shù)。

2.2 群體平衡模型

群體平衡模型(PBM)是描述多相流顆粒離散相粒徑尺寸分布情況的常用方法。在固液兩相流模擬中研究固相在液相中的相互作用機(jī)理，可以運(yùn)用群體平衡模型(PBM)考察固相顆粒聚合與破碎作用對(duì)固相顆粒絮團(tuán)粒徑大小分布情況的影響。群體平衡模型的基本方程為

(4)

2.3 絮團(tuán)沉降速度

1994年，C．Kranenburg[9]基于絮團(tuán)分形結(jié)構(gòu)特征，通過實(shí)驗(yàn)及模擬推導(dǎo)得到了絮團(tuán)空隙內(nèi)充滿液體時(shí)絮團(tuán)的密度函數(shù)，即

(5)

將式(5)代入層流區(qū)Stokes公式便可得到考慮絮團(tuán)分形因素下的沉速公式，即

(6)

式中：ρl表示液相的密度；ρs表示顆粒相的密度。

2.4 混合模型的連續(xù)方程、動(dòng)量方程、第二相的體積分?jǐn)?shù)方程

連續(xù)方程為

(7)

動(dòng)量方程為

(8)

第二相的體積分?jǐn)?shù)方程為

(9)

式中：v→m是混合相的質(zhì)量平均速度；v→k是第k相的質(zhì)量平均速度；ρm是混合相密度；ρk是第k相的密度；m是混合相的傳遞質(zhì)量；αk是第k相的體積分?jǐn)?shù)；μm是混合黏度；vdr,k是第k相的飄移速度；F→是體積力；n是相數(shù)。

2.5 標(biāo)準(zhǔn)k-ε紊流模型

(10)

(11)

圖1 J.De Clercq等 試驗(yàn)裝置[10]Fig.1 Test device by J.De Clercq[10]

3 幾何模型邊界條件及算法

本文模擬將選取J.De

Clercq等[10]的污泥沉降試驗(yàn)作為對(duì)比數(shù)據(jù)。Jeriffa De Clercq等試驗(yàn)裝置如圖1所示。在此實(shí)物基礎(chǔ)上，文中模擬建立的三維幾何圓柱模型尺寸為:高h(yuǎn)=1 m,半徑r=0.2 m，并對(duì)模型劃分網(wǎng)格，共生成19 248個(gè)單元。由于模擬所建立的幾何圓柱模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，此處不再附圖說明。

對(duì)幾何模型的上頂面采用通量為0的邊界條件，即初始時(shí)刻以后不再有污泥混合液從頂面進(jìn)入幾何模型空間，對(duì)于下底面和側(cè)面采用無滑移的固定壁面邊界條件。時(shí)間計(jì)算步長(zhǎng)設(shè)為0.1 s。采用Simple格式離散壓力-速度耦合方程；采用Quick格式離散動(dòng)量方程，松弛因子為0.4；采用二階迎風(fēng)格式離散體積分?jǐn)?shù)方程和標(biāo)準(zhǔn)k-ε紊流方程，松弛因子為0.3；采用一階迎風(fēng)格式離散群平衡模型，通過UDF自定義聚集核心相關(guān)函數(shù)，且不考慮絮團(tuán)的破碎。該次模擬材料基本物性如下：污泥初始顆粒密度ρs=1 175 kg/m3；初始顆粒粒徑d0=10 μm；液態(tài)水密度ρw=998.6 kg/m3；污泥顆粒黏度ηs=2×10-5Pa·s；液態(tài)水黏度ηw=0.001 003 Pa·s；污泥顆粒表面張力系數(shù)σ=0.031 N/m，且不考慮固液兩相之間的能量交換及質(zhì)量交換。初始時(shí)刻，幾何模型內(nèi)的污泥濃度為3.23 kg/m3。

4 數(shù)學(xué)模型及方法驗(yàn)證

圖2是模擬不考慮絮凝作用、考慮絮凝作用但不考慮絮團(tuán)分形、既考慮絮凝作用并且考慮絮團(tuán)分形及Jeriffa De Clercq試驗(yàn)的污泥界面高度沉降歷時(shí)曲線對(duì)比圖。圖2(a)、圖2(b)分別表示初始污泥濃度為3.23 kg/m3和4.30 kg/m3的污泥界面高度沉降曲線與Jeriffa De Clercq的試驗(yàn)值曲線對(duì)比。

圖2 污泥界面高度沉降曲線及其驗(yàn)證比較Fig.2 Curves of sludge interface height settling and their verifications

