漆瓊芳， 喻 敏， 陳 攀

(1.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，武漢 430063； 2.中國艦船研究設(shè)計中心，武漢 430064)

基于行波法的多板耦合結(jié)構(gòu)振動功率流研究

漆瓊芳1， 喻 敏1， 陳 攀2

(1.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，武漢 430063； 2.中國艦船研究設(shè)計中心，武漢 430064)

通過引入局部坐標(biāo)，離散波幅系數(shù)矩陣，組裝狀態(tài)向量矩陣，建立了離散板的行波法通用表達(dá)式，該表達(dá)式的提出可以將行波法的研究對象由簡單結(jié)構(gòu)推廣到多板耦合結(jié)構(gòu)。自編行波法MATLAB程序計算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，將行波法半解析結(jié)果與有限元數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對比，驗證了提出的行波法通用表達(dá)式計算多板耦合結(jié)構(gòu)的有效性、高效性。應(yīng)用行波法分別求解經(jīng)典薄板理論和Mindlin板理論的振動控制方程，計算耦合結(jié)構(gòu)的主動功率流和被動功率流，結(jié)果表明：在全頻范圍內(nèi)，面內(nèi)剪切和旋轉(zhuǎn)慣量對主動功率流和被動功率流有很大影響，在進(jìn)行功率流主動控制時應(yīng)盡可能采用厚板理論。損耗因子的增加可以有效減少共振頻率范圍附近的被動功率流峰值，但對其他頻率范圍內(nèi)的被動功率流峰值影響不大。

行波法；多板耦合結(jié)構(gòu)；主動功率流；被動功率流

目前行波法主要用于研究半無限尺寸結(jié)構(gòu)的振動波傳遞特性，如CREMER[1]，計方[2-3]，車馳東[4]，黃修長[5]等研究了曲梁、平板、線形連接、角形連接、“T”型連接和“十”型連接板的振動傳遞特性，但半無限板不考慮彈性波在邊界條件處的散射和反射，而實際的船舶結(jié)構(gòu)的板為有限尺寸，需要考慮邊界條件對彈性波傳遞的影響，本文行波法研究對象為考慮邊界條件的有限尺寸板。

行波法應(yīng)用在有限板方面，KESSISSOGLOU[6]應(yīng)用行波法研究有限尺寸L型板的振動功率流，分析面內(nèi)波與彎曲波在L型接頭下的轉(zhuǎn)換。LIU[7-9]應(yīng)用行波法分析有限L型梁、L型板在簡諧點力激勵下的主動功率流和被動功率流，研究有限尺寸耦合連接板結(jié)構(gòu)的功率流主動控制。薛開等[10]采用改進(jìn)傅里葉算法，應(yīng)用半解析解求出了中厚矩形平板的振動功率流。趙芝梅等[11]應(yīng)用行波法分析力激勵和彎矩激勵對有限L型板振動功率流的影響，探討激勵角度、激勵位置等參數(shù)對高頻彎曲波和低頻彎曲波傳遞特性的影響。焦映厚等[12]建立方鋼與L型板的耦合運動模型，用行波法分析阻振方鋼的尺寸和位置對振動功率流的影響。因此，行波法對有限尺寸板的研究對象是任意夾角耦合板和L型板，尚未涉及到T型和十字型板結(jié)構(gòu)。實際船舶結(jié)構(gòu)艙壁與船殼縱橫耦合連接，形成T型、十型等不同的接頭形式，因此研究多板耦合結(jié)構(gòu)的能量傳遞特性具有一定工程意義。同時，文獻(xiàn)對于有限尺寸板振動特性研究大多是基于泊松-克西霍夫(Poisson-Kirchhoff)經(jīng)典薄板理論的振動控制方程，但在進(jìn)行高頻動力響應(yīng)分析時必須考慮面內(nèi)剪切變形的影響，因此基于厚板理論進(jìn)行振動傳遞特性分析有其必要性。

