張海嬋，謝利紅

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

擬拓?fù)淙褐械那度胄再|(zhì)

張海嬋，謝利紅

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

本文主要刻畫第一可數(shù)擬拓?fù)淙撼朔e空間的子群，得如下結(jié)論：1）設(shè)G是滿足T1分離公理的擬拓?fù)淙?，則G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足第一可數(shù)且滿足T1分離公理擬拓?fù)淙撼朔e空間的子群當(dāng)且僅當(dāng)G是ω-balanced 和局部ω-good；2）設(shè)G是滿足T2分離公理的擬拓?fù)淙?，則G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足第一可數(shù)且滿足T2分離公理擬拓?fù)淙撼朔e空間的子群當(dāng)且僅當(dāng)G是ω-balanced、局部ω-good 和Hs（G）≤ω；3）設(shè)G是滿足正則分離公理的擬拓?fù)淙?，則G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足第一可數(shù)且滿足正則分離公理擬拓?fù)淙撼朔e空間的子群當(dāng)且僅當(dāng)G是ω-balanced、局部ω-good 和Ir（G）≤ω.

擬拓?fù)淙?；拓?fù)淙海环蛛x公理

1 引言與預(yù)備知識

設(shè)G是一抽象群，τ是G上的一拓?fù)? 當(dāng)G的乘法運(yùn)算μ∶（G,τ）×（G,τ）→（G,τ）是分開連續(xù)時，則（G,τ）是半拓?fù)淙?；?dāng)G的乘法運(yùn)算μ∶（G,τ）×（G,τ）→（G,τ）是聯(lián)合連續(xù)時，則（G,τ）是仿拓?fù)淙? 設(shè)（G,τ）是仿拓?fù)淙呵移淠孢\(yùn)算ν∶G→G是連續(xù)的，則（G,τ）是拓?fù)淙? 設(shè)（G,τ）是半拓?fù)淙呵移淠孢\(yùn)算ν∶G→G是連續(xù)的，則（G,τ）是擬拓?fù)淙篬1].

2007年，Manuel Sanchis等[2]研究了完全Lindel?f和完全ω-有界的仿拓?fù)淙旱那度胄? 2009年，Mikhail Tkachenk[3]進(jìn)一步給出了仿拓?fù)淙耗鼙硎境梢蛔宓谝豢蓴?shù)或第二可數(shù)的仿拓?fù)淙撼朔e空間的子群刻畫. 但是Mikhail Tkachenk只考慮了正則性和Hausdorff性的仿拓?fù)淙旱那度?，于是Iván Sánchez進(jìn)一步研究了仿拓?fù)淙旱那度朐赥0和T1條件下是否還成立[4]，以及第一可數(shù)半拓?fù)淙旱耐渡鋄5]. 因此，很自然地就會問：擬拓?fù)淙菏欠褚簿哂信c仿拓?fù)淙汉桶胪負(fù)淙合囝愃频那度胄再|(zhì)呢？本文主要研究擬拓?fù)淙呵度氲降谝豢蓴?shù)Ti(i=1,2,3)擬拓?fù)淙撼朔e空間的子群.

命題1[1]22設(shè)G是一抽象群，γ是G中包含單位元e處的集族，若γ滿足下列條件：

1）對任意的U∈γ，存在V∈γ，使得V-1?U；

2）對任意的U∈γ和任意x∈U，存在V∈γ，使得Vx?U；

3）對任意的U∈γ和任意x∈U，存在V∈γ，使得xVx-1?U；

4）對任意的U,V∈γ，?W∈γ，使得W?U∩V.

則存在唯一個拓?fù)洇?，使?G,τ)構(gòu)成擬拓?fù)淙?，且γ是G中包含單位元e處的集族.

Iván Sánchez研究了第一可數(shù)半拓?fù)淙旱耐渡洌玫搅巳缦陆Y(jié)論：

定理1[5]4-61）設(shè)G是滿足T1分離公理的半拓?fù)淙?，則G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足第一可數(shù)且滿足T1分離公理半拓?fù)淙撼朔e空間的子群當(dāng)且僅當(dāng)G是ω-balanced 、局部ω-good 和Sm（G）≤ω；2）設(shè)G是滿足T2分離公理的半拓?fù)淙?，則G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足第一可數(shù)且滿足T2分離公理半拓?fù)淙撼朔e空間的子群當(dāng)且僅當(dāng)G是ω-balanced、局部ω-good 和Hs（G）≤ω；3）設(shè)G是滿足正則分離公理的半拓?fù)淙?，則G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足第一可數(shù)且滿足正則分離公理半拓?fù)淙撼朔e空間的子群當(dāng)且僅當(dāng)G是ω-balanced、局部ω-good 和Ir（G）≤ω.

