董新民, 陳勇

(空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院, 陜西 西安 710038)

飛機(jī)等表速運(yùn)動(dòng)方程與穩(wěn)態(tài)爬升參數(shù)計(jì)算

董新民, 陳勇

(空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院, 陜西 西安 710038)

為了揭示等表速飛行的內(nèi)在機(jī)理,建立了飛機(jī)等表速運(yùn)動(dòng)方程,提出了等表速爬升運(yùn)動(dòng)參數(shù)計(jì)算方法。對(duì)比等表速和等真空速爬升公式,提出了功率因子的概念,以反映飛機(jī)等表速與等真空速爬升所需單位剩余功率之間的關(guān)系。針對(duì)等表速等推力、等表速等梯度、等表速等升降速度3種典型爬升方式,應(yīng)用飛機(jī)等表速運(yùn)動(dòng)方程給出了穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)參數(shù)計(jì)算方法。計(jì)算結(jié)果表明,3種爬升方式均存在穩(wěn)態(tài)爬升剖面,穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)參數(shù)與表速呈一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

飛機(jī)運(yùn)動(dòng)方程; 等表速; 功率因子; 穩(wěn)態(tài)爬升剖面

0 引言

等表速爬升是飛機(jī)航線飛行中最常見的飛行動(dòng)作[1-2]。等表速飛行能夠確保飛機(jī)爬升升力不隨高度變化,飛機(jī)姿態(tài)和軌跡易于控制,保證飛行安全。但目前飛機(jī)運(yùn)動(dòng)方程都是基于真空速建立的,給等表速運(yùn)動(dòng)的分析和計(jì)算帶來了很大困難。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)飛機(jī)爬升性能及相關(guān)參數(shù)計(jì)算進(jìn)行了深入研究[2-5]。美國(guó)空軍飛行動(dòng)力實(shí)驗(yàn)室總結(jié)了飛機(jī)起飛、爬升、巡航、轉(zhuǎn)彎、下降和著陸等全飛行剖面運(yùn)動(dòng)參數(shù)的計(jì)算方法[6]。文獻(xiàn)[7]建立了無人機(jī)巡航、爬升和下滑的軌跡優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[8]以最短時(shí)間為指標(biāo),研究了大型軍用運(yùn)輸機(jī)縱向飛行剖面的高度、速度和等效能量變化規(guī)律。文獻(xiàn)[9-10]基于能耗最低、時(shí)間最短等指標(biāo)研究了飛機(jī)爬升軌跡優(yōu)化問題。但上述研究都是基于真空速展開的,其成果未拓展至等表速運(yùn)動(dòng)的參數(shù)計(jì)算。

本文建立了飛機(jī)等表速運(yùn)動(dòng)方程,并應(yīng)用于等表速等推力、等表速等梯度和等表速等升降速度3種爬升方式,給出了穩(wěn)態(tài)爬升參數(shù)計(jì)算方法。

1 基于表速的飛機(jī)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程

飛機(jī)純縱向?qū)ΨQ運(yùn)動(dòng)方程為:

(1)

式中:m為飛機(jī)質(zhì)量;Vk為航跡速度;H為高度;G,D和L分別為飛機(jī)所受重力、阻力和升力;α和γ分別為飛機(jī)迎角和爬升角;T為發(fā)動(dòng)機(jī)推力;σ為發(fā)動(dòng)機(jī)安裝角。通常σ≈0,則可得著名的能量公式為:

(2)

等式右邊稱為剩余功率。若剩余功率大于0,飛機(jī)保持高度則加速飛行,保持速度則爬升。必須指出,式(2)中Vk為航跡速度,在不考慮風(fēng)時(shí)為真空速V。當(dāng)飛機(jī)保持真空速不變時(shí),等真空速爬升公式為:

(3)

但是,決定飛機(jī)氣動(dòng)力的不是真空速,而是表速。在實(shí)際飛行時(shí),飛機(jī)大多是按表速飛行的。設(shè)表速為Vi,ρ0為標(biāo)準(zhǔn)海平面的大氣密度,ρH為隨高度變化的大氣密度,則密度比υρ=ρH/ρ0,有[4]:

(4)

將式(4)求導(dǎo)并代入式(1),得到基于表速的飛機(jī)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程組為:

(5)

