周長讓+陳元芳+顧圣華+黃琴

摘要：混沌理論是進行水文時間序列分析的重要手段。為保證分析結(jié)果的可靠，主張充分利用現(xiàn)有資料，但目前缺乏時間序列長度對混沌特性識別影響的研究。以長江上游武隆站和北碚站日徑流序列（1951年-2012年）為例，通過對二者進行混沌分析，研究了最大Lyapunov指數(shù)對序列長度的響應(yīng)。結(jié)果表明，日徑流時間序列長度過小時會影響混沌識別結(jié)果，使結(jié)果缺乏可靠性；并不是樣本序列長度越長混沌識別結(jié)果越好；當(dāng)序列長度達到3 000左右時，序列的混沌特性達到穩(wěn)定，結(jié)果可靠并縮短了計算時間。

關(guān)鍵詞：水文時間序列分析；日徑流時間序列；時間序列長度；混沌識別；飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)；最大 Lyapunov指數(shù)；混沌特性

中圖分類號：TV121文獻標志碼：A文章編號：1672-1683（2017）01-0055-05

Abstract：Chaotic theory is an important means of hydrology time series analysis.In order to get reliable analysis results，it is recommended to make a full use of time series.But the research about how the length of time series affects the identification of chaotic characteristics is rare.In this paper，we carried out a study about the responding effect of the maximum Lyapunov exponent to the length of time series with the use of daily runoff time series of gauged stations named Wulong and Beibei in Yangtze River.The result suggested that short daily runoff time series would affect the result of chaotic identification and make the result unreliable；besides，when the length of daily runoff time series reached 3 000，the chaotic characteristics became stable and reliable，and it saved a lot of computing time at the same time.

Key words：hydrology time series analysis；daily runoff time series；the length of time series；chaotic identification；saturated correlation dimensions；the maximal Lyapunov exponents；chaotic characteristics

流域的徑流過程的研究方法和手段有很多：基于物理基礎(chǔ)的水文模型、隨機水文時間序列分析方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊集、模糊邏輯、模糊神經(jīng)、遺傳算法、以及混沌等[1]?；煦绗F(xiàn)象存在于諸多研究領(lǐng)域，包括天文學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、生態(tài)學(xué)、工程學(xué)以及物理學(xué)等[2]?；煦缈茖W(xué)是非線性科學(xué)的一個重要分支，同時是解決非線性問題的重要工具。水文現(xiàn)象是一種具有非線性規(guī)律的自然現(xiàn)象，以往的研究結(jié)果表明水文時間序列中存在混沌現(xiàn)象，因此探究水文序列的混沌特性對深入了解水文規(guī)律具有重要意義。關(guān)于利用混沌理論進行水文時間序列分析，已經(jīng)有若干進展。李國良[4]利用混沌理論，系統(tǒng)而全面地對時間序列的混沌分析方法進行了介紹。樓玉[5]建立了騰龍橋站日徑流和蘭溪站月徑流的混沌徑流預(yù)報模型，模型預(yù)報結(jié)果良好。牟麗琴[6]等則對汀江流域的月降雨混沌序列進行了混沌識別。袁鵬[7]等證明了四川省6個水文站的月降雨量時間序列可能存在混沌現(xiàn)象。周寅康[8]等對淮河流域的洪澇序列進行了混沌識別，并確定了該時間序列的最大可預(yù)報時間長度。但是針對時間序列長度對序列混沌特性識別的影響，研究甚少。此外，在進行相空間重構(gòu)時，考慮到不同序列長度所需要的計算時長不同，序列的混沌特性隨著序列長度的變化的規(guī)律也尚不清晰。因此探究時間序列長度與最大Lyapunov指數(shù)之間的關(guān)系，對合理選擇序列長度、混沌識別可靠性及減少計算工作量具有重要意義。

1 混沌識別與最大Lyapunov指數(shù)的計算

1.1 混沌識別

混沌是非線性動力系統(tǒng)所特有的一種運動形式，它是既普遍存在又極具復(fù)雜性的現(xiàn)象[9]。混沌現(xiàn)象是貌似無序中的有序，是確定的映射中的類隨機性[10]?；煦缋碚撛谶M行時間序列分析時可分為混沌識別和混沌預(yù)測?；煦缱R別先對水文時間序列進行相空間重構(gòu)，繼而在高維空間中識別其混沌特性；混沌預(yù)測主要是結(jié)合混沌識別與水文預(yù)測模型，對水文序列未來可能的變化進行預(yù)測。

混沌識別的主要步驟為：（1）相空間重構(gòu)（自相關(guān)函數(shù)法確定延遲時間；飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法同時確定混沌序列的最小嵌入維數(shù)和飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)）；（2）混沌特性的定量識別（Wolf方法確定序列的最大Lyapunov指數(shù)）。

