張夏潔，劉宣會(huì)，賈丹琴

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

股價(jià)服從Levy過程的投資組合優(yōu)化策略研究

張夏潔，劉宣會(huì)，賈丹琴

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

當(dāng)股票價(jià)格受到多個(gè)重大事件疊加影響時(shí)，股價(jià)會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)的跳躍，一般可將股票價(jià)格考慮為服從Levy過程.基于隨機(jī)微分對(duì)策，建立投資組合優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，當(dāng)股票價(jià)格服從Levy過程時(shí)，運(yùn)用Ito-Levy過程的一維Ito公式和泛函變分法，采用對(duì)數(shù)效用函數(shù)，研究?jī)扇烁?jìng)爭(zhēng)的投資組合策略問題，運(yùn)用隨機(jī)微分對(duì)策得到兩人競(jìng)爭(zhēng)的最優(yōu)投資策略.

Levy過程；隨機(jī)微分對(duì)策；Ito公式；對(duì)數(shù)效用函數(shù)；最優(yōu)策略

投資組合理論是數(shù)理金融學(xué)的經(jīng)典理論之一，其核心思想是選擇投資組合，以達(dá)到風(fēng)險(xiǎn)分散化，收益最大化和風(fēng)險(xiǎn)最小化的目的.作為一名投資者，既想要在投資的過程中獲取最大的收益，同時(shí)又想承擔(dān)最低的風(fēng)險(xiǎn)，需要考慮如何將資金按照一定的比例投放到不同的市場(chǎng)，這就出現(xiàn)了投資組合策略問題.即如何構(gòu)建投資組合策略使得投資者可以在投資收益和投資風(fēng)險(xiǎn)中找到一個(gè)平衡點(diǎn)，在風(fēng)險(xiǎn)一定的條件下實(shí)現(xiàn)收益的最大化或在收益一定的條件下使風(fēng)險(xiǎn)盡可能地降低.

投資組合理論[1]最早是由美國(guó)著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家Markowitz于1952年提出的，他開創(chuàng)了對(duì)投資組合進(jìn)行整體管理的理論，利用均值-方差進(jìn)行投資組合選擇，首次將風(fēng)險(xiǎn)數(shù)量化，此后大量有關(guān)投資組合的問題開始得到深入研究[2-4].近幾年，隨著數(shù)學(xué)金融學(xué)和隨機(jī)學(xué)等近代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和應(yīng)用，研究最優(yōu)投資組合問題已成為金融數(shù)學(xué)中的熱門領(lǐng)域之一.其中，利用隨機(jī)微分博弈理論來研究最優(yōu)投資組合問題已成為熱點(diǎn)之一[5-6].黃俏玲[7]在一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和兩個(gè)相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成的簡(jiǎn)單金融市場(chǎng)下，研究了Vasicek利率模型和Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型以及投資于多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)下的零和隨機(jī)微分投資組合博弈問題.Browne[8]研究了股價(jià)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)兩人零和隨機(jī)微分對(duì)策問題.

由于在現(xiàn)實(shí)生活中存在很多不確定因素(如經(jīng)濟(jì)危機(jī)、政治事件等)會(huì)對(duì)股票價(jià)格產(chǎn)生沖擊，使股價(jià)出現(xiàn)不連續(xù)的跳躍，一般將股票價(jià)格考慮為服從跳躍-擴(kuò)散過程，很多學(xué)者在這方面也已經(jīng)有了很好的研究成果[9-10].但是，當(dāng)股價(jià)受到多個(gè)重大信息疊加沖擊時(shí)，一般的跳躍-擴(kuò)散模型已然無法準(zhǔn)確的描述股價(jià)的運(yùn)動(dòng).為了能更加符合實(shí)際金融市場(chǎng)的需求，本文在Browne研究的基礎(chǔ)上，將股價(jià)服從的幾何布朗運(yùn)動(dòng)過程推廣到Levy過程.基于隨機(jī)微分對(duì)策思想，擬建立股價(jià)服從Levy過程的投資組合優(yōu)化模型，運(yùn)用Ito-Levy過程的Ito一維公式和泛函變分法，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和對(duì)策函數(shù)，采用對(duì)數(shù)效用函數(shù)，研究了兩人競(jìng)爭(zhēng)的最優(yōu)投資組合策略問題.