2 飛機(jī)等表速運(yùn)動(dòng)方程

在等表速飛行模態(tài)的任意時(shí)刻,Vi=Vi0為恒定的常值表速,可得飛機(jī)等表速運(yùn)動(dòng)方程為:

(6)

定義高度與表速的非線性函數(shù)為:

(7)

代入式(6)可得飛機(jī)等表速爬升公式為:

(8)

對(duì)比式(8)和式(3)可以看出,飛機(jī)等表速爬升的單位剩余功率比等真空速多了一項(xiàng)系數(shù)f(H,Vi0)。定義f(H,Vi0)為功率因子。顯然,功率因子表示等表速爬升與等真空速爬升所需單位剩余功率的比值,為無量綱量。如果大氣密度不隨飛行高度變化,則f(H,Vi0)=1,兩種爬升方式所需的能量相同。但實(shí)際飛行過程中,大氣密度隨高度不斷變化,f(H,Vi0)≠1。因此,功率因子的存在說明,由于大氣密度的變化,造成飛機(jī)等表速與等真空速爬升時(shí)所需的能量不同,這正是其物理意義所在。

3 等表速爬升運(yùn)動(dòng)參數(shù)計(jì)算

飛機(jī)主要有等表速等推力、等表速等梯度和等表速等升降速度3種典型爬升方式,下面分別討論各爬升方式的運(yùn)動(dòng)參數(shù)計(jì)算方法。

3.1 等表速等推力爬升

飛機(jī)在等表速等推力爬升時(shí)滿足Vi=Vi0,T=Tc,且均為常數(shù)。由式(6)和式(8)可得飛機(jī)等表速運(yùn)動(dòng)受力平衡方程為:

(9)

(10)

等表速下,馬赫數(shù)隨高度變化的關(guān)系式為:

式中:c為隨高度變化的聲速。升阻比與迎角α和Ma有關(guān),等表速下Ma只與高度有關(guān)。令升阻比為K(α,H),從而有:

(11)

將式(10)和式(11)代入式(9),得到飛機(jī)的爬升角隨高度變化的關(guān)系式為:

(12)

因?yàn)楸硭賄i=Vi0、爬升推力T=Tc均為常數(shù),則式(9)和式(12)耦合后隱含變量α和H,可以采用數(shù)值法求出γ(H)及α(H)。若升力保持平衡,則等表速爬升剖面中穩(wěn)態(tài)參數(shù)的計(jì)算步驟如下:

(1)對(duì)于任意高度H,若CLα為升力隨迎角的變化率,Sw為機(jī)翼參考面積,α0為零升迎角,則根據(jù)以下力平衡方程組可求出穩(wěn)態(tài)爬升迎角α;

(13)

(14)

(2)根據(jù)穩(wěn)態(tài)爬升迎角α(H)計(jì)算不同高度下的升力L(α)、阻力D(α)和升阻比K(α,H);

(3)計(jì)算功率因子f(H,Vi0),由式(12)得到飛機(jī)等表速等推力爬升剖面的穩(wěn)態(tài)爬升角γ(H);

(4)計(jì)算飛機(jī)俯仰角θ(H)=α(H)+γ(H)。

在定表速和定推力的前提下,存在一個(gè)穩(wěn)態(tài)的爬升剖面,表速與迎角、爬升角、俯仰角等穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)參數(shù)之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

3.2 等表速等梯度爬升

飛機(jī)在等表速等梯度(即爬升角)爬升時(shí)滿足Vi=Vi0,γ=γc且為常數(shù)。通常,穩(wěn)態(tài)爬升迎角α很小,根據(jù)式(9)可知爬升方式滿足:

(15)

進(jìn)一步結(jié)合式(14),求得迎角α為常值,且當(dāng)給定爬升角γc不變時(shí),存在對(duì)應(yīng)的迎角α和俯仰角θ亦為常值。由式(11)得:

(16)

從而可知飛機(jī)在等表速直線平飛時(shí),阻力為常值。結(jié)合式(10)得飛機(jī)推重比隨高度變化的關(guān)系為:

(17)

可以看出,在飛機(jī)等表速等梯度直線飛行時(shí),推力與表速之間存在穩(wěn)態(tài)關(guān)系。爬升過程中需通過調(diào)節(jié)推力來穩(wěn)定表速。

因表速Vi=Vi0、爬升角γ=γc均為常數(shù),則式(17)耦合隱含變量α和H,可以采用數(shù)值法求解穩(wěn)態(tài)參數(shù)。保持升力平衡,計(jì)算步驟如下:

