張海云 祝萬錢 秦宏亮 薛 松

1（中國科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 張江園區(qū) 上海 201204）

2（中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049）

高能勞厄單色器晶體壓彎性能的研究

張海云1,2祝萬錢1秦宏亮1薛 松1

1（中國科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 張江園區(qū) 上海 201204）

2（中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049）

上海光源二期工程擬建的超硬多功能線站將采用一臺(tái)弧矢聚焦高能勞厄單色器，晶體壓彎機(jī)構(gòu)是單色器的核心部件，晶體弧矢半徑與子午半徑的優(yōu)化對單色器的光通量和分辨率有很大影響。本文利用有限元軟件分析了影響勞厄晶體壓彎性能的主要因素——斜切晶體的各向異性以及晶體的長寬比。通過分析，確定了硅晶體切割邊為[011]方向和[0-11]方向，晶體的優(yōu)化尺寸為90 mm×40 mm×1 mm。硅晶體表面的弧矢和子午面形誤差（均方根）分別為3.02 μrad和1.25 μrad，滿足設(shè)計(jì)要求。

勞厄單色器，壓彎機(jī)構(gòu)，各向異性，長寬比，有限元分析

本文主要研究壓彎硅晶體的各向異性，以及硅晶體長寬比的選擇對單色器壓彎性能的影響，為單色器在上海同步輻射光源二期工程中的實(shí)際應(yīng)用提供參考。

1 單色器壓彎機(jī)構(gòu)簡介

高能勞厄單色器由前后兩套壓彎機(jī)構(gòu)組成，兩者都需要?jiǎng)討B(tài)壓彎，以滿足在整個(gè)能量范圍內(nèi)水平方向光斑可以聚焦到500 μm。根據(jù)超硬多功能線站的設(shè)計(jì)要求，完成了單色器壓彎機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，圖1為單色器葉簧壓彎機(jī)構(gòu)的簡圖。

圖1 葉簧壓彎機(jī)構(gòu)簡圖Fig.1 Simplified leaf spring bender.

單色器上的晶體通過兩端的無氧銅塊夾持固定，使用兩片高強(qiáng)度彈簧鋼片連接到兩個(gè)固定塊上。其中一端的固定塊固定，另一端的固定塊通過直線電機(jī)推動(dòng)，彈簧鋼的使用減少了壓彎機(jī)構(gòu)本身的應(yīng)變，同時(shí)也使晶體兩端獲得一對對稱彎矩。由于晶體尺寸較大，而且厚度很薄（通常在1 mm之內(nèi)），導(dǎo)致在壓彎過程中容易產(chǎn)生扭曲變形，為此專門設(shè)計(jì)了調(diào)整晶體扭曲的機(jī)構(gòu)。此外，還設(shè)計(jì)了晶體滾角調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)，用來調(diào)整晶體的姿態(tài)。

2 影響硅晶體壓彎性能的因素

2.1 單晶硅各向異性的影響

單晶硅是一種各向異性的晶體材料，因此其機(jī)械性能，如彈性模量E、泊松比ν和剪切模量G均取決于晶體取向[1]。

根據(jù)廣義胡克定律，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系可以表示為：

式中：ijklC是四階剛度張量；ijσ和klε分別為二階應(yīng)力與應(yīng)變張量。下標(biāo)ij表示坐標(biāo)軸，比如11σ表示X軸方向的應(yīng)力，σ12表示X軸與Y軸之間的切應(yīng)力。為了便于書寫，將式(1)用矩陣符號(hào)表示為：

式中：σ和ε分別表示6×1的應(yīng)力與應(yīng)變向量；C為6×6的對稱剛度系數(shù)矩陣[2]。因單晶硅屬于立方晶系，為了矩陣符號(hào)使用的方便，利用其對稱性將4個(gè)下標(biāo)的表示壓縮用兩個(gè)下標(biāo)來表示11→1、22→2、33→3、32→4、31→5、21→6[3]。例如1133C可以表示為13C，32ε可以表示為4ε。

綜合考慮不同晶體以及不同晶面的搖擺曲線和反射率，并結(jié)合已有實(shí)際應(yīng)用案例，Si(100)晶體的(311)面為該單色器晶體的最佳選擇，非對稱角為64.76°，布拉格角為1°-4°。

對于Si(100)晶體參數(shù)，通常使用e1e2e3來表示其晶軸坐標(biāo)系，其中：e1=[100]為(100)面的法向量，另外兩個(gè)正交向量平行于晶面，分別為e2=[010]與e3=[001]，圖2為Si(100)面晶軸坐標(biāo)系。

如圖2所示，晶軸坐標(biāo)系中，剛度矩陣可以減少到只用三個(gè)獨(dú)立的彈性系數(shù)來表示，其表達(dá)式為：

對于Si(100)晶體，c11=165.7 GPa、c12=63.9 GPa、c44=79.6 GPa[4]。

圖2 Si(100)面的晶軸坐標(biāo)系Fig.2 Crystal-axis coordinate system for silicon crystal plane (100).

