霍冠英， 劉 靜， 李慶武

(1.河海大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 常州 213022；2.常州市傳感網(wǎng)與環(huán)境感知重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 常州 213022)

側(cè)掃聲吶圖像統(tǒng)計(jì)特性研究*

霍冠英1,2， 劉 靜1， 李慶武1,2

(1.河海大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 常州 213022；2.常州市傳感網(wǎng)與環(huán)境感知重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 常州 213022)

在分析側(cè)掃聲吶成像的散射模型基礎(chǔ)上，給出了海底混響服從瑞利分布的理論依據(jù)。分析了其它典型概率分布的合理性并給出了各概率分布參數(shù)的估計(jì)方法。通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)比較幾種典型的概率分布的最佳擬合。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:總體來(lái)看，威布爾分布更為精確，但瑞利分布仍保持了較好的擬合特性。特別是當(dāng)?shù)踪|(zhì)粗糙、混響較強(qiáng)時(shí)，使用瑞利分布和威布爾分布相當(dāng)。這一研究結(jié)果可為側(cè)掃聲吶圖像的底質(zhì)分割提供重要依據(jù)。

側(cè)掃聲吶； 海底混響； 瑞利分布； 威布爾分布； 底質(zhì)分割

0 引 言

海底底質(zhì)分析對(duì)海洋科學(xué)、海洋產(chǎn)業(yè)及軍事應(yīng)用均具有重要意義。當(dāng)前主要有兩種方法實(shí)現(xiàn)海底底質(zhì)分析：一種是基于海底的聲學(xué)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，另一種是基于側(cè)掃聲吶圖像及多波束數(shù)據(jù)的海底底質(zhì)分析[1]。側(cè)掃聲吶在對(duì)海底掃描成像時(shí)，除了可能發(fā)現(xiàn)目標(biāo)外，主要是得到大面積的海底混響區(qū)的圖像。海底的起伏不平整、表面的粗糙度及存在于海底附近的各種散射體對(duì)聲波的散射作用，形成了海底混響[2]。在對(duì)側(cè)掃聲吶圖像進(jìn)行分析時(shí)，研究并建模海底混響區(qū)的統(tǒng)計(jì)特性可以為目標(biāo)檢測(cè)、底質(zhì)分類奠定基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[3]對(duì)海底回波數(shù)據(jù)的分析表明，對(duì)數(shù)正態(tài)分布能夠更好地統(tǒng)計(jì)擬合。文獻(xiàn)[4]給出了K分布的物理解釋。文獻(xiàn)[5]提出了廣義K分布，并采用不同的分布對(duì)不同底質(zhì)的側(cè)掃聲吶圖像進(jìn)行擬合，得出廣義K分布最有效的結(jié)論。文獻(xiàn)[6]指出威布爾分布比瑞利分布更為準(zhǔn)確。文獻(xiàn)[7]比較了Gamma分布、瑞利分布與威布爾分布，指出Gamma分布更為有效。

在分析聲吶成像的散射模型基礎(chǔ)上，首先給出海底混響服從瑞利分布的理論依據(jù)；然后分析了其它概率分布的合理性并給出了各概率分布參數(shù)的估計(jì)方法；最后通過(guò)充分的實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)比較現(xiàn)有的幾種典型的概率分布的最佳擬合，以為選擇合適的概率統(tǒng)計(jì)分布提供充分的參考。

1 散射模型與瑞利分布

側(cè)掃聲吶成像時(shí)，其發(fā)射的聲波遇到目標(biāo)、海底、海面等發(fā)生反射、散射，海洋中有大量的散射體，入射聲波照射到散射體上的時(shí)間也有先后，因而，所有的散射波不是都在同一時(shí)刻到達(dá)接收器，對(duì)于側(cè)掃聲吶，主要考慮海底散射，忽略所有二次以上的散射，根據(jù)Middleton提出的海底混響模型[3]，設(shè)聲源發(fā)射的脈沖信號(hào)為s(t)，其復(fù)數(shù)形式為|s0(t)|exp(jψ(t))，那么t時(shí)刻的混響為

exp[j(ω0(t-tn)+ψ(t-tn)+ψn)]

(1)

