鄭恩來(lái) 張 航 朱 躍 康 敏

(南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院， 南京 210031)

含間隙超精密壓力機(jī)柔性多連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模與仿真

鄭恩來(lái) 張 航 朱 躍 康 敏

(南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院， 南京 210031)

建立柔性多連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型對(duì)分析超精密壓力機(jī)下死點(diǎn)動(dòng)態(tài)精度具有極其重要的作用。傳統(tǒng)的超精密壓力機(jī)多連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型一直忽略旋轉(zhuǎn)副和球面副間隙以及曲軸和連桿柔性的影響，從而導(dǎo)致分析精度較低。為更準(zhǔn)確地分析其動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，建立了一種考慮旋轉(zhuǎn)副和球面副間隙及曲軸和連桿柔性影響的改進(jìn)柔性多連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。仿真結(jié)果表明，旋轉(zhuǎn)副和球面副間隙的存在對(duì)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性有很大影響；曲軸中心和球鉸球心的運(yùn)動(dòng)特征主要表現(xiàn)為2個(gè)階段：自由運(yùn)動(dòng)和沖擊運(yùn)動(dòng)。此外，研究了間隙和曲軸輸入轉(zhuǎn)速對(duì)多連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的影響,得出了隨著間隙尺寸的增加，滑塊下死點(diǎn)位置上移，滑塊的速度和加速度峰值先減小后增加；隨著曲軸轉(zhuǎn)速的增加，滑塊下死點(diǎn)位置和最大偏差值也逐漸增大，滑塊的速度和加速度顯著增加。

壓力機(jī)； 多連桿機(jī)構(gòu)； 間隙； 旋轉(zhuǎn)副； 球面副； 動(dòng)力學(xué)模型

引言

作為高效機(jī)床和關(guān)鍵工業(yè)設(shè)備之一，多連桿超精密壓力機(jī)能夠制造出接近最終形狀的金屬零件，并符合綠色生產(chǎn)的要求。由于間隙的存在，轉(zhuǎn)動(dòng)副間的沖擊頻率隨著轉(zhuǎn)速的增加而急劇增加，從而降低了傳輸?shù)姆€(wěn)定性，導(dǎo)致工作精度較低。為了提高多連桿機(jī)構(gòu)的性能，研究間隙對(duì)多連桿機(jī)構(gòu)性能的影響至關(guān)重要。

多連桿機(jī)構(gòu)的主要特征是由于存在多個(gè)旋轉(zhuǎn)副和球面副間隙以及復(fù)雜的機(jī)械結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致整個(gè)多連桿機(jī)構(gòu)表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線(xiàn)性。因此，建立含間隙多連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型并分析其動(dòng)態(tài)性能具有一定難度。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)含間隙多體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究，取得了一定的研究成果[1-9]。目前，對(duì)含間隙柔性多連桿機(jī)構(gòu)的超精密壓力機(jī)的研究存在許多不足。傳統(tǒng)多連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型忽略了連接副間隙和構(gòu)件柔性的影響，從而導(dǎo)致精度降低。本文考慮轉(zhuǎn)動(dòng)副和球面副間隙及曲軸和連桿柔性的影響建立多連桿傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，研究含間隙柔性多連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。

1 含間隙多連桿機(jī)構(gòu)的物理描述

圖1描述了多連桿機(jī)構(gòu)壓力機(jī)的工作原理和結(jié)構(gòu)。來(lái)自發(fā)動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)和能量通過(guò)傳動(dòng)裝置傳遞給主滑塊，該滑塊機(jī)構(gòu)能將金屬零件加工至接近零件最終的形狀，帶傳動(dòng)將發(fā)動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)通過(guò)小帶輪傳遞到大帶輪，然后通過(guò)大帶輪將運(yùn)動(dòng)傳遞到曲軸，連桿的上端連接曲軸，下端連接滑塊，這樣曲軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)榛瑝K的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。為了平衡慣性力，機(jī)構(gòu)附加平衡滑塊。為了滿(mǎn)足實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程的需要，滑塊需要能夠交替地運(yùn)動(dòng)或靜止，因此壓力機(jī)必須有一個(gè)制動(dòng)器和離合器。這種壓力機(jī)通常需要一個(gè)與電機(jī)配套的飛輪來(lái)保證施加的壓力要求以及保證壓力機(jī)的效率。