對(duì)于既考慮絮凝作用并且考慮絮團(tuán)分形的模擬是通過模擬值與試驗(yàn)值的吻合程度來確定絮團(tuán)的分形維數(shù)，并且運(yùn)用文中改進(jìn)的聚合模型進(jìn)行模擬；對(duì)于僅考慮絮凝作用的模擬假定其所有顆粒在碰撞前后均為實(shí)心球體；對(duì)于不考慮絮凝作用的模擬將忽略顆粒間的聚合作用。圖2(a)中對(duì)考慮絮團(tuán)分形的模擬選取絮團(tuán)分形維數(shù)為2.3，圖2(b)中對(duì)考慮絮團(tuán)分形的模擬選取絮團(tuán)分形維數(shù)為2.35。從圖中對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，既考慮絮凝作用并且考慮絮團(tuán)分形的模擬值與J.De Clercq等的試驗(yàn)值吻合得更好，也就是說運(yùn)用本文所述改進(jìn)的聚合模型的模擬方法能比較準(zhǔn)確地反應(yīng)實(shí)際黏性污泥絮凝-沉降的過程。

5 計(jì)算結(jié)果分析

5.1 污泥等值濃度線對(duì)比分析

圖3是分別模擬不考慮絮凝作用、不考慮污泥絮團(tuán)分形和考慮絮團(tuán)3種不同分形維數(shù)DF的污泥等值濃度線對(duì)比圖，渾水初始污泥濃度為2.50 kg/m3，所監(jiān)測(cè)的污泥濃度界面亦為2.50 kg/m3。

圖3 污泥等值濃度線對(duì)比Fig.3 Comparison of sludge concentration isolines

從圖3中可以看出：考慮絮凝與分形與否對(duì)污泥的沉降特征有明顯影響，隨著絮團(tuán)分形維數(shù)的降低，壓縮沉降所占時(shí)間相對(duì)延長(zhǎng)，污泥最終沉降高度增大。當(dāng)對(duì)污泥顆粒不做絮凝處理時(shí)，由于顆粒密度、粒徑均保持不變，因此污泥顆粒在濃度沉降曲線達(dá)到相對(duì)平衡前幾乎都處在自由沉淀階段，只因在沉降過程中下部污泥濃度的變化才使得沉降曲線在達(dá)到平衡前有略微的波動(dòng)。當(dāng)對(duì)污泥顆粒僅做絮凝處理不考慮絮團(tuán)分形時(shí)，由于絮團(tuán)密度不變而粒徑卻幾乎持續(xù)增大，所以導(dǎo)致污泥絮團(tuán)幾乎不結(jié)成絮網(wǎng)結(jié)構(gòu)，沉降提前進(jìn)入壓縮沉淀階段。當(dāng)對(duì)污泥顆粒不僅做絮凝處理而且考慮絮團(tuán)分形時(shí)，由于絮團(tuán)分形維數(shù)不同導(dǎo)致濃度沉降曲線之間亦有所不同。曲線②是對(duì)絮團(tuán)分形維數(shù)做2.9處理，可以看出該條曲線與僅考慮絮凝作用的沉降曲線很相似，但曲線②的沉降平衡點(diǎn)高度略大于曲線①，這是因?yàn)榭紤]分形的絮團(tuán)內(nèi)部含有封閉水，使得絮團(tuán)整體所占體積空間增加；對(duì)于分形維數(shù)為2.9的絮團(tuán)而言，其絮團(tuán)圓度很大，絮團(tuán)內(nèi)部水的含量很低且大部分為封閉水，整體絮團(tuán)密度變化很緩慢，而且絮團(tuán)之間相對(duì)很晚才有可能結(jié)成整體絮網(wǎng)，這與不考慮分形的絮團(tuán)特性很相似。曲線④是對(duì)絮團(tuán)分形維數(shù)做2.1處理，此時(shí)的濃度沉降曲線最晚達(dá)到相對(duì)平衡且平衡點(diǎn)高度最大，這是由于2.1的分形維數(shù)使得絮團(tuán)幾乎不可能聚合呈球狀，絮團(tuán)的含水量很高但大部分是非封閉水，絮團(tuán)密度接近液體密度，沉降速率較低，并且當(dāng)沉降進(jìn)入壓縮沉淀階段后需較長(zhǎng)時(shí)間才能把絮團(tuán)內(nèi)所含部分非封閉水?dāng)D出，但污泥絮團(tuán)含水量仍然較高。曲線③是對(duì)絮團(tuán)分形維數(shù)做2.5處理，其沉降特征與平衡點(diǎn)都介于前兩者之間。