參考Zhang[5]和Kaajakari[6]提出的計(jì)算單晶硅力學(xué)性能參數(shù)的方法，只需將原坐標(biāo)系(e1,e2,e3)繞e1軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，通過MATLAB編寫的程序計(jì)算可以得到Si(100)面上任意方向的剛度矩陣。旋轉(zhuǎn)后的Si(100)晶軸坐標(biāo)系為(e1＇,e2＇,e3＇)，其中：e1＇=[100]、e2＇=[0 cosα sinα]、e3＇=[0 -sinα cosα]。

現(xiàn)將原坐標(biāo)系(e1,e2,e3)逆時(shí)針繞e1軸旋轉(zhuǎn)，從0°到90°每隔15°計(jì)算一次Si(100)晶體剛度矩陣，將計(jì)算得到的剛度矩陣輸入到ANSYS Workbench中的硅材料屬性中，模擬單晶硅的各向異性，即硅晶體不同切割方向?qū)w壓彎性能的影響。

對某尺寸Si(100)晶體進(jìn)行不同切割邊界條件下的壓彎模擬，當(dāng)晶體弧矢半徑為1.5 m時(shí)，得到距晶體中心7.5 mm處的子午半徑，如圖3所示。因?qū)ΨQ壓彎的關(guān)系，晶體中心左右壓彎半徑基本一致，這里取距晶體中心右側(cè)7.5 mm處數(shù)據(jù)分析，若無特殊說明，下文皆取該處數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

圖3 不同切割邊界下的子午半徑Fig.3 Meridional radius of different cutting boundaries.

在弧矢半徑相同的前提下，從圖3可以看出，坐標(biāo)系逆時(shí)針繞e1旋轉(zhuǎn)α=45°時(shí)，晶體子午半徑最大，約為39.57 m。并且，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°和60°時(shí)，晶體子午半徑關(guān)于45°對稱，約為19.88 m。同理，旋轉(zhuǎn)角為15°和75°、0°和90°時(shí)也有相同的現(xiàn)象，此時(shí)晶體子午半徑分別為11.46 m和9.87 m。

光源到單色器第一晶體的距離為97 m，按照羅蘭圓條件，晶體子午半徑應(yīng)該等于羅蘭圓直徑。鑒于實(shí)際情況子午半徑與羅蘭圓直徑有偏差，通過理論計(jì)算，在弧矢半徑為1.78 m時(shí)，距晶體表面中心7.5mm處的子午半徑為50 m左右，單色器工作在能量為100 keV處，此為單色器常用工作狀態(tài)。

為了滿足單色器的實(shí)際工作要求，希望在一定的弧矢半徑下獲得盡可能大的子午半徑。當(dāng)α=45°時(shí)符合該要求，對應(yīng)的晶向?yàn)閇011]方向，將此方向作為晶體長度切割邊方向，與其垂直的[0-11]方向?yàn)榫w寬度切割邊方向，晶體繞[0-11]方向進(jìn)行弧矢壓彎。至此，壓彎晶體的兩個(gè)切割邊界已經(jīng)確定，硅晶體切割邊界如圖4所示。

圖4 硅晶體切割邊界Fig.4 Cutting boundaries of silicon crystal.

2.2 硅晶體長寬比的影響

硅晶體的長寬比是高能勞厄單色器設(shè)計(jì)時(shí)的另一個(gè)重要參數(shù)，決定了在給定晶向以及晶體厚度的情況下弧矢半徑和子午半徑的關(guān)系[7]。這里的晶體長寬比是指晶體的有效長度，即去除被夾持晶體后的長度(l)與晶體寬度(w)的比值，晶體長度方向單邊夾持為10 mm。

圖5顯示了長度沿[011]方向、寬度沿[0-11]方向、厚度為1 mm的Si(100)晶體在不同長寬比下的弧矢方向與子午方向的曲率，三組晶體的有效尺寸l×w分別為70 mm×35 mm、70 mm×40 mm、70mm×48 mm。

圖5 不同長寬比弧矢彎曲曲率(1/|Rs|)與子午彎曲曲率(1/Rm)Fig.5 The sagittal bending curvature and the meridional bending curvature of different aspect ratios.

