黃 英，景小榮

(重慶郵電大學(xué) 移動通信技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065)

采用局部搜索的二維DOA估計(jì)*

黃 英*，景小榮

(重慶郵電大學(xué) 移動通信技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065)

針對酉旋轉(zhuǎn)不變估計(jì)信號參數(shù)(Unitary-ESPRIT)算法估計(jì)精度較低的問題，提出了一種采用局部搜索實(shí)現(xiàn)的非相干信源二維波達(dá)方向(2-D DOA)估計(jì)方法。該方法首先利用實(shí)特征矢量近似值估計(jì)導(dǎo)向矩陣,然后利用矩陣Kronecker積性質(zhì)以及陣列旋轉(zhuǎn)不變特性獲得自動配對的角度估計(jì)值，降低了2-D DOA初始估計(jì)復(fù)雜度,實(shí)現(xiàn)了對Unitary-ESPRIT算法的改進(jìn)；接著，采用一維局部搜索法對該初始估計(jì)結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，提高了低信噪比下的2-D DOA估計(jì)精度。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相較于傳統(tǒng)的Unitary-ESPRIT算法，所提方法在DOA估計(jì)精度和成功率上具有明顯的優(yōu)勢，特別是在低信噪比以及快拍數(shù)較少條件下，因此該方法能夠在計(jì)算復(fù)雜度和估計(jì)性能之間取的較好的折中。

二維波達(dá)方向；非相干信源；局部搜索；計(jì)算復(fù)雜度

1 引 言

二維波達(dá)方向(2-Dimensional Direction of Arrival,2-D DOA)估計(jì)，作為陣列信號處理的主要研究內(nèi)容之一，在雷達(dá)、聲吶以及通信等諸多工程領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[1]。目前，涌現(xiàn)出了眾多超分辨率DOA估計(jì)算法，其中以多重信號分類(Multiple Signal Classification，MUSIC)[2]為代表的子空間類算法最為經(jīng)典，但該算法為了實(shí)現(xiàn)2-D DOA估計(jì)，需借助二維譜峰搜索，其高復(fù)雜度限制了該算法在實(shí)際系統(tǒng)中的應(yīng)用。

為了降低2-D DOA估計(jì)復(fù)雜度，學(xué)者們進(jìn)行了深入研究，涌現(xiàn)出了眾多2-D DOA估計(jì)算法。文獻(xiàn)[3]以旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)實(shí)現(xiàn)信號參數(shù)估計(jì)(Estimation-of Signal Parameter via Rotational Techniques,ESPRIT)算法[4]為基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)了多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)雷達(dá)系統(tǒng)中離開角(Direction of Departure,DOD)和到達(dá)角(Direction of Arrival,DOA)的估計(jì)，將2-D DOA估計(jì)問題分解為兩個獨(dú)立的一維角度估計(jì)問題，盡管使算法復(fù)雜度得到有效降低，但存在角度配對問題。文獻(xiàn)[5]中提出利用降維傳播方法(Reduced-dimension Propagator Method,RD-PM)實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)，盡管解決了角度配對問題，然而在信噪比較低條件下，估計(jì)精度非常有限。文獻(xiàn)[6]針對MIMO雷達(dá)中的DOD和DOA估計(jì)問題，提出降維(Reduced-dimension,R-D) MUSIC算法，盡管該算法性能與2-D MUSIC算法[7]幾乎相同，但其操作均在復(fù)數(shù)域完成，運(yùn)算量相對較高，同時，無法避免全局搜索的弊端。文獻(xiàn)[8]基于秩虧損原理，使得方位角的降維操作得以實(shí)現(xiàn)，并且避免了陣列孔徑損失的問題。文獻(xiàn)[9]基于最大似然準(zhǔn)則構(gòu)造代價函數(shù)，將二維譜峰搜索轉(zhuǎn)換為一維譜峰搜索，盡管性能相比已有算法得到明顯提升，但計(jì)算量偏高。文獻(xiàn)[10]提出了一種波束域求根MUSIC算法，不僅降低了求根多項(xiàng)式的階數(shù)，而且避免了譜峰搜索的弊端。

