季志宇，呂 哲，于長(zhǎng)軍

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海) 信息與電氣工程學(xué)院，山東 威海 264209)

雙基地高頻地波雷達(dá)模糊函數(shù)與克拉美羅界分析*

季志宇，呂 哲，于長(zhǎng)軍**

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海) 信息與電氣工程學(xué)院，山東 威海 264209)

本文針對(duì)雙基地體制下調(diào)頻中斷連續(xù)波(FMICW)信號(hào)的克拉美羅界問(wèn)題，利用模糊函數(shù)和克拉美羅界之間的關(guān)系，給出了目標(biāo)參數(shù)無(wú)偏估計(jì)的下界。仿真了雙基地情況下波形參數(shù)對(duì)模糊函數(shù)形狀的影響，以及站址和目標(biāo)之間的幾何構(gòu)型與目標(biāo)分辨能力之間的關(guān)系。分析表明，雙基地雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)克拉美羅界取決于目標(biāo)到達(dá)方向、基線長(zhǎng)度以及目標(biāo)與接收站之間的距離。最后根據(jù)克拉美羅界仿真分析了雷達(dá)雙基地站址選擇對(duì)目標(biāo)估計(jì)精度的影響。

雙基地雷達(dá)； 模糊函數(shù)； 參數(shù)估計(jì)； 克拉美-羅界

高頻地波超視距雷達(dá)(HF Surface Wave Radar,HFSWR)是一種工作于3～30 MHz的高頻段海上預(yù)警雷達(dá)[1]。系統(tǒng)多用調(diào)頻中斷連續(xù)波(Frequency Modulated Interrupted Continuous Wave,FMICW)，即脈沖截?cái)嗟恼{(diào)頻連續(xù)波信號(hào)作為發(fā)射波形，此種脈沖壓縮波形既化解了距離分辨率和探測(cè)距離之間的矛盾又解決了發(fā)射和接收共址時(shí)的收發(fā)隔離問(wèn)題。本文將分析采用FMICW信號(hào)的T-R雙基地雷達(dá)系統(tǒng)的模糊函數(shù)及距離速度估計(jì)的克拉美-羅界(Cramer Rao Bound，CRB)。

模糊函數(shù)理論最初是為研究雷達(dá)分辨特性而提出，并從衡量?jī)蓚€(gè)不同距離、不同徑向速度目標(biāo)的分辨率出發(fā)給出了模糊函數(shù)的定義。它不僅可以分析雷達(dá)的分辨率，還可以用于分析測(cè)量精度、測(cè)量模糊度以及抗干擾性能等問(wèn)題。文獻(xiàn)[2]分析了高斯單脈沖和相干脈沖串體制下雙基地雷達(dá)模糊函數(shù)及其特點(diǎn)，但該文獻(xiàn)沒(méi)有分析目標(biāo)位置變化對(duì)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)精度的影響。文獻(xiàn)[3]在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)利用網(wǎng)狀架構(gòu)模糊函數(shù)分析了多基地雷達(dá)與組網(wǎng)雷達(dá)的關(guān)鍵性能參數(shù)，證明了組網(wǎng)模糊度函數(shù)與網(wǎng)絡(luò)中收發(fā)節(jié)點(diǎn)的相對(duì)位置和目標(biāo)位置的相互關(guān)系。文獻(xiàn)[4-5]都對(duì)雙基地LFM脈沖信號(hào)模糊函數(shù)進(jìn)行了研究，給出了目標(biāo)雙基地角與目標(biāo)分辨率之間的關(guān)系表達(dá)式。而文獻(xiàn)[6]針對(duì)調(diào)頻連續(xù)波(Frequency Modulated Continuous Wave,FMCW)體制的雙基地雷達(dá)模糊函數(shù)進(jìn)行了建模，從模糊函數(shù)角度推導(dǎo)出了目標(biāo)距離-速度參數(shù)估值及距離速度耦合斜率均受目標(biāo)視角的影響。

