汪恩軍，何 超，廖義德，肖 俊，雷進(jìn)宇

（1.武漢工程大學(xué) 交通研究中心，武漢 430074；2.武漢工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，武漢 430205；3.武漢理工大學(xué) 智能交通系統(tǒng)研究中心，武漢 430063）

多楔帶傳動系統(tǒng)帶橫向振動的計算及圖像分析

汪恩軍1，何 超2，廖義德2，肖 俊2，雷進(jìn)宇3

（1.武漢工程大學(xué) 交通研究中心，武漢 430074；2.武漢工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，武漢 430205；3.武漢理工大學(xué) 智能交通系統(tǒng)研究中心，武漢 430063）

為了全面地分析多楔帶的橫向振動問題，以多楔帶傳動系統(tǒng)為研究對象，將帶段簡化成軸向運動粘彈性弦。首先建立帶橫向振動計算的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用Galerkin法將帶的時間-空間連續(xù)方程離散成為時間和空間函數(shù)之積，計算多楔帶的橫向振動。然后用圖像處理的方法對多楔帶橫向振動參數(shù)和輪-帶滑移率進(jìn)行實測分析。將振動模型軸向運動弦線的計算值與圖像分析值進(jìn)行對比，結(jié)果表明，當(dāng)帶速較低時，計算值和實驗值吻合較好，該計算方法和實驗方法對多楔帶前端附件系統(tǒng)帶橫向振動的研究分析具有參考價值。

振動與波；多楔帶傳動；橫向振動；圖像分析

多楔帶傳動系統(tǒng)是發(fā)動機(jī)輪系的主要組成部分，該系統(tǒng)主要由驅(qū)動輪、多個從動輪、張緊器和多楔帶等附件組成，它具有傳動平穩(wěn)，柔韌性高，傳遞功率大等優(yōu)點，已廣泛地應(yīng)用于汽車發(fā)動機(jī)工業(yè)中。多楔帶傳動系統(tǒng)的復(fù)雜性表現(xiàn)在工作時產(chǎn)生的各種振動，其振動形式主要包括兩種：兩相鄰輪之間軸向運動帶的振動、輪和張緊臂的旋轉(zhuǎn)振動。軸向運動帶的振動主要有縱向振動、橫向振動、側(cè)向振動以及扭轉(zhuǎn)振動。對于軸向運動帶振動的分析，已有研究表明橫向振動是其主要形式，遠(yuǎn)大于縱向振動[1]。多楔帶的振動不僅加快了帶本身的磨損并產(chǎn)生噪聲，甚至?xí)?dǎo)致傳動系統(tǒng)損壞從而影響發(fā)動機(jī)的技術(shù)指標(biāo)。因此多楔帶橫向振動的研究一直受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。Ulsoy等學(xué)者最早開始研究帶的耦合振動，研究成果表明了帶張力的變化會引起較大的橫向振動，導(dǎo)致振動的不穩(wěn)定[2]。Beikmann等人在橫向振動問題上將系統(tǒng)簡化成弦線耦合振動模型，將測試值和計算值進(jìn)行了對比分析，為以后的研究奠定了理論基礎(chǔ)[3]。上官文斌等以兩相鄰輪之間帶為對象，將帶簡化成縱向黏彈性弦，分析了黏彈性參數(shù)對橫向振動的影響[4]。Kong和Parker則采用Galerkin法計算了多楔帶的振動，分析了多楔帶彎曲剛度對帶振動頻率的影響[5]。以上成果在一定程度上促進(jìn)了多楔帶振動研究的發(fā)展，但多楔帶振動特性的研究工作仍有待進(jìn)一步探索分析。

1 多楔帶驅(qū)動系統(tǒng)輪-帶耦合振動建模與分析

1.1 輪-帶耦合模型及方程的建立

圖1為穩(wěn)定狀態(tài)下發(fā)動機(jī)多楔帶傳動系統(tǒng)示意圖，包括驅(qū)動輪1、張緊器3、4、從動輪2、5、6以及多楔帶等，ri和θi(i=1，2，3，4，5，6)表示驅(qū)動輪、張緊臂以及從動輪的半徑和角位移；u1和u2分別表示帶1和帶2的縱向位移，W1和W2表示帶段1，2的橫向位移，βj(j=1，2)是張緊臂與相鄰帶段之間的安裝夾角。L1和L2表示帶段1，2的長度；kr為張緊器的等效剛度，Ce為張緊器等效黏性阻尼系數(shù)。