以上2-D DOA算法通常需要對陣列接收相關(guān)復(fù)矩陣進(jìn)行特征值分解(Eigenvalue Decomposition,EVD)，其實(shí)現(xiàn)成本相對較高，因此，如何從實(shí)數(shù)域?qū)崿F(xiàn)低復(fù)雜度的二維DOA估計(jì)逐漸引起了學(xué)者們的關(guān)注。文獻(xiàn)[11]采用Unitary-ESPRIT算法，利用酉變換把復(fù)數(shù)域的DOA估計(jì)問題轉(zhuǎn)換到實(shí)數(shù)域進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了MIMO雷達(dá)系統(tǒng)中的DOD和DOA聯(lián)合估計(jì)，然而該算法需要兩次總體最小二乘(Total Least Square,TLS)運(yùn)算，復(fù)雜度仍然較高。文獻(xiàn)[12]提出一種Beamspace Unitary-ESPRIT算法，不僅信息矩陣維度得到降低，而且EVD分解僅在實(shí)數(shù)域下進(jìn)行，有效抑制了運(yùn)算量。文獻(xiàn)[13]提出一種低復(fù)雜度2-D DOA估計(jì)算法，將二維搜索分解為兩個連續(xù)的一維實(shí)值搜索，改善了參數(shù)估計(jì)性能，然而該算法仍存在全局搜索的弊端。

為此，本文在上述分析的基礎(chǔ)上，面向均勻平面陣列，提出一種采用局部搜索實(shí)現(xiàn)的非相干信源的2-D DOA估計(jì)方法。首先對Unitary-ESPRIT算法進(jìn)行改進(jìn)，以獲取非相干信源的2-D DOA估計(jì)初始值。與傳統(tǒng)Unitary-ESPRIT相比，改進(jìn)算法首先利用特征矢量近似值獲得導(dǎo)向矩陣估計(jì)值，然后利用矩陣Kronecker積性質(zhì)以及陣列旋轉(zhuǎn)不變特性實(shí)現(xiàn)自動配對的角度初始估計(jì)，僅需一次TLS運(yùn)算，不涉及復(fù)矩陣的EVD運(yùn)算，能有效地降低運(yùn)算量；接著在獲得2-D DOA估計(jì)初始值的基礎(chǔ)上，采用一維局部搜索來更新初始DOA估計(jì)結(jié)果，從而使得估計(jì)精度得到明顯提高，有效避免了因全局搜索帶來的高復(fù)雜度弊端。

2 陣列信號模型

以處于坐標(biāo)原點(diǎn)的陣元作為參考，則陣列接收到的第t個快拍可表示為

X(t)=AS(t)+N(t) 。

(1)

在陣列接收快拍數(shù)為L時，對應(yīng)接收協(xié)方差矩陣的估計(jì)值可表示為

(2)

3 2-D DOA估計(jì)方法

在上述陣列模型基礎(chǔ)上，本節(jié)首先利用實(shí)特征矢量近似值估計(jì)導(dǎo)向矩陣對Unitary-ESPRIT算法進(jìn)行改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)2-D DOA的初始估計(jì)，然后采用一維局部搜索來優(yōu)化初始估計(jì)結(jié)果。

3.1 2-D DOA初始估計(jì)

根據(jù)均勻平面陣列的結(jié)構(gòu)特征以及矩陣間的旋轉(zhuǎn)不變性關(guān)系，則有J2A=J1AΦy，J1=[IM(N-1)，0M(N-1)×M]和J2=[0M(N-1)×M,IM(N-1)]分別表示兩個選擇矩陣，Φy=diag(exp(-jπv1),…,exp(-jπvK))，其中IK表示維度為K的單位矩陣，diag(v)表示矢量v中的元素形成的對角陣。

在上述基礎(chǔ)上，定義如下酉矩陣：

(3)

進(jìn)一步，構(gòu)建數(shù)據(jù)矩陣為Z=[X,ΠMNX*ΠL]∈MN×2L，其中ΠK表示反對角線上元素為1其他元素為0的K維矩陣，因此，存在酉矩陣QMN和Q2L，可將復(fù)矩陣映射為一實(shí)矩陣，其中(·)H表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置。因此，與矩陣T(X)相對應(yīng)的實(shí)協(xié)方差矩陣，對RT采用EVD，其中，ES為K個大特征值對應(yīng)的特征矢量矩陣，即實(shí)信號子空間，EN為余下的特征矢量矩陣，即實(shí)噪聲子空間。

