胡鳳娟 保繼光 任子朝 陳昂

（1.首都師范大學(xué)，北京 100048；2.北京師范大學(xué)，北京 100875；3.教育部考試中心，北京 100084）

2012年，黨的十八大報(bào)告指出：“把立德樹人作為教育的根本任務(wù)，培養(yǎng)德智體美全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人?！盵1]2014年，《教育部關(guān)于全面深化課程改革 落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》提出：“研究制訂學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)?！盵2]2016年，“中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”研究成果正式發(fā)布，核心素養(yǎng)被定義為“能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”[3]。因此，核心素養(yǎng)已成為基礎(chǔ)教育領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究課題。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（征求意見稿）（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）不僅在高中數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)、目標(biāo)、結(jié)構(gòu)等方面給出了頂層設(shè)計(jì)，而且對(duì)具體的課程內(nèi)容、學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)作出了規(guī)定，對(duì)教學(xué)與評(píng)價(jià)提出建議[4]?！稑?biāo)準(zhǔn)》已經(jīng)構(gòu)建了落實(shí)核心素養(yǎng)3個(gè)途徑——課程改革、教學(xué)實(shí)踐、教育評(píng)價(jià)的理論框架。因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在教學(xué)和評(píng)價(jià)中的實(shí)施就顯得尤為重要與迫切。另外，從高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐來看，評(píng)價(jià)尤其是高考對(duì)中學(xué)教學(xué)有著重要的影響，因此，學(xué)業(yè)水平考試與高考的命題關(guān)系到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地與實(shí)施。

2014年，《國務(wù)院關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見》（以下簡(jiǎn)稱《實(shí)施意見》）頒布，啟動(dòng)了新一輪的招生、考試、評(píng)價(jià)改革?！秾?shí)施意見》明確提出：“依據(jù)高校人才選拔要求和國家課程標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)設(shè)計(jì)命題內(nèi)容，增強(qiáng)基礎(chǔ)性、綜合性，著重考查學(xué)生獨(dú)立思考和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力?！盵5]2016年，教育部考試中心構(gòu)建了高考評(píng)價(jià)體系框架，明確“必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值”的考查目標(biāo)以及“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的考查要求。在推動(dòng)核心素養(yǎng)在基礎(chǔ)教育中落地生根的關(guān)鍵階段，高考毋庸置疑是最現(xiàn)實(shí)、最立竿見影的途徑之一[6]。40年來的高考數(shù)學(xué)，根據(jù)國家對(duì)人才選拔的要求和基礎(chǔ)教育課程改革的實(shí)踐，堅(jiān)持改革創(chuàng)新，彰顯學(xué)科特點(diǎn)，發(fā)揮了數(shù)學(xué)培養(yǎng)理性思維的價(jià)值和解決實(shí)際問題的工具作用[7]。

《標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，給出了每個(gè)素養(yǎng)的內(nèi)涵、價(jià)值、表現(xiàn)和水平，設(shè)置了基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”。

《標(biāo)準(zhǔn)》將每個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都分為3個(gè)水平，分別對(duì)應(yīng)必修課程結(jié)束、選修Ⅰ課程結(jié)束、選修Ⅱ課程結(jié)束時(shí)，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)達(dá)到的要求，是學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的主要內(nèi)容。每一個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平都通過以下4個(gè)方面進(jìn)行描述：情境與問題，主要是指現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境以及在情境中提出的數(shù)學(xué)問題；知識(shí)與技能，主要是指能夠體現(xiàn)相應(yīng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的知識(shí)與技能；思維與表達(dá)，主要是指數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)與表述的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性；交流與反思，主要是指交流過程中的思維表現(xiàn)以及交流后的思考結(jié)果。

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)要關(guān)注思維品質(zhì)、考查思維過程[8]。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)形式可以是多樣化的，除了傳統(tǒng)的紙筆測(cè)驗(yàn)之外，還可以采用課堂觀察、口頭測(cè)驗(yàn)、開放式活動(dòng)中的表現(xiàn)、課內(nèi)外作業(yè)等評(píng)價(jià)的形式。本文僅討論紙筆測(cè)驗(yàn)的評(píng)價(jià)形式，分別通過案例對(duì)每個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行分析。6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立，又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體，因此，一個(gè)案例往往同時(shí)考查多個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。為了便于理解，本文在對(duì)案例進(jìn)行分析時(shí)重點(diǎn)考查一個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1 數(shù)學(xué)抽象