式中 g(rn)為位于rn處的每個(gè)散射微元ΔVn中散射體的數(shù)目，是取值為0或者1的隨機(jī)變量；|αn|為每個(gè)散射體對(duì)應(yīng)的散射系數(shù)αn的幅度；ψn為散射系數(shù)αn的相位；f(rn)為散射微元ΔVn中散射體的散射回波的雙程傳播衰減因子；tn為回波到達(dá)的時(shí)刻；ω0為發(fā)射信號(hào)中心角頻率；N為對(duì)t時(shí)刻有貢獻(xiàn)的散射微元的總數(shù)；g(rn),|αn|,ψn相互獨(dú)立。將X(t)表示為實(shí)部、虛部之和為

X(t)=R(t)+jI(t)

(2)

從而有

cos[ω0(t-tn)+ψ(t-tn)+ψn]

(3)

sin[ω0(t-tn)+ψ(t-tn)+ψn]

(4)

假設(shè)Vn(t)表示第n個(gè)散射體的瞬時(shí)幅值，φ表示第n個(gè)散射體的瞬時(shí)相位值，即

Vn(t)=g(rn)f(rn)|αn||s0(t-tn)|

(5)

φn(t)=ω0(t-tn)+ψ(t-tn)+ψn

(6)

則可得

(7)

(8)

對(duì)隨機(jī)相位散射體來(lái)說(shuō)，Vn(t)和φn(t)為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其中，φn(t)可認(rèn)為在0～2π之間均勻分布[8]。因此，可得

(9)

(10)

(11)

式中 α為瑞利分布的衰減參數(shù)。考慮到接收機(jī)的增益，混響的平均值可能發(fā)生改變?；谶@一點(diǎn)，仍保留瑞利分布，引入偏移量m，由此得到了平移瑞利分布，其概率密度函數(shù)為

(12)

2 其他概率分布模型

2.1 K分布與Gamma分布

如果單位分辨率單元中的散射體數(shù)目不夠多，那么單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)接收點(diǎn)的散射聲信號(hào)數(shù)目較少，使得混響向右偏離瑞利分布；另外，接收混響時(shí)，可能還會(huì)有個(gè)別強(qiáng)的散射分量或有規(guī)分量參與其中。如果散射元數(shù)目由隨機(jī)過(guò)程的產(chǎn)生、消失和變遷控制，那么散射元數(shù)目N的統(tǒng)計(jì)特性將服從負(fù)二項(xiàng)分布，這種情況下強(qiáng)度與幅度均服從K分布，而不是根據(jù)中心極限定理得出的指數(shù)分布(幅度為瑞利分布)[10,11]。K分布的概率密度函數(shù)如下所示

(13)

式中 v為形狀參數(shù)，b為尺度參數(shù)，Γ(·)為Gamma函數(shù)，U(·)為單位階躍函數(shù)，Kv-1(·) 為第二類v-1階修正貝塞爾函數(shù)。N個(gè)像素上的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

(14)

式(14)最后一項(xiàng)的偏導(dǎo)數(shù)沒(méi)有精確的解析形式，因此不能推導(dǎo)出最大似然估計(jì)，只能通過(guò)對(duì)v和b的數(shù)字搜索尋找似然函數(shù)的最大值，相應(yīng)的v和b即是極大似然估計(jì)值。采用非線性矩估計(jì)，首先定義關(guān)系函數(shù)

(15)

式中 D為X均值的平方和X方差的比值，由樣本均值和樣本方差求解

(16)

求出D之后，反向求解g得到形狀參數(shù)v為

(17)

可由Newton-Raphson迭代通過(guò)D反向求解v，v大于1時(shí)，也可由下式近似求解

(18)

求出v之后，可由二階矩關(guān)系求解得到尺度參數(shù)b，如下式所示

(19)

