劉保乾

（西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心，西藏拉薩850000）

三角形幾何量的秩序圖和量級圖初探

劉保乾

（西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心，西藏拉薩850000）

以不等式自動發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2010為工具，通過對已知不等式進行隔離研究，提出了研究三角形幾何不等式的有向圖表示方法，并繪制了三角形中部分幾何量的秩序圖和量級圖；討論了秩序圖和量級圖的數(shù)據(jù)描述結(jié)構(gòu)；隔離了一些著名不等式結(jié)果；提出了待解決的不等式問題.

有向圖；三角形幾何不等式；不等式自動發(fā)現(xiàn)；量級

0 引言

三角形幾何不等式數(shù)目繁多，內(nèi)容豐富，特別是由于機器證明軟件的出現(xiàn)（如DISCOVERER程序[1]，Bottema軟件[2]和agl2010程序[3]等），使這類不等式的發(fā)現(xiàn)呈現(xiàn)出井噴的態(tài)勢.如何理出這些大量的、形式各異的不等式之間的關(guān)系和秩序，進而剖析其規(guī)律，是一個十分有價值的工作.本文以不等式自動發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2010為工具，通過對ΔABC中的不等式

進行隔離研究，在對眾多隔離結(jié)果進行分析和研究的基礎(chǔ)上，提出了用有向圖研究三角形幾何量之間關(guān)系的一種思路和方法，為數(shù)量研究三角形提供了新的視角和課題.

以下約定ΔABC三邊上的中線為ma，mb，mc，高為ha，hb，hc，角平分線為wa，wb，wc，旁切圓半徑為ra，rb，rc，類似中線為ka，kb，kc，內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，半周為s.用表示循環(huán)和.

1 過濾等價式

要用agl2010程序得到不等式的隔離式，首先要構(gòu)造數(shù)據(jù)集，數(shù)據(jù)集中元素的數(shù)目及元素的形式將影響分隔結(jié)果的多少及形式.為了得到較為精確的隔離式和提高運算效率，需要過濾掉數(shù)據(jù)集中的冗余元素.文獻[4]曾編寫過一個等價式過濾程序，但由于程序功能比較簡單，難以處理形式復(fù)雜的三角形表達式.為此需要探討新的算法.

過濾等價式，從本質(zhì)上講是判斷兩個表達式是否恒等.在agl2010程序中，判斷兩個非根式型幾何量表達式相等的方法是，先將表達式代數(shù)化，再進行比較，具體命令是：

如果執(zhí)行的結(jié)果是零，則表示ex1＝ex2是恒等式.對一些根式型幾何量（如角平分線wa，半角三角函數(shù)等），則要將其化為等價的銳角三角形表達式，然后再代數(shù)化，具體命令是factor（aptoxp（subs（lsta，ex1－ex2）））.但這種方法最大的缺點是判定過程容易出錯，且效率不高.為了建立對任何表達式都適用的通用算法，可用賦值驗證的方法，即對兩個表達式賦若干組數(shù)值（本文取了3組數(shù)據(jù)），如果用這些數(shù)值能夠驗證兩個表達式相等，則暫且認為它們是恒等的，這樣就可以通過程序?qū)⒌葍r式初選出來，最后再對搜索出來的恒等式進行驗證確認，以得到正確的結(jié)論.具體通過如下程序csxd來實現(xiàn)：其中語句2排除了分母為零的情況，語句3分別測試了三組數(shù)據(jù)[2，3，4]，和[11，473，5001]，如果測試通過，則返回1，否則返回－1.

調(diào)用csxd模塊就可以編寫過濾等價式程序trghds.程序trghds對一個數(shù)據(jù)集ex中的等價式進行過濾，并打印出過濾過程中產(chǎn)生的副產(chǎn)品——恒等式；程序的返回值是一個過濾掉等價式的數(shù)據(jù)集.

例1在ΔABC中，構(gòu)造一個零次對稱數(shù)據(jù)集，并過濾掉其中的等價式.

解鍵入命令：

經(jīng)測試知，數(shù)據(jù)集ls中共有165個元素，這些元素中已經(jīng)沒有冗余數(shù)據(jù).為了輸出發(fā)現(xiàn)的恒等式，可鍵入指令bf：＝glpfhds（hd），最后在bf變量中得到77個較有意義的三角形恒等式，如

2 不等式（1）的隔離與幾何量的秩序圖

agl2010程序有現(xiàn)成的隔離不等式命令，具體地說，隔離不等式M≥N的命令是：

其中d是參與隔離的數(shù)據(jù)集；bz表示何種類型的不等式，bz＝0表示3元代數(shù)不等式或者三角形幾何不等式；xs表示隔離結(jié)果是否實時顯示，xs＝1表示顯示.程序trg_fgs的功能是對不等式M≥N進行隔離，返回值是一個數(shù)據(jù)集{qi}，并且有不等式鏈M≥qi≥N，稱qi為不等鏈的節(jié)點.為了減少數(shù)據(jù)量，現(xiàn)取ΔABC中最基本的元素a，ha，ra，ma，wa，R，r，s和三內(nèi)角的正弦、余弦，進行簡單的求和與求商運算構(gòu)造數(shù)據(jù).具體命令如下：