“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的考查重點(diǎn)是學(xué)生在各種情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系的能力，在日常生活和實(shí)踐中善于一般性思考問題，把握事物的本質(zhì)、以簡(jiǎn)馭繁，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的思維品質(zhì)。數(shù)學(xué)抽象的具體表現(xiàn)包括：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則、提出數(shù)學(xué)命題和模型、形成數(shù)學(xué)方法與思想、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系。

案例1：速度與路程問題

學(xué)校宿舍與辦公室相距am.某同學(xué)有重要材料要送交給老師，從宿舍出發(fā)，先勻速跑步3 min來到辦公室，停留2 min，然后勻速步行10 min返回宿舍.在這個(gè)過程中，這位同學(xué)行進(jìn)的速度和行走的路程都是時(shí)間的函數(shù)，請(qǐng)畫出速度函數(shù)和路程函數(shù)的示意圖.

速度與路程是日常生活中的基本活動(dòng)（問題與情境），我們通?？梢园阉俣扰c時(shí)間、路程與時(shí)間的關(guān)系抽象為一種函數(shù)關(guān)系（知識(shí)與技能），表達(dá)函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法包括解析式、列表和圖像（思維與表達(dá)）。本題中路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系可用圖1表示：

圖1

解答此題時(shí)，能給出速度函數(shù)或路程函數(shù)的大部分示意圖，即可以認(rèn)為達(dá)到數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平一的要求；能夠全部畫出速度函數(shù)和路程函數(shù)示意圖（二者自變量單位一致），即可以認(rèn)為達(dá)到數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平二的要求。

本案例還考查了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

2 邏輯推理

“邏輯推理”素養(yǎng)的考查重點(diǎn)是學(xué)生運(yùn)用邏輯推理的基本形式，提出和論證命題、理解事物之間的關(guān)聯(lián)、把握知識(shí)結(jié)構(gòu)的能力；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)。邏輯推理素養(yǎng)涉及的行為表現(xiàn)包括：發(fā)現(xiàn)問題和提出命題、掌握推理基本形式和規(guī)則、探索和表述論證過程、理解命題體系、有邏輯地進(jìn)行表達(dá)與交流。

案例2：街道距離問題

在一些城市中，街道大多是相互垂直或平行的，從城市的一點(diǎn)到達(dá)不在同一條街道上的另一點(diǎn)，常常不能僅僅沿直線方向行走,而只能沿街走（轉(zhuǎn)直角彎）.因此可以引入直角坐標(biāo)系，對(duì)給定的兩點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2)，用以下方式定義距離：

d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.

（注：該問題中提到的“距離”都是指上述距離）

（1）證 明 ：對(duì) 任 意 三 點(diǎn)A、B、C，滿 足d(A,B)≤d(A,C)+d(B,C)；

（2）畫出到定點(diǎn)O(0,0)距離等于1的點(diǎn)P(x,y)構(gòu)成的圖形，并描述圖形的特征；

（3）設(shè)A(-1,0)、B(1,0 )，畫出到A、B兩點(diǎn)距離之和為4的點(diǎn)P(x,y)構(gòu)成的圖形，并描述圖形的特征.

“街道距離”在日常生活和一些游戲規(guī)則中都可以看見（問題與情境），由此可以抽象出一種特殊的與歐式距離不一樣的“距離”。解答此題要求學(xué)生首先能夠理解新定義的“距離”規(guī)則，推出這種距離所滿足的“距離公理”（即三角不等式），并利用這種距離來討論歐式幾何中的一些基本問題。當(dāng)然，這里所需的數(shù)學(xué)知識(shí)并不復(fù)雜（知識(shí)與技能）。此題在一定程度上反映了數(shù)學(xué)推理的一個(gè)特點(diǎn)，即依據(jù)給定的規(guī)則進(jìn)行邏輯推理，同時(shí)要求描述圖形的特征（思維與表達(dá)）。