圖1 多楔帶傳動系統(tǒng)示意圖

在多楔帶輪-帶耦合模型中，帶1和帶2與張緊器耦合運動，本文只研究了三輪一帶耦合振動部分。將各帶段簡化成軸向運動弦線，帶的速度為一穩(wěn)定值，忽略其彎曲剛度，假設(shè)帶的物理特性一致，并以靜態(tài)方式伸縮。應(yīng)用Hamilton原理建立系統(tǒng)振動方程式然后線性化處理，得到各帶段的橫向振動微分方程式為[6]

其中邊界條件為

皮帶輪的旋轉(zhuǎn)角位移θj是根據(jù)參考狀態(tài)下的新參數(shù)φj(j=3,4,5,6)來定義，其中φ1=0，θ與φ關(guān)系為

在無量綱情況下，系統(tǒng)振動微分方程為

1.2 輪-帶耦合振動求解

多楔帶的振動方程表示的是連續(xù)體的運動，是多自由度的線性方程。而從動輪與張緊器旋轉(zhuǎn)振動的動態(tài)方程則表示的是離散體的運動，為單自由度運動。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型由微分方程或偏微分方程、代數(shù)方程等組成，為了應(yīng)用離散系統(tǒng)振動方程的求解方法，計算時應(yīng)用Galerkin法離散成為時間函數(shù)和空間函數(shù)之積，再將結(jié)果與張緊臂的離散方程相結(jié)合，方便系統(tǒng)振動方程的計算[6]。選取帶的橫向振動方程進(jìn)行離散，設(shè)

廣義坐標(biāo)ar(t)、br(t)和θt(t)的約束滿足式(3)的邊界條件

引入未知的Lagrange因子η保證式(11)、式(12)邊界條件，應(yīng)用拉格朗日方法將系統(tǒng)振動方程改寫為矩陣方程

式(13)中的η通過左乘矩陣CT來消除，矩陣C的計算條件是CTL=0，該條件是通過分解矩陣L的奇異值而得到，矩陣L=U(n+2f)×(n+2f)σ(n+2f)×2V2×2，是2階矩陣，而U、V是正交矩陣，所以σ的主對角線中有兩個非零的奇異值。保留矩陣U中零奇異值的列，消除非零奇異值的列從而得到矩陣C，令(13)中的y=C?z，將方程式(16)左右同時左乘矩陣CT，消除Lagrange因子η，得到離散方程z?z?

式 (14)中 有M1=CTM11C，C1=CTC11C，K1=CTK11C，其中M1是質(zhì)量運算符，C1是回轉(zhuǎn)算子，K1是剛度運算符。應(yīng)用復(fù)模態(tài)理論方法求系統(tǒng)的固有頻率，先將式(14)轉(zhuǎn)換成以下形式

令狀態(tài)向量和激勵向量為

矩陣微分算子為

復(fù)模態(tài)矢量Ea、Vb為系統(tǒng)方程的左右特征矢量[7]，得到方程

其中E=(E1，E2，...，E2N)和V=(V1，V2，...，V2N)是系統(tǒng)方程的左右模態(tài)矩陣，N為振動微分方程(14)的維數(shù)。由式(18)可以確定ηa=ηb是系統(tǒng)的特征值，而η共軛成對出現(xiàn)，η的虛部表示系統(tǒng)振動的固有頻率。為了求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動響應(yīng)，將模態(tài)矩陣表示成為

式(19)中e、v分別為式(15)的左右模態(tài)矩陣，通過復(fù)模態(tài)變換U=Dh代入式(15)，并且方程左右兩端同時左乘以ET得到

矩陣ETAD和ETBD均為對角矩陣，所以有ETAD=diag(Ad)和ETBD=diag(Bd)，方程式(20)可以寫成

經(jīng)過上述計算分析，系統(tǒng)振動方程完全解耦，可用于多自由度線性振動方程的求解，得到任意激勵下系統(tǒng)的振動響應(yīng)。

驅(qū)動輪的角位移是系統(tǒng)激勵的來源，力矩來自于交流電機(jī)，通過曲軸帶動驅(qū)動輪。激勵較為平穩(wěn)，實驗中令驅(qū)動輪1的角位移為500 r/min，角位移波動表達(dá)式為

