白旭升 董紀清

（福州大學電氣工程與自動化學院，福州 350116）

基于有限元分析的共模扼流圈漏感計算研究

白旭升 董紀清

（福州大學電氣工程與自動化學院，福州 350116）

共模扼流圈是EMI濾波器中重要的磁元件，其漏感能夠作為差模電感衰減差模噪聲，但當漏感較小時，無法滿足差模噪聲的衰減要求，漏感太大容易造成磁心的飽和，故共模扼流圈的漏感是一個需要優(yōu)化的參數(shù)，應對其漏感值進行預測計算。本文基于有限元分析，對不同尺寸、不同繞組夾角的共模扼流圈的漏感進行 3-D仿真，基于漏感的仿真結(jié)果與尺寸、繞組夾角間的關系，推導一種計算共模扼流圈漏感的數(shù)學模型。通過對樣品測量，結(jié)果驗證了數(shù)學模型的正確性。

共模扼流圈；漏感；Maxwell仿真

滿足電磁兼容標準是開關電源產(chǎn)品進入市場的強制標準之一。開關電源的強非線性產(chǎn)生了嚴重的EMI噪聲，為了衰減EMI噪聲，需要在電源內(nèi)部增加EMI濾波器。磁元件是構(gòu)成EMI濾波器的關鍵器件，實際中為了減小EMI濾波器的體積，提高功率密度，一般將共模電感的漏感作為差模電感用于抑制差模EMI噪聲電流，故共模扼流圈的漏感是一個需要優(yōu)化的參數(shù)，有必要對其大小進行預測計算，防止因漏感過大導致磁心飽和，或因漏感過小而無法滿足差模EMI噪聲的衰減需求。

本文以不同尺寸、不同繞組夾角的共模扼流圈的3-D模型為研究對象，用Maxwell仿真軟件進行仿真分析（如圖3所示），基于共模扼流圈的內(nèi)徑ID、外徑OD、繞組夾角θ與漏感間線性關系，推導出一種新的計算共模扼流圈漏感的數(shù)學模型。

1 共模扼流圈漏感的計算

1.1 共模扼流圈漏感計算的研究現(xiàn)狀

文獻[1]提出了漏感可以通過計算存儲在繞組中的磁場能量來確定，由漏感存儲能量表達式與繞組內(nèi)部的磁場能量相等得到漏感，即

式中，μ0為空氣磁導率，H為差模電流產(chǎn)生的磁場強度，dV為繞組周圍空間的元體積，Lleak為共模扼流圈的漏感，I為差模電流。對于環(huán)形磁心的共模扼流圈而言，共模扼流圈繞組周圍的磁場分布并不是線性的，磁場強度H很難求出來，故用表達式（1）計算漏感時加大了計算的工作量，在工程應用上是十分不便的。

文獻[2]提出了計算共模扼流圈漏感表達式，其過程主要分為兩步：①計算空心磁心繞組的電感；②與半環(huán)形鐵氧體磁心對應的有效磁導率μdm相乘即可得到漏感。為了模擬環(huán)形磁心繞組產(chǎn)生漏磁通的有效磁導率，可以將半環(huán)形鐵氧體磁心等效為棒狀磁心，對應棒狀磁心建立有效磁導率的模型來求漏磁通對應的有效磁導率μdm。棒狀磁心的有效磁導率μrod為磁棒的初始磁導率μi和棒狀磁心的Γ的函數(shù)，Γ的表達式如式（2）所示。圖1給出了μrod隨Γ和磁心材料的初始磁導率μi變化的曲線。

圖1 棒狀磁心有效磁導率函數(shù)曲線

半環(huán)形磁心對應棒狀磁心的等效直徑Deff，如式（3）所示，進一步得到共模扼流圈對應于棒狀電感的Γeff如式（4）所示。根據(jù)圖1就可以得到共模扼流圈漏磁通的等效磁導率μdm。

對于繞制在磁環(huán)上的繞組來說，漏磁通并不是僅通過繞組中心穿過，再通過繞組在磁環(huán)上包圍的弦完成一個回路。實際上，沒有形成回路的漏磁通也大量存在。因此，共模扼流圈的漏磁通的等效磁路長度應該進行修正，其經(jīng)驗式為

在文獻[3]中，另一種等效磁路長度的經(jīng)驗式被給出，即

式中，le為磁環(huán)的有效磁路長度，OD、ID分別為共模扼流圈的外徑、內(nèi)徑，θ為繞組在磁環(huán)上所對應的圓心角。

取規(guī)格為T14*9*5的磁心，并用式（5）與式（6）擬合出該磁心的等效磁路長度曲線，如圖2所示，在角度大于 45°條件下，兩等式的曲線特性幾乎重合，表明了經(jīng)驗式（6）的正確性。