(1)在任意高度H,由式(14)和式(15)組成升力平衡方程組,求出穩(wěn)態(tài)爬升迎角α(H);

(2)計(jì)算不同高度下的升力、阻力和升阻比;

(3)計(jì)算功率因子f(H,Vi0),由式(17)得到等表速等梯度爬升剖面的穩(wěn)態(tài)推力T(H);

(4)根據(jù)式(8)計(jì)算飛機(jī)穩(wěn)態(tài)升降速度Vy(H)。

在定表速和定梯度的前提下,存在一個(gè)穩(wěn)態(tài)的爬升剖面,爬升梯度與迎角、俯仰角等穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)參數(shù)之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

3.3 等表速等升降速度爬升

飛機(jī)等表速等升降速度爬升時(shí)滿足Vi=Vi0,Vy=Vy0為常值升降速度。結(jié)合式(1)得:

(18)

因此,爬升角隨高度的變化規(guī)律為:

(19)

標(biāo)準(zhǔn)海平面對(duì)應(yīng)的爬升角γ0=arcsin(Vy0/Vi0),即飛機(jī)等表速等升降速度爬升即表速不變、爬升角隨高度變化的加速爬升過程。

對(duì)式(19)求高度的導(dǎo)數(shù),可以得到:

(20)

通常,Vi0?Vy0且ρ0≥ρH。由式(19)知,γ(H)較小,可認(rèn)為處于線性范圍內(nèi)。則式(20)可簡(jiǎn)化為:

(21)

由于飛機(jī)穩(wěn)態(tài)爬升時(shí)的迎角和爬升角均較小,可近似認(rèn)為sinα≈0,cosγ(H)≈1。將式(19)和式(21)代入式(9)得:

(22)

結(jié)合式(10)和式(16),可以得到等表速等升降速度爬升方式下,飛機(jī)推重比隨高度的變化規(guī)律為:

(23)

可以看出,飛機(jī)在等表速等升降速度爬升方式下,推力和表速之間存在穩(wěn)態(tài)對(duì)應(yīng)關(guān)系。爬升過程中需通過調(diào)節(jié)推力來穩(wěn)定表速。

因表速Vi=Vi0、升降速度Vy=Vy0均為常數(shù),則式(23)耦合隱含變量α和H,可采用數(shù)值法求解穩(wěn)態(tài)參數(shù)。保持升力平衡,計(jì)算步驟如下:

(1)在任意高度H,結(jié)合式(14)和式(22)組成升力平衡方程組,求出穩(wěn)態(tài)爬升迎角α(H);

(2)計(jì)算不同高度下的升力、阻力和升阻比;

(3)計(jì)算功率因子f(H,Vi0),由式(23)得到等表速等升降速度爬升剖面的穩(wěn)態(tài)推力為T(H);

(4)根據(jù)式(8)計(jì)算飛機(jī)穩(wěn)態(tài)爬升角γ(H)。

在定表速和定升降速度的前提下,存在一個(gè)穩(wěn)態(tài)的爬升剖面,升降速度與迎角、爬升角、俯仰角等穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)參數(shù)之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

4 計(jì)算結(jié)果及分析

4.1 等表速等推力爬升

以空客A-380飛機(jī)為例[11],重量為476 t,最大推力為4×311 169.6 N,穩(wěn)定飛機(jī)推力5×105N,分別計(jì)算不同表速情形下等表速等推力爬升方式的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)參數(shù)。圖1所示為飛機(jī)穩(wěn)態(tài)爬升角曲線,對(duì)應(yīng)穩(wěn)態(tài)爬升迎角如表1所示。

圖1 穩(wěn)態(tài)爬升角隨高度變化曲線Fig.1 Curves of stable climb angle varying with height

Vi/kn260300340380α/(°)2.291.300.620.15

從圖1可看出,飛機(jī)按等表速等推力爬升時(shí),穩(wěn)態(tài)爬升角隨高度的增加逐漸減小,且飛機(jī)爬升至10 km高度時(shí),穩(wěn)態(tài)爬升角減小約1°。結(jié)合表1可知,穩(wěn)態(tài)爬升角和穩(wěn)態(tài)爬升迎角與表速對(duì)應(yīng),且隨著表速的增大,穩(wěn)態(tài)爬升角和迎角均逐漸減小。