本文應(yīng)用行波法求解基于Mindlin厚板理論的振動控制方程，推導(dǎo)T型板的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)公式，通過三步處理方式：①引入局部坐標(biāo);②離散波幅系數(shù)矩陣;③組裝狀態(tài)向量矩陣。提出了行波法的通用表達(dá)式，將行波法的研究對象擴(kuò)展到十字型板等連接處多板耦合結(jié)構(gòu)。自編行波法MATLAB程序計算耦合結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，將行波法半解析解結(jié)果與有限元數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對比，驗證了行波法通用表達(dá)式計算多板耦合結(jié)構(gòu)的有效性、高效性及便捷性。對比厚板和經(jīng)典薄板的振動控制方程行波解，探討面內(nèi)剪切、轉(zhuǎn)動慣量、耦合損耗因子對主動功率流和被動功率流的影響。

1 求解Mindlin板振動控制方程

實際船舶結(jié)構(gòu)的艙壁與船體外板通過連接線耦合，形成典型的多板耦合結(jié)構(gòu)，建立如圖1所示的物理力學(xué)模型。在結(jié)構(gòu)的聲學(xué)條件改變處將結(jié)構(gòu)離散，即在點激勵處、線耦合處將板離散，離散板的連接線編號分別為0,1,2,…,n，n是離散板數(shù)目，離散板編號為板ij(i，j=0,1,2,3,…,n)每個離散板均有一個對偶右手坐標(biāo)系，如離散板01左端坐標(biāo)x01y01z01，右端坐標(biāo)x10y10z10，板01的右端坐標(biāo)與板12的左端坐標(biāo)原點重合，y方向一致。每個離散板的位移向量是u,v,w，力向量Nxx、Nxy、Vxy，且分別與每個離散板局部坐標(biāo)x、y、z一致。

圖1 多板線耦合連接示意圖Fig.1 Schematic diagram of multi-plate with one coupling line

根據(jù)Mindlin厚板理論[7]，每個離散板的彎曲振動方程為：

(1)

每個離散板的面內(nèi)振動方程為：

(2)

(3)

式中:D=Eh3/[12(1-μ2)]是板的彎曲剛度;E是板的彈性模量;h是板的厚度;μ為材料泊松比;κ是剪切因子;G是剪切模量;f(x,y,t)是外部點激勵。

任意離散板ij的位移和轉(zhuǎn)角表達(dá)式

(σ2-1)(λ3Ceλ3x+λ4Deλ4x)-

ky(Eeλ5x+Feλ6x)]sin(kyy)eiωt

(5)

(σ2-1)ky(Ceλ3x+Deλ4x)-

(λ5Eeλ5x+λ6Feλ6x)]cos(kyy)eiωt

(6)

任意離散板ij的平面內(nèi)位移表達(dá)式：

kyIeλ9x+kyJeλ10x)sin(kyy)eiωt

(7)

λ9Ieλ9x+λ10Jeλ10x) cos(kyy)eiωt

(8)

式中:w是傅里葉變換后的橫向(z向)位移;u是傅里葉變換后的縱向(x向)位移;v是傅里葉變換子y向位移;φx是繞y軸轉(zhuǎn)角;φy是繞x軸轉(zhuǎn)。ky=mπ/Ly是y方向彈性波數(shù)，m是模態(tài)數(shù)；波數(shù)

Mindlin厚板的力與位移滿足關(guān)系式：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中:Mxx是彎矩;Mxy是扭矩;Vx是平面外剪力;Nxx是平面內(nèi)軸力;Nxy是平面內(nèi)剪力;Γxy是平行于板的剪應(yīng)變。

