徐遠(yuǎn)

提起數(shù)學(xué)，相信首先浮現(xiàn)在人們腦海中的，并非是那些高深晦澀的定理，而是計(jì)算，

早在幼兒園時(shí)，我們便有了算術(shù)課，那時(shí)只覺得“+”、“一”、“×”、“÷”四個(gè)符號(hào)仿佛具有魔力，可以將一個(gè)數(shù)字變換成另一個(gè)，于是對(duì)于計(jì)算學(xué)習(xí)的熱情也仿佛注入了魔力，樂此不疲，長(zhǎng)大后，才知道數(shù)學(xué)計(jì)算遠(yuǎn)非四則運(yùn)算那么簡(jiǎn)單，解析幾何、求導(dǎo)、最值……簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的兩個(gè)字，卻是一片廣闊的天地，擁有各種出神入化的技巧和秘訣，

如今走進(jìn)“運(yùn)算”這片天地十多年，我也越來越感受到它的博大精深，它與我們的生活息息相關(guān)，也是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)考試的基本能力，接觸越久，了解越深，對(duì)于我而言，曾經(jīng)還是模模糊糊的數(shù)學(xué)運(yùn)算，已經(jīng)有了全新的詮釋與分類。

一、常規(guī)計(jì)算

什么是“常規(guī)”？“常規(guī)”就是一種普適性的想法，是所謂的單刀直入、切中主題，它來自于課本上的基礎(chǔ)內(nèi)容與老師授課所講，相信每一位同學(xué)都經(jīng)過無(wú)數(shù)題目的洗禮，在這個(gè)過程中，我們逐漸形成了一種自然的思維模式，這樣剩下的任務(wù)就是沿著它順理成章地算出答案啦，這個(gè)過程，就是“常規(guī)計(jì)算”。

解題過程雖然稍顯復(fù)雜，但是算法卻十分簡(jiǎn)約，常規(guī)算法，就是用一種普遍性的想法干凈利落地起手，算出結(jié)果，而正是由于它的常規(guī)，所以在掌握它的時(shí)候，我們才需要對(duì)計(jì)算進(jìn)行記憶、理解、熟化，這樣才可以做到以不變應(yīng)萬(wàn)變。

我們開始接觸的常規(guī)計(jì)算就是加、減、乘、除了，“三三得九、二五一十”的乘法口訣早已爛熟于心，小時(shí)候還是咬著筆桿冥思苦想的題目現(xiàn)在可以只是“水題”，這其中原因當(dāng)然有年歲增長(zhǎng)、智力成熟，但最重要的是記憶和理解的深入，古人云“熟能生巧”，一個(gè)“熟”字，便道出了常規(guī)運(yùn)算的精髓，記得剛學(xué)三角函數(shù)時(shí)，便為各種拗口的恒等變換公式所頭疼，做題時(shí)還要苦記“奇變偶不變、符號(hào)看象限”的口訣，但在學(xué)完整個(gè)版塊，完成專題試卷之后，像sin（α+β）的恒等公式已經(jīng)信手拈來，遇到題目，常規(guī)運(yùn)算自動(dòng)浮現(xiàn)，這是來自于我們對(duì)公式推導(dǎo)方法層層深入的理解，與解題后對(duì)于內(nèi)容的加深記憶，所以，如果將常規(guī)計(jì)算比作通向恢宏數(shù)學(xué)殿堂的大門的話，“熟化”就是那把契合鎖孔的鑰匙。

二、技巧運(yùn)算

小時(shí)候聽到的記憶最深的數(shù)學(xué)故事，就是高斯計(jì)算“1+2+…+100”的故事，尚顯稚嫩的小高斯已經(jīng)想出來首尾相加的技巧，這位數(shù)學(xué)巨匠的天賦并非年齡所能掩蓋，技巧，高大上地說，是一種四兩撥千斤的智慧；通俗地說，就是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行巧妙分析，構(gòu)思出一種簡(jiǎn)單的方法，從而事半功倍，不必說技巧運(yùn)算可以鍛煉到我們的思維，開拓更加靈活的思路，單從功利的角度看，精妙的想法可以縮短運(yùn)算時(shí)間，讓我們?cè)诰o張的考試中占得先機(jī)。

但是，根據(jù)“難度守恒定律”，運(yùn)算的簡(jiǎn)便，意味著技巧思路難以發(fā)現(xiàn)，那么，怎樣才能找到運(yùn)算的技巧呢？在《庖丁解?！饭适轮?，庖丁的高超之處就是在于他在宰牛時(shí)能循著牛的骨架和紋理下刀，從而達(dá)到游刃有余的境界，同樣，想要在學(xué)習(xí)中“游刃有余”，也要能學(xué)會(huì)分析式子結(jié)構(gòu)。

如果說常規(guī)算法是自動(dòng)浮現(xiàn)的話，技巧運(yùn)算就是“蹦”出來的，代表著一種靈活與精妙，結(jié)構(gòu)分析需要的是一種感覺，就像遇到過圓錐曲線焦點(diǎn)的線段長(zhǎng)問題，就想到用極坐標(biāo)，遇到計(jì)算最值時(shí)兩個(gè)分式分母和為定值，就想到用柯西不等式，這種感覺，依靠于一種靈感與思維的跳脫，技巧不是先天具有的，也不是能刻意鍛煉出來的，只有思維足夠靈動(dòng)，對(duì)于數(shù)學(xué)足夠的熱愛，才能掌握技巧運(yùn)算的真諦。

但是數(shù)學(xué)無(wú)限，技巧也無(wú)限，不可能將其窮盡，真正優(yōu)秀的算法，不是死記技巧，蒙頭亂撞，而是選擇最合情合理的運(yùn)算。

運(yùn)用虛數(shù)解組合題看似不可思議，但仔細(xì)分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)這種想法不僅不是空穴來風(fēng)，反而有理有據(jù)，令人驚嘆，這就是合理的魅力，

解題方法無(wú)窮無(wú)盡，而在我看來，合理運(yùn)算的精髓就在于化未知為已知的思想，將陌生的式子與熟悉的知識(shí)比較結(jié)合，找出共同點(diǎn)，就如同我們最為熟悉的換元法，對(duì)目標(biāo)的合理分析后，再陌生的式子，在抓住了它的本質(zhì)之后，也可以向已知靠攏，變量的轉(zhuǎn)化帶來更加簡(jiǎn)單、更加熟悉的式子，演繹出合理思想的精彩，而上面的組合數(shù)求和，也是從已知的知識(shí)（組合數(shù)的偶數(shù)項(xiàng)的和）出發(fā)，找到與陌生目標(biāo)（組合數(shù)的第4k+2項(xiàng)的和）之間的聯(lián)系，從而獲得清晰的思路，從一開始的茫無(wú)頭緒，變得胸有成竹，化未知為已知，是將運(yùn)算歸于合理的最精妙的一筆。

“天下同歸而殊途，一致而百慮，”從一個(gè)角度看，所有的運(yùn)算都是為了得出答案，而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最有挑戰(zhàn)、最為趣味的一部分，就是找到合理的那種方式，在已知中開拓，在未知中追尋，這就是數(shù)學(xué)運(yùn)算的奧秘，讓我們關(guān)注運(yùn)算技巧，熟化常規(guī)運(yùn)算，到達(dá)合理運(yùn)算的境界。