定義1[5]1設(shè)G是一個半拓?fù)淙?，V是G的子集，若存在包含單位元的可數(shù)開鄰域族γ，使得對任意的x∈V，有W∈γ滿足xW?V，則稱V是G中的一個ω-good集.

令N*(e)={V?G,e∈V,V是ω-good集}. 本文中出現(xiàn)的N*(e)都表示此定義，下文出現(xiàn)的N(e)都是表示半拓?fù)淙篏中包含單位元e處的所有鄰域族.

定義2[5]3設(shè)G是半拓?fù)淙?，U是G中包含單位元e的鄰域，對任意的x∈G，存在V∈γ且γ?N（e）使得xVx-1?U，則稱γ從屬于U. 對任意的U∈N（e），存在γ從屬于U，則半拓?fù)淙篏是ω-balanced.

定義3[5]3設(shè)G是T2半拓?fù)淙?，U是G中包含單位元e的任意開鄰域，存在單位元e的開鄰域V使得?U，則G是正則的.

文獻(xiàn)[3]中，Mikhail Tkachenk給出了仿拓?fù)淙耗鼙硎境梢蛔宓谝豢蓴?shù)或第二可數(shù)的仿拓?fù)淙撼朔e空間的子群刻畫，引入了如下定義：

定義4[5]4-51）設(shè)G是正則半拓?fù)淙?，對任意的U∈N（e），若存在可數(shù)族γ?N（e）和V∈γ使得∩W∈γVW-1?U，則Ir（G）≤ω；2）設(shè)G是T2半拓?fù)淙?，對任意的U∈N（e），若存在可數(shù)族γ?N（e）使得∩V∈γVV-1?U，則Hs（G）≤ω.

本文主要目的是刻畫第一可數(shù)擬拓?fù)淙撼朔e空間的子群.

2 主要結(jié)論

定義5[5]2設(shè)G是半拓?fù)淙?，若N*(e)構(gòu)成G中單位元e處的一個局部基，則G是局部ω-good.

命題2[5]2設(shè)｛Gi∶i∈I｝是局部ω-good 半拓?fù)淙鹤澹瑒t乘積空間是局部ω-good.

命題3[5]3設(shè)H是局部ω-good半拓?fù)淙篏的子群，則H是局部ω-good .

命題4[5]3任意第一可數(shù)半拓?fù)淙菏蔷植喀?good.

推論1[5]3任意第一可數(shù)半拓?fù)淙旱某朔e子群是局部ω-good.

引理1[5]3設(shè)G是半拓?fù)淙?，若?N(e)滿足下列條件：

1）對任意U∈γ和x∈U，存在V∈γ使得xV?U；

2）對任意U∈γ，γ從屬于U.

則N=∩｛U∩U-1∶U∈γ｝是G中的不變子群，并且對任意U∈γ有：UN=NU=U.

定理2設(shè)G是正則擬拓?fù)淙?，則G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足第一可數(shù)且正則擬拓?fù)淙撼朔e空間的子群當(dāng)且僅當(dāng)G是ω-balanced、局部ω-good 和Ir（G）≤ω.

證明充分性. 設(shè)G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足第一可數(shù)且正則擬拓?fù)淙撼朔e空間的子群，不妨設(shè)G拓?fù)渫瑯?gòu)于∏=∏i∈IHi的子群，其中每一Hi是第一可數(shù)且滿足正則分離公理擬拓?fù)淙? 由文獻(xiàn)[3]的推論3.4，G是ω-balanced且滿足Ir（G）≤ω. 由命題2、3和推論1可知：G是局部ω-good.

必要性. 設(shè)G是ω-balanced、局部ω-good 且滿足Ir（G）≤ω. 對任一U0∈N（e），下面構(gòu)造G到第一可數(shù)正則擬拓?fù)淙篐U0的連續(xù)同態(tài)pU0∶G→HU0，且?V0∈N(eHU0)，eHU0是HU0上的單位元，使得

下面用歸納法構(gòu)造滿足下列定理2條件的｛γn∶n∈ω｝集族：

1）γn?N*（e）且

2）γn?γn+1；

3）γn在有限交下是封閉的；

4）對任意的U∈γn和任意x∈G，存在V∈γn+1使得xVx-1?U；

5）對任意的U∈γn，存在V∈γn+1使得V-1?U；

6）對任意的U∈γn和任意x∈U，存在V∈γn+1使得Vx?U;

7）對任意的U∈γn，存在V∈γn+1使得∩W∈γn+1VW-1?U.