θ1(t)表示驅(qū)動輪1的角位移，t表示時間變量，單位以秒計，n1是驅(qū)動輪的轉(zhuǎn)速，單位按照計算。

2 帶橫向振動的圖像實測分析

2.1 測試對象與設(shè)備

輪-帶耦合振動特性測試是在發(fā)動機(jī)試驗平臺上完成，測試系統(tǒng)由五輪-帶傳動系統(tǒng)，高速攝像機(jī)，角度編碼器，激光位移傳感器，驅(qū)動電機(jī)等組成。測試對象有多楔帶的橫向振動參數(shù)、輪帶間滑移率等。圖2為搭建的實驗平臺圖。

圖2 實驗平臺

驅(qū)動輪由交流電機(jī)帶動，通過變頻器控制速度大小。角度編碼器連接驅(qū)動輪和從動輪測量速度。選取240幀/秒的高速攝像機(jī)置于試驗臺前端對驅(qū)動輪與從動輪之間的帶段運動特性進(jìn)行采樣，測量多楔帶的軸向運動規(guī)律和帶段的橫向波動特性，測試是在低速空載條件下進(jìn)行。

2.2 從動輪-帶滑移率測試方法

多楔帶傳動系統(tǒng)的動力是來自驅(qū)動輪的轉(zhuǎn)矩，帶與帶輪間通過摩擦力帶動附件運轉(zhuǎn)。從動輪的半徑大小為R2，與從動輪同步轉(zhuǎn)動的角度編碼器通過傳動比例換算成角速度w1，穩(wěn)定轉(zhuǎn)速下，通過近景攝影提取帶段上一固定標(biāo)志點中心坐標(biāo)的運動長度L，通過提取的振動圖像的幀速率和幀數(shù)目獲取在該過程中所經(jīng)歷的時間t，換算出帶的線速度，對以上的數(shù)據(jù)參數(shù)單位進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一化，以驅(qū)動輪的轉(zhuǎn)速作為參考條件，從動輪的滑移率公式為

2.3 滑移率測試結(jié)果分析

圖3 從動輪-帶滑移率

2.4 帶段橫向振動參數(shù)圖像測試方法

多楔帶傳動系統(tǒng)兩輪間的帶段運轉(zhuǎn)過程中引起的振動主要是橫向振動，假設(shè)多楔帶各帶段的物理特性一致，忽略各輪繞固定轉(zhuǎn)軸所做的旋轉(zhuǎn)振動。將多楔帶簡化為縱向運動弦線，對張緊輪和從動輪之間的帶段進(jìn)行測試。利用近景攝影測量，在該帶段上任意選取一個合適的標(biāo)志點，標(biāo)志點跟隨多楔帶運動，攝像機(jī)對標(biāo)志點進(jìn)行跟蹤識別。提取攝影圖像的多幀圖片，按順序跟蹤系列圖片中的同一個標(biāo)志點，提取該標(biāo)志點中心坐標(biāo)，經(jīng)過一系列圖像處理[8]，繪制出標(biāo)志點運動軌跡，圖像處理過程流程圖見圖4。

2.5 帶段橫向振動測試結(jié)果與分析

多幀圖像中提取到的標(biāo)志點的運動軌跡即為多楔帶的波動圖像。在空載條件控制下當(dāng)驅(qū)動輪轉(zhuǎn)速為時，多楔帶標(biāo)志點經(jīng)過圖像處理得到帶段從張緊輪到從動輪之間的橫向波動軌跡見圖5。

圖4 多楔帶標(biāo)志點圖像處理流程

圖5 橫向振動波形圖

由圖5可見，當(dāng)標(biāo)志點運動到帶段中間時振動位移相對較大，靠近兩輪時的振幅較小。在穩(wěn)定的運行工況下，柔性帶的波動是不規(guī)則的，波動幅值也不均勻，本文中，高速攝像機(jī)采集軸線上的空間一固定點在動態(tài)情況下運動圖像，通過波形分析找到運動過程中偏離靜態(tài)弦線的最大位移即為波動幅值。通過分析得知出在相對穩(wěn)定的工況下帶段的振動幅值在帶段中間位置處于最大。柔性帶周期性波動的頻率借助波動形狀獲?。焊櫂?biāo)示點軌跡，當(dāng)其運動軌跡出現(xiàn)重疊并呈周期性變化時，由一個周期內(nèi)所采集的圖片數(shù)目得到波動頻率，該實驗中，穩(wěn)定狀態(tài)下的帶橫向振動頻率約為15Hz～17Hz。以此推廣到不同帶速條件下的橫向振動特性分析。

