韓永建，李傳鋒，郭光燦

量子計算原理及研究進展

韓永建，李傳鋒，郭光燦

隨著現(xiàn)代微電子加工技術(shù)的不斷提高，電子線路的尺寸越來越小。當不同線路之間的距離達到原子尺寸時，電子在不同線路之間的隧穿將不可忽略，經(jīng)典電子線路模型將不再適用。要研究電子在這種線路種的性質(zhì)，需要使用量子力學(xué)。此外隨著電子線路集成度的不斷提高，散熱成為一個關(guān)鍵問題。根據(jù)Landauer擦除定理，在不可逆過程中，熱量與不可逆操作的規(guī)模密切相關(guān)：集成度越高，單位面積上產(chǎn)生的熱量越多。在集成度很高時，如何散熱成為電子線路的巨大挑戰(zhàn)，處理不好就會將電路燒壞?；诹孔恿W(xué)基本原理的量子計算機，由于其計算的可逆特性，不會因非可逆操作帶來熱量。量子計算機不僅能解決經(jīng)典計算機所面臨的一些瓶頸問題，更重要的是，它原理上就不同于經(jīng)典計算機，在解決某些困難問題時，相比經(jīng)典計算機具有壓倒性優(yōu)勢。

將量子力學(xué)和計算問題相結(jié)合的思想是由費曼（Feynman）于1982年提出的，按照他的設(shè)想可以用標準量子系統(tǒng)（容易操控的系統(tǒng)）實現(xiàn)對復(fù)雜量子系統(tǒng)的模擬，進而解決經(jīng)典計算機無法解決的量子問題，特別是量子多體物理問題（多體系統(tǒng)的希爾伯特空間隨著系統(tǒng)尺寸指數(shù)增長，經(jīng)典計算機無法有效處理）。雖然當時人們并不知道如何去實現(xiàn)這樣一臺量子模擬器，但費曼的這一思想直接影響了后來量子計算的發(fā)展。1985年，Deutsch提出了量子圖靈機的概念，它類似于經(jīng)典圖靈機在經(jīng)典計算機中的角色。量子圖靈機在理論上告訴人們存在普適的基于量子力學(xué)的模型來實現(xiàn)計算。簡單來講，經(jīng)典計算機能夠?qū)崿F(xiàn)的計算功能也可以在量子模型下實現(xiàn)。那么，相對于經(jīng)典計算，量子計算有什么特別的優(yōu)勢，1992年，Deutsch和Jozsa給出了第一個量子算法（即Deutsch-Jozsa算法），在他們提出的這個問題中，量子計算相對于經(jīng)典計算具有指數(shù)的加速。隨后1993年Bernstein和Vazirani以及Simon均提出了以他們名字命名的量子算法。這些算法都表明在解決某些特定問題時量子計算機相對于經(jīng)典計算機具有優(yōu)勢。然而這些特定問題都是人為設(shè)計出來的，不對應(yīng)現(xiàn)實問題，其影響力還僅僅局限于學(xué)術(shù)圈內(nèi)。

1 量子算法

是否能找到一個現(xiàn)實的問題，量子計算機比經(jīng)典計算更優(yōu)越呢？1994年，Shor提出了著名的大數(shù)因子算法，這個算法表明量子計算機可以有效地求解大數(shù)因式分解問題。大數(shù)因式問題是指：給定一個整數(shù)Q，它是2個質(zhì)數(shù)的乘積，找出這2個質(zhì)數(shù)。此問題是一個NP問題（給一個問題的答案可以多項式時間內(nèi)驗證正確性），到目前為止，還沒有找到有效的經(jīng)典算法，最好的算法其復(fù)雜度也會隨著問題的規(guī)模指數(shù)增長。更為重要的是，大數(shù)因式分解問題的復(fù)雜性是目前廣泛使用的RSA密鑰系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)，Shor算法不僅證明了量子算法的優(yōu)越性，更動搖了現(xiàn)行的RSA密碼系統(tǒng)的安全性基礎(chǔ)。另一個非常重要的量子算法是Grover在1996年提出的對無序數(shù)據(jù)庫的搜索算法，這一算法的復(fù)雜度為而經(jīng)典計算機的搜索復(fù)雜度是N（N為數(shù)據(jù)庫的規(guī)模）。由于搜索算法本身的廣泛性，Grover算法充分的表明了量子計算的優(yōu)越性。這些量子算法，特別是Shor和Grover算法的提出體現(xiàn)了量子計算的強大計算能力，在國家安全和商業(yè)價值方面都具有極大的潛力。

