張黎明，周建人，張凱，董振華，朱孟高

（1.中國(guó)石油大學(xué)（華東），山東 青島 266580；2.中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所，北京 100190；3.中國(guó)石化勝利油田分公司濱南采油廠，山東 濱州 256600）

協(xié)方差局地化方法在自動(dòng)歷史擬合中的應(yīng)用

張黎明1，周建人1，張凱1，董振華2，朱孟高3

（1.中國(guó)石油大學(xué)（華東），山東 青島 266580；2.中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所，北京 100190；3.中國(guó)石化勝利油田分公司濱南采油廠，山東 濱州 256600）

集合卡爾曼濾波（EnKF）是自動(dòng)歷史擬合領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛的智能算法。為了解決該算法應(yīng)用過(guò)程中出現(xiàn)的濾波發(fā)散問(wèn)題，文中運(yùn)用協(xié)方差局地化方法，綜合考慮先驗(yàn)地質(zhì)模型的相關(guān)半徑和觀測(cè)數(shù)據(jù)的觀測(cè)影響半徑，計(jì)算臨界半徑長(zhǎng)度，并在油藏模型模型中的水平和垂直方向引入局地化相關(guān)函數(shù)，濾除遠(yuǎn)距離觀測(cè)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的相關(guān)噪音，降低協(xié)方差矩陣計(jì)算過(guò)程中的偽相關(guān)。將改進(jìn)的算法編程實(shí)現(xiàn)并運(yùn)用理論實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，并對(duì)比反演得到的滲透率場(chǎng)與真實(shí)滲透率場(chǎng)，結(jié)果表明，改進(jìn)后的理論在滲透率反演精度方面提高了28%，數(shù)據(jù)擬合速度提高了16%。反演的滲透率場(chǎng)能夠清晰刻畫(huà)出大孔道，對(duì)于優(yōu)勢(shì)通道識(shí)別、精細(xì)油藏描述具有重要意義。

歷史擬合；集合卡爾曼濾波；協(xié)方差；局地化

精細(xì)的油藏描述是制定油田開(kāi)發(fā)政策的基礎(chǔ)，而通過(guò)常規(guī)的人工歷史擬合得到油藏參數(shù)具有一定程度的盲目性和隨機(jī)性［1］。因此，自動(dòng)歷史擬合正逐漸成為一個(gè)研究熱點(diǎn)。自動(dòng)歷史擬合是典型的反問(wèn)題，即已知結(jié)果，反求輸入?yún)?shù)。反問(wèn)題的求解伴隨著多解性，其求解過(guò)程基于最優(yōu)化理論，通過(guò)計(jì)算機(jī)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)油藏靜態(tài)參數(shù)的更新，降低不確定度［2］。集合卡爾曼濾波是一種數(shù)據(jù)同化算法，近年來(lái)，油藏工程師將其應(yīng)用到自動(dòng)歷史擬合領(lǐng)域，取得了重要的進(jìn)展。

1994年，Evensen最初提出集合卡爾曼濾波算法（EnKF），并將其應(yīng)用在海洋數(shù)據(jù)同化領(lǐng)域。2002年，Naevdal［3］將該理論引進(jìn)到石油工程領(lǐng)域，應(yīng)用集合卡爾曼濾波估計(jì)整個(gè)油藏的滲透率，取得了成功。2005年，Gu和Oliver［4-5］將EnKF應(yīng)用于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)試模型——PUNQ-S3油藏模型，發(fā)現(xiàn)EnKF方法比基于梯度的方法具有更高的效率。2005年，Zafari等［6］通過(guò)簡(jiǎn)單但是高度非線性的模型，檢測(cè)了EnKF對(duì)于非線性問(wèn)題的適用性。之后，Haugen等［7］、Evensen等［8］成功地將EnKF方法應(yīng)用于實(shí)際油田的歷史擬合案例分析中，從而論證了EnKF方法對(duì)于大規(guī)模實(shí)際油藏物理場(chǎng)反演的可行性。Skjervheim等［9］、Zhao等［10］結(jié)合微地震數(shù)據(jù)，基于EnKF方法進(jìn)行自動(dòng)歷史擬合，拓展了數(shù)據(jù)同化的范圍，得到了更加準(zhǔn)確的反演效果。2010年，Emerick等［11］將EnKF方法與蒙特卡羅方法耦合，通過(guò)隨機(jī)概率模擬，進(jìn)一步提高了算法的收斂速度。