3 計算模型驗證及分析

為了檢驗多楔帶橫向振動計算方法的準(zhǔn)確性，采用圖像處理的方法對帶的橫向振幅，波動周期及頻率等進(jìn)行了實測，將較低速條件下得到的實測結(jié)果與輪帶耦合振動計算模型結(jié)果進(jìn)行對比，驗證計算模型的可行性，對多楔帶附件驅(qū)動系統(tǒng)帶橫向振動參數(shù)的計算進(jìn)行完善。傳動系統(tǒng)的各帶段的張力均為650 N，帶的彈性模量EA=170 kPa，張緊臂彈簧的等效扭轉(zhuǎn)剛度kr=16.7 N?m/rad，β1，β2分別為75°、45°。

3.1 從動輪與帶之間的滑移率

空載條件下，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定運轉(zhuǎn)時，從動輪與多楔帶之間的的滑移率為

式(26)中Pd1、Pd3分別為帶1和帶3的張力，θ1為輪1的轉(zhuǎn)角，帶與輪間摩擦系數(shù)為μ，m為線密度，ε為帶與輪之間的包角，R為輪中心到帶橫截面中心的距離。穩(wěn)定狀態(tài)下，當(dāng)負(fù)載扭矩為0時，系統(tǒng)在一個相對較低的速度運轉(zhuǎn)，將輪1的角位移以及系統(tǒng)已知參數(shù)m=0.091 kg，R=0.055 m，μ=1.2帶入式(26)中，再將上述已知條件代入圖像分析的測試方法中，得到從動輪-帶之間滑移率的實測值與計算值見圖6。

圖6 從動輪與帶間滑移率

由圖6可知，滑移率的計算值和實測值并不是完全一致，這是因為實際運動中帶具有黏彈性，張力的波動會給實際滑移率的測試造成影響。但是滑移率的波動響應(yīng)幅值計算和測試基本吻合，因此文中的計算分析方法和測試方法對系統(tǒng)多楔帶的振動研究具有參考價值。

3.2 帶2橫向振動位移

工程上主要測量張緊器與從動輪之間最長帶段的橫向振動位移，本測試中測量了和張緊器相連的帶段2橫向振動的位移。帶段是一種結(jié)構(gòu)布局上的約束而不是參數(shù)激勵，計算該帶段的橫向振動位移可采用本文的建模方法。在空載條件下，當(dāng)驅(qū)動輪轉(zhuǎn)速為時運用橫向振動模型計算方法和測試方法進(jìn)行分析，帶2中點處的橫向振動位移計算值與經(jīng)過兩輪之間帶段的圖像分析實測值見圖7。

兩輪間帶段中點處的振動響應(yīng)計算值呈現(xiàn)一定規(guī)律性。而帶段在兩輪間的整個振動響應(yīng)過程實測值呈現(xiàn)不規(guī)則性。由圖7時間段的中點處可知，實測值和計算值的橫向振動位移相差不大，由于帶段勻速運動，多楔帶運動到在中點處的測試值和帶段中點處的計算值基本吻合。穩(wěn)定轉(zhuǎn)速下帶段2橫向振幅實測值靠近張緊輪和從動輪處最小，在帶段中點處最大。由于帶段的黏彈性和實驗臺共振的影響，波動形狀略有差異，但帶段中點幅值基本吻合，從而驗證了本文的模型計算方法和圖像測試橫向振動位移方法的可行性。帶段的振動是隨著機(jī)械的運轉(zhuǎn)而存在，無法完全消除，只能在合理的范圍內(nèi)控制和減小。減小多楔帶橫向振動位移，不僅能提高多楔帶傳動系統(tǒng)的效率、減小噪聲，還能增加帶的使用時間，因此對多楔帶的橫向振動的研究具有重要的意義。