2 量子計算模型

量子圖靈機為人們提供了量子計算的原始模型。量子計算機除了和經(jīng)典計算機有相似的計算模型以外，還有自身的一些新的計算模型。到現(xiàn)在為止，已有量子線路模型、One-way量子計算模型、絕熱量子計算模型、量子隨機行走模型以及拓撲量子計算模型。這些不同的量子計算模型的計算能力一致，可以相互轉(zhuǎn)換，但在具體問題分析中，某些模型使用起來會更方便。

量子線路模型是和經(jīng)典線路并行的模型，無論是它使用的語言還是構(gòu)造方法都和經(jīng)典計算相似，只需要將經(jīng)典的邏輯門換成量子的邏輯門即可。一般來說，一個量子計算的過程，可以表示成整體系統(tǒng)的幺正變換（中間無測量，測量放到最后）?？梢宰C明，任意系統(tǒng)的幺正變換都可以表示成兩比特受控非門（CNOT）和單比特旋轉(zhuǎn)門生成的組合，這個組合過程就是量子線路。所以，從量子線路的角度來看，只要能實現(xiàn)完美的兩比特受控非門和任意的單比特旋轉(zhuǎn)就可以實現(xiàn)普適的量子計算。不同的量子算法，對應(yīng)于不同的量子線路。量子線路模型的優(yōu)點是可以借鑒經(jīng)典計算線路的思想、概念和經(jīng)驗來設(shè)計新的量子算法。

量子計算的超強能力來自于量子態(tài)的超經(jīng)典關(guān)聯(lián)特性。如果能夠大規(guī)模的制備擁有某種糾纏特性的量子態(tài)，就可以通過簡單的單比特測量來實現(xiàn)普適的量子計算。這種有別于經(jīng)典計算模式的計算方式稱為One-way量子計算或基于測量的量子計算。一般而言，使用具有某種拓撲結(jié)構(gòu)（比如二維方格）的圖態(tài)來實現(xiàn)普適的量子計算（并非任意圖態(tài)都能實現(xiàn)普適量子計算，例如一維的圖態(tài)就不適用）。圖態(tài)本身具有某些非常好的量子特性，比如經(jīng)過局域的測量之后，剩下的部分仍然是一個圖態(tài)（可能需要做局域轉(zhuǎn)動才會變成標準圖態(tài)）。單比特測量的測量方式會依賴于前面其他單比特測量的結(jié)果。如果僅僅使用Clifford測量（例如Pauli算符測量），One-way量子計算的計算能力與經(jīng)典計算機能力相當，無法完成普適的量子計算。非Clifford的測量在實現(xiàn)量子優(yōu)越性的過程中起著關(guān)鍵性的作用。因而在實現(xiàn)量子計算的過程中，為了減少量子比特的數(shù)目，可以把Clifford測量的效果進一步編碼到多體量子態(tài)的制備中去。One-way量子計算是量子計算所特有的計算模型，對理解量子計算過程有非常好的作用。