對(duì)于參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，CRB給出了無(wú)偏估計(jì)量下限，它做為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，常用于雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)的估計(jì)當(dāng)中[7-9]。借鑒這一思想，本文將克拉美-羅界用于雙基地高頻地波雷達(dá)的目標(biāo)距離-速度參數(shù)聯(lián)合估計(jì)當(dāng)中，首先推導(dǎo)了T-R型雙基地FMICW雷達(dá)信號(hào)模糊函數(shù)，借助Fisher信息矩陣(Fisher Information Matrix，F(xiàn)IM)給出了雙基地HFSWR的CRB形式，定量描述了雙基地高頻地波雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)無(wú)偏估計(jì)量的下界。仿真分析了雷達(dá)雙基地站址選擇與目標(biāo)位置雙重參量對(duì)目標(biāo)的速度-距離聯(lián)合估計(jì)精度與目標(biāo)分辨能力的影響。

1 雙基地FMICW雷達(dá)信號(hào)模糊函數(shù)

為推導(dǎo)T-R型雙基地高頻雷達(dá)FMICW信號(hào)的模糊函數(shù)，首先建立如圖1所示的結(jié)構(gòu)模型[10]。整個(gè)雷達(dá)系統(tǒng)由發(fā)射站T、接收站R和機(jī)動(dòng)目標(biāo)Tgt構(gòu)成，其中RT為目標(biāo)到發(fā)射站的距離，RR為目標(biāo)到接收站的距離，L為基線長(zhǎng)度，V為機(jī)動(dòng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度。

圖1 T-R型雙基地雷達(dá)結(jié)構(gòu)圖

對(duì)于通常的單基地T/R雷達(dá)慢起伏點(diǎn)模型，由模糊函數(shù)的定義式我們可得

(1)

由于雷達(dá)采用FMICW作為發(fā)射波形，其信號(hào)形式如式(2)所示。

(2)

那么將f(t)與時(shí)延為τ的回波信號(hào)f(t+τ)表達(dá)式均代入式(1)中可以得到單基地T/R雷達(dá)FMICW信號(hào)的模糊函數(shù)表達(dá)式如式(3)所示。

(3)

經(jīng)過(guò)整理可得

(4)

(5)

將式(5)代入式(4)中，可以得到T/R雷達(dá)模糊函數(shù)表達(dá)式最終形式如式(6)所示。

(6)

令fd=0，可得距離模糊函數(shù)如式(7)所示。

(7)

以距離模糊函數(shù)主瓣第一次過(guò)零點(diǎn)τ值定義距離分辨率[10]，由式(7)可得，主瓣寬度主要由1/μN(yùn)Tr決定，又因?yàn)閹払n=μN(yùn)Tr，表明距離分辨率與調(diào)頻帶寬Bn成反比。

令τ=0，可得多普勒模糊函數(shù)如式(8)所示。

(8)

同樣的，以多普勒模糊函數(shù)主瓣第一次過(guò)零點(diǎn)fd值定義多普勒分辨率，從式(8)可得，主瓣寬度近似等于1/NTr，即多普勒分辨率與相干積累時(shí)間成反比。

對(duì)于T-R雙基地雷達(dá)的模糊函數(shù)，由于目標(biāo)到接收站與目標(biāo)至發(fā)射站不再是同一條路徑，因此要對(duì)式(6)做出適當(dāng)修正。假設(shè)有兩個(gè)目標(biāo)Tgt1和Tgt2，回波時(shí)延和多普勒頻移分別為(τ1fd1)和(τ2,fd2)，以接收站為參考點(diǎn)，目標(biāo)Tgt1的(τ1fd1)為已知目標(biāo)時(shí)，分析雙基地雷達(dá)對(duì)Tgt1和Tgt2的分辨能力。由下列公式計(jì)算兩個(gè)目標(biāo)的回波時(shí)延和多普勒頻移：

(9)

(10)

(11)

其中，β為雙基地角，將回波時(shí)延差Δτ=τ2-τ1和多普勒頻移差Δfd=fd2-fd1，代替T/R雷達(dá)模糊度函數(shù)中的τ和fd，得到T-R雙基地雷達(dá)發(fā)射FMICW信號(hào)時(shí)的模糊函數(shù)表達(dá)式為：