對(duì)于問題（1），如果學(xué)生能夠?qū)ζ矫嫔瞎潭ǖ腁、B、C點(diǎn)說明d(A,B)≤d(A,C)+d(B,C)，即可以認(rèn)為達(dá)到邏輯推理素養(yǎng)水平一的要求；如果學(xué)生對(duì)任意的A、B、C點(diǎn)得到該結(jié)果，即可以認(rèn)為達(dá)到邏輯推理素養(yǎng)水平二的要求。對(duì)于問題（2）和問題（3），只要學(xué)生畫出基本符合要求的圖形（如圖2所示），即可以認(rèn)為達(dá)到水平二的要求；進(jìn)一步，如果學(xué)生還能給出清晰的證明，即可以認(rèn)為達(dá)到邏輯推理素養(yǎng)水平三的要求。

圖2

本案例還考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

3 數(shù)學(xué)建模

“數(shù)學(xué)建?！钡目疾橹攸c(diǎn)是學(xué)生用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，其中涉及數(shù)學(xué)建模的完整過程，即在實(shí)際情境中，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。由于在常規(guī)的紙筆測(cè)試中較難反映數(shù)學(xué)建模的完整過程，因此，在編制考查數(shù)學(xué)建模的測(cè)試題時(shí)，通常依據(jù)數(shù)學(xué)建模的各個(gè)環(huán)節(jié)來命題。如設(shè)置一個(gè)實(shí)際情境，重點(diǎn)考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出合適的數(shù)學(xué)問題的能力，或者給定一個(gè)初步的數(shù)學(xué)模型，要求學(xué)生依據(jù)實(shí)際情況對(duì)模型進(jìn)行修正等。

案例3：節(jié)約用料問題

閱讀下列材料：

二元均值不等式：設(shè)a,b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等式成立.

證明：因?yàn)?(a+b)2-4ab=(a-b)2≥0，所以(a+b)2≥4ab,從而得，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等式成立.

三 元 均 值 不 等 式 ：設(shè)a,b,c為正數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等式成立.

證明：設(shè)a,b,c,d為正數(shù).由二元均值不等式，有

并且當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時(shí)，等式成立.

（2）利用三元均值不等式，解決以下問題：要用不銹鋼材料制造一個(gè)密閉的、儲(chǔ)水量一定的圓柱形桶，假定上下底圓面厚度均為側(cè)面厚度的1.5倍，如何設(shè)計(jì)使得用料最省？

圓柱形儲(chǔ)物罐在日常生活中隨處可見，什么時(shí)候用料最省自然是一個(gè)值得研究的問題（問題與情境）。由于此問題的解決需要用到三元均值不等式，因此，本題首先提供了一段由二元均值不等式推廣到四元均值不等式，再由四元均值不等式回推三元均值不等式的閱讀材料（知識(shí)與技能），最后依據(jù)所獲得的三元均值不等式及以往二元均值不等式的解題經(jīng)驗(yàn)解決當(dāng)前的問題（思維與表達(dá)）。此外，在解題過程中，不僅要運(yùn)用到一些重要的數(shù)學(xué)思想（如化歸），還涉及數(shù)學(xué)建模的一些典型方法（如討論忽略材料的厚度是否會(huì)影響問題的解答等）（交流與反思）。

對(duì)于問題（2），只要學(xué)生知道根據(jù)實(shí)際情境，能夠考慮到材料的厚度，給出表面積、體積的公式，然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，就可以認(rèn)為達(dá)到數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平二的要求。

本案例還考查了學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

4 直觀想象

“直觀想象”素養(yǎng)的考查重點(diǎn)是學(xué)生運(yùn)用圖形和空間想象思考問題、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力；通過幾何直觀洞察表面現(xiàn)象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，抓住事物的本質(zhì)的思維品質(zhì)。直觀想象素養(yǎng)的具體表現(xiàn)包括：建立形與數(shù)的聯(lián)系、利用幾何圖形描述問題、借助幾何直觀理解問題、運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物。

案例4：拼剪幾何體問題（2002年全國卷數(shù)學(xué)（文科）第22題）

（1）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖3和圖4），要求用其中一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖3、圖4中，并作簡(jiǎn)要說明；

（2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小；如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖5），要求剪拼成一個(gè)直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，用虛線標(biāo)示在圖5中，并作簡(jiǎn)要說明.