但不當(dāng)?shù)恼`差估計(jì)或參數(shù)設(shè)定將會(huì)導(dǎo)致集合卡爾曼濾波出現(xiàn)濾波發(fā)散，其具體表現(xiàn)為，同化過(guò)程中分析場(chǎng)逐漸趨向于背景場(chǎng)，觀測(cè)資料無(wú)法對(duì)分析場(chǎng)產(chǎn)生映射。引起濾波發(fā)散的原因很多，包括由于用于估計(jì)協(xié)方差矩陣的集合數(shù)目相對(duì)較少，而在集合數(shù)據(jù)同化過(guò)程中產(chǎn)生的采樣誤差。集合數(shù)目過(guò)少，會(huì)降低數(shù)據(jù)同化的自由度［12-13］，影響協(xié)方差矩陣計(jì)算的準(zhǔn)確性，無(wú)法正確計(jì)算分析點(diǎn)和遠(yuǎn)處觀測(cè)的相關(guān)性，使集合對(duì)協(xié)方差矩陣的近似計(jì)算嚴(yán)重偏離實(shí)際。

目前針對(duì)EnKF的濾波發(fā)散問(wèn)題，本文運(yùn)用基于Schur乘積的協(xié)方差局地化方法，可以在一定程度上克服因?yàn)榧蠑?shù)較少導(dǎo)致的遠(yuǎn)距離偽相關(guān)問(wèn)題，削弱距離較遠(yuǎn)的相關(guān)噪音，克服使用截?cái)喟霃椒椒◣?lái)的變量不連續(xù)的問(wèn)題。

1 集合卡爾曼濾波理論

集合卡爾曼濾波算法通過(guò)生成先驗(yàn)地質(zhì)模型集合，描述油藏靜態(tài)地質(zhì)參數(shù)（如孔隙度、滲透率等）的概率分布和不確定性。該方法克服了傳統(tǒng)卡爾曼濾波無(wú)法解決的非線性問(wèn)題，同時(shí)避免了Hessian矩陣的計(jì)算，因此受到越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注。

1.1 標(biāo)準(zhǔn)EnKF基本原理

集合卡爾曼濾波中集合的表現(xiàn)形式是狀態(tài)向量y，主要由油藏靜態(tài)地質(zhì)參數(shù)、生產(chǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)和生產(chǎn)觀測(cè)數(shù)據(jù)3個(gè)部分組成：油藏模型的靜態(tài)地質(zhì)參數(shù)（如滲透率場(chǎng)、孔隙度場(chǎng)等）、油藏模型的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)（壓力場(chǎng)等）、實(shí)際油田生產(chǎn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)（如井底流壓、日產(chǎn)量油、日產(chǎn)水量等）。因此，狀態(tài)向量y可寫(xiě)為

EnKF中一個(gè)集合狀態(tài)向量可以表示為

式中：M為靜態(tài)地質(zhì)參數(shù)向量；P表示動(dòng)態(tài)參數(shù)向量；d為生產(chǎn)數(shù)據(jù)向量；N為集合成員個(gè)數(shù)。

定義矩陣：

式中：O為Nn×（Nm+Np）的零矩陣；INn為Nn×Nn的單位矩陣。

假設(shè)生產(chǎn)數(shù)據(jù)測(cè)量誤差符合正態(tài)分布，通常對(duì)集合成員的觀測(cè)數(shù)據(jù)添加隨機(jī)擾動(dòng)向量，以使集合成員之間具有一定的變化性，即：

式中：duc，j為觀測(cè)向量；dobs為觀測(cè)數(shù)據(jù)；ZD為滿足正態(tài)分布的獨(dú)立的隨機(jī)擾動(dòng)向量，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)方差為1，為Nd×1維向量；CDn為生產(chǎn)數(shù)據(jù)測(cè)量誤差的協(xié)方差矩陣；下標(biāo)D為集合的采樣觀測(cè)數(shù)據(jù)。

對(duì)于第j個(gè)集合狀態(tài)向量，其最優(yōu)估計(jì)值可通過(guò)最小化目標(biāo)函數(shù)獲得，這里采用通過(guò)貝葉斯理論建立的目標(biāo)函數(shù)：

對(duì)式（6）求極值：

式中：上標(biāo)u表示更新后狀態(tài)。

記Ke為Kalman增益矩陣：

EnKF更新公式可以寫(xiě)為

2 協(xié)方差局地化

協(xié)方差局地化方法主要是通過(guò)建立相關(guān)矩陣和預(yù)測(cè)的狀態(tài)向量之間的Schur乘積實(shí)現(xiàn)的：

