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        一道中考試題的解題策略與應用

        2017-03-04 01:27:34王競進
        初中生世界 2017年9期

        王競進

        一道中考試題的解題策略與應用

        王競進

        試題呈現(xiàn)(2016·鹽城)如圖1,已知a、b、c、d四條直線,a∥b,c∥d,∠1=110°,則∠2等于()

        A.50°B.70°C.90°D.110°

        圖1

        圖2

        【思考】本題給出了條件,四條直線a、b、c、d具有的位置關系為a∥b、c∥d,由直線具有的位置關系,我們就可以根據(jù)平行線的性質尋找隱藏在圖形中具有數(shù)量關系的角.因此,圖2中的∠3=∠1、∠2=∠4.也就是將已知條件“∠1= 110°”轉化成∠3的度數(shù)為110°,將待求的問題“∠2的度數(shù)”轉化為求∠4的度數(shù).由圖形可以知道∠3與∠4是一對鄰補角,即可知道∠4的度數(shù)為70°.因此,本題中的∠2等于70°.所以,本題應該選B.

        還可以根據(jù)四條直線a、b、c、d具有的特殊位置關系,應用平行線的性質可以知道(如圖3)∠3=∠2、∠4=∠3,因此,將待求的∠2的度數(shù)直接轉化為∠4的度數(shù),由圖形可知∠1與∠4是一對鄰補角,即可知∠4的度數(shù)為70°.

        圖3

        【策略】本題是2016年江蘇省鹽城市中考數(shù)學試卷中的一道試題,著重考查了平行線的性質和對頂角、鄰補角的關系,解題的關鍵是利用圖形中直線特殊的位置關系找到與∠1、∠2有數(shù)量關系的角,然后再利用鄰補角的數(shù)量關系,進而求出∠2的度數(shù).本題較好地揭示了圖形的位置關系與數(shù)量關系,靈活應用轉化的數(shù)學思想,將待求的問題逐步轉化.解決此類問題的策略在于,能夠靈活應用平行線的性質、判定方法以及三角形的內角和定理,根據(jù)題意和圖形尋找聯(lián)系已知角與未知角的紐帶,使問題逐步加以轉化,問題的解答過程也非常簡捷.

        應用(2016·菏澤)如圖4,將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放,兩個三角板的一直角邊重合,含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合,含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上,則∠1的度數(shù)是.

        圖4

        問題的已知數(shù)學信息有:平行的兩直線、度數(shù)分別為30°、45°、60°和90°的內角,待求的問題是∠1.觀察圖形可以看出,盡管圖形中的兩直線是平行的,怎么建立、尋找與∠1有數(shù)量關系的角是解決本題的關鍵.

        圖5

        方法一如圖5,延長含45°角的三角板的斜邊AP,與紙條的一邊CD相交于點Q,由平行線的性質“兩直線平行,內錯角相等”,可得∠1=∠2.因此,此時的關鍵就是求∠2的度數(shù).由平角定義,可得∠3=180°-45°-90°=45°,∠4= 180°-60°=120°.在∠2、∠3、∠4所在的三角形中,再由三角形內角和定理,可得∠2的度數(shù)為180°-∠4-∠3=180°-120°-45°=15°,因此,∠1= 15°,所以本題答案為15°.

        方法二如圖6,過兩三角板的公共頂點P作紙條邊AB的平行線,這樣,根據(jù)平行線的性質可得∠2=∠1,也就將問題轉化為∠2的度數(shù)問題,而觀察圖形可知∠2與∠3的度數(shù)和為45°,因此,只需要求得∠3的度數(shù)即可.根據(jù)平行線的性質,還可知PQ與CD也是互相平行的,因此∠3=∠4=30°,顯然∠2=45°-∠3=45°-30°=15°,所以∠1=15°,因此答案為15°.

        圖6

        方法三如圖7,觀察圖形,可以知道∠AEP=∠DPC=90°,因此,圖形中還隱含著兩直角邊AE、DP是互相平行的.如果延長AE交邊CD于點Q,那么就可以應用平行線的性質,∠PDC=∠AQC=60°.又根據(jù)紙條邊AB、CD是一組平行線,這樣根據(jù)平行線的性質可得∠BAQ=∠AQC=60°,而觀察圖形可知,∠BAQ是由∠EAP與∠1組成的,因此,只需知道∠EAP的度數(shù)即可.所以,∠1=∠BAQ-∠EAP=60°-45°=15°.

        圖7

        同學們,轉化是我們學習數(shù)學過程中常見的一種解題策略,需要我們熟練地抓住問題的實質,要學會使復雜的問題簡單化、陌生的問題熟悉化、抽象的問題具體化的本領.

        (作者單位:江蘇省建湖縣教育局教研室)

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