圖3

圖4

圖5

本題是一種拼剪手工游戲（問題與情境），要求學(xué)生將三角形拼剪成正三棱錐與正三棱柱、并比較體積大?。ㄖR(shí)與技能），在圖中用虛線標(biāo)出拼剪方法，并作簡(jiǎn)要說明（思維與表達(dá)）。

本題不提供剪刀、紙片，必須依靠學(xué)生的直觀想象來解決問題。在問題（1）中，只要學(xué)生能夠想到沿3條中位線折起即可拼成正三棱錐，就可以認(rèn)為學(xué)生達(dá)到直觀想象素養(yǎng)水平一。關(guān)于正三棱柱，需要學(xué)生思考各個(gè)面的特點(diǎn)：3個(gè)側(cè)面是大小相同的長(zhǎng)方形、2個(gè)底面是大小相同的三角形，三角形的邊長(zhǎng)和長(zhǎng)方形的短邊長(zhǎng)度相同等。因此，從什么地方剪，怎樣折，如何拼，對(duì)學(xué)生的空間想象能力有很高的要求，能夠合理地給出拼剪方法可以認(rèn)為學(xué)生達(dá)到了直觀想象素養(yǎng)水平二。問題（2）重點(diǎn)考查了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和思維過程，評(píng)分遵循了滿意原則和加分原則。

本案例還考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

5 數(shù)學(xué)運(yùn)算

“數(shù)學(xué)運(yùn)算”雖然是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)三大能力之一，但作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅要考查學(xué)生的運(yùn)算基本功，更重要的是考查學(xué)生有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題的能力。通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成程序化思考問題的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。其具體表現(xiàn)包括：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、形成程序化思維。

案例5：函數(shù)的零點(diǎn)問題

給定函數(shù)f(x)=x2+x-1.閱讀下面用二分法求函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)近似值的材料.

由f(0)=-1＜0，f(1)=1＞0，函數(shù)f(x)在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；?。?，1）的中點(diǎn)0.5，有f(0.5)=-0.25＜0,函數(shù)f(x) 在區(qū)間（0.5，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；

如此下去，得到函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間的表，如表1所示.

在使用二分法過程中，每經(jīng)過1個(gè)步驟，零點(diǎn)所在區(qū)間長(zhǎng)度縮小為上次的.

（1）若以10-n（n∈N*）作為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的精確度，經(jīng)過上述10個(gè)步驟，求n可以取到的最大值；

（2）已知過拋物線f(x)=x2+x-1上的點(diǎn)(x0,y0)的切線的斜率為k(x0)=2x0+1.在（1,1）點(diǎn)作曲線的切線，交x軸于點(diǎn)(x1,0 )；在(x1,f(x1))點(diǎn)作曲線的切線，交x軸于點(diǎn)(x2,0 )；在(x2,f(x2) )點(diǎn)作曲線的切線，交x軸于點(diǎn)(x3,0)；…；依次這樣做下去，可得到一個(gè)數(shù)列{xn}，通常稱之為迭代數(shù)列.設(shè)xn+1=g(xn)（n∈N*），求g(xn)的解析式；

（3）用（2）的方法也可以求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值，稱為牛頓切線法.請(qǐng)問：用牛頓切線法求函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)近似值時(shí)，經(jīng)過多少次迭代使得xn∈(0.6171875,0.61816407)；

（4）比較上述求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的兩種方法，你能得到什么結(jié)論？

本題設(shè)置的情境是典型的數(shù)學(xué)情境（問題與情境），與常規(guī)數(shù)學(xué)運(yùn)算題不同的是，此題不是考查學(xué)生準(zhǔn)確而快速的計(jì)算技能，而是重點(diǎn)考查在理解運(yùn)算背后的數(shù)學(xué)原理的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)合理的運(yùn)算方法和程序（知識(shí)與技能），對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行有效的估計(jì)以及對(duì)運(yùn)算方向的準(zhǔn)確把握（思維與方法）。

問題（2）如果學(xué)生逐個(gè)求出x1、x2、x3，…，再找它們之間的規(guī)律，即可以認(rèn)為學(xué)生達(dá)到了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平一；如果需要學(xué)生求一般的切線方程，進(jìn)而求出切線方程與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的一般形式，可以認(rèn)為學(xué)生達(dá)到了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平二。

問題（3）在理解問題（2）的基礎(chǔ)上，如果學(xué)生先找到x0，再通過簡(jiǎn)單計(jì)算得到，可以認(rèn)為學(xué)生達(dá)到了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平二。

