何燈，李云杰

（福清第三中學(xué)，福建福清350315）

雙曲函數(shù)的Cusa-Huygens型不等式的推廣與改進(jìn)

何燈，李云杰

（福清第三中學(xué)，福建福清350315）

本文將雙曲函數(shù)的Cusa-Huygens型不等式作了含參推廣和改進(jìn)，由此建立的不等式優(yōu)于現(xiàn)有的諸多結(jié)果，文末導(dǎo)出一條涉及算術(shù)平均、幾何平均、對(duì)數(shù)平均的不等式鏈.

雙曲函數(shù)；Cusa-Huygens型不等式；Seiffert平均；不等式

0 引言

文獻(xiàn)[1-2]建立了著名的Cusa-Huygens不等式，文獻(xiàn)[3]給出了Cusa-Huygens不等式的雙曲函數(shù)形式.針對(duì)文獻(xiàn)[3]所建立的不等式，J.Sándor、朱靈、楊鎮(zhèn)杭、吳善和、陳超平等不等式專家做了大量的研究，現(xiàn)有諸多結(jié)果[4-17].本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，建立了shx/x的更強(qiáng)的含參上下界形式，將已有的研究結(jié)果做了更進(jìn)一步的推廣和改進(jìn)，由此得到了涉及算術(shù)平均、幾何平均、對(duì)數(shù)平均的一條不等式鏈.

1 預(yù)備知識(shí)

Cusa-Huygens不等式[1-2]：設(shè)，則有.

雙曲型Cusa-Huygens不等式[3]：設(shè)x∈（0，+∞），則有

朱靈[7]將式（1）推廣為：設(shè)x＞0，，則有.

E.Neuman與J.Sándor則改進(jìn)式（1）為：設(shè)x＞0，則.

成立當(dāng)且僅當(dāng)q≥3.

朱靈[15]將式（2）推廣為：設(shè)x＞0，p＞1或p≤8/15，則當(dāng)且僅當(dāng)q≥3（1－p）.特別地，令p＝1/2，q＝3/2，可得

楊鎮(zhèn)杭[11]證得式（3）的如下含參推廣：

結(jié)論1設(shè)p，x＞0，雙邊不等式

結(jié)論2設(shè)x＞0，則

綜合上述結(jié)論，可得不等式鏈

關(guān)于上述不等式鏈的研究，可參閱文獻(xiàn)[17].

1 引理及證明

引理1設(shè)t∈（0，0.88），n∈N*，n≥4，則f（n）＝t2n（2n＋1）關(guān)于n單調(diào)遞減.

證明f（x）＝t2x（2x＋1）（x∈R，x≥4），可求

則f（x）＝t2x（2x＋1）關(guān)于x在[4，+∞)上單調(diào)遞減，從而當(dāng)n≥4，f（n）＝t2n（2n＋1）關(guān)于n單調(diào)遞減.

引理2設(shè)an＝180p4－4p2n（20p2－3）（2n＋1）－22np2n（3－5p2）（2n＋1），n∈N*，n≥3，，則當(dāng)p＝p1時(shí)an≥0，當(dāng)p∈[1/2，p2]時(shí)an≤0.

證明當(dāng)p＝p1，可求a3＝0.當(dāng)n≥4，由引理1得

2 主要結(jié)論及其證明

又

當(dāng)p∈（0，p1］，由引理2，當(dāng)p＝p1，F(xiàn)（p，x）≥0，結(jié)合引理3，可證.

當(dāng)p∈［p3，+∞），注意到，據(jù)式（5）顯然有F（p3，x）≥0，結(jié)合引理3，可證.當(dāng)p∈[1/2，p2]，由引理2，F(xiàn)（p，x）≤0，式（6）反向成立.

注意到

要使F（p，x）≥0，必需有

解之，可得p∈（0，p1］∪［p3，+∞）.要使F（p，x）≤0，必需有

解之，可得p∈[1/2，p2].

綜上，定理1得證.

注2計(jì)算得

足見式（6）在x＝0附近有較高的逼近精度.

注意到G（p3/2）＝G（p3），則可得

定理3設(shè)x＞0，則

其中花括號(hào)上下兩個(gè)不等式表示其不分強(qiáng)弱（下同）.

注意到

3 定理的等價(jià)形式

兩個(gè)正數(shù)a，b的冪平均定義為[18]

A2，A1，A0分別稱為這兩個(gè)數(shù)的平方根平均，算術(shù)平均及幾何平均.

反雙曲正切Seiffert平均（即對(duì)數(shù)平均）定義為

從而定理1等價(jià)于

定理4設(shè)a，b＞0，a≠b，p∈R，則

定理5設(shè)a，b＞0，a≠b，則如下不等式鏈成立

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[19]NEUMAN E.Bounds for symmetric elliptic integrals[J].J Approx Theory，2003，122（2）：249-259.

Extension and Improvement of the Cusa-Huygens Type Inequalities for Hyperbolic Function

HE Deng,LI Yunjie
（Number 3 Middle School,Fuqing350315,Fujian,China）

A parametric extension and improvement on the Cusa-Huygens type inequalities for Hyperbolic function is presented.The establishment of the inequality is superior to the existing results.An inequality chain involving arithmetic mean,geometric mean,logarithmic mean is explored.

hyperbolic function;Cusa-Huygens type Inequalities;Seiffert mean;inequalities

O178

A

1001-4217（2016）04-0049-08

2015-12-21

何燈（1984—），男，福建福清人，學(xué)士，全國(guó)不等式研究會(huì)成員.研究方向：解析不等式及不等式機(jī)器證明.E-mail：hedeng123@163.com