圖2 轉(zhuǎn)動(dòng)副和球面副的一般結(jié)構(gòu) Fig.2 Generic configurations of revolute and spherical joints

多連桿機(jī)構(gòu)由曲軸、主副連桿、主滑塊、平衡滑塊和固定在地面的基座組成。假設(shè)在曲柄與副連桿、平衡滑塊與副連桿間的鉸鏈?zhǔn)抢硐氲模S與主連桿、主連桿與主滑塊之間的鉸鏈存在間隙。軸承和軸頸之間的間隙差決定了徑向間隙的大小。與理想的旋轉(zhuǎn)副相比，含間隙的旋轉(zhuǎn)副會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生2個(gè)額外的自由度。表明軸頸能夠在水平和垂直方向相對(duì)運(yùn)動(dòng)到軸承的中心。重力加速度作用在垂直方向，多連桿機(jī)構(gòu)在垂直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

圖1 多連桿機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Configuration of multi-link mechanism1.曲軸 2.主連桿 3.下端連接滑塊 4.支桿 5.連桿 6.主滑塊 7.連桿 8.肘桿 9.擺桿 10.副連桿 11.平衡滑塊

圖2a所示為旋轉(zhuǎn)副的一般結(jié)構(gòu)，當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，含間隙的旋轉(zhuǎn)副動(dòng)力學(xué)特征表現(xiàn)為軸承和軸頸之間傾斜的偏心沖擊，當(dāng)軸頸和軸承之間存在接觸時(shí)，沖擊力將作用在轉(zhuǎn)動(dòng)副上。當(dāng)不接觸時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)副不會(huì)產(chǎn)生約束力和沖擊力。機(jī)械結(jié)構(gòu)間的沖擊力包括法向力和切向力[10-11]，因此，一旦接觸出現(xiàn)后，就需要運(yùn)用特定的接觸規(guī)律，并且需要考慮由此而導(dǎo)致的沖擊力作為廣義力對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響[12]。

圖2b所示為球在球碗里運(yùn)動(dòng)的可能情況，分別稱(chēng)這些情況為永久接觸或跟隨狀態(tài)、自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和沖擊狀態(tài)。在永久接觸或跟隨狀態(tài)里，球與球碗是永久接觸的，并且彼此間存在著相對(duì)的滾動(dòng)或滑動(dòng)，這種狀態(tài)結(jié)束于球和基座彼此分離以及球心處于自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中的時(shí)候。自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中，球在球碗的邊界內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，這時(shí)球與球碗不接觸，因此鉸鏈無(wú)反作用力。在自由運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)出現(xiàn)了沖擊模型，在這種狀態(tài)中存在沖擊力，在2個(gè)沖擊的物體接觸時(shí)產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)突然間斷，作為一個(gè)重要的動(dòng)量轉(zhuǎn)換。在接觸狀態(tài)結(jié)束時(shí)，球會(huì)進(jìn)入自由運(yùn)動(dòng)或者跟隨狀態(tài)，在含間隙球面副的仿真中，如果球碗中心的路徑在每個(gè)時(shí)刻都被劃分好，球碗不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就能簡(jiǎn)單地觀察出來(lái)。本文中不考慮球和球碗間的靜摩擦力。

2 含間隙鉸鏈模型

2.1 含間隙旋轉(zhuǎn)副模型

在旋轉(zhuǎn)副的經(jīng)典分析中，理想旋轉(zhuǎn)副的軸頸和軸承的中心是一致的。間隙使得2個(gè)中心分離，實(shí)際上，為了使軸頸和軸承之間能夠相對(duì)運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸承之間一定存在間隙，因此，與理想的鉸鏈相比，含間隙的鉸鏈模型系統(tǒng)會(huì)增加2個(gè)額外的自由度。

很明顯含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副在系統(tǒng)上沒(méi)有施加任何動(dòng)態(tài)約束，但軸頸的運(yùn)動(dòng)軌跡被限制在軸承邊界內(nèi)。在含間隙軸承動(dòng)力學(xué)分析過(guò)程中能夠觀察到軸頸和軸承之間3種不同運(yùn)動(dòng)形式：①自由運(yùn)動(dòng)模式，軸頸在軸承邊界內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，此時(shí)軸頸和軸承形成的鉸鏈不接觸。②沖擊模式，這種模式出現(xiàn)在自由運(yùn)動(dòng)模式結(jié)束時(shí)，產(chǎn)生作用于系統(tǒng)的沖擊力隨后離開(kāi)。③永久接觸或跟隨模式，盡管軸頸和軸承的相對(duì)侵入深度隨著軸頸沿圓周運(yùn)動(dòng)而不同，但是接觸總是存在[13]。