絕熱量子計算模型也是量子計算特有的模型。這一計算模型基于量子絕熱定理。量子絕熱定理表明：如果量子系統(tǒng)初始處于該系統(tǒng)的基態(tài)，足夠緩慢地變化系統(tǒng)的哈密頓量，系統(tǒng)如果有能隙保護將一直處于基態(tài)。哈密度量變化的速度將受限于能隙的大小。事實上，很多問題都可以映射到求解某個哈密頓量的基態(tài)問題上，特別是一些求極值的組合學(xué)問題可以非常方便地得到相應(yīng)的哈密度量。然而這樣的哈密頓量的基態(tài)通常都非常難于直接獲得。量子絕熱算法給出了一套獲得一般哈密頓量的基態(tài)的方法。在量子絕熱模型中，系統(tǒng)初始哈密頓量的基態(tài)非常容易獲得，將系統(tǒng)哈密頓量緩慢的從初始哈密頓量變到待求的哈密頓量，根據(jù)量子絕熱定理，如果初始系統(tǒng)處于基態(tài)并且哈密頓量變化足夠緩慢，則末態(tài)就是要求的基態(tài)。絕熱量子計算的核心問題就變成了估計哈密頓量的能隙（計算時間由哈密頓量的變化快慢決定，而變化快慢是由整個過程中的哈密頓量的最小能隙決定的），由于實際問題對應(yīng)的哈密頓量的復(fù)雜性（一般不具有平移對稱性，相互作用也不是局域的），這是非常困難的任務(wù)。D-wave公司推出的超導(dǎo)系統(tǒng)量子計算裝置就是基于絕熱量子計算模型的。這一模型將一個量子計算的問題轉(zhuǎn)化成了一個量子多體問題。對于量子多體問題，已有一些研究結(jié)果可以借鑒參考。反過來，也可以利用這樣的量子計算機來研究一些復(fù)雜的多體物理問題。

拓撲量子計算模型也是量子計算中一個非常有意思的模型。在二維量子系統(tǒng)中，存在一種被稱之為非阿貝爾統(tǒng)計的任意子，如果2個任意子之間進行了一次交換，它們的整體波函數(shù)就會做一個幺正變換。如果這種任意子還滿足某種類型（比如Fabonacci型），那么通過交換不同的任意子就可以實現(xiàn)普適的量子計算。由于任意子統(tǒng)計本身的拓撲性質(zhì)，這樣實現(xiàn)的量子計算天然具有對噪聲的免疫性，是實現(xiàn)量子計算的理想載體。從這一模型出發(fā)，還可以直接的將量子計算與拓撲分類研究相聯(lián)系，比如可以直接利用量子計算得到Jones多項式的一些值，進而可以研究拓撲分類。然而，要實現(xiàn)和操控這樣的非阿貝爾任意子還遠遠超出了現(xiàn)階段在固態(tài)系統(tǒng)中的能力。最有可能在實驗中實現(xiàn)的非阿貝爾任意子是馬約拉那任意子，但它的交換并不能實現(xiàn)普適的量子計算。

3 量子計算機的物理實現(xiàn)

量子計算的優(yōu)越性可以從Shor算法和Grover算法中得到充分體現(xiàn)。要實現(xiàn)這樣的算法，必須要建立一臺基于量子力學(xué)原理的計算機。什么樣的系統(tǒng)才能夠用來實現(xiàn)量子計算的功能，DiVincenzo在2000年提出了以他的名字命名的判據(jù)，主要包括以下要求。

1）系統(tǒng)由可擴展的量子比特組成。

2）量子比特的狀態(tài)可以被有效初始化（例如制備到|0＞態(tài)）。

3）可以可靠的實現(xiàn)一組普適邏輯門（比如兩比特CNOT加上任意單比特旋轉(zhuǎn)）。

4）相對于邏輯門操作時間，系統(tǒng)有長的相干時間。一般而言，要求在相干時間內(nèi)能完成104個門操作，才能完成編碼和糾錯的過程。

5）可以對每個比特實施有效的測量。

6）可以在靜止比特（即做計算的比特）和飛行比特（即用于信息傳輸?shù)谋忍?，一般是光子）之間進行轉(zhuǎn)換。

最后一條并不包含在Divincenzo最初的判據(jù)中，這主要是為了將量子計算和量子通信相結(jié)合，或者是為了實施分布式的量子計算而加入的要求。

按照這一判據(jù)，哪些系統(tǒng)適合作為量子計算的載體？到目前為止，人們已經(jīng)在各種系統(tǒng)（離子阱系統(tǒng)、超導(dǎo)系統(tǒng)、冷原子系統(tǒng)、量子點系統(tǒng)、光學(xué)系統(tǒng)、核磁共振NMR系統(tǒng)、稀土系統(tǒng)和里德堡原子系統(tǒng)等）上進行了探索和嘗試，不少系統(tǒng)可以滿足其中的某些要求，但還沒有哪個系統(tǒng)能很好地滿足所有要求。不同的系統(tǒng)都有自身的優(yōu)缺點，如果可以把不同系統(tǒng)的優(yōu)點組合在一起，就有可能實現(xiàn)真正的量子計算機。就目前的實驗技術(shù)發(fā)展水平而言，離子阱系統(tǒng)和超導(dǎo)系統(tǒng)是最領(lǐng)先的，以這2個系統(tǒng)為例來說明量子計算的發(fā)展現(xiàn)狀。

