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矩形創(chuàng)新題分類(lèi)解答

文/張運(yùn)虎

矩形是中考的必考內(nèi)容.近年來(lái)，有關(guān)矩形問(wèn)題的創(chuàng)新題很多.為幫助你熟悉新題型，迎接新挑戰(zhàn)，現(xiàn)以2016年中考題為例，歸納這類(lèi)問(wèn)題的解法，供你學(xué)習(xí)時(shí)參考.

圖1

一、開(kāi)放型

例1（2016年龍東卷）如圖1，在平行四邊形ABCD中，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接EB，EC，DB，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使四邊形DBCE是矩形．

解：添加蟻ADB=90°或EB=DC.

二、分割型

例2（2016年益陽(yáng)卷）將一矩形紙片沿一條直線剪成兩個(gè)多邊形，那么這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角之和不可能是（）

A．360°.B．540°.C．720°.D．900°.

解析：如圖2，在以下三種情況中，兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別是720°、540°、360°．選D．

圖2

三、折疊型

例3（2016年十堰卷）如圖3，將矩形紙片ABCD（AD＞AB）折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC，AD相交，設(shè)折疊后點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G，H，折痕分別與邊BC，AD相交于點(diǎn)E，F(xiàn).

（1）判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論；

圖3

（2）若AB=3，BC=9，求線段CE的取值范圍．

證明：（1）四邊形CEGF為菱形.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴GF∥EC，∴蟻GFE=蟻FEC，

∵圖形翻折后點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，EF為折線，

∴蟻GEF=蟻FEC，∴蟻GFE=蟻FEG，∴GF=GE，

∵圖形翻折后EC與GE完全重合，∴GE=EC，∴GF=EC，

∴四邊形CEGF為菱形.

解：（2）如圖4，當(dāng)F與D重合時(shí)，CE取最小值，

由（1）可知，四邊形CEGD是菱形，∴CE=CD=AB=3；

如圖5，當(dāng)G與A重合時(shí)，CE取最大值，

由折疊的性質(zhì)得AE=CE，∴AE2=AB2+BE2，

即CE2=32+（9-CE）2，∴CE=5，

∴線段CE的取值范圍是3≤CE≤5．

圖4

圖5

四、說(shuō)理型

例4（2016年衢州卷）如圖6，已知BD是矩形ABCD的對(duì)角線．

（1）用直尺和圓規(guī)作線段BD的垂直平分線，分別交AD、BC于E、F（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）；

（2）連接BE，DF，判斷四邊形BEDF的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）如圖6所示，EF為所求直線.

（2）四邊形BEDF為菱形.證明如下：

∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，蟻DEF=蟻BEF，

∵AD∥BC，∴蟻DEF=蟻BFE，

∴蟻BEF=蟻BFE，∴BE=BF，

∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF，∴四邊形BEDF為菱形．

圖6

五、閱讀型

例5（2016年青島卷）問(wèn)題提出：如何將邊長(zhǎng)為n（n≥5，且n為整數(shù)）的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形（a×b的矩形是指邊長(zhǎng)分別為a，b的矩形）？

問(wèn)題探究：我們先研究解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，再把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題．

探究一：如圖7，當(dāng)n=5時(shí)，可將正方形分割為五個(gè)1×5的矩形；

如圖8，當(dāng)n=6時(shí)，可將正方形分割為六個(gè)2×3的矩；

如圖9，當(dāng)n=7時(shí)，可將正方形分割為五個(gè)1×5的矩形和四個(gè)2×3的矩形；

如圖10，當(dāng)n=8時(shí)，可將正方形分割為八個(gè)1×5的矩形和四個(gè)2×3的矩形；

如圖11，當(dāng)n=9時(shí)，可將正方形分割為九個(gè)1×5的矩形和六個(gè)2×3的矩形.

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

探究二：當(dāng)n=10，11，12，13，14時(shí)，分別將正方形按下列方式分割：

所以，當(dāng)n=10，11，12，13，14時(shí)，均可分割為一個(gè)5×5的正方形、一個(gè)（n-5）×（n-5）的正方形和兩個(gè)5×（n-5）的矩形．5×5的正方形和5×（n-5）的矩形均可分割為1×5的矩形，而（n-5）×（n-5）表示邊長(zhǎng)分別為5，6，7，8，9的正方形，由探究一知可分割為1×5或2×3的矩形．

探究三：當(dāng)n=15，16，17，18，19時(shí)，分別將正方形按下列方式分割：

請(qǐng)按照上面的方法，分別畫(huà)出邊長(zhǎng)為18，19的正方形的分割圖．

所以，當(dāng)n=15，16，17，18，19時(shí)，均可分割為一個(gè)10×10的正方形、一個(gè)（n-10）×（n-10）的正方形和兩個(gè)10×（n-10）的矩形．10×10的正方形和10×（n-10）的矩形均可分割為1×5的矩形，而（n-10）×（n-10）表示邊長(zhǎng)分別為5，6，7，8，9的正方形，由探究一知可分割為1×5或2×3的矩形．

問(wèn)題解決：如何將邊長(zhǎng)為n（n≥5，且n為整數(shù)）的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形？請(qǐng)畫(huà)出分割示意圖，并加以說(shuō)明．

實(shí)際應(yīng)用：如何將邊長(zhǎng)為61的正方形分割為1×5或2×3的矩形？（只需按照探究三的方法畫(huà)出分割圖）

解：探究三：邊長(zhǎng)為18，19的正方形分割如圖12.

問(wèn)題解決：若5≤n＜10時(shí)，如探究一．

若n≥10，設(shè)n=5a+b，其中a、b為正整數(shù)，5≤b＜10，則分割如圖13所示，均可將正方形分割為一個(gè)5a×5a的正方形、一個(gè)b×b的正方形和兩個(gè)5a×b的矩形．顯然，5a×5a和5a×b均可分割為1×5的矩形，而b×b表示邊長(zhǎng)分別為5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割為一些1×5或2×3的矩形．

問(wèn)題解決：邊長(zhǎng)為61的正方形分割為一些1×5或2×3的矩形，如圖14．

圖12

圖13

圖14