式中：°表示Schur乘積。

基于Schur乘積的協(xié)方差局地化方法，是將由集合樣本計(jì)算的協(xié)方差矩陣近似計(jì)算值與相關(guān)函數(shù)加權(quán)，對(duì)原協(xié)方差矩陣進(jìn)行修正，降低矩陣中的偽相關(guān)。

因此得到：

聯(lián)立式（19）、（20），協(xié)方差局地方法的EnKF的分析方程可表示為

同化系統(tǒng)中，水平和垂直方向采用一個(gè)局地化的相關(guān)函數(shù)Schur算子［14-15］，濾除了集合數(shù)目過(guò)少而產(chǎn)生的虛假相關(guān)。

局地化相關(guān)函數(shù)（Schur算子）為

式中：c為Schur半徑，又稱為臨界半徑，是任意2個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)之間的歐幾里得距離。

臨界長(zhǎng)度的確定是考慮地質(zhì)模型的先驗(yàn)相關(guān)半徑和觀測(cè)數(shù)據(jù)的觀測(cè)影響半徑而確定的。

3 協(xié)方差局地化實(shí)例

理論模型為一油水兩相水驅(qū)油油藏模型，采用五點(diǎn)法布井，模型中平面橫向上劃分了30個(gè)網(wǎng)格，縱向劃分了20個(gè)網(wǎng)格，垂向上1個(gè)網(wǎng)格。網(wǎng)格大小為Δx= Δy=24 m，Δz=10 m。油藏初始地層壓力為45 MPa，油層埋深為4 500 m，每口油井按75 m3/d定液量生產(chǎn)?？紤]到普通計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力，設(shè)定集合的大小為100，采用序貫高斯方法生成100個(gè)初始的油藏地質(zhì)模型，其先驗(yàn)信息滿足：相關(guān)半徑為96 m，平均孔隙度為0.19，變化范圍0.012～0.324；儲(chǔ)層對(duì)數(shù)滲透率ln（Kx）為1.98，其變化范圍-1.28～8.72。觀測(cè)資料的相關(guān)半徑為60 m，因此Schur臨界半徑采用加權(quán)處理為78 m。程序中設(shè)置狀態(tài)變量每30 d更新一次。

對(duì)100個(gè)初始參數(shù)場(chǎng)，分別通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)EnKF和協(xié)方差局地化改進(jìn)的EnKF，擬合7 290 d反演滲透率場(chǎng)，以集合的均值表示滲透率參數(shù)的估計(jì)值，并分別將2種方法得到的參數(shù)場(chǎng)與真實(shí)滲透率場(chǎng)進(jìn)行對(duì)比。

圖1從左到右依次是標(biāo)準(zhǔn)EnKF更新的滲透率場(chǎng)、協(xié)方差局地化方法更新的滲透率場(chǎng)圖、真實(shí)滲透率場(chǎng)。從圖中參數(shù)場(chǎng)反演效果可以看出，與標(biāo)準(zhǔn)EnKF相比，基于協(xié)方差局地化更新后的平均油藏地質(zhì)模型更加接近真實(shí)地質(zhì)模型，油藏非均質(zhì)（如高滲條帶位置、方向等）反演情況也與真實(shí)模型更加趨于一致，提高了反演精度，能更加準(zhǔn)確地描述出油藏地質(zhì)的非均質(zhì)特征信息。

以與真實(shí)模型的相對(duì)誤差作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，協(xié)方差局地化改進(jìn)的EnKF在精度上較標(biāo)準(zhǔn)EnKF提高了28%。改進(jìn)后濾除了協(xié)方差矩陣的偽相關(guān)，能夠更準(zhǔn)確地計(jì)算協(xié)方差矩陣，從而使集合卡爾曼濾波收斂速度加快。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在同化相同觀測(cè)資料時(shí)，改進(jìn)的EnKF收斂時(shí)間加快了16%。

圖2、圖3為部分觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果。圖中黃線是為100個(gè)隨機(jī)地質(zhì)模型同化后的模擬數(shù)據(jù)的平均值；藍(lán)線為100個(gè)隨機(jī)地質(zhì)模型同化7 290個(gè)時(shí)間步觀測(cè)數(shù)據(jù)后的模擬數(shù)據(jù)。由圖2和圖3可以看出：協(xié)方差局地化方法得到的模擬結(jié)果與觀測(cè)值的偏差較小，擬合結(jié)果得到了改進(jìn)。

