馬奎前，郜益華，孫召勃

（1.中海石油（中國）有限公司天津分公司，天津 300452；2.中國石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東 青島 266580）

三重介質(zhì)復(fù)合油藏橢圓流試井模型

馬奎前1，郜益華2，孫召勃1

（1.中海石油（中國）有限公司天津分公司，天津 300452；2.中國石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東 青島 266580）

對于各向同性油藏，由于內(nèi)外邊界條件不同，其流動狀態(tài)通常為徑向流或線性流；但對于滲透率存在各向異性的油藏，其流動狀態(tài)可能為橢圓流。為此，文中結(jié)合橢圓流滲流理論，建立了針對三重介質(zhì)的復(fù)合油藏橢圓流試井解釋模型。利用Mathieu函數(shù)性質(zhì)得到了橢圓流模型的拉普拉斯空間解，采用Stehfest數(shù)值反演法得到模型在實(shí)空間下的解，并繪制了典型試井曲線，對各參數(shù)的敏感性進(jìn)行了分析。根據(jù)典型曲線的特點(diǎn)，三重介質(zhì)復(fù)合油藏橢圓流模型存在13個不同的流動階段。通過分析井筒半徑、內(nèi)區(qū)半徑、內(nèi)外區(qū)流度比、裂縫儲容比、基巖儲容比、溶洞竄流系數(shù)、基巖竄流系數(shù)對試井典型曲線的影響，討論了考慮橢圓流時三重介質(zhì)復(fù)合油藏試井模型的基本特征。

橢圓流；三重介質(zhì)；復(fù)合油藏；Mathieu函數(shù)；典型曲線

在試井模型中碳酸鹽巖油藏通常被視為孔縫洞三重介質(zhì)。國內(nèi)外學(xué)者對三重介質(zhì)試井問題進(jìn)行了許多相關(guān)研究［1-8］。P.J.Clossman［3］首次提出了三重介質(zhì)滲流模型。王子勝等［4-5］提出了井筒與裂縫連通時的三重介質(zhì)試井模型。李成勇等［6］針對三重介質(zhì)油藏研究了水平井試井解釋模型。Wu等［7］針對縫洞型油藏建立了三重介質(zhì)解析模型。蔡明金等［8］研究了三重介質(zhì)有限導(dǎo)流垂直裂縫井的壓力動態(tài)。然而，上述研究均未涉及橢圓流。對各向同性油藏，其流動狀態(tài)通常為徑向流或線性流；而對滲透率存在方向性的各向異性油藏，其流動狀態(tài)可能為橢圓流［9-12］。一些學(xué)者也對橢圓流問題進(jìn)行了研究［9，13-16］，其中不乏針對三重介質(zhì)油藏的橢圓流研究［7，14］，但涉及三重介質(zhì)復(fù)合油藏的橢圓流研究很少。為此，筆者建立了針對三重介質(zhì)復(fù)合油藏的橢圓流試井模型，并繪制了相應(yīng)試井典型曲線，進(jìn)行了參數(shù)敏感性分析，為三重介質(zhì)復(fù)合油藏橢圓流試井提供了依據(jù)。

1 模型建立

1.1 物理模型

模型的基本假設(shè)為：1）油藏厚度為h，開井生產(chǎn)前地層壓力均勻分布為pi。2）儲層為三重介質(zhì)復(fù)合油藏，其內(nèi)邊界為橢圓，邊界半徑為ξ1，外邊界為無限大邊界。3）裂縫系統(tǒng)直接為井筒提供流體，裂縫系統(tǒng)與溶洞系統(tǒng)、基巖系統(tǒng)之間存在竄流；裂縫系統(tǒng)內(nèi)的流動滿足達(dá)西定律，溶洞系統(tǒng)、基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流為擬穩(wěn)態(tài)。4）油井以定產(chǎn)量q生產(chǎn)，且井在整個油層內(nèi)射孔生產(chǎn)。5）忽略重力的影響。6）考慮井筒存儲效應(yīng)以及表皮系數(shù)的影響。圖1為考慮橢圓流時三重介質(zhì)復(fù)合油藏滲流的基本示意圖。

圖1 考慮橢圓流的三重介質(zhì)復(fù)合油藏模型示意

1.2 數(shù)學(xué)模型

假設(shè)基巖系統(tǒng)、溶洞系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流為擬穩(wěn)態(tài)。在直角坐標(biāo)系下建立三重介質(zhì)復(fù)合油藏的基本滲流微分方程。