5.2 污泥絮團(tuán)粒徑分布

絮團(tuán)的粒徑分布對(duì)于理解沉降桶內(nèi)污泥顆粒的絮凝行為有著重要意義，然而在絮凝-沉降過程中絮團(tuán)粒徑的分布通過實(shí)驗(yàn)較難以獲得，數(shù)值模擬可以彌補(bǔ)實(shí)驗(yàn)在該方面的不足，它可以提供沉降桶內(nèi)絮團(tuán)粒徑的空間和時(shí)間分布。圖4是t分別為30，70，120，200 min的污泥絮團(tuán)粒徑分布云圖，絮團(tuán)分形聚合機(jī)理采用改進(jìn)的聚合模型模擬，初始污泥濃度為3.23 kg/m3，絮團(tuán)分形維數(shù)為2.2。從圖4中可以看出：隨著水深的增加絮團(tuán)粒徑逐漸增大；下層顆粒間的聚合作用要比上層更強(qiáng)烈；在同一水深處絮團(tuán)粒徑級(jí)別隨著時(shí)間的推移而增大；初期一段時(shí)間內(nèi)，沉降桶內(nèi)中心部分的聚合作用比周邊更加強(qiáng)烈，絮團(tuán)粒徑分布界面呈錐形形態(tài)，隨著時(shí)間的推移該錐形高度先增高而后又降低，當(dāng)污泥沉降趨近于穩(wěn)定時(shí)絮團(tuán)粒徑分布界面也趨近平穩(wěn)。

圖4 不同時(shí)刻污泥絮團(tuán)粒徑分布Fig.4 Particle size distribution of floccules at different time

5.3 絮團(tuán)體積分布對(duì)比分析

圖5是t=100 min不同水深處、不同分形維數(shù)絮團(tuán)粒徑分布情況的對(duì)比。從圖5中橫向?qū)Ρ瓤梢钥闯觯环中尉S數(shù)的污泥絮團(tuán)在不同水深下的粒徑分布曲線形態(tài)類似；隨著水深的增加污泥絮團(tuán)的粒徑分布范圍變寬，大粒徑污泥絮團(tuán)的數(shù)量逐漸增多。其主要原因是：當(dāng)水深較小時(shí)，上部顆粒絮團(tuán)在較短的時(shí)間內(nèi)得不到有效地補(bǔ)充，且大粒徑絮團(tuán)在重力作用下向下部移動(dòng)，故造成污泥絮團(tuán)的粒徑分布范圍較下部而言要窄；當(dāng)水深增大時(shí)，上部污泥絮團(tuán)在一定時(shí)間內(nèi)能有效地補(bǔ)充該水深位置的污泥絮團(tuán)移失，且由于絮凝的作用補(bǔ)充的污泥絮團(tuán)普遍偏大，故造成污泥絮團(tuán)的粒徑分布范圍變寬，且大粒徑污泥絮團(tuán)的數(shù)量逐漸增加。

圖5 t=100 min不同水深處不同分形維數(shù)絮 團(tuán)粒徑分布Fig.5 Particle size distribution of floccules in different depths with different fractal dimensions when t=100 min

從圖5中縱向?qū)Ρ瓤梢钥闯?，不同分形維數(shù)的污泥絮團(tuán)在同一水深處的粒徑分布曲線形態(tài)差異比較明顯，隨著絮團(tuán)分形維數(shù)的降低污泥絮團(tuán)的粒徑分布范圍逐漸變寬，大粒徑絮團(tuán)數(shù)量迅速增加，小粒徑絮團(tuán)數(shù)量逐漸減少。這主要是因?yàn)樾鯃F(tuán)分形維數(shù)的降低使得絮團(tuán)密度更加接近液體密度，從而導(dǎo)致絮團(tuán)沉速降低，然而絮團(tuán)粒徑越大其豎直方向的輸移就被削落得越嚴(yán)重，因此大粒徑絮團(tuán)數(shù)量迅速增加，絮團(tuán)的粒徑分布范圍逐漸變寬。

5.4 初始顆粒數(shù)量及絮團(tuán)數(shù)量的對(duì)比分析

圖6(a)是不同分形維數(shù)情況下初始顆粒的數(shù)量隨時(shí)間的變化曲線。從圖6(a)中可以看出：初始時(shí)刻初始顆粒的數(shù)量是一樣的，隨著計(jì)算時(shí)間的延長(zhǎng)，初始顆粒的數(shù)量逐漸減少，最終達(dá)到一個(gè)平衡點(diǎn)。然而對(duì)于絮團(tuán)不同分形維數(shù)的模擬而言，隨著時(shí)間的增加，初始顆粒的數(shù)量衰減速率與最終平衡點(diǎn)都有所不同，當(dāng)絮團(tuán)分形維數(shù)增大時(shí)，初始顆粒數(shù)量的減少速率亦增大，同時(shí)最終平衡點(diǎn)初始顆粒數(shù)量相應(yīng)減少。造成上述現(xiàn)象的可能原因主要是：當(dāng)絮團(tuán)分形維數(shù)比較大時(shí)，相同粒徑絮團(tuán)所能達(dá)到的沉降速率也增大，這樣顆粒與絮團(tuán)間的碰撞粘結(jié)概率亦相應(yīng)增加，故初始顆粒數(shù)量的衰減速率會(huì)有所增大，最終初始顆粒數(shù)量相應(yīng)減少。