如果沒(méi)有潤(rùn)滑，軸頸能夠在軸承里自由運(yùn)動(dòng)直到兩者之間產(chǎn)生接觸，如圖3所示，當(dāng)軸頸沖擊軸承時(shí)，會(huì)產(chǎn)生法向力和切向力并且導(dǎo)致軸頸和軸承之間的動(dòng)態(tài)特性。這些力構(gòu)成了一個(gè)復(fù)雜的體系，它們之間對(duì)應(yīng)的沖量貫穿于整個(gè)系統(tǒng)，并且發(fā)生轉(zhuǎn)移。這種具有法向和切向相對(duì)速度的沖擊力可以視為是在兩個(gè)物體之間的偏心斜碰撞。法向速度決定構(gòu)件的接近或分離，切向速度決定構(gòu)件是否存在滑動(dòng)或保持相對(duì)靜止。

圖3 含間隙的轉(zhuǎn)動(dòng)副示意圖Fig.3 Sketches of a revolute joint with clearance

對(duì)于系統(tǒng)實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，軸頸和軸承之間的相對(duì)侵入深度為

δ=e1-c>0

(1)

其中

式中e1——軸承和軸頸中心之間偏心距矢量的模c——徑向間隙ex、ey——軸頸在軸承中X、Y方向的位置分量，相對(duì)位置坐標(biāo)由軸承和軸頸中心在全局位置矢量坐標(biāo)中分別得出

軸頸相對(duì)于軸承運(yùn)動(dòng)直到幾何不等式(1)成立，然后接觸模式開(kāi)始。當(dāng)δ=0，軸承和軸頸相互接觸。考慮數(shù)值結(jié)果不精確帶來(lái)的誤差，引入了公差，以減少數(shù)值舍入的積累誤差。本文中，當(dāng)軸承和軸頸之間的侵入深度達(dá)到1.0×10-8mm以上，就認(rèn)為軸承和軸頸開(kāi)始接觸。

圖3所示為含間隙滾動(dòng)軸承中2個(gè)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，Qi和Qj絕對(duì)坐標(biāo)表示為

(2)

其中

(3)

式中n——接觸平面單位法向量

接觸點(diǎn)Qi和Qj的速度由式(2)對(duì)時(shí)間微分求得，即

(4)

相對(duì)接觸速度為

(5)

相對(duì)接觸速度被分解為法向和切向2個(gè)分量，以此來(lái)確定法向和切向2個(gè)方向的速度。

不加潤(rùn)滑的軸頸和軸承之間的動(dòng)態(tài)特性被劃分為2種情況：①軸頸和軸承不接觸，相互之間也就沒(méi)有接觸作用力。②軸頸和軸承之間的接觸出現(xiàn)接觸沖擊力時(shí)，用非線(xiàn)性的赫茲公式(法向力)和庫(kù)倫摩擦定律(切向力)來(lái)建模，這2種情況可以表示為

(6)

2.2 含間隙球面副模型

連接2部分的理想球面副可以分別簡(jiǎn)化為一個(gè)點(diǎn)，而含間隙的球面副為兩點(diǎn)分離，每部分可以相對(duì)另一部分自由移動(dòng)。含間隙的球面副沒(méi)有像傳統(tǒng)的理想球面副一樣的自由度約束。含間隙的球面副中,由于連接部分間的碰撞導(dǎo)致鉸鏈的動(dòng)力學(xué)特性服從接觸-沖擊力，可以將其視為力鉸鏈。

如圖4所示，i和j兩部分由含間隙球面副連接，j的球體部分嵌入在j的球碗內(nèi)部，球碗與球體的直徑差即為間隙的大小。i和j兩部分的質(zhì)心分別為Oi和Oj。物體坐標(biāo)系ξηζ固連在它們的質(zhì)心上，XYZ代表絕對(duì)坐標(biāo)系。點(diǎn)Pi表示球碗中心，Pj表示球體的中心。連接Pi、Pj的向量構(gòu)成偏心矢量e。實(shí)際上，偏心率遠(yuǎn)小于球面副中球與球碗的半徑。