4.2 等表速等梯度爬升

以空客A-380為例,給定爬升角γc=3°,計(jì)算等表速等梯度爬升方式的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)參數(shù)。若飛機(jī)分別穩(wěn)定在不同表速,結(jié)合式(15)和式(17)計(jì)算出的穩(wěn)態(tài)爬升迎角如表2所示。圖2為等表速等梯度爬升方式下飛機(jī)的穩(wěn)態(tài)推力曲線,圖3為相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)升降速度曲線。

表2 不同表速時(shí)飛機(jī)的穩(wěn)態(tài)爬升迎角

圖2 穩(wěn)態(tài)推力隨高度變化曲線Fig.2 Curves of stable thrust varying with height

圖3 穩(wěn)態(tài)升降速度隨高度變化曲線Fig.3 Curves of stable lifting velocity varying with height

由圖2和圖3可知,飛機(jī)在等表速等梯度爬升時(shí),所需的推力隨高度的增加逐漸增大;而穩(wěn)態(tài)升降速度也在增加,即等表速等梯度爬升就是表速和爬升角不變的加速爬升過程。由圖2可知,飛機(jī)表速越大,等梯度爬升需要的推力越大。

4.3 等表速等升降速度爬升

以空客A-380為例,給定升降速度Vy=15 m/s,計(jì)算等表速等升降速度爬升方式的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)參數(shù)。若飛機(jī)分別穩(wěn)定在不同表速,計(jì)算穩(wěn)態(tài)爬升迎角,數(shù)值與表2一致。說明等表速等升降速度與等表速等梯度爬升時(shí)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)爬升迎角基本相同,進(jìn)而可得到不同高度下保持升降速度爬升所需的推力,如圖4所示。圖5為相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)爬升角曲線。

圖4 穩(wěn)態(tài)推力隨高度變化曲線Fig.4 Curves of stable thrust varying with height

圖5 穩(wěn)態(tài)爬升角隨高度變化曲線Fig.5 Curves of stable climb angle varying with height

在等表速等升降速度爬升方式下,飛機(jī)在不同表速時(shí)基本按恒定迎角爬升,以保證飛機(jī)等升降速度所需升力。由圖4可知,推力隨高度的增加逐漸降低,但與表速無明顯變化規(guī)律。由圖5可知,穩(wěn)態(tài)爬升角隨高度的增加逐漸降低,且相同高度下,表速越大,穩(wěn)態(tài)爬升角越小。

5 結(jié)論

(1)飛機(jī)等表速爬升與等真空速爬升時(shí)所需的能量不同,其差異可用功率因子來描述;

(2)飛機(jī)在等表速爬升時(shí),存在一個(gè)恒定的穩(wěn)態(tài)爬升剖面,穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)參數(shù)在等表速等推力爬升時(shí)與表速和推力、在等表速等梯度爬升時(shí)與表速和爬升梯度、在等表速等升降速度爬升時(shí)與表速和升降速度均存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

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(編輯：李怡)

Aircraft equation of motion and stable climb parameters calculation with constant indicated airspeed

DONG Xin-min, CHEN Yong

(College of Aeronautics and Astronautics Engineering, AFEU, Xi’an 710038, China)

In order to find out the intrinsic truth about constant indicated airspeed (CIAS), the aircraft motion equation with CIAS was formulated and corresponding method to calculate the climb parameters was presented. Through comparing the climb formula between constant true airspeed (CTAS) and CIAS, the conception of power factor was proposed to reflect the relationship of the unit residual power required in climb between CIAS and CTAS. Three typical climb modes, such as CIAS and constant thrust, CIAS and constant climb gradient, CIAS and constant vertical speed, were discussed respectively. The methods to calculate the stable movement parameters were presented by applying the aircraft equation of motion with CIAS. Calculation results show that each mode has its stable climb section, stable movement parameters and CIAS present one-to-one correspondence.

aircraft equation of motion; constant indicated airspeed; power factor; stable climb section

2016-05-12;

2016-09-18;

時(shí)間:2016-11-10 09:10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(61304120；61473307)

董新民(1963-)，男，山東臨沂人，教授，研究方向?yàn)轱w行控制理論及應(yīng)用； 陳勇(1984-)，男，四川中江人，講師，研究方向?yàn)轱w行控制理論及應(yīng)用。

V212.1

A

1002-0853(2017)01-0011-05