令

Re(·)和Im(·)分別表示復(fù)矩陣數(shù)的實(shí)部和虛部。由實(shí)矩陣間的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系[11]，即

(4)

(5)

(6)

(7)

3.2 局部搜索

盡管3.1節(jié)可獲得自動配對的角度初始估計(jì)值，然而利用特征向量近似值求解導(dǎo)向矩陣，在低信噪比條件下，估計(jì)精度有限。因此，本節(jié)在此基礎(chǔ)上，提出利用一維局部搜索來優(yōu)化vk的估計(jì)值，從而使得最終DOA估計(jì)精度得到明顯提升。

(8)

(9)

(10)

于是構(gòu)造代價函數(shù)如下：

(11)

式中：ω為拉格朗日因子。令代價函數(shù)L(u,v)對ax(u)求偏導(dǎo)，并使其等于零，即

(12)

(13)

(14)

3.3 2-D DOA估計(jì)方法步驟

根據(jù)分析，本文所提出的2-D DOA估計(jì)方法的步驟可總結(jié)如下：

3.4 復(fù)雜度分析

本節(jié)對提出的2-D DOA估計(jì)方法的復(fù)雜度進(jìn)行分析，并將其與其他幾種相關(guān)方法的復(fù)雜度進(jìn)行對比。復(fù)雜度以方法(或者步驟)實(shí)現(xiàn)所需復(fù)數(shù)乘(Complex Multiply,CM)作為度量[14]。文中所提方法步驟1需要約為O{M2N2L}CM，步驟2則需要約O{2M3N3+3M3N3}CM，步驟3所需要約

O{2K2(M-1)N+3K3+M2N2K+MNK2}CM，

步驟4需要約

O{(ndK+K)(M3N2+M3N+2M3)+M2N2(MN-K)}CM，

nd表示局部搜索次數(shù)，而步驟5運(yùn)算量相對較少，在此忽略不計(jì)，因此，本文提出的2-D DOA方法的復(fù)雜度約為

O{6M3N3+M2N2L+2K2(M-1)N+3K3+
(ndK+K)(M3N2+M3N+2M3)}CM,

而Unitary-ESPRIT算法[11]復(fù)雜度約為

O{5M3N3+M2N2L+2K2(M-1)N+
2K2(N-1)M+12K3}CM，

RD-PM算法[5]運(yùn)算量為

O{M3N3+M2N2L+K2MN+2K2M(N-1)+14K3+
(ndK+K)(M3N2+M3N+2M3)}CM，

2-D MUSIC算法的復(fù)雜度約為

O{13M3N3+(nθnφ+L-K)M2N2+nθnφMN}CM，

nθ、nφ表示全局搜索次數(shù)。

根據(jù)上述分析，由于nd遠(yuǎn)小于nθnφ,顯然本文提出的2-D DOA估計(jì)方法所需計(jì)算復(fù)雜度低于2-D MUSIC算法。盡管本文提出的2-D DOA估計(jì)方法所需CM運(yùn)算量高于Unitary-ESPRIT算法和RD-PM算法，但其性能卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于它們。

4 仿真分析

仿真中采用均勻面陣，相鄰陣元間距為半個波長，用M和N分別表示x軸和y軸方向陣元數(shù)?？紤]自由空間中的K=3個非相干遠(yuǎn)場窄帶信源，其俯仰角和方位角分別為(θ1,φ1)=(10°,15°)、(θ2,φ2)=(20°,25°)和(θ3,φ3)=(30°,35°)。

(15)

同時，在仿真中，給出了角度估計(jì)量的克拉-美勞限(Cramer-Rao Bound,CRB)[13]，以作為角度估計(jì)性能的下限。CRB的具體表達(dá)式如下：

(16)

(1)實(shí)驗(yàn)一：非相干信源的二維波達(dá)角度散點(diǎn)圖及陣元數(shù)對角度估計(jì)性能的影響

在信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)為10 dB，快拍數(shù)L=200，面陣參數(shù)M=8和N=8的條件下，圖1給出了K=3個非相干窄帶信源的角度估計(jì)性能。由圖可知，本文方法可有效地估計(jì)2-D DOA，驗(yàn)證了所提算法的有效性。