1 模型的建立

當(dāng)重大信息出現(xiàn)時(shí)(如經(jīng)濟(jì)危機(jī)，政治事件等)，會(huì)對(duì)股票的價(jià)格產(chǎn)生沖擊，出現(xiàn)不連續(xù)的跳躍，這時(shí)一般將股票價(jià)格考慮為跳躍-擴(kuò)散模型.若受到多個(gè)沖擊時(shí)，則認(rèn)為股票價(jià)格服從復(fù)合泊松過程，我們將股價(jià)考慮為服從Levy過程.假設(shè)金融市場(chǎng)上僅有兩種證券，一種是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，另一種有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn).

1)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(稱為債券)的價(jià)格變化：dP1=rP1dt，p1(0)=p1>0，r是無風(fēng)險(xiǎn)利率.

2)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(稱為股票)的價(jià)格過程為：

(1)

N(dt,dz)=N(dt,dz)-π(dz)dt,|z|<1

N(dt,dz),|z|≥1

引理1[12]：(復(fù)合泊松過程的Levy測(cè)度)設(shè)Xt=∑Nti=1Yi是一個(gè)復(fù)合泊松過程，N(t)的強(qiáng)度為λ，Yi的分布為F，則有它的Levy測(cè)度π(dx)=λdF(x).

引理2[12]：(Ito-Levy過程的Ito一維公式)假定Xt∈R是如下形式的Ito-Levy過程，其中對(duì)某個(gè)R∈[0,∞]

N(dt,dz)=N(dt,dz)-v(dz)dt,|z|

N(dt,dz),|z|≥R

令f∈C2(R2)，定義Y(t)=f(t,X(t))，則Y(t)也是一個(gè)Ito-Levy過程，且

dY(t)=?f?t(t,X(t))dt+?f?x(t,X(t))[α(t,w)dt+β(t,w)dB(t)]+12β2(t,w)?2f?x2(t,X(t)dt

+∫|z|

設(shè)定投資者甲，乙均可以選擇一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(即債券)和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(即股票)來投資.另外規(guī)定：投資者甲僅限于在第一種股票S(1)上投資，投資者乙僅限于在第二種股票S(2)上投資.

設(shè)Xt表示甲t時(shí)刻的投資財(cái)富過程，Gt表示乙t時(shí)刻的投資財(cái)富過程.

ft表示投資者甲t時(shí)刻在第一種股票上投資的財(cái)富比例，則(1-ft)表示投資者甲t時(shí)刻在債券上的投資比例.

gt表示投資者乙t時(shí)刻在第二種股票上投資的財(cái)富比例，則(1-gt)表示投資者甲t時(shí)刻在債券上的投資比例.

ft·[μ^1dt+σ1dWt+∫R|{0}(ez-1)N(dt,dz)]+(1-ft)rdt=[(μ^1-r)ft+r]dt+σ1ftdWt+ft∫R|{0}(ez-1)N(dt,dz)

(2)

(3)

定理1：

(4)

由Ito-Levy過程的Ito一維公式可得：

zN(ds,dz)

2 最優(yōu)投資組合策略

定義2[13]：(效用函數(shù))非減上凸函數(shù)U∶R→(-∞,+∞)稱為效用函數(shù)，若滿足：

1) U′(x)存在且連續(xù)； 2)U′(x)為正的，且嚴(yán)格遞減；3)U′(+∞)limx→+∞U′(x)=0.

