吳世玕

(江西理工大學(xué) 理學(xué)院， 江西 贛州 341000)

Dirichlet級(jí)數(shù)關(guān)于p-準(zhǔn)確級(jí)的型

吳世玕

(江西理工大學(xué) 理學(xué)院， 江西 贛州 341000)

討論Dirichlet級(jí)數(shù)及隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)所表示的整函數(shù)關(guān)于p-準(zhǔn)確級(jí)的型(下型)與系數(shù)和指數(shù)的關(guān)系，給出了型和下型的取值范圍為αp≤T≤αpeρDrp,βp≤x≤eρDrp。

Dirichlet級(jí)數(shù); 隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù); 準(zhǔn)確級(jí); 型函數(shù); 型; 下型

MR subject classification: 30K10

自Valiron G與Hiong K分別引入有限級(jí)和無限級(jí)的型函數(shù)[1-2]后，學(xué)者們?cè)谘芯空瘮?shù)、亞純函數(shù)、解析函數(shù)的增長性質(zhì)時(shí)，常結(jié)合型函數(shù)，考慮關(guān)于準(zhǔn)確級(jí)的型、下型[3-5]。函數(shù)的增長級(jí)中用得較多的是Ritt級(jí)、p-級(jí)、(p,q)(R)級(jí)、對(duì)數(shù)增長級(jí)、相對(duì)(p,q)級(jí)等[6-10]。

設(shè)Dirichlet級(jí)數(shù)

(1)

滿足

{an}?C,0<λn↑∞,s=σ+it,

(2)

其中σ、t為實(shí)變量，則級(jí)數(shù)(1)在全平面上收斂。即f(x)為整函數(shù)。

在文獻(xiàn)[7,11-12]中引進(jìn)Dirichlet級(jí)數(shù)p-級(jí)ρ的定義為

(3)

其中p=2,3,…,且ln[0]x=x,ln[k]x=ln(ln[k-1]x)。

設(shè)ρ∈(0,+∞)，本文仿照文獻(xiàn)[13],引進(jìn)分段連續(xù)可微函數(shù)ρ(r)，其在r≥r0(r0>0)上單調(diào)增加，且滿足

(4)

令t=U(r)=rρ(ln r)(r>0)，并設(shè)r=W(t)是t=U(r)的反函數(shù)，則有

(5)

稱U(r)為f(s)的型函數(shù)，稱ρ(r)為f(s)的p-準(zhǔn)確級(jí)。令

(6)

分別稱T、χ為f(s)關(guān)于p-準(zhǔn)確級(jí)ρ(r)的型和下型，其中p≥2。

文獻(xiàn)[12]利用型函數(shù)的反函數(shù)刻畫了T、χ的范圍，對(duì)于下型，只給出了p=2時(shí)的結(jié)論。型函數(shù)U(r)=rρ(ln r)是單調(diào)增加的冪指函數(shù)，理論上存在反函數(shù)，若ρ(r)不是常值函數(shù)，則反函數(shù)很難求出，或根本無法求出反函數(shù)的解析表達(dá)式。本文直接用型函數(shù)刻畫Dirichlet級(jí)數(shù)及隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)關(guān)于p-準(zhǔn)確級(jí)ρ(r)的型和下型T、χ的范圍。

1 Dirichlet級(jí)數(shù)關(guān)于p-準(zhǔn)確級(jí)的 型、下型

引理1 設(shè)a、b是正數(shù)，ln[p-3]b>0，則函數(shù)φ(x)=exp[p-2][aU(ex)]-bx的最小值點(diǎn)x0滿足

(7)

且最小值

(8)

其中

exp[0](x)=x,exp[1](x)=exp(x),

exp[k](x)=exp(exp[k-1](x))。

引理2 設(shè)a>0，則ψ(x)=x[a-ln(W(ln[p-2]x))]的最大值點(diǎn)x0滿足

(9)

最大值

(10)

用求導(dǎo)的方法及(4)、(5)式，就可證明引理1和引理2的結(jié)論。

定理1 設(shè)級(jí)數(shù)(1)滿足條件(2),其p級(jí)ρ∈(0,+∞)，記

(11)

則αp≤T≤αpeρD。

證明 (1)當(dāng)T<+∞,p≥3時(shí)， ?ε>0,?σ′>0,當(dāng)σ>σ′時(shí)

ln|an|≤lnM(σ)-λnσ≤exp[p-2][(T+ε)U(eσ)]-λnσ。

(12)