圖7 帶2橫向振動位移計算值與實測值

4 結(jié)語

輪-帶耦合振動系統(tǒng)模型的數(shù)學(xué)計算方法應(yīng)用廣泛，實用性強(qiáng)。圖像分析得到的帶段在中點的橫向振動位移實測值與計算值基本吻合，振幅相接近，證明了本文的橫向振動模型計算方法和圖像分析的正確性；兩輪間帶段的橫向振幅靠近張緊輪和從動輪處最小，在帶段中點處最大；從動輪-帶滑移率在較低速度條件下隨著驅(qū)動輪轉(zhuǎn)速的增加而增大；圖像分析方法能夠在較低速條件下重構(gòu)多楔帶的橫向振動波形圖，因此能更直觀地反映出多楔帶各橫向振動參數(shù)。

本文在探索該傳動系統(tǒng)運動特性檢測方法的基礎(chǔ)上，更加全面、深入地研究發(fā)動機(jī)輪系的動態(tài)特性，有利于提高汽車發(fā)動機(jī)輪系的設(shè)計能力，具有重要的理論意義和現(xiàn)實意義。研究分析輪系的振動特性，降低輪系的振動、噪聲及油耗，提高駕乘舒適性，進(jìn)而推動輪系產(chǎn)品設(shè)計技術(shù)水平的進(jìn)步。

[1]戈新生，李德雙.軸向運動帶的橫向與縱向非線性振動[J].機(jī)械強(qiáng)度，2012，34(1)：020-024.

[2]ULSOY A G,WHITESELL J E,HOOVEN M D.Design of belt-tensioner systems for dynamic stability[J].ASME Journal of Vibration,Acoustics,Stress,and Reliabilityin Design,1985,107:282-290.

[3]BEIKMANN R S,PERKINS N C,ULSOY A G.Free vibration of serpentine belt drive systems[J].ASME Journal of Vibration andAcoustics,1996,118:406-413.

[4]上官文斌，林浩挺.發(fā)動機(jī)前端附件驅(qū)動系統(tǒng)中帶橫向振動的計算與實測分析[J].內(nèi)燃機(jī)工程，2013，34(2)：24-29.

[5]KONG L,PARKER R G.Coupled belt-pulley vibrati-on in serpentine drives with belt bending stiffness[J].ASME Journal ofApplied Mechanics,2004,71(1):109-119.

[6]PARKER R G.Efficient eigensolution dynamic response and eigensensitivity of serpentine belt drives[J].Journal of Sound and Vibration,2004,270:15-38.

[7]上官文斌，張智，許秋海.多楔帶傳動系統(tǒng)輪-帶振動的實測與計算方法研究[J].機(jī)械工程學(xué)報，2011，47(21)：28-36.

[8]秦襄培，鄭賢中.Matlab圖像處理寶典[M].北京：電子工業(yè)出版社，2011.

Calculation and ImageAnalysis of Belt Transverse Vibration in Serpentine Belt Drive Systems

WANG En-jun1,HEChao2,LIAO Yi-de2,XIAOJun2,LEI Jin-yu3
(1.Transportation Research Center,Wuhan University of Engineering,Wuhan 430074,China; 2.School of Mechanical and Electrical Engineering,Wuhan University of Engineering, Wuhan 430205,China; 3.Intelligent Transport System Research Center,Wuhan University of Technology,Wuhan 430063,China)

The lateral vibration of a serpentine belt drive system is studied.First of all,the serpentine belt is simplified as an axially moving viscoelastic string.And the mathematical model for calculating the lateral vibration of the serpentine belt is established.Then,Garlerkin method is applied for discretizing the continuous equation of the belt to calculate the lateral vibration of the serpentine belt.Finally,the image processing method is used to measure and analyze the transverse vibration parameters and the slip rate between the pulley and the belt.The results show that the measurement and calculation data agrees well for low belt speed.The measurement and the optimization methods are useful for calculating and analyzing belt transverse vibration in serpentine belt accessory drive systems.

vibration and wave;serpentine belt drive;lateral vibration;image analysis

TH132.2；TK41

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2017.01.002

1006-1355(2017)01-0005-05+15

2016-09-20

湖北省自然科學(xué)基金資助項目（2014CFB777）；國家自然科學(xué)基金資助項目（51479155）

何超(1990－)，湖北省黃岡市人，男，碩士研究生。

雷進(jìn)宇，男，博士研究生，碩士學(xué)位．研究方向為數(shù)據(jù)可視化與可視分析。E-mail:jylei@whut.edu.cn