使用ANSYS Workbench進(jìn)行模擬仿真時(shí)需要選擇是否打開大變形模式，依據(jù)Krisch的研究成果[8]，當(dāng)晶體的最大變形量大于晶體厚度時(shí)，采用大變形模式，反之則采用小變形模式。這里的晶體厚度為1 mm，有效長度l=70 mm，半徑為1000 mm，此半徑為設(shè)計(jì)所能達(dá)到的最小壓彎半徑，通過幾何關(guān)系計(jì)算得出晶體最大變形量為0.6123 mm，小于晶體厚度，故采用小變形模式進(jìn)行有限元分析[9]。

從圖5中可以明顯看出，不同的晶體長寬比對應(yīng)著不同的曲率。根據(jù)單色器的設(shè)計(jì)要求，晶體的弧矢半徑在2.96-1.48m (1/|Rs|=0.3378-0.6757m-1)之間動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)，且保證在整個(gè)能量范圍內(nèi)單色器的能量分辨率均可以達(dá)到約10-3量級(jí)。在光子能量為100keV時(shí)，晶體弧矢半徑為1.78 m，子午半徑約為50 m (1/Rm=0.02 m-1)時(shí)，滿足設(shè)計(jì)要求。從圖5中可以看出，點(diǎn)線l×w=70 mm×40 mm的晶體比較合適，且在整個(gè)工作范圍內(nèi)與雙點(diǎn)劃線代表的理論計(jì)算值可以較好地吻合。

3 晶體壓彎半徑及面型分析結(jié)果

通過研究硅晶體的各向異性以及硅晶體長寬比這兩個(gè)影響晶體壓彎性能的主要因素，確定了被壓彎硅晶體的切割邊界以及硅晶體的尺寸。最終選擇了Si(100)晶體的[011]和[0-11]方向分別為長度和寬度的切割邊界，晶體尺寸為90mm×40mm×1mm，有效尺寸為l×w=70 mm×40 mm。

入射到晶體表面上的光斑大小為30mm×6mm，故在水平方向選取30 mm、垂直方向選取6 mm分別計(jì)算晶體壓彎后的弧矢半徑與子午半徑，如圖6所示。當(dāng)弧矢半徑為1.78 m時(shí)，距晶體中心7.5 mm處的子午半徑約為50 m，符合理論設(shè)計(jì)要求。

圖6 弧矢(a)和子午(b)半徑Fig.6 Sagittal (a) and meridional (b) radius.

晶體弧矢方向和子午方向的面型誤差也是單色器壓彎機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)的重要技術(shù)指標(biāo)，通常使用斜率誤差的大小來表征面型誤差。對弧矢半徑和子午半徑進(jìn)行斜率誤差的分析，分析結(jié)果如圖7所示，其中圖7(a)為弧矢方向的斜率誤差，均方根值為3.02μrad，圖7(b)為子午方向的斜率誤差，均方根值為1.25 μrad，均小于理論設(shè)計(jì)時(shí)所提弧矢和子午斜率誤差分別小于6 μrad和10 μrad的技術(shù)指標(biāo)，且有一定的冗余，所以該單色器晶體面型誤差符合設(shè)計(jì)要求。

圖7 弧矢(a)和子午(b)斜率誤差Fig.7 Slope error of sagittal (a) and meridional (b).

4 結(jié)語

應(yīng)用ANSYS Workbench軟件對單色器壓彎機(jī)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，研究了硅晶體各項(xiàng)異性以及硅晶體長寬比對單色器晶體壓彎性能的影響。結(jié)果表明，當(dāng)Si(100)晶體長度方向沿[011]，寬度方向沿[0-11]，且晶體尺寸為90 mm×40 mm×1 mm，其中有效長度、寬度為l×w=70 mm×40 mm時(shí)，晶體的弧矢半徑與子午半徑符合理論設(shè)計(jì)要求，而且其面型誤差也符合設(shè)計(jì)要求。

1 Zhang L, Baker R, Barrett R, et al. Mirror profile optimization for nano-focusing KB mirror[C]. American Institute of Physics Conference Proceedings, Melbourne, Australia, 2010: 801-804. DOI: 10.1063/1.3463335.

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3 Wortman J J, Evans R A. Young’s modulus, shear modulus, and poisson’s ratio in silicon and germanium[J]. Journal of Applied Physics, 1965, 36(1): 153-156. DOI: 10.1063/1.1713863.

4 Zhang L, Barrett R, Cloetens P, et al. Anisotropic elasticity of silicon and its application to the modelling of X-ray optics[J]. Journal of Synchrotron Radiation, 2001, 21(3): 507-517. DOI: 10.1107/S1600577514004962.