偏心矢量e如圖4所示，連接球與球碗的中心，可以表示為[3]

(7)

點(diǎn)P的絕對(duì)坐標(biāo)表示為

(8)

式中Ak——變換矩陣s′kP——點(diǎn)P位置矢量

偏心向量的大小可以計(jì)算為

(9)

偏心率向量的大小寫(xiě)成絕對(duì)坐標(biāo)形式為

(10)

徑向偏心率的變化速率為

(11)

圖4 含間隙球面副圖Fig.4 Spherical joint with clearance

圖5 球碗與球體的相對(duì)侵入Fig.5 Penetration between socket and ball

沿著偏心方向的單位向量n表示為

(12)

如圖5所示，球和球碗相互接觸，存在一個(gè)確定的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。i和j部分上的接觸或控制點(diǎn)分別為Qi和Qj，接觸點(diǎn)的絕對(duì)坐標(biāo)表示為

(13)

式中Ri、Rj——球與球碗的半徑

根據(jù)式(13)可以得到在絕對(duì)坐標(biāo)坐標(biāo)系接觸點(diǎn)Qi和Qj的速度

(14)

接觸點(diǎn)處構(gòu)件的相對(duì)速度分解為法向和切向速度vN和vT。相對(duì)法向速度決定構(gòu)件的接近或分離，相對(duì)切向速度決定構(gòu)件是否存在滑動(dòng)或保持相對(duì)靜止。相對(duì)速度標(biāo)量，可以將沖擊速度投影到接觸表面的法向和切向獲得

(15)

其中,t表示接觸表面的切線(xiàn)方向，并且假設(shè)在開(kāi)放區(qū)域球與球碗不接觸。

當(dāng)偏心向量的大小小于徑向間隙時(shí)，球和球碗不接觸，他們可以自由地相對(duì)移動(dòng)。當(dāng)偏心向量的大小大于徑向間隙時(shí)，球與球碗接觸，發(fā)生相對(duì)侵入。為了計(jì)算垂直于接觸面方向的接觸力LANKARANI等[10]提出了連續(xù)接觸力模型。因此，接觸力的模塊或鉸鏈反作用力可表示為

(16)

接觸點(diǎn)處的法向和切向接觸力矢量表示為fN和fT。因?yàn)檫@些力不通過(guò)構(gòu)件i和j的質(zhì)心，所以每一時(shí)刻的力都需要計(jì)算。另外，可以將法向和切向的接觸廣義力投影到X、Y、Z方向。如圖6所示的作用于構(gòu)件i質(zhì)心上的等效力和力矩表示為

(17)

式中向量上的波浪號(hào)(～)表示用構(gòu)成向量生成的斜對(duì)稱(chēng)的矩陣。作用于構(gòu)件上的力和力矩寫(xiě)成

(18)

圖6 球碗與球體的接觸力Fig.6 Contact forces defined at contact points between socket and ball

2.3 法向接觸力模型

基于沖擊函數(shù)的接觸力模型，在ADAMS中建立法向接觸力模型。接觸力可通過(guò)ADAMS函數(shù)庫(kù)計(jì)算。接觸力模型是一個(gè)彈簧阻尼器模型。如果彈簧阻尼是線(xiàn)性的，這種方法被稱(chēng)為Kelvin Voigt模型[14]；如果是非線(xiàn)性的，模型要根據(jù)赫茲接觸定律建立[15]。在ADAMS中，軸頸和軸承之間的接觸力模型為非線(xiàn)性彈簧阻尼器。

(19)

式中δ——接觸點(diǎn)的法向侵入量cmax——法向最大阻尼系數(shù)dmax——法向最大侵入量

n——力與變形間的指數(shù)

法向接觸力可以表示為

(20)

其中C(δ)=step(δ,0,0,dmax,cmax)=

(21)

式中K——法向剛度C(δ)——瞬時(shí)法向阻尼系數(shù)，是一個(gè)關(guān)于侵入的三階函數(shù)，如圖7所示

認(rèn)為阻尼系數(shù)約是剛度系數(shù)K的百分之一，最大阻尼系數(shù)cmax為0.01。

圖7 階躍函數(shù)原理圖Fig.7 Schematic diagram of step function

基于赫茲模型，關(guān)節(jié)金屬表面的指數(shù)n應(yīng)取1.5，則剛度系數(shù)可以表示為

K=4ER1/2/3

(22)