離子阱系統(tǒng)是最早用于量子計算的物理系統(tǒng)。一般的離子阱是將一串離子囚禁在線性阱中。每個離子的2個內(nèi)能級形成一個量子比特。單比特操作可以通過激光作用在相應(yīng)的離子上來實現(xiàn)。2個離子之間的受控非門（CNOT）可以通過2束激光作用在相應(yīng)的2個離子上，在聲子的協(xié)助下完成。DiVincenzo條件在離子阱中都可以在一定程度上實現(xiàn)，很多條件也已經(jīng)在實驗上得到了驗證，具體如下。

1）人們已經(jīng)在一維離子阱中實現(xiàn)了7比特的量子算法，10多個比特的量子態(tài)制備和約300個離子的量子模擬。原則上，離子阱的可擴展性可以通過與芯片技術(shù)相結(jié)合來實現(xiàn)。這方面的實驗還在繼續(xù)，可擴展性問題是基于離子阱系統(tǒng)的量子計算的主要障礙。

2）離子阱中的離子可以通過激光冷卻來實現(xiàn)初態(tài)制備，單比特的初態(tài)制備實驗誤差已經(jīng)可以小于10-3。

3）單比特操作的誤差已可以低于10-6，兩比特的操作誤差已低于10-3。這已經(jīng)超過了實現(xiàn)普適容錯量子計算的閾值（如果采用合適的編碼，比如表面碼，閾值約為10-2）。超快的單量子門操作時間已經(jīng)可以達到50 ps，這一技術(shù)極大的提高了相干時間內(nèi)能操作的量子門個數(shù)（已超過104的閾值）。這一技術(shù)正在被用于兩比特的量子門。

4）離子阱中狀態(tài)讀出誤差已可以低于10-4。

5）離子阱中的靜止比特與光子（飛行比特）之間的量子態(tài)轉(zhuǎn)化已在實驗中實現(xiàn)。

由此可以看出，除了可擴展性之外，離子阱系統(tǒng)已經(jīng)對DiVincenzo其他條件進行了實驗驗證，而且都展現(xiàn)出了良好的特性。超導(dǎo)線路是另一個非常有希望實現(xiàn)量子計算的系統(tǒng)，它與現(xiàn)有的微加工技術(shù)相結(jié)合可以很好地解決系統(tǒng)的可擴展問題。對應(yīng)于DiVincenzo的判據(jù)，超導(dǎo)線路系統(tǒng)的表現(xiàn)如下。

1）9個比特的量子處理器已經(jīng)獲得了實驗演示，可擴展性在此系統(tǒng)中沒有原則性困難，且已部分獲得實驗支持。

2）利用反饋控制的比特初始化可以獲得很好的效果。

3）單比特操作的保真度已超過99.9%，2比特操作的保真度也已超過99.5%。

4）相干時間在二維芯片上可達到約80 ms，在三維芯片中可達約150 ms。

5）利用參數(shù)放大技術(shù)實現(xiàn)了保真度超過99%的量子狀態(tài)讀出。

6）超導(dǎo)比特與飛行比特之間的轉(zhuǎn)換還處于非常初期的階段，僅演示了微波與光波之間的轉(zhuǎn)換。

由此可以看出超導(dǎo)系統(tǒng)也是一個非常有潛力的實現(xiàn)量子計算的系統(tǒng)。

4 量子編碼

阻礙現(xiàn)普適量子計算的主要困難是量子系統(tǒng)的退相干特性。量子態(tài)本身非常脆弱，會不可避免地受到環(huán)境的影響，導(dǎo)致系統(tǒng)的退相干。而量子計算的優(yōu)越性本身就來自于多體系統(tǒng)的相干特性，破壞相干性就破壞了量子計算的優(yōu)越性。因而如何抵御退相干是實現(xiàn)量子計算的關(guān)鍵。

