鞠峰

統(tǒng)計(jì)與概率是中考必考的內(nèi)容.這部分知識(shí)在中考試卷中所占比例不大，難度也不算高，同學(xué)們常常不會(huì)感到困難，可一旦遇到具體問(wèn)題，卻又時(shí)常出錯(cuò).本文就以統(tǒng)計(jì)與概率中幾個(gè)容易解錯(cuò)的問(wèn)題為例予以剖析，以期對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助.

一、對(duì)概念理解有誤

例1 “射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心”這個(gè)事件是（ ）

A.確定事件 B.必然事件

C.不可能事件 D.不確定事件

【錯(cuò)誤解答】C.

【錯(cuò)因分析】統(tǒng)計(jì)與概率部分涉及的概念較多，如總體和個(gè)體、樣本和樣本容量、頻數(shù)和頻率、平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)、極差和方差、概率和頻率等等.我們不僅要記下這些概念，更要掌握它們的聯(lián)系和區(qū)別.本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.在本題中，“射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心”這個(gè)事件是隨機(jī)事件，屬于不確定事件，即選D.

二、對(duì)放回與不放回理解有誤

例2 “某學(xué)校學(xué)生較多，為了便于學(xué)生盡快就餐，師生約定：早餐一人一份，一份兩樣，一樣一個(gè)，食堂師傅在窗口隨機(jī)發(fā)放（發(fā)放的食品價(jià)格一樣），食堂在某天早餐提供了豬肉包、面包、雞蛋、油餅四樣食品.

（1）按約定，“小李同學(xué)在該天早餐得到兩個(gè)油餅”是 事件；（可能，必然，不可能）

（2）請(qǐng)用列表或樹狀圖的方法，求出小張同學(xué)該天早餐剛好得到豬肉包和油餅的概率.

【錯(cuò)誤解答】第（2）小題概率為[18].

【錯(cuò)因分析】第（2）小題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法適合兩步完成的事件，樹狀圖法則適合兩步或兩步以上完成的事件.解題時(shí)要注意此題屬于不放回實(shí)驗(yàn).在以后解決類似的問(wèn)題時(shí)，需要分清題型是屬于“有放回”還是“無(wú)放回”問(wèn)題，在這兩種不同的情況下，得到的所有等可能情況是完全不同的.

【正確解答】

（1）“小李同學(xué)在該天早餐得到兩個(gè)油餅”是不可能事件.

（2）樹狀圖法：

即小張同學(xué)得到豬肉包和油餅的概率為[212]=[16].

三、對(duì)等可能性的理解有誤

例3 （1）如圖1，一個(gè)小球從M處投入，通過(guò)管道自上而下落到A或B或C.已知小球從每個(gè)岔口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的.求投一個(gè)小球落到A的概率.

（2）如圖2，有如下轉(zhuǎn)盤實(shí)驗(yàn)：

實(shí)驗(yàn)一 先轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤①，再轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤①；

實(shí)驗(yàn)二 先轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤①，再轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤②；

實(shí)驗(yàn)三 先轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤①，再轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤③；

實(shí)驗(yàn)四 先轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤①，再轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤④.

其中，兩次指針都落在紅色區(qū)域的概率與（1）中小球落到A的概率相等的實(shí)驗(yàn)是 .

（只需填入實(shí)驗(yàn)的序號(hào)）

【錯(cuò)誤解答】第（1）小題概率為[13].

【錯(cuò)因分析】第（1）小題中落到B的可能性的大小與落到A、C的可能性的大小是不一樣的，即這并不是一個(gè)等可能的實(shí)驗(yàn).如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A出現(xiàn)的概率為P（A）=[mn].特別注意，只有在所有等可能事件中才能用此公式進(jìn)行計(jì)算，借助樹狀圖、列表法可以不重復(fù)不遺漏地列舉出所有等可能的情況，可避免犯類似的錯(cuò)誤.

【正確解答】

（1）如圖，可畫樹狀圖：

由上圖可以看出，可能出現(xiàn)的結(jié)果有（a，c），（a，d），（b，e），（b，f）共4種，它們出現(xiàn)的可能性相同.所有的結(jié)果中，滿足小球落到A的結(jié)果只有一種，即（a，c），所以P（小球落到A）=[14].

（2）一，四.

四、對(duì)圖表信息的理解有誤

例4 某校九年級(jí)（1）班學(xué)生進(jìn)行了一周的體育畢業(yè)考試訓(xùn)練，下面是該班學(xué)生訓(xùn)練前后的測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖表.（其中，統(tǒng)計(jì)圖不完整.）

訓(xùn)練前成績(jī)統(tǒng)計(jì)表（滿分30分）

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表提供的信息，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖.

（2）下列說(shuō)法正確的是 .（填寫所有正確說(shuō)法的序號(hào).）

①訓(xùn)練前各成績(jī)段中，人數(shù)最多的是“24～26”；

②訓(xùn)練前后成績(jī)的中位數(shù)所落在的成績(jī)段由“24～26”變到了“27～29”.

（3）小明說(shuō)：“由統(tǒng)計(jì)表、統(tǒng)計(jì)圖可知，訓(xùn)練后成績(jī)的平均數(shù)一定大于訓(xùn)練前成績(jī)的平均數(shù).”你認(rèn)為他的說(shuō)法正確嗎？如果正確，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；如果不正確，請(qǐng)舉例說(shuō)明.

【錯(cuò)誤解答】對(duì)第（3）問(wèn)，小明的說(shuō)法正確.

【錯(cuò)因分析】不能因?yàn)橛?xùn)練后的數(shù)據(jù)中的高分比訓(xùn)練前的數(shù)據(jù)中的高分多，就簡(jiǎn)單認(rèn)為訓(xùn)練后的平均分高.在這個(gè)題目中，數(shù)值選得不一樣，可能會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響.

【正確解答】（1）24-26分段為10人，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖略；（2）①；（3）不一定.理由如下：

若訓(xùn)練前各段成績(jī)?nèi)∽畲笾?，則總成績(jī)?yōu)?0×6+23×8+26×9+29×8+30×5=920；

若訓(xùn)練后各段成績(jī)?nèi)∽钚≈?，則總成績(jī)?yōu)?8×2+21×8+24×10+27×9+30×7=897.

因訓(xùn)練前后參與測(cè)試的人數(shù)不變，訓(xùn)練后成績(jī)的平均數(shù)是有可能小于訓(xùn)練前成績(jī)的平均數(shù)的.

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學(xué)幕府山初級(jí)中學(xué)）