對于復(fù)合油藏內(nèi)區(qū)，裂縫系統(tǒng)、基巖系統(tǒng)、溶洞系統(tǒng)的滲流微分方程分別為

對于復(fù)合油藏外區(qū)，基巖系統(tǒng)、裂縫系統(tǒng)、溶洞系統(tǒng)的滲流微分方程分別為

將無因次變量代入式（1）—（6），同時進(jìn)行拉普拉斯變換，從而得到拉普拉斯空間下內(nèi)外區(qū)的無因次滲流微分方程。

內(nèi)區(qū)方程：

外區(qū)方程：

為了得到橢圓坐標(biāo)系下的滲流模型，將直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為橢圓坐標(biāo)系。其轉(zhuǎn)化方法為

將式（9）代入式（7）、式（8），得到橢圓坐標(biāo)系下的三重介質(zhì)復(fù)合油藏?zé)o因次滲流模型。

內(nèi)區(qū)無因次滲流微分方程：

外區(qū)無因次滲流微分方程：

外邊界條件：

定壓內(nèi)邊界條件：

內(nèi)外區(qū)交界面的條件：

流量相等時

壓力相等時

2 模型求解

結(jié)合Mathieu函數(shù)的性質(zhì)［17］以及外邊界條件式（12），得到式（10）、式（11）的通解：

考慮邊界條件式（13）—（15）可得：

考慮Mathieu函數(shù)的正交性［17］，則有：

將式（16）、（18）、（19）、（22）代入式（21）可得：

由Van Everdingen和Hurst的研究［18］可知，拉普拉斯空間下定產(chǎn)量的井底壓力解可以由定流壓的產(chǎn)量解轉(zhuǎn)化得到：

當(dāng)考慮井筒存儲效應(yīng)和表皮效應(yīng)時，利用杜哈美原理［19］可得：

采用Stehfest數(shù)值反演方法對式（25）進(jìn)行反演，即可得到三重介質(zhì)復(fù)合油藏橢圓流試井模型在實(shí)空間下的解。

3 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文模型的正確性，將本文提出的模型與文獻(xiàn)［9］中提出的三重介質(zhì)均質(zhì)儲層橢圓流試井模型進(jìn)行對比。本文模型中的內(nèi)外區(qū)流度比M取1，設(shè)置內(nèi)外區(qū)儲容比及竄流系數(shù)相等，此時本文模型退化為三重介質(zhì)均質(zhì)油藏橢圓流試井模型，對比結(jié)果見圖2。由圖2可知，本文提出的模型退化后得到的解與文獻(xiàn)［9］研究得到的結(jié)果一致，驗(yàn)證了模型的正確性。

圖2 本文模型與文獻(xiàn)［9］模型結(jié)果對比

4 壓力圖版分析

4.1 典型壓力圖版

根據(jù)本文模型繪制三重介質(zhì)復(fù)合油藏橢圓流典型試井曲線（見圖3）。

圖3 三重介質(zhì)復(fù)合油藏橢圓流試井典型曲線

由圖3可知，對于考慮橢圓流的三重介質(zhì)復(fù)合油藏而言，其流動狀態(tài)可分為13個階段。即：1）早期井筒存儲階段；2）表皮控制的過渡流階段；3）內(nèi)區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流階段；4）內(nèi)區(qū)溶洞系統(tǒng)與裂縫系統(tǒng)間的竄流階段；5）內(nèi)區(qū)裂縫系統(tǒng)、溶洞系統(tǒng)整體徑向流階段；6）內(nèi)區(qū)基巖系統(tǒng)與裂縫系統(tǒng)間的竄流階段；7）內(nèi)區(qū)整體徑向流階段；8）內(nèi)區(qū)徑向流與外區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流間的過渡流階段；9）外區(qū)裂縫系統(tǒng)徑向流階段；10）外區(qū)溶洞系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流階段；11）外區(qū)裂縫系統(tǒng)和溶洞系統(tǒng)整體徑向流階段；12）外區(qū)基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流階段；13）外區(qū)整體徑向流階段。