常見的效用函數(shù)有U(x)=lnx(x>0)(對(duì)數(shù)函數(shù))，U(x)=xpp(x>0)(p<1且p≠0)(指數(shù)函數(shù))等.本文選用對(duì)數(shù)函數(shù)作為效用函數(shù)進(jìn)行研究.

定義4：設(shè)J(y)為泛函，y為規(guī)定的域內(nèi)可以取得的曲線(簡(jiǎn)稱可取曲線)，y^為極值曲線，若J(y^)>J(y)，則稱泛函有極大值；若J()

則有：y^為極值的充要條件為：“δJ=0?Fy=0”.

當(dāng)δ2J>0時(shí)則取得極小值，δ2J<0時(shí)取得極大值.

證明：由定理1知：

則

E[ftσ1-gtσ2)W(t)]=0

(5)

(6)

(7)

因而，令supf∈Ftinff∈Gtvf,g(z)=inff∈Gtsupf∈Ftvf,g(z)，利用引理3求解(6)、(7)就能得到最優(yōu)投資策略.根據(jù)引理3的結(jié)論有：

解得

因此

同理可得：

解得

特別地，由復(fù)合Poisson過程的特性可知：{Yk,k=1,2,…}是一族獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，并且與{N(t),t,t≥0}獨(dú)立.若假設(shè)其密度函數(shù)為：fm(x)=λT，(0≤x≤T)，則有如下結(jié)論：

根據(jù)引理1復(fù)合泊松過程的Levy測(cè)度有：

λ22(ft-gt)

解得甲的最優(yōu)解為：

同理解得乙的最優(yōu)解為：

3 結(jié) 語

本文提出的模型將Browne的模型推廣到更為一般的模型，考慮到當(dāng)股價(jià)受到多個(gè)重大信息(如經(jīng)濟(jì)危機(jī)，政治事件等)疊加沖擊時(shí)，股價(jià)會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)的跳躍，一般的布朗運(yùn)動(dòng)已然無法滿足實(shí)際市場(chǎng)股票價(jià)格變化的需求，因此研究股價(jià)服從Levy過程，對(duì)更加符合實(shí)際金融市場(chǎng)的需求具有重要的實(shí)際意義.

基于隨機(jī)微分對(duì)策思想，在股價(jià)服從Levy過程時(shí)，運(yùn)用Ito-Levy過程的一維Ito公式和泛函變分法，采用對(duì)數(shù)效用函數(shù)來研究?jī)扇烁?jìng)爭(zhēng)的投資組合優(yōu)化問題.投資者甲選擇投資策略期望效用最大化，同時(shí)投資者乙選擇同一期望效用最小化，分別得到投資者甲乙各自的最優(yōu)投資組合策略，并得到了在特定函數(shù)密度下的最優(yōu)解.之后，我們將會(huì)對(duì)部分信息下股票價(jià)格服從跳躍-擴(kuò)散過程的投資組合優(yōu)化問題作深入的討論和研究.

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Research on investment portfolio optimization strategy of stock prices obey Levy process

ZHANG Xia-jie, LIU Xuan-hui, JIA Dan-qin

(School of Science, Xi'an Polytechnic University, Xi'an 710048, China)

When stock price is impacted by many major things, the stock price will not jump continuously. Generally, the price of stock is considered to obey the Levy process. Based on the stochastic differential game, the mathematical model of investment portfolio optimization was established. In the course of stock price obeying Levy, the research on the investment portfolio strategy was studied by using the Ito formula of Ito-Levy process, functional variational method and the logarithm utility function, the optimal investment strategy of the two person competition was obtained by using the stochastic differential game.

Levy process; stochastic differential games; Ito formula; logarithmic utility function; optimal strategy

2015-10-12.

陜西省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目基金(2013JK0594);西安工程大學(xué)研究生創(chuàng)新基金(CX2015002)

張夏潔(1991-)，女，碩士，研究方向：金融數(shù)學(xué).

O211

A

1672-0946(2017)01-107-06