盡管學(xué)者們提出了很多K分布參數(shù)的估計(jì)方法，但K分布參數(shù)的精確估計(jì)仍是研究的難點(diǎn)和熱點(diǎn)[12,13]。另外，由于聲吶圖像的海底混響區(qū)往往非常接近瑞利分布(底質(zhì)散射體往往固定不動(dòng)，數(shù)目較多且較少發(fā)生改變)，這導(dǎo)致v→∞(此時(shí)K分布趨于瑞利分布)，v值過(guò)大不僅會(huì)造成參數(shù)估計(jì)的偏差急劇增大，也會(huì)經(jīng)常造成參數(shù)溢出無(wú)法求解，而雷達(dá)中的高分辨率低擦地角地雜波的v取值通常則在-0.8

Gamma分布和K分布形式相似，可作為K分布的很好的近似，但與K分布不同的是，Gamma分布又具有參數(shù)估計(jì)簡(jiǎn)單、匹配范圍非常寬的優(yōu)點(diǎn)。其定義如下

(20)

式中 α,β分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù)，Γ(·)為Gamma函數(shù)。當(dāng)形狀參數(shù)較大時(shí)，Gamma分布趨于正態(tài)分布。

對(duì)于Gamma分布，采用矩估計(jì)和最大似然估計(jì)結(jié)果非常接近，由于后者求解非常復(fù)雜，采用矩估計(jì)，如下所示

(21)

式中 m1與m2分別代表一階矩和二階矩。

2.2 對(duì)數(shù)正態(tài)分布

對(duì)數(shù)正態(tài)分布是一種能夠較好地?cái)M合海底混響區(qū)的統(tǒng)計(jì)特性的經(jīng)驗(yàn)概率密度函數(shù)，定義如下

(22)

式中 μ,σ2分別為對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值和方差。由于實(shí)際回波數(shù)據(jù)有可能出現(xiàn)為0的情況，然而，式(22)的定義域并不包含0，給其擬合數(shù)據(jù)帶來(lái)了困難，將其修改為

(23)

式中 為避免出現(xiàn)0值，ε為預(yù)先選定的小常數(shù)，實(shí)驗(yàn)中取為10-3。對(duì)數(shù)正態(tài)分布式(23)對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

(24)

由此可得到μ,σ2的最大似然估計(jì)

(25)

2.3 威布爾分布

威布爾分布也是一種經(jīng)驗(yàn)分布，分為兩參數(shù)威布爾分布和三參數(shù)威布爾分布，聲吶圖像較多采用三參數(shù)威布爾分布

(26)

式中 c和b分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù)，m為偏移量，對(duì)于威布爾分布，形狀參數(shù)c為2時(shí)，對(duì)應(yīng)瑞利分布，形狀參數(shù)c為1時(shí)，對(duì)應(yīng)負(fù)指數(shù)分布；威布爾分布的自由度較高，是一種具有較好適應(yīng)性的經(jīng)驗(yàn)概率模型。在威布爾分布參數(shù)求解上，文獻(xiàn)[14]給出了一種較為簡(jiǎn)單的最大似然求解方法

(27)

(28)

(29)

3 各概率分布模型的擬合實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

圖1給出了不同底質(zhì)類型的原始側(cè)掃聲吶圖像，來(lái)自Klein3900等聲吶設(shè)備。

圖1 不同底質(zhì)類型的側(cè)掃聲吶圖像

采用K分布進(jìn)行擬合時(shí)，由于v值過(guò)大，很多情況下無(wú)法得到參數(shù)值，因此,不再給出K分布的擬合結(jié)果(采用權(quán)威文獻(xiàn)[13]附錄的代碼對(duì)聲吶圖像進(jìn)行K分布統(tǒng)計(jì)擬合，可證實(shí)這一點(diǎn))。此處給出了瑞利分布、Gamma分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布的擬合結(jié)果，各種分布與歸一化直方圖的對(duì)比曲線如圖2所示。其中Gamma分布的參數(shù)估計(jì)采用式(21)，對(duì)數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)采用式(25)，威布爾分布的參數(shù)估計(jì)采用式(27)～式(29)，瑞利分布的參數(shù)估計(jì)采用下式

(30)

圖2 各概率分布模型對(duì)圖1中各底質(zhì)圖的擬合曲線對(duì)比

采用Kolmogorov距離準(zhǔn)則對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，結(jié)果如表1所示，最佳擬合用加粗表示。Kolmogorov距離準(zhǔn)則的評(píng)估函數(shù)定義如下

(31)