4.2 參數(shù)敏感性

井筒半徑ξw對典型試井曲線的影響如圖4所示。對于滲透率存在方向性的油藏，ξw值與最大滲透率和最小滲透率比值有關(guān)。ξw值越小，最大、最小滲透率比值越大，油藏的非均質(zhì)性越強(qiáng)，地層壓降越大，表現(xiàn)在試井曲線上為無因次壓力越大。

圖4 井筒半徑對典型試井曲線的影響

內(nèi)區(qū)半徑ξ1對典型試井曲線的影響如圖5所示。ξ1值越大，內(nèi)外區(qū)間的過渡流出現(xiàn)得越晚，內(nèi)區(qū)整體徑向流持續(xù)時間越短。當(dāng)內(nèi)區(qū)半徑變小時，內(nèi)區(qū)整體徑向流階段可能被掩蓋。

圖5 內(nèi)區(qū)半徑對典型試井曲線的影響

內(nèi)外區(qū)流度比M對典型曲線的影響見圖6。

圖6 內(nèi)外區(qū)流度比對典型試井曲線的影響

內(nèi)外區(qū)流度比主要影響外區(qū)流動階段，內(nèi)外區(qū)流度比越大，外區(qū)整體徑向流階段的水平值越大，壓降越大。這是因?yàn)?，?nèi)外區(qū)流度比越大，外區(qū)流動系數(shù)相對內(nèi)區(qū)流動系數(shù)就越低，相同產(chǎn)量下壓降越大。

內(nèi)區(qū)和外區(qū)裂縫儲容比對典型曲線的影響見圖7a，7b。內(nèi)區(qū)和外區(qū)裂縫儲容比主要影響內(nèi)區(qū)和外區(qū)溶洞系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流階段。裂縫儲容比越小，溶洞系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)竄流階段的曲線下凹越大，裂縫徑向流階段越短。這是因?yàn)椋芽p儲容比越小，基巖和溶洞中原油的儲容能力越大，而基巖儲容比遠(yuǎn)大于溶洞儲容比，溶洞儲容比對裂縫儲容比變化更為敏感，故裂縫儲容比主要影響溶洞系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流。

內(nèi)外區(qū)基巖儲容比對典型曲線的影響圖7c，7d。內(nèi)外區(qū)基巖儲容比主要影響內(nèi)區(qū)和外區(qū)溶洞系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流階段，以及基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流階段。基巖儲容比越大，溶洞系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)竄流階段的下凹越小，基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)竄流階段的下凹越大。這是因?yàn)樵诹芽p儲容比一定的情況下，基巖儲容比越大，溶洞儲容比越小，因而溶洞系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流越弱，而基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流越強(qiáng)。

圖7 內(nèi)外區(qū)儲容比對典型曲線的影響

內(nèi)區(qū)和外區(qū)基巖、溶洞竄流系數(shù)對典型曲線的影響如圖8所示。

圖8 內(nèi)外區(qū)竄流系數(shù)對典型曲線的影響

內(nèi)區(qū)和外區(qū)基巖竄流系數(shù)主要影響內(nèi)區(qū)和外區(qū)基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流階段（見圖8a，8b）。基巖竄流系數(shù)越小，基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流越難，基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流階段出現(xiàn)越晚。

內(nèi)區(qū)和外區(qū)溶洞竄流系數(shù)主要影響內(nèi)區(qū)和外區(qū)溶洞系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流階段（見圖8c，8d）。溶洞竄流系數(shù)越小，溶洞系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流越難，溶洞系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流階段出現(xiàn)越晚。

5 結(jié)論

1）建立了三重介質(zhì)復(fù)合油藏橢圓流試井模型。該模型可以考慮油藏滲透率具有方向性的情況，同時考慮了內(nèi)外區(qū)具有不同的滲透率、竄流系數(shù)以及儲容比的情況。

2）利用Mathieu函數(shù)性質(zhì)求取了三重介質(zhì)復(fù)合油藏橢圓流試井模型的解析解，繪制了典型試井曲線，并對參數(shù)敏感性進(jìn)行了分析。

3）對于考慮橢圓流的三重介質(zhì)復(fù)合油藏，井筒半徑取值與最大滲透率和最小滲透率比值有關(guān)，井筒半徑越小，最大、最小滲透率比值越大，油藏的非均質(zhì)性越強(qiáng)，井底壓降越大。另外，內(nèi)區(qū)半徑越大，內(nèi)外區(qū)間的過渡流出現(xiàn)得越晚，內(nèi)區(qū)整體徑向階段越短。當(dāng)內(nèi)區(qū)半徑變小時，內(nèi)區(qū)整體徑向流階段可能被掩蓋。