圖1 非相干信源的二維波達(dá)角度散點(diǎn)圖Fig.1 Scatter plot of 2-D DOA for incoherent sources

在L=200的條件下，圖2呈現(xiàn)了在陣元數(shù)不同情況下本文算法的DOA估計(jì)RMSE隨SNR變化的性能曲線。由圖可知，角度估計(jì)性能隨著陣元數(shù)目的增加得到明顯改善，從側(cè)面說明了陣列孔徑增大的同時增加了天線增益，因此估計(jì)精確度也隨著提高，特別是在低信噪比條件下，性能提升非常明顯。

圖2 陣元數(shù)大小對角度估計(jì)性能的影響Fig.2 Influence of number of array elements on estimation performance

(2)實(shí)驗(yàn)二：RMSE隨SNR及快拍數(shù)L的變化曲線

在L=200和陣列參數(shù)M=N=8的條件下，圖3給出了DOA估計(jì)性能隨SNR變化的曲線圖。從圖3中可看出，盡管這幾種算法的DOA估計(jì)RMSE均隨SNR增加而逐漸降低，然而在同等SNR條件下，本文算法角度估計(jì)精度明顯高于Unitary-ESPRIT和RD-PM算法及初始估計(jì)結(jié)果，且該算法性能十分接近二維DOA估計(jì)的CRB。在M=N=8和SNR=10 dB實(shí)驗(yàn)條件下，圖4給出了DOA估計(jì)RMSE隨快拍數(shù)變化的特性曲線。由圖4可知，由于3.2節(jié)中采用一維局部搜索優(yōu)化初始估計(jì)結(jié)果，因此估計(jì)性能明顯優(yōu)于3.1節(jié)中2-D DOA初始估計(jì)。重要的是，在獲得相同估計(jì)性能前提下，本文所提算法所需快拍數(shù)均明顯少于對比算法。

圖3 RMSE隨SNR變化的性能曲線Fig.3 RMSE vs. SNR

圖4 RMSE隨快拍數(shù)變化的關(guān)系性能曲線Fig.4 RMSE vs. snapshot

綜合說明，本文算法不僅對噪聲具有較好的抑制力，而且在快拍數(shù)較少條件下也具有相當(dāng)高的DOA估計(jì)精度。

(3)實(shí)驗(yàn)三：DOA估計(jì)成功率隨SNR及快拍數(shù)L的變化曲線

通常在DOA估計(jì)中，如果所有角度估計(jì)值與實(shí)際值的誤差均在0.3°范圍內(nèi)，即可認(rèn)為角度估計(jì)成功，否則認(rèn)為失敗。圖5在L=200和陣列參數(shù)M=N=8的條件下，給出了DOA估計(jì)成功率隨SNR變化的關(guān)系曲線。由圖5可看出，隨著SNR增加，算法的DOA估計(jì)成功率都得到提升，但是，本文所提方法DOA估計(jì)成功率明顯高于其他相關(guān)算法。例如在SNR=10 dB時，本文方法成功率已接近0.9，而2-D DOA初始估計(jì)和RD-PM算法在0.77左右，同時Unitary-ESPRIT算法成功率僅約0.6。

圖5 DOA估計(jì)成功率隨SNR變化的關(guān)系曲線Fig.5 Successful rate vs. SNR

在SNR=10 dB、M=N=8仿真條件下，圖6給出算法DOA估計(jì)成功率隨快拍數(shù)L變化的關(guān)系曲線。由圖可知，DOA估計(jì)成功率均隨快拍數(shù)增加呈上升趨勢，且在快拍數(shù)非常有限的條件下，本文所提方法成功率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于初始估計(jì)算法和兩種對比算法，說明本文方法有效解決了快拍數(shù)較少條件下的角度估計(jì)難題。

圖6 DOA估計(jì)成功率隨快拍數(shù)變化的關(guān)系曲線Fig.6 Successful rate vs. snapshot

(4)實(shí)驗(yàn)四:信源數(shù)K不同的條件下，RMSE性能隨SNR及快拍數(shù)L的變化曲線

在L=200、M=N=8以及不同用戶數(shù)情況下，本文算法的DOA估計(jì)RMSE與SNR的關(guān)系曲線如圖7所示。從圖7可以看出，隨著SNR提高，DOA估計(jì)RMSE得到明顯抑制。同時，隨著信源數(shù)的減少，DOA估計(jì)性能得到一定改善，從側(cè)面說明信源數(shù)越多，干擾越強(qiáng)，因此估計(jì)精確度會受到一定影響。