2 提出行波法通用表達(dá)式

不同于文獻(xiàn)中常規(guī)處理方式：將每個離散板的波幅系數(shù)和狀態(tài)向量表達(dá)式分別寫出。本文的三步處理方式：建立每個離散板的局部坐標(biāo)，組裝離散板的彎曲波的波幅系數(shù)矩陣和面內(nèi)波波幅系數(shù)矩陣，分離離散板的位移向量和力向量。處理后提出了行波法通用表達(dá)式，將每個離散板ij的狀態(tài)向量寫成如下統(tǒng)一形式：

設(shè)任意離散板ij的廣義力向量

設(shè)離散板ij的廣義位移向量

設(shè)離散板ij的彎曲波和面內(nèi)波的波幅系數(shù)矩陣

離散板耦合連接線i的某點(x0,y0)受點力作用，根據(jù)級數(shù)疊加，點力可以等效為線力

離散板ij在某一模態(tài)下的廣義位移向量

(15)

設(shè)離散板ij在某一模態(tài)下的廣義力向量

(16)

eλ6xeλ7xeλ8xeλ9xeλ10x}

中厚板ij的剛度系數(shù)矩陣：

Eh/(1-μ2)Eh/2/(1+μ)}

建立行波法通用表達(dá)式后，結(jié)構(gòu)的邊界條件可以一般化寫出：

若板ij左端有點力作用：

(17)

板ij、板jk、板jl、板jm四板線耦合連接，板ij與板jk夾角β1，板ij與板jl夾角β2，板ij與板jm夾角β3：

耦合線連接處的位移連續(xù)性條件：

耦合線連接處的力平衡條件

兩個離散板連接夾角為β，坐標(biāo)系下的位置旋轉(zhuǎn)矩陣為Tβ

根據(jù)實際耦合結(jié)構(gòu)的型式，組裝每個離散板的平衡方程矩陣，形成總體結(jié)構(gòu)的平衡方程矩陣

αX=F

(18)

式中:α是平衡方程矩陣;X是波幅系數(shù)矩陣;F是外載荷矩陣。通過求逆即可求出波幅系數(shù)矩陣，從而得出離散板的狀態(tài)向量，根據(jù)Mindlin板理論的功率流表達(dá)式[6],Pin是輸入功率流:

(19)

離散板x截面的功率流Ix是:

(20)

功率流的實部是主動功率流Ixa：

(21)

功率流的虛部是被動功率流Ixr:

(22)

3 程序有效性驗證

行波法是基于解析解，是研究振動波傳播機(jī)理的一種有效方法，但由于解析解公式推導(dǎo)的復(fù)雜性，限制了該方法在復(fù)雜結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用。目前，行波法的應(yīng)用對象是梁、平板、L型板、箱形結(jié)構(gòu)、圓柱殼等簡單結(jié)構(gòu)。本文通過推導(dǎo)T型板的行波解表達(dá)式，通過引入坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，離散波幅系數(shù)矩陣，組裝狀態(tài)向量矩陣，推導(dǎo)出了多板耦合結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)公式，建立了行波解通用的表達(dá)式，將行波法的研究對象由簡單結(jié)構(gòu)擴(kuò)展到多板耦合結(jié)構(gòu)，并自編MATLAB程序進(jìn)行穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計算，具體流程圖和算法如圖2。

圖2 行波法程序流程圖Fig.2 Flow chart of traveling wave method

3.1T型板有效性驗證

模型為點激勵力下的T型板，根據(jù)聲學(xué)不連續(xù)條件，該模型可以劃分為4個離散板，離散板的板長均為0.4 m，板寬均為0.6 m，板的自由邊界處均為簡單支撐，彈性模量E=2.0×1011Pa，阻尼損耗因子η=0.01，泊松比μ=0.3，復(fù)彈性模量取Ep=E(1+jη)，密度ρ=7 800 kg/m3，板橫向載荷F=F0eiωt，幅值F0=1 N。通過軟件ABAQUS計算出的有限元數(shù)值結(jié)果驗證MATLAB行波法程序的正確性，有限元三維模型的網(wǎng)格尺寸為0.02 m×0.02 m，行波法程序是基于Poisson-Kirchhoff薄板理論。

