王飛婷

【摘要】利率期限結(jié)構(gòu)一直以來(lái)是金融領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。隨著利率市場(chǎng)化進(jìn)程的不斷加快，尋找到一種具有市場(chǎng)代表性的基準(zhǔn)利率，從而為固定收益產(chǎn)品的定價(jià)提供基礎(chǔ)。本文采用NSS模型和多項(xiàng)式樣條模型對(duì)我國(guó)上交所國(guó)債的交易數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合分析，通過(guò)對(duì)兩種模型的分析比較，選擇合適的方法對(duì)國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行擬合。

【關(guān)鍵詞】利率期限結(jié)構(gòu) 即期利率 多項(xiàng)式樣條法 Nelson-Siegel-Svensson模型

一、引言

利率期限結(jié)構(gòu)是在相同的風(fēng)險(xiǎn)水平下，不同期限的利率與到期期限之間的關(guān)系，或者說(shuō)是零息債券的到期收益率曲線。利率期限結(jié)構(gòu)是金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個(gè)十分重要的基礎(chǔ)性研究領(lǐng)域，它在固定收益證券定價(jià)以及利率風(fēng)險(xiǎn)管理方面扮演著重要角色。

隨著利率市場(chǎng)化進(jìn)程的推進(jìn)，利率期限結(jié)構(gòu)在金融市場(chǎng)中的作用日益凸顯，要想利率期限結(jié)構(gòu)發(fā)揮其在金融市場(chǎng)中的基準(zhǔn)作用，選擇良好的對(duì)象是關(guān)鍵。而國(guó)債作為一種固定收益證券，具有風(fēng)險(xiǎn)小、流動(dòng)性好、收益相對(duì)穩(wěn)定的特征，因此，將國(guó)債利率作為金融市場(chǎng)的基準(zhǔn)利率是一種必然選擇。在國(guó)內(nèi)研究當(dāng)中，對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的構(gòu)造方法不一，目前比較成熟的模型包括多項(xiàng)式樣條法、指數(shù)樣條法、Nelson-Siegel[1]模型（1987）和Svensson[2]（1994）模型。樣條法是由McCulloch[3，4]（1971，1975）提出來(lái)的，McCulloch利用二次和三次回歸樣條法估計(jì)貼現(xiàn)函數(shù)，并表明三次樣條法的估計(jì)效果好于二次樣條函數(shù)法。其中，朱峰[5]（2003）采用Svensson模型和帶平滑技術(shù)的B樣條法構(gòu)造上交所國(guó)債的利率期限結(jié)構(gòu)；朱世武和陳建恒[6]（2003）采用Nelson-Siegel模型、Svensson擴(kuò)展模型和多項(xiàng)式樣條模型對(duì)上交所國(guó)債的利率期限進(jìn)行擬合分析發(fā)現(xiàn)，Svensson擴(kuò)展模型穩(wěn)定性較好，更適合于我國(guó)的市場(chǎng)狀況。傅曼麗[7]（2006）等通過(guò)幾種模型的比較發(fā)現(xiàn)，Svensson模型與Nelson-Siegel模型比較，靈活性更好，更能反映利率曲線的形狀，而多項(xiàng)式樣條法在價(jià)格擬合度方面占有明顯優(yōu)勢(shì)。

本文通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式樣條和Svensson模型的擬合效果分析比較，歸納概括這兩種模型在擬合利率期限結(jié)構(gòu)時(shí)的優(yōu)勢(shì)。

二、模型介紹

（一）Svensson模型

Svensson模型在Nelson-Siegel模型的基礎(chǔ)上，引入新的參數(shù)，其瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率的函數(shù)形式如下：

該模型的優(yōu)點(diǎn)在于各個(gè)參數(shù)具有特定的經(jīng)濟(jì)含義，β0代表長(zhǎng)期利率，它表示瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率曲線f（0，θ）的漸近線，隨著到期期限θ的增大，f（0，θ）曲線應(yīng)該趨向于β0。β1則代表短期利率部分，它是瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率曲線向漸近線的趨近速度的衡量因素。若β1為正數(shù)，則瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率曲線隨著期限的增加而上升，反之，若β1為負(fù)數(shù)，則瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率曲線隨期限的增加而下降。β2和β3代表中期利率部分，它決定了瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率的性質(zhì)和曲度。參數(shù)τ1、τ2控制指數(shù)的衰減率，它決定了β1、β2和β3的衰減速率。即當(dāng)β0固定時(shí)，通過(guò)β1、β2和β3的不同組合可以刻畫不同形狀的利率曲線，包括單調(diào)型、駝峰型和S型曲線。