其中

1/R=1/R1+1/R2

式中E1、E2——固體接觸的彈性模量μ1、μ2——泊松比R1、R2——固體接觸半徑

2.4 摩擦力模型

為描述低速情況下出現(xiàn)的粘滯和微滑現(xiàn)象，避免數(shù)值計(jì)算中速度方向變化時(shí)出現(xiàn)摩擦力突變，采用修正的Coulomb摩擦模型描述間隙處的切向摩擦力，可準(zhǔn)確地描述靜摩擦到動(dòng)摩擦過(guò)程中的摩擦力變化情況，體現(xiàn)了相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件之間的動(dòng)靜變化過(guò)程。摩擦因數(shù)與速度之間的關(guān)系如圖8所示。

圖8 修正摩擦因數(shù)和相對(duì)速度的關(guān)系Fig.8 Relationship between corrected friction coefficient and relative speed

其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(23)

式中v——碰撞時(shí)的相對(duì)滑移速度μd、μs——?jiǎng)幽Σ梁挽o摩擦因數(shù)，其數(shù)值與接觸物體的材料屬性、表面粗糙度以及潤(rùn)滑條件等因素有關(guān)，可以通過(guò)查閱相關(guān)手冊(cè)獲得

vs——?jiǎng)屿o摩擦的臨界速度

vd——最大動(dòng)摩擦因數(shù)的對(duì)應(yīng)速度

根據(jù)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)情況給出相應(yīng)的約定準(zhǔn)則為v=48 mm/s、vd=0.1 mm/s、vs=0.01 mm/s。

3 含間隙多連桿機(jī)構(gòu)模型的建立

3.1 傳統(tǒng)無(wú)間隙剛性多連桿機(jī)構(gòu)

如圖9a所示，在ADMAS軟件中建立超精密壓力機(jī)系統(tǒng)傳統(tǒng)的無(wú)間隙剛性多連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型[16-17]，假設(shè)模型中的旋轉(zhuǎn)副和球面副都是理想的。

圖10 柔性曲軸的5種典型固有模態(tài)Fig.10 Five typical eigenmodes of flexible crank shaft

圖9 多連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型Fig.9 Models of multi-link mechanism

3.2 含間隙柔性多連桿機(jī)構(gòu)

運(yùn)用ANSYS軟件建立曲軸和連桿的有限元模型，可獲得曲軸和連桿的固有頻率和模態(tài)。表1中列舉了曲軸、連桿的材料屬性。提取曲軸與連桿的前20階固有頻率相對(duì)應(yīng)的模態(tài)，曲軸的5種典型固有頻率分別是538.192、2 221.68、2 334.63、5 080.91、7 633.93 Hz，連桿的固有頻率分別為5 657.49、8 024.39、8 258.71、10 250.3、12 973.3 Hz，對(duì)應(yīng)的模態(tài)如圖10、11所示。將柔性曲軸和連桿導(dǎo)入到ADMAS中與其他剛性組件連接，建立含間隙柔性多連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型如圖9b所示。模型中，將曲軸與連桿之間的旋轉(zhuǎn)副、連桿與滑塊之間的球面副視為有間隙的。在ADMAS中用接觸模塊來(lái)模擬轉(zhuǎn)動(dòng)副和球面副的間隙。根據(jù)制造商提供的數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)動(dòng)副和球面副的徑向間隙為0.1 mm，阻尼比為2%。

表1 柔性組件的材料屬性
Tab.1 Material properties of flexible components

彈性構(gòu)件彈性模量/Pa泊松比密度/(kg·m-3)曲軸2.10×10110.3007850連桿1.69×10110.2867200

4 結(jié)果分析

如圖9所示為超精密壓力機(jī)的多連桿機(jī)構(gòu)，其仿真參數(shù)如表2所示。運(yùn)用ADMAS軟件求解運(yùn)動(dòng)微分方程，ADAMS/Solver包括4個(gè)剛性積分器和1個(gè)非剛性積分器，集預(yù)測(cè)器和校正器于一體。剛性積分器由CONSTANT_BDF、RKF45、GSTIFF和WSTIFF組成。選擇齒輪剛性積分器(GSTIFF)，能夠得到較好的結(jié)果。