該行波法程序是基于彈性波的模態(tài)疊加，應(yīng)進(jìn)行收斂性驗證，圖3顯示了激勵點在不同模態(tài)疊加數(shù)下的橫向位移曲線。可知模態(tài)疊加數(shù)分別為4和8時，激勵點處橫向位移曲線相差較大，模態(tài)疊加數(shù)為12時與模態(tài)疊加數(shù)為8時的曲線較為接近，近似重合，在計算頻率上限3 000 Hz處的橫向位移小于設(shè)定的容差1.0×10-10，程序判定收斂。在收斂性域度范圍內(nèi)，本模型的模態(tài)疊加數(shù)保守取為20。

圖3 行波法的收斂性驗證Fig.3 Convergence verification of traveling wave method

圖4顯示了10 mm的T型板在在簡諧點激勵下激勵點的橫向響應(yīng)，可知在計算頻率0～1 500 Hz內(nèi)，行波法MATLAB程序計算結(jié)果與有限元數(shù)值計算結(jié)果吻合較好，計算頻率大于1 500 Hz時，兩者的位移響應(yīng)峰值會有偏移，這與由于有限元方法的高頻不穩(wěn)定有關(guān)。這說明，基于行波法通用表達(dá)式的MATLAB程序可以有效準(zhǔn)確的計算T型板的振動響應(yīng)。

圖4 T型板激勵點橫向位移Fig.4 Z-direction displacement of T-shaped plate at excited point

3.2 十字型板有效性驗證

點激勵力的十字型可以劃分為5個離散板，離散板尺寸、材料屬性和邊界條件與3.1節(jié)一致。圖4顯示了十字型板繞y軸轉(zhuǎn)角的頻響曲線，在計算頻率0～1 200 Hz范圍內(nèi)，頻響曲線吻合較好，驗證了行波法通用表達(dá)式及自編行波法程序的有效性。

圖5 十字型板激勵點繞y軸轉(zhuǎn)角Fig.5 Y-axis angle of cross-shaped plate at excited point

3.3 本文行波法算法的高效性驗證

一般采用有限元法進(jìn)行船舶結(jié)構(gòu)振動計算，并且有限元法已有成熟的商業(yè)軟件ABAQUS、ANSYS、NASTRAN/PATRAN等，但有限元數(shù)值計算方法有一定局限性，隨著計算頻率的增加，網(wǎng)格密度大于彎曲波長度的1/6，有限元網(wǎng)格密度必須隨之增加，這增加存儲內(nèi)存，增加了有限元計算時間。且有限元法具有高頻不穩(wěn)定性，進(jìn)行高頻動力響應(yīng)分析時會影響計算精度和準(zhǔn)確度。此外，有限元是一種數(shù)值解法，對振動波的機(jī)理研究方面沒有優(yōu)勢。行波法通用表達(dá)式的提出使行波法求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)成為可能，而且行波法代表波的疊加，具有明確的物理意義，是振動傳遞特性的機(jī)理性研究的重要方法。為驗證基于行波法的通用表達(dá)式的MATLAB程序的計算高效性，對船舶典型結(jié)構(gòu)進(jìn)行算例分析，MATLAB程序的行波法計算和ABAQUS有限元計算均在同一臺筆記本(內(nèi)存4 GB，雙核2.5 GHz)上進(jìn)行，結(jié)構(gòu)模型的每個離散板的尺寸均為0.6 m×0.6 m，網(wǎng)格尺寸為0.02 mm ×0.02 mm，物理屬性與3.1一致，計算頻率上下限為1～1 000 Hz，步長為2 Hz，模型邊界都是簡支，選擇Poisson-Kirchhoff薄板理論模型。表1列出了兩種方法的計算時間，對比可知行波法耗費的時間比有限元法要少。