圖6 不同分形維數(shù)時(shí)初始顆粒數(shù)量和絮團(tuán)數(shù)量隨 時(shí)間變化曲線Fig.6 Variations of initial particle number and floccule number with time in the presence of different fractal dimensions

圖6(b)是不同分形維數(shù)情況下粒徑>10 μm的絮團(tuán)數(shù)量隨時(shí)間的變化曲線。從圖6(b)中可看出：隨著時(shí)間的推移，絮團(tuán)數(shù)量先增加后減少；并且絮團(tuán)數(shù)量最大值隨分形維數(shù)的增大而增大，其出現(xiàn)的時(shí)間隨著分形維數(shù)的增大而縮短。這與不同分形維數(shù)下初始顆粒數(shù)量的變化及絮團(tuán)的體積分布情況相吻合。

6 結(jié) 論

本文以群體平衡模型(PBM)和兩相流Mixture模型為基礎(chǔ)，并結(jié)合改進(jìn)的聚合模型，建立了一種既考慮絮團(tuán)分形特征又能避免盲目選擇絮團(tuán)黏結(jié)效率的黏性污泥絮凝-沉降數(shù)學(xué)模型，通過模擬所得數(shù)據(jù)及初步觀察分析，獲得以下幾點(diǎn)結(jié)論。

(1) 本次模擬建立的數(shù)學(xué)模型及方法能較好地反映黏性污泥分形絮凝-沉降規(guī)律，并且具預(yù)測(cè)絮團(tuán)粒徑分布的能力。

(2) 在絮凝-沉降模擬中應(yīng)當(dāng)考慮絮團(tuán)的分形特征對(duì)黏性污泥沉降特性的影響：絮團(tuán)分形維數(shù)愈小，則絮團(tuán)含水量愈高，整體絮團(tuán)密度愈接近于液體密度，污泥沉降得愈加緩慢。

(3) 在固定時(shí)刻與分形維數(shù)的前提下，隨著水深的增加，污泥絮團(tuán)的粒徑分布范圍變寬，大粒徑污泥絮團(tuán)的數(shù)量逐漸增多；在固定時(shí)刻與水深的前提下，污泥絮團(tuán)的粒徑分布范圍隨著絮團(tuán)分形維數(shù)的降低逐漸變寬，大粒徑絮團(tuán)數(shù)量迅速增加，小粒徑絮團(tuán)數(shù)量逐漸減少。

(4) 初始顆粒數(shù)量的衰減速率隨絮團(tuán)分形維數(shù)的增大而增大；絮團(tuán)數(shù)量總體呈先增加后減少的趨勢(shì)，其最大值隨分形維數(shù)的增大而增大，出現(xiàn)時(shí)間隨著分形維數(shù)的增大而有所縮短。

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(編輯：姜小蘭)

An Improved Aggregation Model to SimulateFlocculation-Settling of Sludge

HUANG Zhong-zhao1,2, TAN Li-xin1

(1.Department of Hydraulics，Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China;2.Water Resources Bureau of Changle City, Fujian Province, Changle 350200, China)

Since the particle size distribution of sludge is difficult to observe, and the fractal structure and the efficiency of flocculation are rarely considered in previous simulations, we established an improved aggregation model to simulate the mechanism of sludge particle aggregation and finally carried out three-dimensional simulation of flocculation-settling of sludge based on population balance model and two-phase flow mixture model. Results revealed that the established mathematical model and simulation method could well reflect the regularity of flocculation-settling of sludge. Furthermore, the particle size distribution range of floccules is widened with the decrease of fractal dimension, the number of large diameter floccules grows rapidly, and the number of small diameter floccules reduces gradually; the decay rate of initial particle number increases with the rising of fractal dimension, and the number of floccules generally increases and then decreases with time, but the maximum floccules number increases with the rising of fractal dimension, the occurence time of the maximum floccule number is shortened with the rising of fractal dimension.

improved aggregation model; population balance model; sludge flocculation; settling; particle size distribution; fractal dimension; numerical simulation

2015-11-15；

2015-12-05

陜西省重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)專項(xiàng)資助項(xiàng)目(106-00X92)

黃忠釗(1987-)，男，福建閩清人，助理工程師，碩士，主要從事多相流數(shù)值模擬研究工作，(電話)18729183559(電子信箱)136226156@qq.com。

譚立新(1967-)，女，重慶市人，副教授，博士，主要從事水工水力學(xué)及環(huán)境工程方面數(shù)值模擬研究工作，(電話)18092901051(電子信箱)tanlx@xaut.edu.cn。

10.11988/ckyyb.20150724

2017,34(3):8-13

TV145.2

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1001-5485(2017)03-0008-06