式中 h(i)為用于比較的聲吶圖像的歸一化直方圖；p(i)為各分布模型擬合得到的概率密度函數(shù)，L為側(cè)掃聲吶圖像的灰度級(jí)，值為256。

從表1和圖2可以看出，由于樣本的底質(zhì)類型不同，各種分布均可能取得最佳擬合。綜合考慮，有以下結(jié)論：

表1 基于Kolmogorov距離準(zhǔn)則的各概率分布模型的擬合誤差比較

1)威布爾分布總體最優(yōu)，擬合誤差的均值和方差均為最小，同Gamma分布相比，其不僅具有形狀參數(shù)和尺度參數(shù)的自由度，還引入了平移參數(shù)，因此，具有更多的靈活性，能夠取得更好的擬合效果。

2)Gamma分布總體次優(yōu)，和威布爾分布較為接近。由于Gamma分布同正態(tài)分布的內(nèi)在聯(lián)系，使其在平整的細(xì)沙海底擬合時(shí)較其他分布稍具優(yōu)勢(shì)(此時(shí)散射體數(shù)目較少，單個(gè)散射體的作用得以突顯，混響較小，瑞利分布向右偏向高斯分布)。

3)瑞利分布對(duì)砂礫和植被的擬合優(yōu)于Gamma分布，對(duì)平整的細(xì)沙海底擬合稍差，同Gamma分布相比，擬合誤差均值和方差略大一點(diǎn)，雖然沒(méi)有形狀參數(shù)，但瑞利分布仍然保持了比較好的擬合特性，充分說(shuō)明了海底散射模型假設(shè)的合理性。

4)對(duì)數(shù)正態(tài)分布稍差于瑞利分布，當(dāng)圖像的0值點(diǎn)較多時(shí)，擬合誤差會(huì)稍微偏大，這也導(dǎo)致擬合誤差均值和方差偏大。

5)總體來(lái)看，幾種概率分布模型均能夠比較好地?cái)M合不同底質(zhì)的海底混響，差異較小。從計(jì)算角度來(lái)講，威布爾分布參數(shù)估計(jì)最為復(fù)雜，需要迭代求解；Gamma分布的Gamma函數(shù)計(jì)算稍復(fù)雜；瑞利分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布則均具有參數(shù)估計(jì)簡(jiǎn)單和概率計(jì)算便捷的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié) 論

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:威布爾分布最精確，但瑞利分布仍保持了較好的擬合特性，稍次于Gamma分布，總體優(yōu)于對(duì)數(shù)正態(tài)分布，這就從事實(shí)上證明了海底散射模型的合理性。特別是當(dāng)?shù)踪|(zhì)粗糙、混響較強(qiáng)時(shí)，使用瑞利分布和威布爾分布相當(dāng)，但其具有參數(shù)求解簡(jiǎn)單、計(jì)算代價(jià)小、計(jì)算效率高的優(yōu)勢(shì)。

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Study of statistical characteristics of sidescan sonar image*

HUO Guan-ying1,2， LIU Jing1， LI Qing-wu1,2

(1.College of Internet of Things Engineering,Hohai University,Changzhou 213022,China;2.Changzhou Key Laboratory of Sensor Networks and Environmental Sensing,Changzhou 213022,China)

On the basis of analysis on scattering model of sidescan sonar imaging,theoretical basis for the Rayleigh distribution of seafloor reverberation is given.The rationality of other typical probability distributions is analyzed,and the methods for parameter estimating of the mentioned probability distributions are given.The best fitting of several typical probability distributions are tested and compared by experiments.The experimental results show that the Weibull distribution is generally more accurate, and the Rayleigh distribution still has a good fitting characteristic.The research results can provide an important basis for seabed segmentation of sidescan sonar images.

sidescan sonar; seafloor reverberation; Rayleigh distribution; Weibull distribution; seabed segmentation

10.13873/J.1000—9787(2017)03—0025—04

2017—01—16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (41306089)；江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK20130240)

TN 911

A

1000—9787(2017)03—0025—04

霍冠英(1979-)，男，通訊作者，博士，副教授，主要從事聲吶圖像處理研究工作，E—mail:huoguanying@163.com。