表1 行波法與有限元法的計算時間

行波法通用表達(dá)式有以下特點：①求出的是基于行波法和模態(tài)疊加法的半解析解，對船體板構(gòu)件進(jìn)行振動計算時，只需要改變結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)、截面屬性、邊界條件、局部坐標(biāo)、激勵屬性等就可以對結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)進(jìn)行快速計算，并給出結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)曲線和功率流曲線。②與有限元法需要密集的網(wǎng)格單元不同，此程序?qū)σ粋€離散板只建立一個單元，只占據(jù)一個單元的存儲空間，存儲矩陣小，具有計算快速性的優(yōu)點。若計算模型改變，只需在界面里改變模型物理參數(shù)即可對模型進(jìn)行再次計算，相比有限元法減少了三維建模和網(wǎng)格劃分的工作量。

4 算例分析

4.1 Kirchhoff板理論和Mindlin板理論對比

圖6 T型板厚為3 mm時的橫向位移Fig.6 Z-direction displacement of 3 mm T-shaped plate

圖7 T型板厚為10 mm時的橫向位移Fig.7 Z-direction displacement of 10 mm T-shaped plate

圖8 T型板厚為17 mm時的橫向位移Fig.8 Z-direction displacement of 17 mm T-shaped plate

當(dāng)T型板對邊為簡單支撐，其余邊自由時。圖6、圖7、圖8分別顯示板厚為3 mm、13 m、17 mm時，兩種板理論計算的點激勵處板的橫向位移，對比可知，在500 Hz頻率以下，兩種板理論的振動控制方程推出的行波解吻合較好，大于該頻率范圍則會有差異，且隨著板厚增加，差別越大，但總體變化趨勢不大，在相位上會有錯開。這是因為，當(dāng)計算頻率一定時，板厚越小，板面內(nèi)的剪切慣量和轉(zhuǎn)動慣量對振動影響越小。當(dāng)板厚一定時，隨著計算頻率增大，面內(nèi)剪切和轉(zhuǎn)動慣量對振動響應(yīng)影響越大。板厚越小，位移響應(yīng)曲線在共振頻率下的峰值和低谷越密集，在計算頻域范圍內(nèi)模態(tài)數(shù)越多。

圖9 T型板厚為10 mm時的主動功率流Fig.9 Active power flow of T-shaped plate with thickness in 10 mm

圖10 T型板厚為10 mm時的被動功率流Fig.10 Reactive power flow of 10 mm T-shaped plate

T型板厚10 mm時，參考功率級10-12W，圖9、圖10分別給出了基于厚、薄板兩種理論的振動控制方程的主動功率流和被動功率流行波解。對比可知，在全頻率范圍內(nèi)，兩種板理論計算的主動功率流和被動功率流均有差異，在頻率1 000 Hz以上，差別明顯，因此在進(jìn)行振動主動控制時[9]，若以薄板理論的控制方程為行波法基礎(chǔ)，以主動功率流為優(yōu)化目標(biāo)，則會造成很大的誤差，達(dá)不到主動控制效果，因此在進(jìn)行主動控制時應(yīng)在全頻域范圍內(nèi)盡可能用厚板理論進(jìn)行修正。

4.2 損耗因子對功率流的影響

T型板厚為10 mm時，應(yīng)用Poisson-Kirchhoff薄板理論，模型尺寸與屬性與3.1節(jié)一致，計算頻率范圍取100～1 000 Hz。探討損耗因子變化對主動功率流和被動功率流的影響。