為驗(yàn)證含間隙模型的正確性，通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)測(cè)量壓力機(jī)下死點(diǎn)處滑塊運(yùn)動(dòng)規(guī)律。測(cè)試平臺(tái)主要由L型被測(cè)導(dǎo)體、渦流傳感器、Selber GX型精度測(cè)試儀組成，如圖12所示。此外還有信號(hào)線(xiàn)、支架、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器等附件。實(shí)驗(yàn)時(shí)，L型被測(cè)導(dǎo)體固定在滑塊上，渦流傳感器通過(guò)支架固定在壓力機(jī)工作臺(tái)上。壓力機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，被測(cè)導(dǎo)體隨滑塊上下運(yùn)動(dòng)，傳感器產(chǎn)生不同大小和方向的渦流信號(hào)，通過(guò)數(shù)據(jù)線(xiàn)將采集到的信號(hào)傳給測(cè)試儀，再經(jīng)過(guò)測(cè)試儀處理后的數(shù)據(jù)可實(shí)時(shí)顯示并儲(chǔ)存。

在仿真過(guò)程中公差為0.001，步長(zhǎng)為0.001 s。牛頓法求解非線(xiàn)性方程組允許的最大迭代次數(shù)為10，選擇積分方法(GSTIFF)并運(yùn)用積分公式。仿真目的在于研究旋轉(zhuǎn)副和球面副間隙以及曲軸和連桿柔性對(duì)多連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的影響。假設(shè)曲軸和連桿之間的旋轉(zhuǎn)副、連桿與滑塊之間球面副都是含有間隙的。仿真參數(shù)如表2所示。當(dāng)曲軸的輸入轉(zhuǎn)速為240 r/min時(shí)，將仿真參數(shù)分別應(yīng)用于剛性和柔性模型中，得到滑塊的位移、速度、加速度、旋轉(zhuǎn)副中心軌跡和球面副球心軌跡，如圖13～17所示。

圖11 柔性連桿的5種典型固有模態(tài)Fig.11 Five typical eigenmodes of flexible linkage

圖13表明，含轉(zhuǎn)動(dòng)副和球面副間隙的剛性多連桿機(jī)構(gòu)模型滑塊下死點(diǎn)位置是0.456 4 m，柔性多連桿機(jī)構(gòu)模型滑塊下死點(diǎn)位置是0.466 m，而傳統(tǒng)理想的多連桿機(jī)構(gòu)下死點(diǎn)位置是0.47 m，實(shí)驗(yàn)測(cè)量的多連桿機(jī)構(gòu)下死點(diǎn)位置是0.466 2 m，與理想的剛性情況相比，含轉(zhuǎn)動(dòng)副和球面副間隙剛性或者柔性多連桿機(jī)構(gòu)的滑塊下死點(diǎn)位置都急劇下降。圖14表明，在速度響應(yīng)過(guò)程中存在偶然的振蕩，并且剛性模型的振蕩頻率大于柔性模型的振蕩頻率。圖15表明，加速度響應(yīng)過(guò)程中存在強(qiáng)烈的振蕩，含轉(zhuǎn)動(dòng)副和球面副間隙的剛性多連桿機(jī)構(gòu)滑塊的加速度峰值為62.06 m/s2，柔性多連桿機(jī)構(gòu)模型滑塊的加速度峰值為59.47 m/s2。因此，曲軸和連桿的柔性對(duì)多連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性有很大影響，與傳統(tǒng)的剛性模型相比，本文提出的柔性模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更相符，驗(yàn)證了所提出模型的正確性。如圖16、17所示，旋轉(zhuǎn)副和球面副只有自由運(yùn)動(dòng)和沖擊2種狀態(tài)，沒(méi)有永久接觸狀態(tài)，以及曲軸和連桿柔性的影響，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)表現(xiàn)出強(qiáng)非線(xiàn)性。