在經(jīng)典計算中也會出錯，即本來為0（1）的比特可能變成1（0），可以通過編碼解決這一問題的。對于量子系統(tǒng)，可以將退相干看作是量子計算出錯，也可以利用編碼來解決。然而量子編碼相對于經(jīng)典編碼有如下重大的不同。

1）單個量子態(tài)的出錯方式有無窮多種，而經(jīng)典計算的單比特出錯方式只有2種。

2）經(jīng)典比特可以通過測量來判斷錯誤是否發(fā)生，而一般的量子測量會導(dǎo)致量子態(tài)的塌縮，進而破壞整個計算過程。

針對第一個問題，理論研究表明，任意的單比特錯誤都可以表示為2個不同錯誤：X（比特翻轉(zhuǎn)）和Z（相位反轉(zhuǎn)）的組合。這樣就可以只考慮2種不同的出錯了。對于第2個問題，為了在獲取出錯信息時不破壞對應(yīng)的量子態(tài)，此量子態(tài)必須是獲取信息的測量算符的本征態(tài)。這就要求仔細設(shè)計量子編碼：既能獲取出錯信息又不破壞量子態(tài)的相干性。有鑒于此，Shor等提出了著名的CSS碼。在Shor的編碼中，一個邏輯量子比特需要9個物理比特進行編碼，在此編碼中，2種不同的錯誤均能被發(fā)現(xiàn)并糾正。在Steane提出的編碼中，一個邏輯比特需要7個物理比特來編碼，也可以發(fā)現(xiàn)和糾正所有的錯誤?？梢宰C明，如果要求編碼比特能發(fā)現(xiàn)并糾正所有的錯誤，至少需要5個物理比特來編碼一個邏輯比特。量子編碼是利用編碼的冗余來實現(xiàn)對出錯的糾正。

然而，僅有量子糾錯碼，對實現(xiàn)量子計算還是遠遠不夠的。因為除了環(huán)境導(dǎo)致的出錯，量子操作，包括量子門操作、量子態(tài)制備和測量（特別是糾錯過程中的測量）也存在操作誤差。因此容錯的概念被提出。一個編碼被稱為容錯編碼是指：在所有量子操作都可能出錯的情況下，它仍然能夠?qū)⒄麄€系統(tǒng)糾回理想的狀態(tài)。并非所有的量子編碼都是容錯的，例如上面提到的Steane碼就不是容錯的。但量子糾錯碼都可以通過適當增加量子比特將其改造成容錯碼。對于容錯的編碼，只要量子操作的出錯率低于某個閾值，就可以把出錯的量子態(tài)糾正回到它的理想狀態(tài)去。直接利用容錯編碼實現(xiàn)量子計算需要極小的出錯閾值，利用級聯(lián)編碼可以大大的降低要求。Knill等最初的證明表明：實現(xiàn)容錯量子計算的出錯閾值約為10-4～10-5。后來，通過對編碼和方法的改進將容錯的閾值提高到0.03。然而Knill等給出的這些閾值都沒有考慮量子計算的實際實現(xiàn)問題，特別是沒有考慮量子比特的空間排布問題，他們總是假設(shè)量子門可以作用在任意兩個比特之間。Gottesman首先考慮了量子計算的實際構(gòu)型問題，結(jié)果表明在實際的構(gòu)型下容錯量子計算仍然可以實現(xiàn)，但容錯的閾值比Knill等最初考慮的情況要低。在一維或準一維的構(gòu)型中，容錯的閾值約為10-5。對于二維的情況，人們發(fā)現(xiàn)如果利用表面碼來編碼比特，可以額外的獲得拓撲保護，容錯的閾值可以極大的提高?，F(xiàn)階段最好的閾值可以達到10-2。實驗上，現(xiàn)階段離子阱和超導(dǎo)系統(tǒng)中的單比特操作以及兩比特的實驗精度都已達到容錯量子計算的閾值。