圖11 板損耗因子變化時的主動功率Fig.11 Active power flow with different loss factor

圖12 板損耗因子變化時的被動功率流Fig.12 Reactive power flow with different loss factor

圖11顯示了損耗因子變化時，T型板的主動功率流，對比可知，無損耗因子時的主動功率流比有損耗因子時的主動功率流小得多，損耗因子存在與否對主動功率流的影響顯著。當(dāng)損耗因子不存在時，在計算頻率范圍內(nèi)，主動功率流在-50 dB上下范圍內(nèi)。隨著損耗因子的增加，主動功率流會增加，損耗因子沒有改變主動功率流的共振峰對應(yīng)的頻率。這說明主動功率流與結(jié)構(gòu)阻尼密切相關(guān)。當(dāng)損耗因子為零，結(jié)構(gòu)阻尼不能使振動能量損耗，主動功率流很小，可以被忽略。當(dāng)損耗因子非零，振動能量可以通過振動傳遞，主動功率流不為零。圖12可知，損耗因子的變化對被動功率流曲線影響不大，且損耗因子的增加可以減少被動功率流在共振頻率附近的峰值，對其他頻率范圍內(nèi)的被動功率流影響不大。

5 結(jié) 論

應(yīng)用行波法分別求解基于Poisson-Kirchhoff薄板和Mindlin厚板理論的振動控制方程，推導(dǎo)T型板耦合結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)公式，通過三步處理方式：引入局部坐標(biāo)，離散波幅系數(shù)矩陣，組裝狀態(tài)向量矩陣，建立行波法通用表達(dá)式，自編行波法MATLAB程序計算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，將行波法半解析解結(jié)果與有限元數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對比驗證，根據(jù)厚板理論和薄板理論分析耦合結(jié)構(gòu)的主動功率流和被動功率流，總結(jié)如下：

(1)提出的通用表達(dá)式和通用計算程序可以有效地計算多塊板耦合結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，并且計算效率較高，該思路將行波法的研究對象擴(kuò)展到十字型板等連接處多塊板耦合結(jié)構(gòu)。

(2)在低頻范圍內(nèi)，面內(nèi)剪切和旋轉(zhuǎn)慣量對穩(wěn)態(tài)響應(yīng)影響不大。在全頻范圍內(nèi)，面內(nèi)剪切和旋轉(zhuǎn)慣量對主動功率流和被動功率流有很大影響，因此在進(jìn)行功率流主動控制是要適當(dāng)對薄板理論進(jìn)行修正。

(3)損耗因子是否存在對主動功率流影響顯著，無損耗因子時的主動功率流比有損耗因子時的主動功率流小得多。損耗因子對被動功率流曲線影響不大，損耗因子的增加可以有效減少共振頻率范圍附近的被動功率流峰值，但對其他頻率范圍內(nèi)的被動功率流峰值影響不大。

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Vibration power flow of multi-plate coupled structures based on traveling wave approach

QI Qiongfang1, YU Min1, CHEN Pan2

(1. School of Transportation, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China;2. China Ship Development and Design Center, Wuhan 430064, China)

The general expressions of the traveling wave approach for a discrete plate were established, by introducing local coordinates, discrete wave amplitude coefficient matrix, and assemble state vector matrix. These general expressions led to that the study object of the traveling wave approach was extended from simple plates to multi-plate coupled structures. Structural steady vibration responses calculated with the self-compiled program of the traveling wave approach were compared with the numerical results with the finite element method. This traveling wave approach semi-analytical solution was verified to be effective and convenient. Based on the classical thin plate theory and Mindlin plate theory, respectively, the traveling wave method was used to compute active power flow and passive power flow of multi-plate coupled structures. The calculated results showed that within the whole frequency range, shear and rotary inertia inplane have a great influence on active power flow and passive power flow; when conducting active power flow control, using the thick plate theory is recomended as far as possible; increase in loss factor can effectively reduce the peak value of passive power flow near the frequency range of resonances, but this influence is not large within the other frequency range.

traveling wave approach; multi-plate coupled structure; active power flow; passive power flow; reactive power flow

航空科學(xué)基金(20142365002)

2015-10-09 修改稿收到日期：2016-01-03

漆瓊芳 女，碩士生，1989年11月生

喻敏 女，博士，副教授，1978年11月生

TP533

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.025