表2 仿真參數(shù)
Tab.2 Simulation parameters

參數(shù)數(shù)值 參數(shù)數(shù)值接觸半徑R/m0.07曲柄長(zhǎng)度/m0.03彈性模量E/Pa2.1×1011主連桿長(zhǎng)度/m0.383靜摩擦因數(shù)μs0.01肘桿質(zhì)量/kg155.3動(dòng)摩擦因數(shù)μk0.01副連桿長(zhǎng)度/m0.275間隙/mm0.1肘桿長(zhǎng)度/m0.55法向最大阻尼系數(shù)cmax/(N·s·m-1)0.01連桿長(zhǎng)度/m0.164法向最大侵入量dmax/mm0.01支桿長(zhǎng)度/m0.24剛度σ0/(N·m-1)100000擺桿長(zhǎng)度/m0.23微觀阻尼σ1/(N·s·m-1)400曲柄質(zhì)量/kg217.6粘滯摩擦系數(shù)σ20主連桿質(zhì)量/kg184.5剛度系數(shù)Kn/(N·m-1)2.5545×1010主滑塊質(zhì)量/kg1347最大阻尼系數(shù)/(N·s·m-1)2.5545×108連桿質(zhì)量/kg15.5支桿質(zhì)量/kg24.13副連桿質(zhì)量/kg22.58擺桿質(zhì)量/kg22.72平衡滑塊質(zhì)量/kg1847.2

圖12 測(cè)試現(xiàn)場(chǎng)圖Fig.12 Physical picture of test platform

4.1 間隙的影響

在仿真過(guò)程中，曲軸1和連桿2之間的旋轉(zhuǎn)副、連桿8與滑塊9之間的球面副都是含有間隙的?；瑝K的位移、速度和加速度隨間隙的變化曲線(xiàn)如圖18～20所示。

由圖18可知，當(dāng)剛性多連桿機(jī)構(gòu)間隙與柔性機(jī)構(gòu)的一致時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)副和球面副間隙以及構(gòu)件的柔性對(duì)滑塊的位移無(wú)顯著的影響。隨著間隙的增加，滑塊的位置和位移的最大偏差相對(duì)于剛性理想情況的下死點(diǎn)位置有所提升。從圖19可以看出，當(dāng)間隙從0.05 mm增至0.20 mm，速度振蕩頻率變大，相應(yīng)的速度最大值從0.82 m/s先減小后增到1.15 m/s。相反，如圖20所示，滑塊的加速度受間隙影響顯著，滑塊加速度最大值從56.3 m/s2先減小后增加到104 m/s2。與其他文獻(xiàn)的結(jié)論間隙的增加對(duì)加速度的影響顯著劇烈有所不同[18-19]，原因可能是曲軸和連桿的彈性對(duì)多連桿機(jī)構(gòu)具有緩沖作用。

圖13 滑塊位移Fig.13 Displacements of slider

圖14 滑塊速度Fig.14 Velocities of slider

圖15 滑塊加速度Fig.15 Accelerations of slider

圖16 轉(zhuǎn)動(dòng)副中心軌跡Fig.16 Center paths of revolute joint

圖17 球面副球心軌跡Fig.17 Ball center paths of spherical joint

圖18 不同間隙滑塊的位移隨時(shí)間變化曲線(xiàn)Fig.18 Changing curves of displacement of slider with different clearance sizes

圖19 不同間隙滑塊的速度隨時(shí)間變化曲線(xiàn)Fig.19 Changing curves of velocity of slider with different clearance sizes

圖20 不同間隙滑塊的加速度隨時(shí)間變化曲線(xiàn)Fig.20 Changing curves of acceleration of slider with different clearance sizes

4.2 曲軸轉(zhuǎn)速的影響

與上一節(jié)相同，多連桿機(jī)構(gòu)模型中曲軸1與連桿2之間的旋轉(zhuǎn)副、連桿8與滑塊9之間的球面副是有間隙的，旋轉(zhuǎn)副和球面副的徑向間隙為0.10 mm。含間隙柔性多連桿機(jī)構(gòu)的滑塊位移、速度和加速度隨曲軸轉(zhuǎn)速變化曲線(xiàn)如圖21～23所示。

圖21 不同曲軸轉(zhuǎn)速下滑塊位移Fig.21 Displacements of slider at different crank shaft speeds

圖21表明，曲軸轉(zhuǎn)速對(duì)滑塊位移的影響并不明顯，與理想情況相比，含轉(zhuǎn)動(dòng)副和球面副間隙柔性多連桿機(jī)構(gòu)滑塊的下死點(diǎn)位置大幅下降。隨著曲軸轉(zhuǎn)速的增加，滑塊下死點(diǎn)位置和最大偏差也逐漸增大。

