文/朱清芳 趙濤 查振邦

1.根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)判定

解畫(huà)出積分區(qū)域D如圖1所示，D既是X型又是Y型。

圖1

將D看作X型時(shí)，積分區(qū)域D的不等式表示為：

將D看作Y型時(shí)，D的不等式表示為：

顯然，將D看作X型時(shí)，需要計(jì)算兩個(gè)二重積分，而將D看作Y型時(shí)只需要計(jì)算一個(gè)二重積分，因此將D看作Y型區(qū)域，選取先x后y的積分順序，利用D的不等式表示式(2)，計(jì)算如下。

如果積分區(qū)域D既是X型又是Y型，在選擇積分順序時(shí)應(yīng)優(yōu)先選擇計(jì)算量小，計(jì)算相對(duì)容易的積分順序。

2.根據(jù)被積函數(shù)特點(diǎn)選取

圖2

解畫(huà)出積分區(qū)域如圖2所示。D既是X型又是Y型。如果將D看作X型時(shí)，積分區(qū)域D的不等式表示為：

當(dāng)積分區(qū)域 D 既是X型又是Y型時(shí)，還應(yīng)該考慮被積函數(shù)的特點(diǎn)。如果被積函數(shù)先對(duì)x求積分無(wú)法求取時(shí)(如例3)，則需要換種積分順序，采取先對(duì)y積分，反之亦然。

3.積分區(qū)域?yàn)閷?duì)稱區(qū)域

圖3

解畫(huà)出閉區(qū)域D的圖形如圖3所示。閉區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，而被積函數(shù)是關(guān)于x軸的奇函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱函數(shù)在所對(duì)稱區(qū)域積分的公式，則有：

如果積分區(qū)域D既是X型又是Y型時(shí)，應(yīng)當(dāng)綜合考慮積分區(qū)域的特點(diǎn)，被積函數(shù)積分的難易程度來(lái)確定積分順序，如果是積分區(qū)域是對(duì)稱的，則應(yīng)該優(yōu)先考慮利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]西北工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)組編.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))[M].科學(xué)出版社，2013.