圖2 式（5）和式（6）的等效磁路長度曲線

根據(jù)圖1可以查出有效磁導率，等效磁路長度可以由式（5）和式（6）計算出，則共模扼流圈漏感的表達式可以根據(jù)式（7）確定：

另一種不用查表而直接用公式計算漏感的方法，即

表1給出了8組初始磁導率都為10000的不同規(guī)格的樣品，利用式（7）和式（8）計算這8組樣品的漏感并與實測結(jié)果進行對比求出誤差，結(jié)果見表2。其中，等效磁路長度為式（5）計算所得，理想情況下，在式（5）中取繞組繞滿時所占的角度為180°。

表1 8組不同規(guī)格的樣品

表2 式（7）和式（8）計算結(jié)果與實測結(jié)果對比

表2結(jié)果表明，在最理想的180°繞組角度下，匝數(shù)較少時，利用式（7）和式（8）計算得到的漏感與實測漏感相比誤差小于10%，但匝數(shù)較多時，利用式（7）和式（8）計算得到的漏感與實測漏感相比誤差較大。當繞組角度減?。蠢@組夾角增大）且匝數(shù)較少時，漏感的計算誤差仍在10%以內(nèi)，但匝數(shù)較多時漏感計算誤差會進一步增大。故用這種理論計算方法計算共模扼流圈漏感，計算繁瑣且誤差太大，在實際的工程應用中很不方便。

1.2 基于Maxwell仿真分析推導共模扼流圈的漏感的數(shù)學模型

用仿真軟件Maxwell建立共模扼流圈的3-D模型，如圖3所示，向共模扼流圈3-D模型兩側(cè)繞組注入不同方向電流進行仿真，根據(jù)存儲在磁場中的總能量得到漏感。為了分別得到內(nèi)徑ID、外徑OD、繞組夾角θ與共模扼流圈漏感的數(shù)學模型，32個不同的共模扼流圈 3-D模型被仿真分析，同時應用Matlab進行線性回歸運算，其方差R2都要大于99%，表明了其在Matlab中達到極好的擬合特性。

圖3 共模扼流圈的尺寸和繞組夾角的對應圖

分別在繞組夾角為10°、40°、90°的條件下，對相同內(nèi)徑ID、高度HT（ID=4mm，HT=2mm），不同外徑OD的3-D模型的共模扼流圈進行仿真，由仿真結(jié)果擬合出的漏感隨著外徑變化的特性曲線如圖4所示，曲線表達式和方差分別為

由擬合出的線性表達式和公差可以得到共模扼流圈的漏感與磁心的外徑OD之間存在的線性關系，可由如下表達式表示：

式中，Ldm為共模扼流圈的漏感；k1為外徑的系數(shù)。

圖4 漏感隨著外徑OD的變化特性曲線

同樣，圖 5表明了在繞組夾角為 10°、40°、90°的條件下，對相同的外徑OD、高度HT（OD= 10mm，HT=2mm）、不同內(nèi)徑ID的3-D模型進行仿真，由仿真結(jié)果擬合出的漏感隨著內(nèi)徑變化的特性曲線，如圖5所示。曲線表達式和方差分別為

線性表達式與公差表明了共模扼流圈的漏感隨內(nèi)徑ID線性變化，可將這種線性關系表示為

式中，k2為內(nèi)徑ID的系數(shù)。

圖5 漏感隨內(nèi)徑ID的變化特性曲線

磁心的高度HT與共模扼流圈的漏感也成線性關系。圖 6顯示了在相同的外徑OD、內(nèi)徑ID（OD=6mm，ID=4mm）條件下，繞組夾角分別為10°、40°、90°時，漏感隨高度HT變化的特性曲線。其擬合線性表達式和公差如下：

擬合出的線性表達式和公差表明了高度HT和漏感間的線性關系，可以由下式表示：

式中，k3為內(nèi)徑HT的系數(shù)。

圖6 漏感隨高度HT的變化特性曲線

圖 7所示在內(nèi)徑ID、外徑OD、高度HT（ID=4mm，OD=6mm，HT=1mm）不變情況下，漏感隨繞組夾角θ變化的特性曲線。擬合出的表達式為

其關系可以用式（12）的數(shù)學模型表示：

式中，c1為繞組夾角θ的系數(shù)。

圖7 漏感隨繞組夾角θ的變化特性曲線

一般情況下，所有關于電感的理論計算都表明了電感的大小與繞組的匝數(shù)的平方成正比，同時將式（9）至式（12）組合為一個電感的表達式，該表達式能夠反映共模扼流圈的漏感與外徑OD、內(nèi)徑ID、高度HT、繞組夾角θ以及匝數(shù)N間的關系：