容錯量子計算雖然解決了量子退相干和實驗操作誤差的問題，但是極大地增加了實驗實現(xiàn)量子計算機需要的量子比特規(guī)模。使得系統(tǒng)的可擴展性成為實現(xiàn)量子計算機的主要障礙。在可擴展性方面固體系統(tǒng)（超導(dǎo)系統(tǒng)，量子點系統(tǒng)等）具有天然的優(yōu)勢。因而解決非固體系統(tǒng)的可擴展性問題就非常重要。特別是前面提到的離子阱系統(tǒng)。離子阱系統(tǒng)在除了可擴展性問題以外的所有方面都非常適合做量子計算機，而且它的門操作精度已經(jīng)超過了實現(xiàn)普適的容錯量子計算的閾值。為了解決可擴展問題，人們把離子阱技術(shù)與芯片技術(shù)相結(jié)合，將大量離子囚禁在芯片表面上，通過調(diào)節(jié)表面電極來移動不同阱中的離子，進而實現(xiàn)不同阱中離子之間的相互作用。表面離子阱現(xiàn)階段的主要問題是在芯片表面有電場噪聲，這些噪聲會對離子進行加熱。研究這種噪聲的本質(zhì)并降低這種噪聲的影響是實現(xiàn)離子阱系統(tǒng)可擴展性的重要課題。將芯片放到低溫系統(tǒng)或加強對芯片表面的處理都可以有效的降低噪聲。

5 量子霸權(quán)

盡管各個系統(tǒng)都取得了巨大進展，實現(xiàn)普適的容錯量子計算仍然超出了現(xiàn)階段的技術(shù)能力。那么在現(xiàn)有的技術(shù)條件下，是否可以體現(xiàn)量子計算的巨大威力？對某些特定的問題，并不需要量子編碼過程，只需要幾十個物理比特量子計算機（準確的說是專為解決具體問題而構(gòu)建的量子模擬器，還不是普適的量子計算機）就可以超越現(xiàn)在的超級計算機的能力，這就是近期備受關(guān)注的量子霸權(quán)。玻色取樣問題就是一個這樣的問題。玻色取樣問題可以描述如下：給定m個輸入模式，n個輸入光子（n＜m），一個系統(tǒng)的幺正演化算符U，求這個裝置的輸出分布取樣。這個問題已經(jīng)被證明是一個#p困難問題，其計算難度大于NP完全問題。對于這個問題，即使用中國最強大的超級計算機也無法處理n＞50的情況。因而如果能夠演示量子計算機在n＞50的情況下仍能獲得正確的結(jié)果，那么，在原理上就可以證明量子系統(tǒng)在解決玻色取樣問題上相對于經(jīng)典計算機具有壓倒性優(yōu)勢。線性光學(xué)系統(tǒng)在演示玻色取樣問題方面有其自身的優(yōu)勢。光學(xué)系統(tǒng)有非常好的相干性，對外界環(huán)境并不敏感，整個計算過程都不需要進行編碼。當然，要實現(xiàn)多達50個光子的玻色取樣仍然是一個巨大的挑戰(zhàn)，它需要有高品質(zhì)的單光子源和高效率的可分辨光子數(shù)的探測器。

6 結(jié)論與展望

實現(xiàn)普適的量子計算機仍然是一個長期的目標。在可以預(yù)見的未來幾年內(nèi)，有可能實現(xiàn)量子糾錯碼的錯誤探測，錯誤的糾正以及觀察到邏輯比特相干時間的延長，實現(xiàn)量子計算的關(guān)鍵步驟。在未來的5～10年時間內(nèi)有可能實現(xiàn)所謂的量子霸權(quán)，在玻色采樣問題中的光子數(shù)超過50或者在量子退火算法中實現(xiàn)對經(jīng)典計算機的超越。對于這些特定的問題，量子設(shè)備能夠展現(xiàn)出其優(yōu)越性。雖然到現(xiàn)在為止，還沒有發(fā)現(xiàn)玻色取樣在現(xiàn)實中的應(yīng)用，但這種超越無論是在原理上還是在技術(shù)上都會對最終實現(xiàn)普適的量子計算機起到極大的推動作用。?

中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)；中國科學(xué)院量子信息重點實驗室】

（摘自《科技導(dǎo)報》2017年第23期）