假設(shè)對某一n∈ω. 已構(gòu)造滿足定理2條件1-7的γ0,γ1,···,γn. 因?yàn)棣胣是可數(shù)的，G是局部ω-good 且G滿足ω-balanced，所以存在可數(shù)族λn,1?N*（e），滿足對任意的U∈γn和取x∈G，存在V∈λn,1使得xVx-1?U. 因?yàn)镚是擬拓?fù)淙?，所以存在可?shù)族λn,2?N*（e），滿足對任意的U∈γn，存在V∈λn,2使得V-1?U. 因?yàn)棣胣每個元都是ω-good，所以存在可數(shù)族λn,3?N*（e），滿足對任意U∈γn和x∈U，?V∈λn,3使得xV?U. 因?yàn)镮r（G）≤ω，所以存在可數(shù)族λn,4?N*（e），滿足對任意U∈γn和?V∈λn,4，使得∩W∈λn,4VW-1?U. 令γn′+1=γn∪λn,1∪λn,2∪λn,3∪λn,4，且γn+1是γn′+1的有限交集族. 顯然，γn+1是可數(shù)的，易驗(yàn)證集族γ0,γ1,···,γn+1滿足條件1-7.

令r=∪n∈ωγn，易驗(yàn)證γ滿足引理1的條件1和2，所以N=∩｛V∩V-1∶V∈γ｝是G的不變子群. 由于對任意U∈γ構(gòu)建γ滿足∩V∈γVV-1?U，所以N=∩V∈γVV-1. 考慮代數(shù)群HU0=G/N. 設(shè)pU0∶G→HU0是標(biāo)準(zhǔn)同態(tài)，令β=｛pU0(V)∶V∈γ｝. 易驗(yàn)證β滿足下列條件：

a）對任意的A,B∈β，存在C∈β使得C?A∩B；

b）對任意的A∈β，?B∈β使得B-1?A；

c）對任意的A∈β和a∈A，?B∈β使得aB?A；

d）對任意的A∈β和x∈G，?B∈β使得xB-1x?A.

由γ滿足定理2條件3-6可得：β滿足以上條件

由條件a-d滿足命題1，可得存在HU0上的一個拓?fù)洇邮沟?HU0,τ)是擬拓?fù)淙?，β是HU0上單位元的局部基. 因?yàn)棣率强蓴?shù)的，所以(HU0,τ)是第一可數(shù)的.

下證擬拓?fù)淙?HU0,τ)是正則的. 先證(HU0,τ)是T2的. 令是HU0上的單位元.任取x∈G使得因?yàn)樗砸虼舜嬖赩∈γ使得x?VV-1，即xV∩V=?. 由引理1可得：xVN∩VN=?，所以于是可得(HU0,τ)是T2的.

任意的pU0（U）∈β. 由定理2條件7可得：對任意的U，存在V∈γn+1使得下證令和取x∈G，使得易得x?U，所以存在V∈γ，使得x?VV-1，即xW∩V=?. 由引理1可得，xWN∩VN=?，因此可證得(HU0,τ)是T3的，從而(HU0,τ)是正則的.

定理3設(shè)G是T2擬拓?fù)淙?，則G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足第一可數(shù)且T2擬拓?fù)淙撼朔e空間的子群當(dāng)且僅當(dāng)G是ω-balanced 、局部ω-good和Hs(G)≤ω.

證明充分性. 設(shè)G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足第一可數(shù)且T2擬拓?fù)淙撼朔e空間的子群，不妨設(shè)G拓?fù)渫瑯?gòu)于∏=∏i∈IHi的子群，其中每一Hi是第一可數(shù)且滿足T2分離公理擬拓?fù)淙? 顯然G是ω-balanced且滿足局部ω-good. 由文獻(xiàn)[3]的命題2.1-2.3可知：G是Hs(G)≤ω.