表1

本案例還考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)。

6 數(shù)據(jù)分析

“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)的考查重點(diǎn)是學(xué)生基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題、運(yùn)用合適的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行推斷和決策的能力，形成通過數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)事物的思維品質(zhì)。其具體表現(xiàn)包括：收集和整理數(shù)據(jù)、理解和處理數(shù)據(jù)、獲得和解釋結(jié)論、概括和形成知識(shí)。

案例6：上學(xué)的交通問題

李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所用的時(shí)間（樣本數(shù)據(jù)），經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到如下結(jié)果：

坐公交車：平均用時(shí)30分鐘，方差為36；

騎自行車：平均用時(shí)34分鐘，方差為4.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，李明平時(shí)選擇哪種交通方式更合理？說明理由.

（2）分別用X和Y表示坐公交車和騎自行車所用的時(shí)間，X和Y的分布密度曲線如圖6所示，如果某天有38分鐘可用，你選擇哪種交通方式？如果只有34分鐘可用，又應(yīng)該選擇哪種交通方式？請(qǐng)說明理由.

圖6

說明：（2）中X和Y的分布密度曲線，分別反映X和Y的取值落在某個(gè)區(qū)間的隨機(jī)事件的概率，例如，圖7中的陰影的面積表示X取值不大于38分鐘的概率.

圖7

此案例源自一個(gè)學(xué)生可能遇到的現(xiàn)實(shí)情境：騎自行車與坐公交車哪個(gè)更合理的問題（問題與情境），要求學(xué)生在理解相關(guān)統(tǒng)計(jì)量及分布的意義與作用（知識(shí)與技能）的基礎(chǔ)上，依據(jù)實(shí)際問題和統(tǒng)計(jì)方法給出合理的解釋與決策（思維與表達(dá)），并能為決策提供可靠的統(tǒng)計(jì)依據(jù)（交流與反思）。

在問題（1）中，如果學(xué)生能充分考慮到均值、方差綜合回答，可以認(rèn)為學(xué)生達(dá)到了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)水平一。

在問題（2）中，如果學(xué)生能夠理解分布密度曲線下方的面積所表示的含義與概率大小的關(guān)系，如觀察圖7發(fā)現(xiàn)，在直線x=38右側(cè)X的密度曲線下方的面積S1大于Y的密度曲線下方的面積S2，P(X≤38)=1-S1,P(Y≤38)=1-S2，并正確回答該問題，可以認(rèn)為學(xué)生達(dá)到了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)水平二。

本案例還考查了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

7 結(jié)語

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)及其體系的建立是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的工作，任重道遠(yuǎn)。在考查和評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)時(shí)，我們建議要注意以下幾個(gè)方面：

第一，題目的情境要合理，符合現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)、科學(xué)情境實(shí)際情況，不能生編硬造。

第二，考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，整體把握知識(shí)體系，聚焦學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念、定理、思想和方法的理解與應(yīng)用；注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)和通性通法，淡化解題技巧。

第三，對(duì)思維品質(zhì)的考查要求學(xué)生會(huì)思考，因此，給學(xué)生思考的時(shí)間要比較充分，可以適當(dāng)減少試題數(shù)量或者延長(zhǎng)考試時(shí)間。特別是在新一輪的高考改革后，高考只有語文、數(shù)學(xué)、外語3個(gè)統(tǒng)考科目，應(yīng)該適當(dāng)延長(zhǎng)這3個(gè)科目的考試時(shí)間。

第四，研制開放性問題，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和思維過程，應(yīng)允許使用計(jì)算器。一方面，要研究使用計(jì)算器對(duì)數(shù)學(xué)科考核目標(biāo)和試題考查內(nèi)容產(chǎn)生的影響；另一方面，要研究配備計(jì)算器的方式，嚴(yán)禁計(jì)算器具有通信功能，保證考試安全。

第五，對(duì)于開放試題，思維與結(jié)論一致是評(píng)價(jià)的重要原則。只要學(xué)生的思維和結(jié)論一致，作答的結(jié)果就應(yīng)該判為正確，而不應(yīng)拘泥于特定的解題方式和結(jié)論，這樣可以鼓勵(lì)考生從多角度思考問題、解決問題。如果考生分析得更加深刻，所得的結(jié)論更加精確，可以在試卷總分不變的限度內(nèi)加分。

感謝“普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組”和“普通高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)試組”的老師在本文的寫作過程中給予的幫助。

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