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        直角坐標(biāo)系下二重積分積分順序的選取

        2017-03-07 07:37:08朱清芳趙濤查振邦
        傳播力研究 2017年8期
        關(guān)鍵詞:趙濤西北工業(yè)大學(xué)時(shí)應(yīng)

        文/朱清芳 趙濤 查振邦

        1.根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)判定

        解畫(huà)出積分區(qū)域D如圖1所示,D既是X型又是Y型。

        圖1

        將D看作X型時(shí),積分區(qū)域D的不等式表示為:

        將D看作Y型時(shí),D的不等式表示為:

        顯然,將D看作X型時(shí),需要計(jì)算兩個(gè)二重積分,而將D看作Y型時(shí)只需要計(jì)算一個(gè)二重積分,因此將D看作Y型區(qū)域,選取先x后y的積分順序,利用D的不等式表示式(2),計(jì)算如下。

        如果積分區(qū)域D既是X型又是Y型,在選擇積分順序時(shí)應(yīng)優(yōu)先選擇計(jì)算量小,計(jì)算相對(duì)容易的積分順序。

        2.根據(jù)被積函數(shù)特點(diǎn)選取

        圖2

        解畫(huà)出積分區(qū)域如圖2所示。D既是X型又是Y型。如果將D看作X型時(shí),積分區(qū)域D的不等式表示為:

        當(dāng)積分區(qū)域 D 既是X型又是Y型時(shí),還應(yīng)該考慮被積函數(shù)的特點(diǎn)。如果被積函數(shù)先對(duì)x求積分無(wú)法求取時(shí)(如例3),則需要換種積分順序,采取先對(duì)y積分,反之亦然。

        3.積分區(qū)域?yàn)閷?duì)稱區(qū)域

        圖3

        解畫(huà)出閉區(qū)域D的圖形如圖3所示。閉區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱,而被積函數(shù)是關(guān)于x軸的奇函數(shù),根據(jù)對(duì)稱函數(shù)在所對(duì)稱區(qū)域積分的公式,則有:

        如果積分區(qū)域D既是X型又是Y型時(shí),應(yīng)當(dāng)綜合考慮積分區(qū)域的特點(diǎn),被積函數(shù)積分的難易程度來(lái)確定積分順序,如果是積分區(qū)域是對(duì)稱的,則應(yīng)該優(yōu)先考慮利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算。

        [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2007.

        [2]西北工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)組編.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))[M].科學(xué)出版社,2013.

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