圖1 滲透率場(chǎng)比較

圖2 油井PRO-2井底壓力擬合效果

圖3 油井PRO-4井底壓力擬合效果

4 結(jié)論

1）集合數(shù)目過(guò)多會(huì)降低計(jì)算速度，而過(guò)少會(huì)導(dǎo)致協(xié)方差矩陣無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)。協(xié)方差矩陣的無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)會(huì)使得在觀測(cè)數(shù)據(jù)同化過(guò)程中，預(yù)測(cè)場(chǎng)愈加靠近背景場(chǎng)，觀測(cè)資料數(shù)據(jù)幾乎無(wú)法起到約束作用。

2）協(xié)方差局地化方法通過(guò)計(jì)算可信賴的臨界半徑，在不同區(qū)域半徑中引入差異化的相關(guān)函數(shù)，從而強(qiáng)化信賴半徑內(nèi)的相關(guān)性信息，濾除遠(yuǎn)距離觀測(cè)數(shù)據(jù)的相關(guān)性噪音，控制了協(xié)方差矩陣的計(jì)算誤差。

3）本文提出協(xié)方差局地化方法，可以一定程度上克服集合數(shù)過(guò)少導(dǎo)致的遠(yuǎn)距離偽相關(guān)問(wèn)題，從而在保證計(jì)算效率的同時(shí)提升計(jì)算的精度。實(shí)例證明，改進(jìn)的算法在相同的運(yùn)行時(shí)間內(nèi)，滲透率反演精度提高了28%，數(shù)據(jù)擬合速度提高了16%，能夠清晰地刻畫(huà)出大孔道，對(duì)于優(yōu)勢(shì)通道識(shí)別、精細(xì)油藏描述等具有重要的意義。

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（編輯 孫薇）

Application of covariance localization method in automatic history matching

ZHANG Liming1,ZHOU Jianren1,ZHANG Kai1,DONG Zhenhua2,ZHU Menggao3
(1.China University of Petroleum,Qingdao 266580,China;2.Institute of Acoustics,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190, China;3.Binnan Oil Production Plant,Shengli Oilfield Company,SINOPEC,Binzhou 256600,China)

Ensemble Kalman Filter(EnKF)is one kind of intelligent algorithms and it is widely used in the field of automatic history matching.In this paper,a local covariance method is proposed to solve the problem of filtering divergence in the process of the algorithm application.This method firstly calculates a reliable critical radius which is based on the relevant radius of the prior geological models and the relevant radius of the observation data.Then the local correlation functions are added to the assimilation system in the horizontal and vertical directions on the reference of the critical radius.These local correlation functions could filter out the relevant noise of the remote observation data and improve the calculation accuracy of the covariance matrix.The improved algorithm is then programmed and examined by the theoretical examples.By comparing the inversed permeability field with the real permeability field,it indicates that the improved algorithm can increase the permeability inversion precision by 28%and shorten the running time by 16%.The inversed permeability field can clearly distinguish the large pores,which is significant for the predominant pathway identification and fine reservoir description.

history matching;EnKF;covariance;localization

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“基于嵌入式離散裂縫模擬的裂縫性油藏縫網(wǎng)分布反演”（61573018）；國(guó)家科技重大專項(xiàng)課題“海上高含水期油藏大井距井網(wǎng)加密矢量?jī)?yōu)化與注采結(jié)構(gòu)調(diào)整技術(shù)”（2016ZX05025001-006）；山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目“基于嵌入式離散裂縫模擬的裂縫性油藏縫網(wǎng)分布反演”（ZR2015EL014）

TE319

：A

10.6056/dkyqt201701011

2016-06-23；改回日期：2016-11-19。

張黎明，女，1982年生，副教授，2009年博士畢業(yè)于中國(guó)石油大學(xué)（北京）油氣儲(chǔ)運(yùn)工程專業(yè)，主要從事油氣田開(kāi)發(fā)工程工作。E-mail：zhangliming@upc.edu.cn。

張凱，男，1980年生，教授，博士，主要從事油藏?cái)?shù)值模擬、油藏自動(dòng)歷史擬合研究工作。E-mail：reservoirs@163.com。

張黎明，周建人，張凱，等.協(xié)方差局地化方法在自動(dòng)歷史擬合中的應(yīng)用［J］.斷塊油氣田，2017，24（1）：46-50.

ZHANG Liming，ZHOU Jianren，ZHANG Kai，et al.Application of covariance localization method in automatic history matching［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2017，24（1）：46-50.