(12)

可以看出，該模糊函數(shù)的形式是關(guān)于雙基地角的函數(shù)，說(shuō)明其分辨率不僅與信號(hào)形式有關(guān)，而且還受目標(biāo)位置影響[11]。對(duì)于圖1所示雙基地雷達(dá)，根據(jù)表1所示參數(shù)，仿真其距離模糊函數(shù)與目標(biāo)視角θR之間關(guān)系，當(dāng)θR分別取20°與60°時(shí)的仿真結(jié)果如圖2所示。由仿真結(jié)果可見(jiàn)，距離模糊函數(shù)主瓣寬度隨θR的增加而展寬，即當(dāng)目標(biāo)靠近基線時(shí)，目標(biāo)分辨率顯著降低。

表1 雙基地雷達(dá)仿真參數(shù)

Note：①Baselinelength；②Targetposition；③Frequencymodulatedslope；④Pulserepetitioninterval；⑤duration；⑥Accumulationperiod

2 距離-速度聯(lián)合估計(jì)CRLB

由上節(jié)分析可知，模糊度函數(shù)表示雷達(dá)距離-速度聯(lián)合估計(jì)的分辨能力，而克拉美-羅下界(CramerRaoLowBound，CRLB)定義的是無(wú)偏估計(jì)量方差的下界，是理論上雙基地雷達(dá)測(cè)量精度的最優(yōu)值，為雷達(dá)的探測(cè)性能評(píng)估提供了判斷依據(jù)。克拉美-羅下界的計(jì)算基于模糊度函數(shù)[12]，為了得到T-R配置下雙基地高頻地波雷達(dá)距離-速度聯(lián)合分辨CRLB，首先給出T/R單基地高頻地波雷達(dá)模糊度函數(shù)的Fisher信息矩陣(FisherInformationMatrix，F(xiàn)IM)如式(13)所示。

圖2 不同目標(biāo)視角下的距離模糊函數(shù)Fig.2 Distance ambiguity function with different target angle

(13)

(14)

(15)

再考慮T-R型雙基地配置下的FIM。根據(jù)式(9)～(11)可知，τ=τ(RR)和fd=fd(RR,V)是關(guān)于(RR,V)的函數(shù)，因此T-R型雙基地雷達(dá)的FIM可以表示為

(16)

再根據(jù)函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，可以得到式(17)～(19)。

(17)

(18)

(19)

由式(9)～(11)我們可以得到τ與fd對(duì)V、RR的各階偏導(dǎo)數(shù)，但速度V不是回波時(shí)延τ的函數(shù)，因此

(20)

(21)

(22)

(23)

再將式(21)～(23)帶回到式(16)即可得T-R型雙基地高頻地波雷達(dá)距離-速度聯(lián)合估計(jì)的CRLB，如式(24)、(25)所示。

(24)

(25)

現(xiàn)仿真分析T-R配置下的雙基地高頻地波雷達(dá)距離-速度聯(lián)合估計(jì)CRLB隨基線長(zhǎng)度變化情況。仿真參數(shù)如表2所示。以T站為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(單位：km)，目標(biāo)位置固定在(20,20)保持不變，基線長(zhǎng)度L在[0,200km]范圍內(nèi)變化時(shí)，仿真結(jié)果如圖3所示。

表2 雙基地雷達(dá)仿真參數(shù)

Note：①Operatingfrequency；②Signalbandwidth；③Pulserepetitioninterval；④Pulseduration；⑤SNR；⑥Accumulationperiod