這樣就得到了數(shù)據(jù)集dz.為了隔離不等式（1），運行如下命令：

這表示已經(jīng)開始在數(shù)據(jù)集dz中搜索不等式（1）的隔離式.經(jīng)過148.762 s運算后，輸出隔離式集，現(xiàn)選其中若干優(yōu)美的幾何量，構(gòu)成集合df＝{qi}，qi的具體表達式如下（限于篇幅，有些表達式這里沒有給出）：

注意這些不等式之間的關(guān)系是平行的，還沒有構(gòu)成不等式鏈.為了進一步隔離不等式（1），下面對各節(jié)點再進行隔離.鍵入命令：

則輸出集合{q6}，這說明有不等式鏈q1≥q6≥q2.接著鍵入命令：

則輸出集合{q8，q16，q19}，這說明有不等式鏈

為了確認q8，q16，q19之間的大小關(guān)系，現(xiàn)用不等式自動發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2010的隨機數(shù)驗證程序otf直接進行測試（返回值是1表示表達式是非負的），這樣就可以進一步得到不等式鏈q1≥q6≥q2≥q19≥q8≥q16≥q3≥q0.鍵入命令：

則輸出集合{q2，q11，q17，q19}，這說明有不等式鏈

用otf程序測試q11和q17之間的大小關(guān)系，上不等式鏈可修改為

這樣就可以用程序trg_fgs和隨機數(shù)驗證程序otf交替使用的方法得到隔離式.但隨著分隔鏈的加長，節(jié)點數(shù)目會越來越多，這樣用不等式鏈表示會遇到困難.為了解決這個問題，下面用有向圖來描述不等式鏈之間的關(guān)系（有向圖等概念請參閱文獻[5]）：圖中的每個頂點對應(yīng)一個幾何量，有向圖的邊代表幾何量的大小關(guān)系.如不等式M≥N可表示為M→N，這樣就可以把不等式鏈中的諸節(jié)點連起來.如果兩個表達式大小關(guān)系不確定，則不產(chǎn)生邊.按這些原則，上不等式鏈就表示為圖1.

圖1

由于這個有向圖直觀地反映了各個分隔點中幾何量的位置關(guān)系和順序，故稱此圖為幾何量的秩序圖.由于qi的次數(shù)是零次的，故也稱此圖為幾何量的零次秩序圖.分隔不等式（1）的一個較完整的零次秩序圖見圖2（為了標(biāo)識方便，用ID號i直接表示qi）.

圖2

秩序圖直觀地反映了一個不等式與其它不等式的強弱關(guān)系.在秩序圖中，從某頂點開始沿著有向邊的方向出發(fā)，到達另一個頂點所經(jīng)過的路程稱為由該點到另一個頂點的路徑，開始的點稱為路徑的始點，終止的點稱為路徑的終點；每個邊中箭頭所指的頂點所代表的不等式強于箭頭發(fā)出者的那個頂點，即每一個路徑都代表一個不等式鏈；如果頂點之間沒有邊連接，則表示這些頂點之間構(gòu)成的不等式不分強弱.找出一個圖2中的最長路徑（即包含的邊數(shù)最多）很有趣.

另外，在秩序圖中頂點之間的連接情況各異，一些頂點可能與多個頂點相連，而一些頂點則比較特殊.如果一個頂點只有后繼點而沒有前驅(qū)點，則稱該點為左孤立點，在圖2中，q1就是一個左孤立點.如果一個頂點只有前驅(qū)點而沒有后繼點，則稱該點為右孤立點；在圖2中，q0就是一個右孤立點.如果一個點沒有邊與秩序圖中的任何一個頂點連接，則稱該點為秩序圖的孤立點.隨著秩序圖上頂點（幾何量）的增加，一些孤立點可能會轉(zhuǎn)化為非孤立點，并且產(chǎn)生新的孤立點.

如果不等式M≥N一旦確定，則幾何量M和N可看作是一個參照系中的兩個參考點，以這兩個參考點作比對，其它同量綱的幾何量總可以找到自己在參照系中的位置.這也可看作是對秩序圖的一種直觀解釋.

解由于有不等式q57≤4，故q57和q0之間邊的方向是從q0指向q57（此時q0由右孤立點轉(zhuǎn)化為非孤立點）.為了在秩序圖上反映出這類幾何量，可考慮對更弱的不等式

進行隔離，就是說秩序圖是完全開放的.