圖22 不同曲軸轉(zhuǎn)速下滑塊速度Fig.22 Velocities of slider at different crank shaft speeds

圖22表明，曲軸轉(zhuǎn)速?gòu)?00 r/min增至500 r/min過(guò)程中，速度的振蕩頻率變大，滑塊到達(dá)下死點(diǎn)時(shí)的速度從0.39 m/s增加到1.03 m/s。相反，曲軸轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)的加速度響應(yīng)非常顯著，如圖23c所示，滑塊加速度峰值從27.3 m/s2增加到445 m/s2，如圖23d所示，滑塊加速度峰值從50 m/s2增加到285 m/s2。

圖23 不同曲軸轉(zhuǎn)速下滑塊加速度Fig.23 Accelerations of slider at different crank shaft speeds

5 結(jié)束語(yǔ)

運(yùn)用ADAMS建立了一種考慮曲軸和連桿柔性以及曲軸與連桿之間的旋轉(zhuǎn)副、連桿與滑塊之間的球面副間隙影響的多連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，分別分析了含間隙剛性和柔性多連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。仿真結(jié)果表明：旋轉(zhuǎn)副和球面副間隙以及曲軸和連桿的柔性對(duì)多連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性有顯著的影響；球面副球心的運(yùn)動(dòng)特征主要表現(xiàn)為：自由運(yùn)動(dòng)和沖擊運(yùn)動(dòng)。旋轉(zhuǎn)副和球面副間隙以及曲軸和連桿柔性的影響導(dǎo)致機(jī)構(gòu)表現(xiàn)出強(qiáng)非線(xiàn)性。與剛性多連桿機(jī)構(gòu)相比，柔性多連桿機(jī)構(gòu)加速度峰值和振蕩頻率都有所降低，并且曲軸和連桿的彈性對(duì)多連桿機(jī)構(gòu)具有緩沖作用。此外，還研究了間隙和曲軸輸入轉(zhuǎn)速對(duì)多連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的影響規(guī)律。隨著間隙尺寸的增加，滑塊下死點(diǎn)位置上移，滑塊的速度和加速度峰值先減小后增加；隨著曲軸轉(zhuǎn)速的增加，滑塊下死點(diǎn)位置和最大偏差也逐漸增大，滑塊的速度和加速度顯著增加。

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Dynamic Modeling and Simulation of Flexible Multi-link Mechanism including Joints with Clearance for Ultra-precision Press

ZHENG Enlai ZHANG Hang ZHU Yue KANG Min

(CollegeofEngineering,NanjingAgriculturalUniversity,Nanjing210031,China)

It’s essential to establish a dynamic model of flexible multi-link mechanism with clearance for ultra-precision press to analyze its dynamic response. Traditionally, the rigid model of multi-link mechanism often neglects the effect of revolute and spherical clearance joints, and flexibility of crank shaft and linkage, which reduces the analysis precision. To investigate its dynamics more accurately, an improved dynamic model of flexible multi-link mechanism with clearance was established, which considered the effect of revolute and spherical clearance joints, and flexibility of crank shaft and linkage. It was demonstrated that the revolute and spherical clearance affected the dynamic response of the mechanism dramatically and the motion of the crank shaft center and ball center of spherical joint were mainly characterized by only two phases: free flight and impact motion. In addition, the influence of the clearance size and speed of crank shaft on the dynamic characteristics of the multi-link mechanism was also investigated. The results showed that with the increase of the clearance size, the position of the slider’s lower dead center was moved up simultaneously, the peak values of velocity and acceleration were decreased to a minimum and then increased with the increase of clearance size and speed. With the increase of crankshaft speed, the position of the slider’s lower dead center and the maximum deviation value were also increased gradually, and the values of velocity and acceleration were increased significantly.

press; multi-link mechanism; clearance; revolute joint; spherical joint; dynamic model

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.01.050

2016-05-31

2016-07-07

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51405238)、江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(BK20140728)和中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)青年項(xiàng)目(KJQN201558)

鄭恩來(lái)(1986—)，男，副教授，博士，主要從事復(fù)雜機(jī)電系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與智能控制研究，E-mail： enlaizheng@njau.edu.cn

康敏(1965—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事先進(jìn)制造技術(shù)研究，E-mail： kangmin@njau.edu.cn

TH16；TH11

A

1000-1298(2017)01-0375-11