6 符號注釋

ξ，η為橢圓坐標(biāo)系下的空間坐標(biāo)；ξw為井筒半徑，m；ξ1為內(nèi)區(qū)半徑，m；Kfj為裂縫系統(tǒng)的滲透率，m2；Kmj為基巖系統(tǒng)的滲透率，m2；Kvj為溶洞系統(tǒng)的滲透率，m2；μ為原油黏度，Pa·s；pfj為裂縫系統(tǒng)的壓力，Pa；pmj為基巖系統(tǒng)的壓力，Pa；pvj為溶洞系統(tǒng)的壓力，Pa；pwD，p′wD分別為無因次井底壓力及其導(dǎo)數(shù)；φfj為裂縫系統(tǒng)孔隙度；φmj為基巖系統(tǒng)孔隙度；φvj為溶洞系統(tǒng)孔隙度；Cfj為裂縫系統(tǒng)壓縮系數(shù)，Pa-1；Cmj為基巖系統(tǒng)壓縮系數(shù)，Pa-1；Cvj為溶洞系統(tǒng)壓縮系數(shù)，Pa-1；αmj為基巖形狀因子，m-2；αvj為溶洞形狀因子，m-2；t為時間，s；piDj為無因次壓力；p0為原始地層壓力，Pa；（xD，yD）為無因次坐標(biāo)；tD為無因次時間；ωfj為裂縫系統(tǒng)儲容比；ωmj為基巖系統(tǒng)儲容比；ωvj為溶洞儲容比；λmj為基巖系統(tǒng)竄流系數(shù)；λvj為溶洞系統(tǒng)竄流系數(shù)；M為內(nèi)外區(qū)流度比；β為內(nèi)外區(qū)儲容比；L為參考長度，m；B為原油體積系數(shù)；s為拉普拉斯變量；分別為拉普拉斯空間下的無因次內(nèi)外區(qū)裂縫系統(tǒng)壓力；為Mathieu函數(shù)展開式的系數(shù)；ce2n為2n階第1類Mathieu函數(shù)角函數(shù)；Ie2n為2n階第1類Mathieu函數(shù)徑函數(shù)；Ke2n為2n階第2類Mathieu函數(shù)徑函數(shù)；Ie′2n為2n階第1類Mathieu函數(shù)徑函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；Ke′2n為2n階第2類Mathieu函數(shù)徑函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；S為表皮系數(shù)；CD為無因次井筒存儲系數(shù)；下標(biāo)f，m，v分別代表裂縫、基巖和溶洞；下標(biāo)i等于下標(biāo)f，m，v；下標(biāo)1，2分別代表內(nèi)區(qū)和外區(qū)；下標(biāo)j等于下標(biāo)1，2。

［1］劉文超，姚軍.三重介質(zhì)油藏有限導(dǎo)流垂直裂縫井的流-固耦合模型［J］.工程力學(xué)，2013，30（3）：402-409.

［2］劉應(yīng)飛，劉建春，韓杰，等.溶洞型碳酸鹽巖油藏試井曲線特征及儲層評價［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2014，14（6）：121-126.

［3］CLOSSMAN P J.An aquifer model for fissured fractured reservoir［J］. Society of Petroleum Engineers Journal，1975，15（5）：385-398.

［4］王子勝，姚軍.縫洞向井筒供液時三重壓敏介質(zhì)油藏壓力響應(yīng)特征研究［J］.水動力學(xué)研究與進(jìn)展，2006，21（1）：84-89.

［5］王子勝，姚軍.三重壓敏介質(zhì)油藏不穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能變化特征研究［J］.特種油氣藏，2007，14（5）：52-54.

［6］李成勇，劉啟國，張燃，等.三重介質(zhì)油藏水平井試井解釋模型研究［J］.西南石油學(xué)院學(xué)報，2006，28（4）：32-35.

［7］WU Y H，QIN G，KANG Z J，et al.Atriple-continuum pressuretransient model for a naturally fractured vuggy reservoir［R］.SPE 110044，2007.

［8］蔡明金，吳玉君，賈永祿，等.三重介質(zhì)三線性流垂直裂縫井壓力動態(tài)分析［J］.斷塊油氣田，2008，15（1）：58-60.