圖7 信源數(shù)不同條件下RMSE隨SNR變化的關(guān)系曲線Fig.7 RMSE vs. SNR for different sources

在SNR=10 dB、M=N=8仿真條件下，圖8給出本文算法在不同信源數(shù)目情況下DOA估計(jì)RMSE隨快拍數(shù)變化的曲線，DOA估計(jì)RMSE隨著快拍數(shù)的增加而縮減。由圖可知，當(dāng)快拍數(shù)目達(dá)到一定值時，角度估計(jì)性能與信源數(shù)幾乎無關(guān)。

圖8 信源數(shù)不同條件下RMSE隨快拍數(shù)變化的關(guān)系曲線Fig.8 RMSE vs. snapshot for different sources

5 結(jié)束語

本文提出了一種采用局部搜索的2-D DOA估計(jì)方法。該方法首先對Unitary-ESPRIT算法進(jìn)行改進(jìn)，以獲取非相干信源的2-D DOA初始估計(jì)值。改進(jìn)算法僅需一次TLS運(yùn)算，無需構(gòu)造復(fù)矩陣并對其進(jìn)行EVD便可實(shí)現(xiàn)自動配對的角度初始估計(jì)，運(yùn)算量得到有效降低。接著采用一維局部搜索來優(yōu)化初始估計(jì)的結(jié)果，從而使得DOA估計(jì)性能得到明顯提升。文中方法利用一維局部搜索取代MUSIC算法中的全局搜索，因此，運(yùn)算成本相對較低，而性能提升卻非常明顯，存在一定實(shí)用價值。由于本文僅考慮非相干信源的DOA估計(jì)，下一步可以考慮多徑環(huán)境下相干信源的角度估計(jì)。

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Two-dimensional DOA Estimation Based on Local Searching

HUANG Ying,JING Xiaorong
(Chongqing Key Laboratory of Mobile Communications Technology,Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing 400065,China)

To improve the estimation accuracy of the unitary estimation-of signal parameter via rotational techniques(Unitary-ESPRIT) method,a local searching-based method is proposed for two-dimensional(2D) direction-of-arrival(DOA) estimation of incoherent sources. First,the real eigenvector approximation is used to estimate steering matrices. Second,the matrix Kronecker product properties and the character of the array rotational invariance are used to acquire the automatic matching angle estimation. Therefore,the computational load of the initial 2-D DOA estimation can be reduced efficiently and the Unitary-ESPRIT algorithm is improved significantly. Then the one-dimensional local searching is exploited to optimize initial results,which can efficiently improve the precision of angel estimation in low signal-to-noise ratio(SNR). The simulation results verify that the proposed method has obvious superiority over the precision and successful rate of DOA estimation compared with the original Unitary-ESPRIT method,especially in the condition of low SNR and fewer snapshots,so it can get a better tradeoff between computational complexity and estimation performance.

2-D DOA estimation;incoherent sources;local searching;computational complexity

2016-05-03；

2016-08-17 Received date:2016-05-03；Revised date：2016-08-17

國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)項(xiàng)目(2014AA01A705);重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計(jì)劃項(xiàng)目(cstc2015jcyjA40040)

10.3969/j.issn.1001-893x.2017.02.015

黃英，景小榮.采用局部搜索的二維DOA估計(jì)[J].電訊技術(shù)，2017,57(2):210-216.[HUANG Ying,JING Xiaorong.Two-dimensional DOA estimation based on local searching[J].Telecommunication Engineering,2017,57(2):210-216.]

TN911.7

A

1001-893X(2017)02-0210-07

黃 英(1991—)，女，重慶江津人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槎嗵炀€系統(tǒng)中的信號處理；

Email:15223135023@163.com

景小榮(1974—)，男，甘肅平?jīng)鋈?2009年于電子科技大學(xué)獲博士學(xué)位，現(xiàn)為重慶郵電大學(xué)教授，主要研究方向?yàn)槎嗵炀€系統(tǒng)中的信號處理。

*通信作者：15223135023@163.com Corresponding author：15223135023@163.com