例3在圖2中，有路徑30→22→25→24→23→37→0（注意圖2中有些頂點未標(biāo)出），這說明有不等式鏈q30≥q22≥q25≥q24≥q23≥q37≥4，具體的不等式鏈?zhǔn)?/p>

不等式鏈（3）隔離了Gerretsen不等式4R2＋4Rr＋3r2≥s2，十分優(yōu)美.

類似可得到O·Kooi不等式R（4R＋r）2≥2s2（2R－r）的隔離式

3 量級圖

如果把秩序圖中的幾何量qi按量級[6]大小進行分類，對分類后的量級進行有向圖表示，則可以對秩序圖進行簡化，具體是：圖中的各個頂點對應(yīng)一個量級，有向圖的邊代表量級的大小關(guān)系，從而得到量級圖.

為了對秩序圖上的幾何量qi進行量級分類，鍵入命令：

執(zhí)行上述語句后按量級大小將qi分成12個子集，每個子集中的元素是幾何量的ID號.具體情況是：

這些量級用R，r，s表示的參照式是（具體量級推導(dǎo)過程此略）：

這些量級可用有向圖3表示如下（為了簡便，用ID號i表示ei）：

圖3

由于這個有向圖直觀地反映了各頂點中量級的位置關(guān)系和大小順序，故稱此圖為幾何量的量級圖.由于ei的次數(shù)是零次的，故也稱此圖為幾何量的零次量級圖.在量級圖中，e12和e3的入度為零，是這個量級圖中的最大量級；e1的出度為零，是這個量級圖中的最小量級.

4 幾何量秩序圖和量級圖的數(shù)據(jù)描述

當(dāng)有向圖中的頂點（幾何量）很多時，要畫出圖就很復(fù)雜甚至不可能，即使畫出來也會很凌亂（如圖2中有些頂點雖未標(biāo)出，但已經(jīng)足夠復(fù)雜），為此就需要用數(shù)據(jù)的方法對圖形進行描述，這樣做不僅解決了龐大圖形的表示問題，而且可以為進一步研究奠定基礎(chǔ).

要確定一個頂點在有向圖P0上的位置，只需要描述出該頂點的前驅(qū)點和后繼點即可.如果某頂點qi∈P0，則可用一個列表數(shù)據(jù)描述其位置，這個列表數(shù)據(jù)是[{lj}，{rt}]，其中{lj}表示頂點qi的前驅(qū)點集，{rt}表示qi的后繼點集，稱列表[{lj}，{rt}]為qi在P0圖上的坐標(biāo)數(shù)據(jù)（也可簡稱為坐標(biāo)），可記為qi（{lj}，{rt}）.由于有向圖中的每個頂點可用其ID號標(biāo)識，故qi點的坐標(biāo)也可寫成qi（{j}，{t}）的形式.有向圖上所有頂點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)和ID號構(gòu)成有向圖的數(shù)據(jù)集，具體格式是{[i，{j}，{t}]}，即數(shù)據(jù)集中的每個元素是一個列表，每個列表由頂點的ID號和坐標(biāo)構(gòu)成.給定一個數(shù)據(jù)集，就可以繪出一張惟一的有向圖；同樣，從一張有向圖也可得到一個惟一的數(shù)據(jù)集，即有向圖和它的數(shù)據(jù)集是一一對應(yīng)的，或者說是等價的.一個有向圖既可以由一個具體繪出的圖形表示，也可用一個數(shù)據(jù)集表示出來.

例4圖2的數(shù)據(jù)集如下：

由這個數(shù)據(jù)集可知，q1為左孤立點，q0為右孤立點.

例5一個有向圖S的數(shù)據(jù)集如下：

試畫出S的有向圖.

解根據(jù)題目中給出的數(shù)據(jù)集，畫出S的有向圖，得到圖4，在路徑3→4→5中，由于頂點3和頂點5直接相連，故是冗余邊，應(yīng)刪除.同理知1→3邊也是冗余的.刪掉冗余邊，最后得到圖5.

圖4

圖5

例5說明，在一個有向圖中，如果某個路徑中的兩個節(jié)點直接相連，則必是冗余的.利用這個結(jié)論可以快速繪出有向圖.

前驅(qū)點集和后繼點集中的幾何量之間必不可分大小，利用這個特點可以查找有向圖中的錯誤.程序crdbfdx可以判定一個集合中的元素之間是否不分大小，如果是，則返回1，否則返回－1，同時打印出能夠分大小的幾何量的ID號.調(diào)用crdbfdx，可以編寫對一個有向圖數(shù)據(jù)集進行查錯的程序ddpas.事實上，圖2就是借助于程序ddpas化簡得到的.crdbfdx的源程序如下：

程序crdbfdx的輸入?yún)?shù)是一個集合，集合的元素是頂點的ID號.語句5通過命令q將ID號轉(zhuǎn)化為頂點所代表的幾何量，并置入集合變量ex中，ex中元素的數(shù)據(jù)格式是[幾何量表達式，ID號].語句8和語句9測試表達式正性，并設(shè)置返回標(biāo)志，如果表達式為正，則打印出ID號.