必要性. 設(shè)G是ω-balanced 、局部ω-good 且滿足Hs(G)≤ω. 對任一U0∈N（e），下面構(gòu)造G到第一可數(shù)T2擬拓?fù)淙篐U0的連續(xù)同態(tài)pU0∶G→HU0，且?V0∈N(eHU0)，eHU0是HU0上的單位元使得

下面用歸納法構(gòu)造滿足下列條件的｛γn∶n∈ω｝集族：

1）γn?N*（e）且

2）γn?γn+1；

3）γn在有限交下是封閉的；

4）對任意的U∈γn和任意x∈G，存在V∈γn+1使得xVx-1?U；

5）對任意的U∈γn，存在V∈γn+1使得V-1?U；

6）對任意的U∈γn和任意x∈U，存在V∈γn+1使得Vx?U；

7）對任意的U∈γn，存在V∈γn+1使得∩V∈γn+1VV-1?U.

假設(shè)對某一n∈ω，已構(gòu)造滿足定理3條件1-7的γ0,γ1,…,γn. 因?yàn)棣胣是可數(shù)的，G是局部ω-good且G滿足ω-balanced，所以存在可數(shù)族λn,1?N*（e），滿足對任意的U∈γn和取x∈G，存在V∈λn,1使得xVx-1?U. 因?yàn)镚是擬拓?fù)淙?，所以存在可?shù)族λn,2?N*（e），滿足對任意的U∈γn，存在V∈λn,2使得V-1?U. 因?yàn)棣胣每個元都是ω-good，所以存在可數(shù)族λn,3?N*（e），滿足對任意U∈γn和x∈U，?V∈λn,3使得xV?U. 因?yàn)镠s（G）≤ω，所以存在可數(shù)族λn,4?N*（e），滿足對任意U∈γn和?V∈λn,4，使得令γn′+1=γn∪λn,1∪λn,2∪λn,3∪λn,4，且γn+1是γn′+1的有限交集族. 顯然，γn+1是可數(shù)的，易驗(yàn)證集族γ0,γ1,…,γn+1滿足以上條件.

令γ=∪n∈ωγn，易驗(yàn)證γ滿足引理1的條件1和2，所以N=∩｛V∩V-1∶V∈γ｝是G的不變子群. 由于對任意U∈γ，構(gòu)建γ滿足∩V∈γVV-1?U，所以N=∩V∈γVV-1. 考慮代數(shù)群HU0=G/N. 設(shè)pU0∶G→HU0是標(biāo)準(zhǔn)同態(tài)，令β=｛pU0(V)∶V∈γ｝. 易驗(yàn)證β滿足下列條件：

a）對任意的A,B∈β，存在C∈β使得C?A∩B；

b）對任意的A∈β，?B∈β使得B-1?A；

c）對任意的A∈β，和a∈A，?B∈β使得aB?A；

d）對任意的A∈β和x∈G，?B∈β使得xB-1x?A.

因?yàn)棣脻M足定理3條件3-6，可得β滿足以上條件.

由條件a-d滿足命題1，可得存在HU0上的一個拓?fù)洇樱沟?HU0,τ)是擬拓?fù)淙?，β是HU0上單位元的局部基. 因?yàn)棣率强蓴?shù)的，所以(HU0,τ)是第一可數(shù)的.

下證擬拓?fù)淙?HU0,τ)是T2的. 令是HU0上的單位元. 任取x∈G使得因?yàn)樗詘?N=∩V∈γVV-1. 因此，存在V∈γ使得x?VV-1，即xV∩V=?. 由引理1可得xVN∩VN=?，所以ypU0(V)∩pU0(V)=?，于是可得(HU0,τ)是T2的.

定理4 設(shè)G是T1擬拓?fù)淙海瑒tG拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足第一可數(shù)且T1擬拓?fù)淙撼朔e空間的子群當(dāng)且僅當(dāng)G是ω-balanced 和局部ω-good.

證明充分性. 設(shè)G拓?fù)渫瑯?gòu)于一族滿足第一可數(shù)且T1擬拓?fù)淙撼朔e空間的子群，不妨設(shè)G拓?fù)渫瑯?gòu)于∏=∏i∈IHi的子群，其中每一Hi是第一可數(shù)且滿足T1分離公理擬拓?fù)淙? 顯然G是ω-balanced且滿足局部ω-good.