由圖3a所示，虛線代表了單基地T/R配置下的CRLB曲線，即理想條件下雙基地雷達(dá)可以達(dá)到的最優(yōu)精度。T-R雙基地高頻地波雷達(dá)的距離估計(jì)精度隨著基線長(zhǎng)度的增大越來(lái)越差，在基線長(zhǎng)度小于20km時(shí)，雙基地CRLB曲線與單基地CRLB曲線基本重合，此時(shí)估計(jì)精度很高。因此在收/發(fā)兩站位置相距較遠(yuǎn)時(shí)，是以犧牲探測(cè)精度為代價(jià)，換取了探測(cè)距離的延伸。由圖3b所示，雙基地高頻地波雷達(dá)速度估計(jì)的CRLB曲線與距離維估值的趨勢(shì)基本相同，隨著基線長(zhǎng)度的增加，速度估計(jì)精度下降，在基線長(zhǎng)度小于10km左右時(shí)，雙基地雷達(dá)速度測(cè)量精度較高。

假設(shè)基線長(zhǎng)度L=200 km固定，其它仿真參數(shù)不變，當(dāng)接收站R測(cè)得的目標(biāo)視角θR在[-π,π]范圍內(nèi)變化時(shí)，仿真T-R型雙基地雷達(dá)距離-速度聯(lián)合估計(jì)CRLB隨接收站視角的變化趨勢(shì)如圖4所示。

由圖4可以看出，距離-速度估值的CRLB曲線類(lèi)似于一個(gè)沖激函數(shù)，在θR=-90°左右時(shí)，目標(biāo)參數(shù)估計(jì)精度非常差。此時(shí)目標(biāo)處于基線附近，目標(biāo)到發(fā)射站與接收站的距離和約等于基線長(zhǎng)度，R站所測(cè)得的回波時(shí)延τ=L/c變?yōu)楣潭ㄖ担率估走_(dá)目標(biāo)定位能力變差。如果兩目標(biāo)正位于基線上，且移動(dòng)速度也相等，那么T-R配置下的雙基地雷達(dá)甚至無(wú)法區(qū)分這兩個(gè)目標(biāo)。

圖3 不同基線長(zhǎng)度CRLB曲線

圖4 不同目標(biāo)視角CRLB曲線Fig.4 CRLB as function of target angle

3 雙基地站址選擇

雷達(dá)的作用距離與估值精度是衡量雷達(dá)性能的兩個(gè)重要指標(biāo)，它的大小不僅取決于雷達(dá)系統(tǒng)參數(shù)，目標(biāo)特性及環(huán)境因素也會(huì)對(duì)雷達(dá)性能產(chǎn)生影響[13]?；夭ㄐ旁氡茸鳛樘綔y(cè)目標(biāo)的重要衡量參數(shù)，極大程度的影響著雙基地雷達(dá)的探測(cè)性能，通過(guò)仿真及大量實(shí)驗(yàn)表明回波信噪比為14dB時(shí)目標(biāo)的發(fā)現(xiàn)概率約為90%，漏警概率約為10-6。圖5為回波信噪比與雙基地雷達(dá)探測(cè)范圍示意圖。

由圖5所示，當(dāng)SNR達(dá)到臨界值14dB時(shí)，最大探測(cè)范圍為雙紐線，當(dāng)SNR變大時(shí)，最大探測(cè)范圍為一條卵形線。

由前文分析可知，雙基地雷達(dá)測(cè)距測(cè)速精度與基線長(zhǎng)度即收/發(fā)站址幾何位置有關(guān)，同時(shí)基線長(zhǎng)度也影響著雙基地雷達(dá)探測(cè)范圍?，F(xiàn)令回波信噪比SNR= 14dB、雙基地雷達(dá)工作頻率fc= 11 MHz 固定不變，目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)范圍為400 km×400 km的矩形區(qū)域，基線長(zhǎng)度L分別取L=160、200和240 km時(shí)得到不同基線長(zhǎng)度下對(duì)應(yīng)的每個(gè)目標(biāo)位置的距離-速度CRLB，經(jīng)過(guò)歸一化處理之后的估值誤差分布如圖6所示。