例6查找如下圖6中的錯誤（約定頂點上幾何量的含義同于圖2）：

圖6

圖7

解在圖6中，q1有后繼點集{5，6，7，17}，鍵入命令

輸出-1，同時打印出[6，7]和[6，17]兩個數(shù)據(jù)，這說明圖6中有錯，且提示可能存在路徑6→7和路徑6→17.用隨機數(shù)驗證程序otf測試知，圖6可修改為圖7.

解先將q62以數(shù)據(jù)集約定的格式錄入秩序圖的數(shù)據(jù)集變量中，即按[幾何量，ID號]的格式錄入.接著鏈入命令

則顯示3組數(shù)據(jù)

其中xy的含義是所有大于q62的幾何量的ID號集合.找出xy集中每個元素在圖2中可能存在的所有路徑，每個路徑的終點所構(gòu)成的集合，即{29，27}形成q62的前驅(qū)點集.

dy的含義是所有小于q62的幾何量的ID號集合.找出dy集中每個元素在圖2中可能存在的所有路徑，每個路徑的始點所構(gòu)成的集合，即{24，35}形成q62的后繼點集.由此得到q62在圖2中的坐標(biāo)（bf的含義是一些與q62大小不確定的幾何量的ID號集合）.

例7其實提供了在秩序圖上增加頂點的一種方法，但要把這種方法轉(zhuǎn)化為實際算法，還有許多工作要做.

5 結(jié)語

文獻[6]曾指出，數(shù)量研究三角形的任務(wù)就是找出幾何量的量級歸宿，最終完善量級圖.由本文可知，除量級圖外，三角形幾何量的大小關(guān)系秩序圖也很重要，這兩種圖形整肅了三角形幾何量的秩序，以直觀生動的形式呈現(xiàn)了三角形幾何量的一些特征和面貌，所以量級圖和秩序圖（簡稱為兩圖）構(gòu)成了數(shù)量研究三角形的基礎(chǔ)圖形.任何一個已知的或未知的三角形幾何不等式，都可在“兩圖”上找到自己的位置；有了“兩圖”，我們不僅可以認知單個孤立的幾何量或不等式，而且還可以了解它左右鄰旁的信息.樹立這種觀念是有益的，這不僅提高了發(fā)現(xiàn)不等式的主動性和效率，而且還可以指導(dǎo)我們徑直走向目標(biāo).在“兩圖”的背景下，如果某個研究對象一旦出現(xiàn)，很快就會被一連串的關(guān)系式鎖定.所以進一步研究和完善“兩圖”是十分重要的.最后再提2個問題：

問題1本文是用手工測試結(jié)合程序幫助的辦法得到“兩圖的”.如何用圖論的理論和算法研究“兩圖”，并用程序自動生成“兩圖”？

問題2給定一個有向圖S的數(shù)據(jù)集，如何插入一個新的頂點，使插入新頂點后數(shù)據(jù)集自動更新？又如何輸出S的一個最大路徑？

[1]楊路，侯曉榮，夏壁燦.自動發(fā)現(xiàn)不等式型定理的一個完備算法[J].中國科學(xué)（E輯），2001，3（3）：273-288.

[2]楊路，夏壁燦.不等式機器證明與自動發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學(xué)技術(shù)出版社，2008：117-142.

[3]劉保乾.不等式的自動發(fā)現(xiàn)原理及其實現(xiàn)[J].汕頭大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2011，26（2）：3-11.

[4]劉保乾.磨光集及其應(yīng)用[J].汕頭大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，30（2）：44-55.

[5]方世昌.離散數(shù)學(xué)[M].3版.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2009.

[6]劉保乾.用對稱性和量級研究三角形中的非負對稱量[C]//楊學(xué)枝.不等式研究（第1輯）.拉薩：西藏人民出版社，2000：200-222.

Prelim inary Study of Order and M agnitude Graph of Triangle Geometrics

LIU Baoqian
（Information Management Center,Department of Organizational Information,Lasa 850000,Xizang Autonomous District,China）

The representation of directional graph of triangle geometrics is proposed for triangular geometric inequalities.It is achieved by separate examinations of known inequalities based on the program of Ag12010 for automatically finding and determining of inequalities.The data representation structures of order and magnitude graphs are s tudied.Several known inequalities are separated and open questions are also raised.

directional graph;triangle inequalities;automatically finding of inequalities; magnitude

O 122.3

A

1001-4217（2016）04-0030-10

2015-10-24

劉保乾（1962—），男，陜西鳳翔人.E-mail：wshr987@163.com.