5 Zhang L. Anisotropy and crystal orientation of silicon-application to the modeling of a bent mirror[C]. American Institute of Physics Conference Proceedings, Melbourne, Australia, 2010: 797-800. DOI: 10.1063/ 1.3463333.

6 Kaajakari V. Silicon as an anisotropic mechanical material - a tutorial[EB/OL]. 2003-4-2[2016-7-20]. http://kaajakari. net/～ville/research/tutorials/elasticity_tutorial.pdf.

7 Shi X B, Ghose S, Zhong Z, et al. Surface curvatures and diffraction profiles of sagittaly bent Laue crystals[J]. Journal of Applied Crystallography, 2011, 44(4): 665-671. DOI: 10.1107/S0021889811018711.

8 Krisch M. Study of dynamically bent crystals for X-ray focusing optics[J]. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, 1991, 305(1): 378-381. DOI: 10.1016/ 0168-9002(91)90536-Y.

9 余盛輝, 薛松, 祝萬錢, 等. 弧矢壓彎晶面扭曲問題研究[J]. 核技術(shù), 2013, 36(7): 070101. DOI: 10.11889/j. 0253-3219.2013.hjs.36.070101.

YU Shenghui, XUE Song, ZHU Wanqian, et al. Study on twist problem of sagittally bent crystal[J]. Nuclear Techniques, 2013, 36(7): 070101. DOI: 10.11889/j. 0253-3219.2013.hjs.36.070101.

Study on crystal bending performance of high energy Laue monochromator

ZHANG Haiyun1,2ZHU Wanqian1QIN Hongliang1XUE Song1
1(Shanghai Institute of Applied Physics, Chinese Academy of Sciences, Zhangjiang Campus, Shanghai 201204, China) 2(University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Background:A water-cooled high energy double Laue crystal monochromator (DLM) will be employed on ultra-hard applications beamline to be built in phase II project at Shanghai Synchrotron Radiation Facility (SSRF). Its crystal bending performance is very important for satisfying design requirements. Purpose: This study aims to find appropriate coupled meridional and sagittal bending of the bender, to obtain optimal the monochromatic beam flux and energy resolution. Methods: The rigidity matrix of the crystal was calculated by using MATLAB. Two main factors, anisotropic elasticity of the asymmetric-cut crystal and aspect ratio, are considered to optimize the crystal bendings by finite element analysis (FEA) using ANSYS Workbench. Results amp; Conclusion: Analysis results show the cutting edge of crystal length and width goes along the [011] and [0-11] direction, respectively. The optimized crystal geometry is 90 mm×40 mm×1 mm. Furthermore, the meridional and sagittal slope errors of the crystal are 3.02 μrad and 1.25 μrad, respectively, which meet the requirements well.

Laue crystal monochromator, Bender, Anisotropy, Aspect ratio, FEA

上海同步輻射光源二期工程中的超硬多功能線站將采用超導(dǎo)扭擺器作為光源，水平發(fā)散角大，約為6 mrad，能量高，要求能量在60-120 keV可調(diào)，且光斑可以聚焦。能夠滿足這些要求的最有效途徑是采用高能勞厄弧矢聚焦雙晶單色器。該單色器在距離光源點(diǎn)約100 m處可有效收集水平發(fā)散角為0.3mrad的光。單色器采用非對稱切割晶體，特點(diǎn)是對高能X光單色化的同時(shí)可在水平方向進(jìn)行聚焦，提高樣品處的光通量密度。單色器的壓彎機(jī)構(gòu)采用葉簧壓彎方式，該機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)是通過一個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)簧片實(shí)現(xiàn)壓彎，另一個(gè)電機(jī)控制扭曲。

ZHANG Haiyun, male, born in 1990, graduated from Shanghai Second Polytechnic University in 2014, master student, focusing on precision machinery

XUE Song, E-mail: xuesong@sinap.ac.cn

TL503.4

10.11889/j.0253-3219.2017.hjs.40.010101

國家重大科學(xué)儀器設(shè)備開發(fā)專項(xiàng)(No.Y319071061)、中國科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所青年學(xué)者發(fā)展協(xié)作組(No.Y329051061)資助

張海云，男，1990年出生，2014年畢業(yè)于上海第二工業(yè)大學(xué)，現(xiàn)為碩士研究生，從事精密機(jī)械方向研究

薛松，E-mail: xuesong@sinap.ac.cn

2016-09-29，

2016-11-13

Supported by National Major Scientific Instruments and Equipment Development Projects (No.Y319071061), Young Scholars Development Cooperation

Group of Shanghai Institute of Applied Physics, Chinese Academy of Sciences (No.Y329051061)

Received date: 2016-09-29, accepted date: 2016-11-13