1.2 方法介紹

1.2.1 自相關(guān)函數(shù)法確定延遲時間

自相關(guān)函數(shù)描述了序列在第i時刻和第i+τ時刻，運動的相似程度。一般而言，時間間隔τ越小，xi和xi+τ的相似程度越高，r（τ）也就越大。對于時間序列{x1，x2，…，xn}，自相關(guān)函數(shù)可以表示為：

實際工作中，延遲時間的選取不宜過大和過小[11]，因此應(yīng)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)，選擇合適的延遲時間τ。一般選擇自相關(guān)函數(shù)首次經(jīng)過零點時對應(yīng)的時間為延遲時間；但當(dāng)自相關(guān)函數(shù)首次取零時的延遲時間過大，則可以減小相空間重構(gòu)的時間移動值，選擇自相關(guān)函數(shù)下降趨于穩(wěn)定時對應(yīng)的時間為延遲時間。

1.2.2 Wolf方法計算最大Lyapunov指數(shù)

衡量動力系統(tǒng)對初始條件敏感依賴性的一個重要指標就是Lyapunov指數(shù)[12]。Lyapunov指數(shù)是混沌現(xiàn)象的定性和定量的特征參數(shù)，它表現(xiàn)為相點在相空間中的相鄰軌道之間以指數(shù)形式快速分離或者收斂[13]。假設(shè)空間中有兩個相點xi和xj，兩點間的初始距離為d0=‖xi-xj‖，在系統(tǒng)演化τ時段后，兩點間的距離為dk=‖xi+τ-xj+τ‖，如果dk≈d0eλτ，即兩點間距離呈指數(shù)分離，其中λ就是最大Lyapunov指數(shù)[13]。對于最大Lyapunov指數(shù)的計算，常用Wolf方法估計。計算公式如下：

式中：l為向量個數(shù)；τ為延遲時間；Di為重構(gòu)的相空間里兩個相點之間的最小歐氏距離；λ為最大Lyapunov指數(shù)，其他參數(shù)意義同前。當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)大于0時，可以判斷出序列可能為混沌序列，且最大Lyapunov指數(shù)的取值越大，序列的混沌特性越明顯。

2 實例研究

本文以長江流域的武隆站和北碚站歷年逐日徑流時間序列為例，對時間序列長度與水文序列的混沌特性進行研究。為了進行相似水文背景下的研究，選取兩個水文站1951年-2012年的日平均流量序列作為研究對象。

2.1 自相關(guān)函數(shù)法確定延遲時間

根據(jù)以上所介紹的自相關(guān)函數(shù)法，利用已有的日徑流資料繪制出給定時間移動值τ下的自相關(guān)函數(shù)。在實際計算和繪圖過程中，為防止延遲時間選擇的不合理，分別采用τ=1 000與τ=100繪制了兩組自相關(guān)函數(shù)曲線，以便于對比分析。結(jié)果表明，兩個水文站在τ=1 000時自相關(guān)函數(shù)曲線首次經(jīng)過零點時所對應(yīng)的延遲時間均在80～100之間，明顯偏大，因此不予考慮。從而主要取τ=100時自相關(guān)曲線變化趨于平緩所對應(yīng)的時間，作為序列相空間重構(gòu)的延遲時間。兩個站日徑流時間序列的自相關(guān)曲線見圖1、圖2。計算結(jié)果表明，武隆站日徑流時間序列的延遲時間τ0為10，北碚站日徑流時間序列的延遲時間τ0為4。

2.2 飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法確定日徑流時間序列的嵌入維數(shù)和飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)

實例研究中，根據(jù)以上所介紹的飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法，取不同的嵌入維數(shù)m對原序列進行相空間重構(gòu)，得出對應(yīng)維數(shù)下的飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)D2（m），最后建立嵌入維數(shù)m與飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)D2（m）之間的關(guān)系曲線，取曲線達到穩(wěn)定時對應(yīng)的嵌入維數(shù)和飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)。圖3和圖4中的（a）圖，自上而下為m取2，3，…，12時對應(yīng)的飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)曲線，（b）圖為飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)隨嵌入維數(shù)變化曲線。

圖3、圖4對應(yīng)的計算結(jié)果見表2。從表2可以得出，兩個水文站的關(guān)聯(lián)維數(shù)在有限的數(shù)據(jù)長度下，隨著嵌入維數(shù)的升高，均表現(xiàn)出了趨于飽和的現(xiàn)象，因此兩個水文站的水文時間序列可能為混沌序列。