圖5 信噪比與探測(cè)范圍示意圖Fig.5 The schematic diagram of SNR on the detection range

由圖6可見(jiàn)，距離估值和速度估值精度分布情況大致相近，整體趨勢(shì)成梭形分布；基線及基線附近區(qū)域的距離速度估值精度較差，T站和R站附近距離速度估值較好，目標(biāo)距離收/發(fā)兩站越遠(yuǎn)，測(cè)距測(cè)速的性能越差。對(duì)比三種基線長(zhǎng)度下的估值誤差分布，選擇較小的基線長(zhǎng)度時(shí)，可以保證雙基地雷達(dá)距離速度估計(jì)的準(zhǔn)確性；隨著基線長(zhǎng)度不斷增大，以探測(cè)精度下降換取探測(cè)范圍的擴(kuò)展。所以在雙基地雷達(dá)布站時(shí)，應(yīng)綜合考慮各方面因素，才能確定滿足系統(tǒng)需求下的雙基地站址幾何位置布局。該結(jié)論可以用于雷達(dá)建模理論分析與雷達(dá)探測(cè)性能評(píng)估當(dāng)中，同時(shí)也可以為FMICW信號(hào)體制的雙基地雷達(dá)布站與優(yōu)化提供理論依據(jù)。

圖6 不同目標(biāo)位置估值誤差示意圖Fig.6 Estimate deviation with different target position

4 結(jié)語(yǔ)

本文在T-R型雙基地高頻地波雷達(dá)FMICW信號(hào)模糊函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用模糊度函數(shù)平方的偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成FIM，進(jìn)而得到距離-速度估值的CRLB。分析了基線長(zhǎng)度與目標(biāo)視角對(duì)CRLB的影響，并以CRLB為參考指標(biāo)，仿真了在不同基線長(zhǎng)度布站下的雷達(dá)性能。在此基礎(chǔ)上可將該方法引入組網(wǎng)雷達(dá)系統(tǒng)中，計(jì)算網(wǎng)絡(luò)中每一組T站與R站間的CRLB，并將其作為參考標(biāo)準(zhǔn)用于組網(wǎng)雷達(dá)系統(tǒng)各區(qū)域最佳發(fā)射-接收組合的選取當(dāng)中，使組網(wǎng)雷達(dá)整體探測(cè)效果得到提升。

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責(zé)任編輯 陳呈超

Cramer Rao Bound Analysis and Ambiguity Function of Bistatic High Frequency Surface Wave Radar

JI Zhi-Yu，LV Zhe，YU Chang-Jun

(School of Information and Electronic Engineering,Harbin Institute of Technology (Weihai),Weihai 264209,China )

In this paper we deal with the problem of the Cramer Rao bounds for bistatic radar with FMICW signal.The lower bound of the parameter unbiased estimate is delimited by exploiting the relation between the ambiguity function and the Cramer Rao bounds.In the bistatic case,this paper analyze the impact on the shape of the ambiguity function by the waveform parameter and the relation between the geometry factors and the ability to distinguish target.The analysis shows the Cramer Rao bounds depend on the target direction of arrival,the bistatic baseline length and the distance between the target and the receiver.The Cramer Rao bounds are then used to analyze the impact on the target estimation accuracy by the choice of station site in bistatic radar.

bistatic radar;ambiguity function;parameter estimation;CRB

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61571159)；海洋公益性行業(yè)科研專(zhuān)項(xiàng)(201505002)資助

Supported by the National Natural Science Fund Project of China(61571159)；The Public Science and Technology Research Funds Projects of Ocean(201505002)

2016-09-15;

2016-11-26

季志宇(1993-)，男，碩士生。E-mail:jizhiyu.ahu@sohu.com

** 通訊作者：E-mail:yuchangjun@hit_edu_cn

TN958

A

1672-5174(2017)02-037-07

10.16441/j.cnki.hdxb.20160283

季志宇，呂哲，于長(zhǎng)軍.雙基地高頻地波雷達(dá)模糊函數(shù)與克拉美羅界分析[J].中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,47(2):37-43.

JI Zhi-Yu，LV Zhe，YU Chang-Jun.Cramer rao bound analysis and ambiguity function of bistatic high frequency surface wave radar[J].Periodical of Ocean University of China,2017,47(2):37-43.