然后，根據(jù)即期利率是遠(yuǎn)期利率的一個(gè)平均，可知即期利率公式如下：

Svensson模型與Nelson-Siegel模型相比更加靈活，可以刻畫利率曲線的多峰狀態(tài)。

（二）多項(xiàng)式樣條模型

樣條類構(gòu)造方法一般采用樣條函數(shù)擬合貼現(xiàn)因子，通過(guò)樣本債券的理論價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格差別最小化來(lái)估計(jì)參數(shù)，進(jìn)而得到貼現(xiàn)函數(shù)的估計(jì)值，并求得即期利率和遠(yuǎn)期利率。多項(xiàng)式樣條法采用多項(xiàng)式樣條函數(shù)來(lái)逼近貼現(xiàn)函數(shù)。McCulloch將多項(xiàng)式樣條法應(yīng)用于利率期限結(jié)構(gòu)之后，Shea隨后討論了多項(xiàng)式樣條函數(shù)的分界點(diǎn)問(wèn)題。然而，多項(xiàng)式樣條方法在擬合時(shí)的關(guān)鍵在于多項(xiàng)式的階數(shù)和樣條數(shù)量的選取，目前沒(méi)有選取標(biāo)準(zhǔn)可供選擇，而唯一標(biāo)準(zhǔn)就是理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格的誤差最小。根據(jù)我國(guó)上交所國(guó)債市場(chǎng)的現(xiàn)狀和李明 、郭偉[8]（2006）等文獻(xiàn)，一般將多項(xiàng)式的階數(shù)和樣條數(shù)量都定為3，這是因?yàn)楫?dāng)多項(xiàng)式樣條函數(shù)的階數(shù)是2時(shí)，它的二階導(dǎo)數(shù)是離散的，但當(dāng)其大于3時(shí)，驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性又有一定困難，這樣既保證了足夠的擬合優(yōu)度，也減少了需要估計(jì)的參數(shù)。本文選取2013年4月23日上交所的國(guó)債交易數(shù)據(jù)，根據(jù)當(dāng)天交易債券的現(xiàn)實(shí)狀況，為確保每一時(shí)間段的交易種數(shù)相當(dāng)，此時(shí)將貼現(xiàn)函數(shù)表示為：

三、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)選取

本文選取2013年4月23日上交所固定利利率的國(guó)債現(xiàn)券交易數(shù)據(jù)（表1），共14只，其中剩余期限在1年以內(nèi)的6只，1～7年共3只，7～15年的共5只。

參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)是使樣本債券的定價(jià)誤差（理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格的差別）最小。但是如果以普通的最小二乘估計(jì)方法，無(wú)疑給每個(gè)債券賦予了相等的權(quán)重。在實(shí)際當(dāng)中這是有問(wèn)題的。因?yàn)?，采用的債券樣本是一組期限不等的同質(zhì)債券，而對(duì)債券來(lái)講，其價(jià)格波動(dòng)除了受到利率變動(dòng)的影響外，同時(shí)還會(huì)受到久期和凸性的影響。顯然，債券長(zhǎng)期品種的波動(dòng)要大于短期債券。因此，為了解決這一問(wèn)題，在設(shè)定目標(biāo)函數(shù)時(shí)應(yīng)該將久期作為權(quán)重系數(shù)，給短期債券賦予較高的權(quán)重，長(zhǎng)期債券賦予較小的權(quán)重。于是目標(biāo)函數(shù)變?yōu)椋?/p>

從圖形來(lái)看，兩者的擬合效果類似，這Svensson模型和多項(xiàng)式樣條模型都對(duì)中期債券的擬合效果較好，對(duì)于短期債券特別是1年以內(nèi)的債券利率兩者都存在低估現(xiàn)象，這可能是由于一年以下的這幾只債券的剩余期限比較接近，而其在定價(jià)上卻存在較大差距，進(jìn)而導(dǎo)致在這段時(shí)間上擬合效果與實(shí)際水平存在差距。但對(duì)于剩余期限在15年以上的債券而言，隨著到期期限的增加，多項(xiàng)式樣條法在遠(yuǎn)端的利率呈現(xiàn)冪級(jí)數(shù)增長(zhǎng)，這顯然與實(shí)際不符，而相對(duì)而言，Svensson模型在遠(yuǎn)端的利率曲線相對(duì)穩(wěn)定。因此，相對(duì)而言，Svensson模型擬合出的結(jié)果更符合實(shí)際情況，也更合理一些。