由引理1知

所以

從而

故T+ε≥αp。由ε的任意性知，T≥αp。

下面證明T≤eρDαp。

不妨設(shè)αp<+∞。于是，?ε>0,存在常數(shù)A>0(A代表一個(gè)正數(shù)常數(shù)，不同的表達(dá)式中，A的取值可以不同)使得?n≥1有

(13)

從而

lnM(σ)≤ln(AB(ε))+

σ→+∞時(shí)，由引理2得

(1+o(1))eρ(D+ε)(αp+ε)U(eσ),所以T≤eρ(D+ε)(αp+ε)。由ε的任意性知，T≤eρDαp。

(2)當(dāng)T=+∞，p≥3時(shí)，若αp<+∞，則由上面推理知，T≤eρDαp仍然成立，此與T=+∞矛盾，所以，αp=+∞。

(3)當(dāng)T≤+∞,p=2時(shí)，定理1結(jié)論也成立[14]

(14)

(15)

則βp≤χ≤eρDγp，其中{n(σ):σ∈R}={n(σk)}是f(s)的主要指標(biāo)序列[6]，{σk}是n(σ)的間斷點(diǎn)序列。

證明 (ⅰ)當(dāng)p≥3時(shí)，設(shè){nk}↑∞,ln[p-2]λnk～ln[p-2]λnk+1，k→∞，記

從而

lnM(σ)≥ln|ank|+λnkσ≥

取σk>ε,使

(16)

則σk↑+∞，?σ∈(σk,σk+1),

由于{nk}是符合(14)式的任一自然數(shù)子序列，所以χ≥βp。

下面證明χ≤eρDγp。

記

先證χ′≤eρDγp。不妨設(shè)0<χ′<+∞，則?ε>0，當(dāng)σ充分大，且σ∈(σk-1,σk]時(shí)，n(σ)=n(σk)。

ln|an(σk)|=lnm(σ)-λn(σk)σ≥

exp[p-2][(χ′-ε)U(eσ)]-λn(σk)σ。

由引理1知

所以

故χ′-ε≤γp。若χ′=+∞，則用任意大的正數(shù)X代替χ′-ε，一樣可證明X≤γp，從而γp=+∞。由ε任意性知χ′≤γp。

類似于文獻(xiàn)[6]可以證明,?ε>0，存在與f、ε有關(guān)的正常數(shù)K(ε)，使得

M(σ)≤K(ε)m(σ+D+ε),

(17)

所以

χ′eρ(D+ε)。

由ε的任意性及χ′≤γp知,χ≤χ′eρD≤γpeρD。

(ⅱ)當(dāng)p=2時(shí)，證明過程與(ⅰ)相似，只是在證明過程中，取σk時(shí)，(16)式有點(diǎn)改變，使

即可。詳細(xì)的證明過程從略。

2 隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)關(guān)于p-準(zhǔn)確級(jí)的型

設(shè)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)

(18)

{Xn(ω)}是概率空間(Ω,A,P)上獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，E(Xn)=0，有有限方差

E(Xn/δn)=dn≥d>0,

{an}?C,{λn}↑∞ ,

且

(19)

則f(s,ω)是一個(gè)隨機(jī)整函數(shù)[15]。設(shè)

(20)

(21)

分別稱T(ω)和χ(ω)為f(s,ω)的p-級(jí)準(zhǔn)確型和下型。

定理3 設(shè)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)(18)滿足條件：{Xn(ω)}是概率空間(Ω,A,P)上獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，E(Xn)=0，有有限方差

E(|Xn|/δn)=dn≥d>0，

{an}?C,{λn}↑+∞,

且滿足(19)式，U(r)是滿足(4)式的型函數(shù)，則

其中，

(22)

證明 由文獻(xiàn)[15]中的引理4和引理5容易證明，當(dāng)n充分大時(shí)，

(23)

記

則當(dāng)p≥3時(shí),?ε>0，有

?ε∈(0,1)，有

由定理1知，

當(dāng)p=2時(shí)，結(jié)論也成立[14]。

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〔責(zé)任編輯 宋軼文〕

The type of Dirichlet series ofp-proximate order

WU Shigan

(Faculty of Science, Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou 341000, Jiangxi, China)

The relationship between the type (lower type) of entire function represented by Dirichlet series and random Dirichlet series ofp-proximate order with their coefficient and index are discussed. The value range of type and lower type ofp-proximate are given thatαp≤T≤αpeρDrp,βp≤x≤eρDrp.

Dirichlet series; random Dirichlet series; proximate order; type function; type; lower type

1672-4291(2017)01-0001-05

10.15983/j.cnki.jsnu.2017.01.111

2015-10-26

國家自然科學(xué)基金(61364015)

吳世玕,男,副教授。E-mail:wusg64@163.com

O174.5

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