浙江省德清縣高級(jí)中學(xué) (313201)

高 玥

浙江省德清縣第三中學(xué) (313201)

施剛良(指導(dǎo)老師)

命題人不同，試題卻雷同
——以幾道2012年高考題為例

浙江省德清縣高級(jí)中學(xué) (313201)

高 玥

浙江省德清縣第三中學(xué) (313201)

施剛良(指導(dǎo)老師)

一、試題呈現(xiàn)及解答

(2012年陜西理科數(shù)學(xué)第9題)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c，若a2+b2=2c2，則cosC的最小值為( ).

(2012年遼寧理科數(shù)學(xué)第17題) 在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，角A,B,C成等差數(shù)列.(1)略；(2)若邊a,b,c成等比數(shù)列，求sinAsinC的值.

無(wú)獨(dú)有偶，在2012年的全國(guó)各省市高考試題中，還有與陜西省、遼寧省高考試題類(lèi)似的題目，現(xiàn)將它們摘錄如下：

(2012年安徽理科數(shù)學(xué)第15題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c，則下列命題正確的是________.

評(píng)注：利用上面性質(zhì)1的證明過(guò)程，可以輕松證明①的正確性.并且，選項(xiàng)②的命制源于2011北約試題：已知△ABC的邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足a+b≥2c，求證：C≤60°.

二、試題的進(jìn)一步探究

性質(zhì)2在ΔABC中，若三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，則

在證明之前先給出如下引理，證明留給有興趣的讀者.

引理若x,y都是正數(shù)，則

評(píng)注：在性質(zhì)2(1)的證明過(guò)程中，其實(shí)已經(jīng)得到了2012年安徽理科數(shù)學(xué)第15題②的正確性.從性質(zhì)可以看出高考試題的命制的背景，體現(xiàn)出從一般到特殊的命題思想.

上面性質(zhì)2盡管沒(méi)有像性質(zhì)1的條件那樣整齊劃一，但通過(guò)對(duì)n的分類(lèi)討論，也算是得到了理想中的結(jié)論.著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或做出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，它們總是成群生長(zhǎng)的.帶著有點(diǎn)不甘心的心情，筆者苦思冥想，最終通過(guò)縮小n的范圍得到了如下整齊劃一的結(jié)論：

綜合上面的討論，就證明了定理3.

評(píng)注：在性質(zhì)3的證明過(guò)程中已經(jīng)解決了2012年陜西理科數(shù)學(xué)第9題，性質(zhì)3體現(xiàn)了從特殊到一般的研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想.

結(jié)束語(yǔ)

高考試題是眾多專(zhuān)家、學(xué)者、優(yōu)秀教師集體智慧的結(jié)晶，具有原創(chuàng)性和可探究性，這些試題是命題者留給我們的一筆“財(cái)富”.只要我們敢于探究，認(rèn)準(zhǔn)探究的方向，就一定能夠使得這些“財(cái)富”有所“增值”的.著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：沒(méi)有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做；在經(jīng)過(guò)充分的研究和觀察以后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)；而且無(wú)論如何，我們總可以深化我們對(duì)答案的理解.我們要時(shí)刻銘記波利亞教授的話，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的“積淀”，必將提高我們的數(shù)學(xué)思維能力.