仲興業(yè)

數(shù)學(xué)歸納法是證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法，即先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)n=kk∈N+，k≥n0時(shí)命題成立的前提下，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，那么就證明了這個(gè)命題成立.下文主要介紹數(shù)學(xué)歸納法在解決高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.

一、證明恒等式問題

例1 對于n∈N*，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1·n+2·（n-1）+3·（n-2）+…+（n-1）·2+n·1=16n（n+1）（n+2）.

證明 設(shè)f（n）=1·n+2·（n-1）+3·（n-2）+…+（n-1）·2+n·1.

（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立；

（2）設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)等式成立，即1·k+2·（k-1）+3·（k-2）+…+（k-1）·2+k·1=

16k（k+1）（k+2），

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

f（k+1）=1·（k+1）+2[（k+1）-1]+3[（k+1）-2]+…+[（k+1）-2]·3+[（k+1）-1]·2+（k+1）·1

=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）

=16k（k+1）（k+2）+12（k+1）（k+1+1）

=16（k+1）（k+2）（k+3）.

∴由（1）（2）可知當(dāng)n∈N*時(shí)等式都成立.

二、證明不等式問題

例2 已知n∈N*，

求證：（1+2+3+…+n）·（1+12+13+…+1n）≥n2.

證明 可結(jié)合不等關(guān)系：1+12+13+…+1n≥1+12（n>1）來證明，但注意要將奠基的起點(diǎn)后移，即在第一步證明中，不僅要證明n=1時(shí)原不等式成立，還要證明當(dāng)n=2時(shí)，原不等式也成立.

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，原不等式顯然成立，

當(dāng)n=2時(shí)，不等式

左邊=（1+2）×（1+12）=92=412，

右邊=22=4，則左邊>右邊，

∴當(dāng)n=2時(shí)，原不等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*，k>1）時(shí)，（1+2+3+…+k）·（1+12+13+…+1k）≥k2成立，則n=k+1時(shí)，

[1+2+3+…+k+（k+1）][1+12+13+…+1k+（1k+1）]

=（1+2+3+…+k）（1+12+13+…+1k）+1+2+3+…+kk+1+（1+12+13+…+1k）（k+1）+1≥k2+k（k+1）2（k+1）+（1+12）（k+1）+1

>k2+k2+32k+1=（k+1）2.

所以當(dāng)n=k+1時(shí)原不等式也成立.

由（1）和（2），可知原不等式對任何n∈N*都成立.

三、證明整除性問題

例3 證明： an+1+a+12n-1能被a2+a+1整除n∈N*.

證明 （1）當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立.

（2）假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即ak+1+a+12k-1k∈N*能被a2+a+1整除.則當(dāng)n=k+1時(shí)，

ak+2+a+12k+1=ak+1a+a+12k-1a+12 =aak+1+a+12k-1+a+12k-1a+12-aa+12k-1

=aak+1+a+12k-1+a+12k-1a+12-a

=aak+1+a+12k-1+a+12k-1a2+a+1

由于ak+1+a+12k-1能被a2+a+1整除，

所以aak+1+a+12k-1+a+12k-1a2+a+1能被a2+a+1整除

即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.

根據(jù)（1）和（2），可知命題對任何n∈N*都成立.

四、證明幾何問題

例4 證明：任何一個(gè)正方形都可以分割成5個(gè)以上的任意正方形.

證明 一個(gè)正方形分割成4個(gè)正方形是很容易的.由此猜想：若能把一個(gè)正方形分割成k個(gè)正