［9］ZHANG L H，ZHANG X T，WANG Y，et al.A study on elliptical gas flow in tri-porosity gas reservoirs［J］.Transport in Porous Media，2011，87（3）：777-791.

［10］IGBOKOYI A O，TIAB D.New method of well test analysis in naturally fractured reservoirs based on elliptical flow［C］//Canadian International Petroleum Conference，June 17-19，2008，Calgary,Alberta.

［11］KUCUK F，BRIGHAM W E.Transient flow in elliptical systems［J］. Society of Petroleum Engineers Journal，1979，19（6）：401-410.

［12］OBUTO S T，ERTEKIN T.A composite system solution in elliptic flow geometry［J］.SPE Formation Evaluation，1987，2（3）：227-238.

［13］付春權(quán)，尹洪軍，劉宇，等.低速非達(dá)西滲流垂直裂縫井試井分析［J］.大慶石油地質(zhì)與開發(fā)，2007，26（5）：53-56.

［14］何應(yīng)付，徐聯(lián)玉，呂萬一，等.低滲透氣藏壓裂井產(chǎn)能分析［J］.特種油氣藏，2006，13（5）：59-61.

［15］蔡明金，賈永祿，蔡圣權(quán)，等.雙重介質(zhì)有限導(dǎo)流垂直裂縫井壓力動態(tài)分析［J］.新疆石油地質(zhì)，2009，30（6）：738-741.

［16］趙二猛，尹洪軍，鐘會影，等.三重介質(zhì)油藏垂直裂縫井橢圓流試井模型研究［J］.當(dāng)代化工，2015，44（7）：1654-1657.

［17］MCLACHLAN N W.Theory and application of Mathieu functions［M］. Oxford：Oxford University Press，1951：10-57.

［18］EVERDINGEN A F V，HURST W.The application of the Laplace transformation to flow problem in reservoirs［J］.Journal of Petroleum Technology，1949，1（12）：305-324.

［19］KUCHUK F.Generalized transient pressure solutions with wellbore storage［R］.SPE 15671，1986.

（編輯 李宗華）

Well test model of triple media composite reservoir based on elliptic flow

MA Kuiqian1,GAO Yihua2,SUN Zhaobo1
(1.Tianjin Branch of CNOOC Ltd.,Tianjin 300452,China; 2.College of Petroleum Engineering,China University of Petroleum,Qingdao 266580,China)

For isotropic reservoir,the flow state is usually radial flow or linear flow which changes with the internal and external boundary.However,the flow state may be elliptic flow due to the orientation of the permeability in anisotropic reservoir.Thus,a triple media composite reservoir well test interpretation model with elliptic flow is established based on the elliptic seepage theory. Using the Mathieu function,the solution in Laplace space to the model is obtained.The solution in the real space is derived by Stehfest numerical inversion,and the type curve of the model is drawn.According to the characteristics of the type curve,there are thirteen flow regimes.By analyzing the effects of the wellbore radius,inner region radius,mobility ratio,fracture storage ratio,matrix storage ratio,vug interporosity flow coefficient and matrix interporosity flow coefficient on the type curves,the basic characteristics of the model are discussed.

ellipticflow;triplemedia;compositereservoir;Mathieufunction;typecurve

國家科技重大專項(xiàng)“海上稠油油田高效開發(fā)示范工程（二期）”（2011ZX05057）；國家科技重大專項(xiàng)課題“厚層非均質(zhì)氣藏產(chǎn)能評價及預(yù)測技術(shù)”（2016ZX05027004-004）；國家自然基金項(xiàng)目 “頁巖氣藏多級壓裂水平井流動特征及產(chǎn)能評價方法研究”（51374227）、“致密儲層體積壓裂縫網(wǎng)擴(kuò)展模擬研究”（51574265）

TE353

：A

10.6056/dkyqt201701015

2016-06-23；改回日期：2016-11-06。

馬奎前，男，1971年生，高級工程師，現(xiàn)從事油氣田開發(fā)與生產(chǎn)研究工作。E-mail：makq@cnooc.com.cn。

馬奎前，郜益華，孫召勃.三重介質(zhì)復(fù)合油藏橢圓流試井模型［J］.斷塊油氣田，2017，24（1）：63-68.

MA Kuiqian，GAO Yihua，SUN Zhaobo.Well test model of triple media composite reservoir based on elliptic flow［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2017，24（1）：63-68.