王文等[14]指出，在進行混沌分析也不一定需要數(shù)千、數(shù)萬個點的時間序列，在維數(shù)不高的情況下，有500個點左右的長度基本滿足要求。由于研究對象為日徑流時間序列，且混沌識別時的嵌入維數(shù)均較高，因此序列長度（記為L）應(yīng)盡量長。以往研究已證明水文現(xiàn)象普遍具有混沌特性。但是當(dāng)L在100以內(nèi)時，時間序列并不表現(xiàn)出混沌特性（如北碚站的最大Lyapunov指數(shù)為-123.8）。因此，使用較少的時間序列進行混沌識別和預(yù)測缺乏準確性、可靠性。

在實際計算過程中，當(dāng)L從100增加到6 000的過程中，計算時間由不到1 s增加到20 min以上（1 200 s），計算時間隨著計算長度的增加呈近似指數(shù)的增長。而隨著L的增加，時間序列的混沌特性逐漸達到穩(wěn)定，從而選擇合適的L不僅可以保證結(jié)果的可靠性，而且可以大大縮短計算時間。

根據(jù)不同時間步長所獲得的最大Lyapunov指數(shù)（簡稱Lyapunov），繪制Lyapunov與L相關(guān)曲線圖（見圖5）。其中，圖中的曲線為局部二階多項式回歸所對應(yīng)的趨勢線。從圖5中可以看出在L較小時，樣本對總體的代表性較差，因此曲線波動較大。之后，隨著L的增加，武隆站的Lyapunov先是表現(xiàn)出明顯的減小趨勢，隨后趨于穩(wěn)定；北碚站的Lyapunov隨著L增加，曲線始終波動較為平緩，最終達到穩(wěn)定，Lyapunov的取值也趨于穩(wěn)定。對Lyapunov進行滑動平均的均值，并繪制相關(guān)曲線，見圖6。

由圖6（a）圖和（b）可知，當(dāng)L=3 000時，時間序列的Lyapunov基本達到穩(wěn)定。

為了比較時間序列混沌特性的強弱，對所選取的兩個水文站的Lyapunov序列穩(wěn)定前后的統(tǒng)計特性進行了分析，結(jié)果見表2。從表2可以看出武隆站的Lyapunov大于北碚站的，換而言之，武隆站日徑流時間序列的混沌特性更強。此外，武隆站的Lyapunov序列隨時間序列長度的波動相對較小，混沌特性變化較小，而北碚站的Lyapunov隨時間長度的波動較大，混沌特性波動較小。

王亦農(nóng)[15]指出“水文水資源系統(tǒng)具有產(chǎn)生混沌的基本條件—對初始條件的敏感性和內(nèi)在的隨機性。對于同一水文系統(tǒng)，不同的邊界條件會產(chǎn)生完全不同的水文過程。” 換而言之，對于同一場暴雨過程，由于兩個站點的位置不同，二者的水文過程也大相徑庭。借此，對以上結(jié)果（武隆站的Lyapunov指數(shù)大于北碚站）進行分析可知，武隆站對初值的敏感性更強，內(nèi)在的隨機性也更強。影響時間序列混沌特性的因素眾多，若從水文站點所在流域特征來說，嘉陵江流域的集水面積相對烏江更大，調(diào)蓄能力較強，其對初始條件的敏感性相對于烏江更弱。從而武隆站日徑流時間序列的Lyapunov指數(shù)較大，因此混沌特性相對較強，而北碚站則較弱。

4 結(jié)論

通過對實例中的武隆站和北碚站1951年-2012年日平均流量資料序列進行混沌分析和相應(yīng)的計算結(jié)果可以得到如下結(jié)論。

（1）從混沌特征角度。（a）飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)隨著嵌入維數(shù)的升高呈現(xiàn)出趨于飽和的現(xiàn)象；（b）最大Lyapunov指數(shù)均大于0，體現(xiàn)了序列對初值具有很強的敏感性。因此這兩個序列具有混沌序列的基本特征，從而兩個時間序列可能為混沌序列。

（2）從最大Lyapunov指數(shù)的統(tǒng)計特性角度。（a）武隆站日徑流時間序列的最大Lyapunov指數(shù)較大，因此混沌特性相對較強，而北碚站則較弱；（b）武隆站日徑流時間序列的混沌特性隨時間序列長度的增加波動較大，北碚站的變化較??；

（3）從序列長度角度。日徑流時間序列長度過小時樣本的混沌分析結(jié)果的可靠性降低，從而在資料長度允許條件下，盡量使用較長的時間序列；對于長度較長的序列，進行混沌分析時并非長度越長越好，資料長度過長往往計算需要較長的計算時間，甚至超出計算內(nèi)存。從實例研究的結(jié)果來看，當(dāng)序列長度達到3 000左右時，序列的混沌特性達到穩(wěn)定，且結(jié)果可靠、計算時間相對較少。從而，選擇合適的序列長度可以在減少工作量的同時，得到代表性較好而穩(wěn)定的結(jié)果。

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