必要性. 設(shè)G是ω-balanced 和局部ω-good . 對任一U0∈N（e），下面構(gòu)造G到第一可數(shù)T1擬拓?fù)淙篐U0的連續(xù)同態(tài)pU0∶G→HU0，且?V0∈N(eHU0)，eHU0是HU0上的單位元，使得

下面用歸納法構(gòu)造滿足下列條件的｛γn∶n∈ω｝集族：

1）γn?N*（e）且

2）γn?γn+1；

3）γn在有限交下是封閉的；

4）對任意的U∈γn和任意x∈G，存在V∈γn+1使得xVx-1?U；

5）對任意的U∈γn，存在V∈γn+1使得V-1?U；

6）對任意的U∈γn和任意x∈U，存在V∈γn+1使得Vx?U；

假設(shè)對某一n∈ω，已構(gòu)造滿足定理4條件1-6的γ0,γ1,…,γn. 因?yàn)棣胣是可數(shù)的，G是局部ω-good且G滿足ω-balanced，所以存在可數(shù)族λn,1?N*（e），滿足對任意的U∈γn和取x∈G，存在V∈λn,1使得xVx-1?U. 因?yàn)镚是擬拓?fù)淙?，所以存在可?shù)族λn,2?N*（e），滿足對任意的U∈γn，存在V∈λn,2使得V-1?U. 因?yàn)棣胣每個元都是ω-good，所以存在可數(shù)族λn,3?N*（e），滿足對任意U∈γn和x∈U，?V∈λn,3使得xV?U. 令γn′+1=γn∪λn,1∪λn,2∪λn,3，且γn+1是γn′+1的有限交集族. 顯然，γn+1是可數(shù)的，易驗(yàn)證集族γ0,γ1,…,γn+1滿足定理4條件1-6.

令γ=∪n∈ωγn，易驗(yàn)證γ滿足引理1的條件1和2，所以N=∩｛V∩V-1∶V∈γ｝是G的不變子群. 由于對任意U∈γ，構(gòu)建γ滿足∩V∈γVV-1?U，所以N=∩V∈γVV-1. 考慮代數(shù)群HU0=G/N. 設(shè)pU0∶G→HU0是標(biāo)準(zhǔn)同態(tài)，令β=｛pU0(V)∶V∈γ｝. 易驗(yàn)證β滿足下列條件：

a）對任意的A,B∈β，存在C∈β，使得C?A∩B；

b）對任意的A∈β，?B∈β使得B-1?A；

c）對任意的A∈β和a∈A，?B∈β使得aB?A；

d）對任意的A∈β和x∈G，?B∈β使得xB-1x?A.

因?yàn)棣脻M足定理4條件3-6，可得β滿足以上條件.

由條件a-d滿足命題1，可得存在HU0上的一個拓?fù)洇?，使?HU0,τ)是擬拓?fù)淙海率荋U0上單位元的局部基. 因?yàn)棣率强蓴?shù)的，所以(HU0,τ)是第一可數(shù)的.

下證擬拓?fù)淙?HU0,τ)是T1的. 令是HU0上的單位元. 任取x∈G使得因?yàn)閥≠eHU0，所以x?N=∩V∈γV. 因此存在V∈γ，使得即y?pU0(V).于是可得(HU0,τ)是T1的.

[1] ARHANGELSKII A, TKACHENKO M. Topological groups and related structures [M]. Paris∶ Atlantis Press,2008.

[2] SANCHIS M, TKACHENKO M. Totally Lindel?f and totallyω-narrow paratopological groups [J]. Topology& Its Applications, 2008, 155(4)∶ 322-334.

[3] TKACHENKO M. Embedding paratopological groups into topological products [J]. Topology & Its Applications,2009, 156(7)∶ 1298-1305.

[4] SáNCHEZ I. Subgroups of products of paratopological groups [J]. Topology & Its Applications, 2014, 163∶160-173.

[5] SáNCHEZ I. Projectively first-countable semitopological groups [J]. Topology & Its Applications, 2016, 204∶246-252.

[責(zé)任編輯：熊玉濤]

Projectively First-countable Quasitopological Groups

ZHANG Hai-chan, XIE Li-hong
(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

In this paper, we mainly discuss the projectively first-countable quasitopological groups.The following results are obtained: 1）LetGbe aT1quasitopological group, thenGis projectivelyT1first-countable if and only ifGisω-balanced and locallyω-good. 2）LetGbe a Hausdorff quasitopological group, thenGis projectively Hausdorff first-countable if and only ifGisω-balanced, locallyω-good andHs（G）≤ω. 3）LetGbe a regular quasitopological group, thenGis projectively regular first-countable if and only ifGisω-balanced, locallyω-good andIr（G）≤ω.

quasitopological groups; topological groups; separation axioms

O189.1

A

1006-7302（2017）04-0005-06

2017-07-12

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11601393）

張海嬋（1990—），女，廣東茂名人，在讀碩士生，研究方向?yàn)橥負(fù)淙?；謝利紅，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，通信作者，主要研究方向?yàn)橥負(fù)淙?