式中，μ0為空氣磁導率；N為匝數(shù)；內(nèi)徑ID、外徑OD、高度HT的單位為m，θ角的單位為度（°），Ldm的單位為H。

基于Maxwell仿真軟件建立規(guī)格分別為T6/4/2、T8/4/2，繞組夾角分別為10°、40°、90°，匝數(shù)為30匝的共模扼流圈3-D模型，仿真得到漏感值。不同規(guī)格的共模扼流圈漏感的仿真結(jié)果見表3。

由式（13）可知，當磁心的尺寸相同時，不同的θ角對應的漏感之間或f(θ)之間都有一個比例關系。以為基準，即，則的結(jié)果，見表3。

表3 以f(10)為基準的各角度下的漏感仿真結(jié)果和對應倍數(shù)

如表3所示，相同尺寸的共模扼流圈在不同繞組夾角條件下的漏感之間存在倍數(shù)關系，故可用倍數(shù)與角度間的線性關系求f(θ)的表達式。在假設f(10)=1條件下，對各個角度對應的f(θ)值進行線性擬合，可以得到擬合特性曲線如圖8所示，擬合的表達式為y=0.01027+x0.8943方差為R2=0.9998，由此擬合結(jié)果可以得到c1為0.01027，d1為0.8943。此擬合結(jié)果也適用其他規(guī)格的共模扼流圈。

圖8 倍數(shù)隨角度θ的變化特性曲線

由于參數(shù)c1、d1已經(jīng)確定，故要求得共模扼流圈外徑、內(nèi)徑、高度的系數(shù)，需要對相同角度下不同規(guī)格的共模扼流圈進行仿真。取規(guī)格分別為T10/8/2、T10/4/2、T6/4/2，繞組夾角都為90°的共模扼流圈進行仿真，漏感的仿真結(jié)果見表4。

表4 90°繞組夾角的不同尺寸仿真結(jié)果

將表4中的仿真結(jié)果帶入到式（13）中計算得到共模扼流圈的外徑OD、內(nèi)徑ID、高度HT的系數(shù)k1、k2、k3，該結(jié)果也適用于其他不同規(guī)格、不同繞組夾角的共模扼流圈。結(jié)合圖8的擬合結(jié)果，則式（13）中的k1、k2、k3、c1、d1的值見表5。

表5 內(nèi)徑、外徑、高度、繞組夾角的系數(shù)

1.3 實驗驗證

取表 1中的不同規(guī)格的共模扼流圈為實驗對象，其繞組夾角的大小見表6，實驗測量共模扼流圈的漏感，并與推導出數(shù)學模型的計算結(jié)果比較，求出誤差。對比不同實物計算結(jié)果見表6。

由表6可以看出，本論文推導出的數(shù)學模型計算結(jié)果與實測漏感之間的誤差較小，驗證了推導數(shù)學模型的正確性。與表2相對比，其結(jié)果表明了推導出數(shù)學模型的精確度高于式（7）和式（8）。

表6 實驗驗證結(jié)果

2 結(jié)論

本論文通過對不同尺寸、不同繞組夾角的共模扼流圈的3-D模型仿真，分析了共模扼流圈的漏感與磁心內(nèi)徑、外徑、高度以及繞組夾角之間的數(shù)學關系，推導出了一種計算共模扼流圈漏感的數(shù)學模型，并通過實驗測試驗證了數(shù)學模型的正確性。此漏感的數(shù)學模型在計算共模扼流圈漏感時不受繞組匝數(shù)和夾角的限制，計算簡單且誤差很小，具有很好的工程應用意義。

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The Calculation of the Leakage Inductance of the Common Mode Choke based on Finite Element Analysis

Bai Xusheng Dong Jiqing
(College of Electrical Engineering and Automation of Fuzhou University,Fuzhou 350116)

Common Mode Choke is an important magnetic component of EMI filter.leakage inductance of CM choke can be used as differential mode inductors to attenuate differential mode noise.when leakage inductance is small,it may not meet the requirements of differential-mode noise attenuation,however when it is big,it is easy to cause core saturation,so leakage inductance of the common mode choke is a parameter needed to be optimized and predicted.Based on finite element analysis,some 3-D common mode chokes of different sizes,different angles between two windings are simulated.Based on the relationship between simulated inductances and CM choke sizes,angles between two windings，we can derive mathematical model of the leakage inductance of the common mode choke.The sample measurements verify the correctness of the mathematical model.

common mode choke；leakage inductance；maxwell simulation

白旭升（1992-），男，河南省南陽市人，碩士研究生，研究方向為電力電子高頻磁技術。