甘振華，熊保平1b，杜 民，高躍明1b，楊丕胤1b

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CCD光電響應(yīng)曲線的神經(jīng)動(dòng)力學(xué)擬合

甘振華1a,2，熊保平1b,2，杜 民1a,2，高躍明1b,2，楊丕胤1b,2

( 1. 福州大學(xué)a. 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院；b. 物理與信息工程學(xué)院，福州 350116；2. 福建省醫(yī)療器械和醫(yī)藥技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福州 350116 )

針對(duì)在CCD輸出灰度值較小的區(qū)域，最小二乘法擬合的曲線與實(shí)測(cè)值之間容易出現(xiàn)偏大的相對(duì)誤差，本文提出以最大相對(duì)誤差最小化為評(píng)價(jià)指標(biāo)，使用神經(jīng)動(dòng)力學(xué)尋優(yōu)求解曲線擬合值的方法，獲得最優(yōu)擬合。首先以大功率LED為線性可調(diào)光源測(cè)量CCD的光電響應(yīng)數(shù)據(jù)，并設(shè)計(jì)多項(xiàng)式擬合的光電測(cè)量的誤差模型，然后根據(jù)相對(duì)誤差最小化的評(píng)價(jià)指標(biāo)，采用神經(jīng)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化算法求解最大相對(duì)誤差最小的擬合曲線。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，尋優(yōu)算法穩(wěn)定有效，當(dāng)多項(xiàng)式擬合階次=3時(shí)，擬合的響應(yīng)曲線的最大相對(duì)誤差為2.5%，明顯優(yōu)于最小二乘法。此外，響應(yīng)數(shù)據(jù)分析表明，CCD ICX694AL在未飽和時(shí)的光電響應(yīng)為線性關(guān)系，但在飽和區(qū)域，光電響應(yīng)的非線性明顯。

CCD；光電響應(yīng)；神經(jīng)動(dòng)力學(xué)；相對(duì)誤差；最小二乘法

0 引 言

高靈敏度CCD取得巨大進(jìn)步并廣泛應(yīng)用于微弱信號(hào)的檢測(cè)。由于CCD像元尺寸小，相應(yīng)的電荷勢(shì)阱容量有限，使得CCD很容易進(jìn)入飽和狀態(tài)，實(shí)際的響應(yīng)曲線是近似線性的[1]。CCD光電檢測(cè)是建立在光子-電荷響應(yīng)的基礎(chǔ)之上，因此響應(yīng)曲線的繪制，對(duì)使用CCD進(jìn)行準(zhǔn)確的光電測(cè)量的意義重大。相對(duì)于傳統(tǒng)的CCD光電響應(yīng)測(cè)量所采用的間劈法、雙縫衍射法和小孔衍射等方法，采用LED作為線性可調(diào)光源測(cè)量CCD的響應(yīng)曲線，其測(cè)量裝置簡(jiǎn)單，操作方便[2]。

最小二乘法(Least Squares Method, LSA)擬合以其實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)便和精度較好而得到廣泛地應(yīng)用。由于最小二乘法以誤差的平方和最小為評(píng)價(jià)指標(biāo)，無(wú)法對(duì)相對(duì)誤差做出有效約束，使得在CCD響應(yīng)曲線擬合中容易導(dǎo)致在灰度值較小的區(qū)域，出現(xiàn)較大的相對(duì)誤差。為解決這種相對(duì)誤差偏大而對(duì)檢測(cè)造成的影響，可以采用以最大相對(duì)誤差最小化為評(píng)價(jià)指標(biāo)，并轉(zhuǎn)化為邊界約束優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)求解帶邊界約束條件的優(yōu)化解，獲得曲線的最優(yōu)擬合。

目前常用的邊界約束尋優(yōu)算法有投影梯度法、譜投影梯度法、共軛梯度法、內(nèi)點(diǎn)法、牛頓法和擬牛頓法等，但是大多數(shù)優(yōu)化算法面臨著高的計(jì)算復(fù)雜度，以及局部最優(yōu)問(wèn)題[3]。由于神經(jīng)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化算法(Neural Dynamics Optimization Algorithm, NDOA)引入能量函數(shù)，把優(yōu)化問(wèn)題的求解通過(guò)能量函數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的可全局收斂的微分方程組的求解，具有計(jì)算復(fù)雜性低、全局最優(yōu)解、可并行計(jì)算，以及適合軟硬件實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于圖像處理、機(jī)器控制和信號(hào)處理等眾多的工程領(lǐng)域[4-6]。

1 CCD光電響應(yīng)的測(cè)量與最小二乘擬合

1.1 CCD光電響應(yīng)的測(cè)量

由于熱阻導(dǎo)致的結(jié)溫上升，以及大電流導(dǎo)致的無(wú)輻射空穴-電子復(fù)合比例的增大，大功率LED的輻射輸出隨驅(qū)動(dòng)電流的增大呈亞線性增加[7-8]。在散熱條件滿足的情況下，可以認(rèn)為L(zhǎng)ED在較小電流驅(qū)動(dòng)下的光電響應(yīng)為線性關(guān)系，視為線性可調(diào)光源[2]

大功率LED使用Luminus公司PT54R芯片，PT54R直接部署于面積26.5 mm×16.0 mm厚度1.6 mm的紫銅板上，最大工作電流13.5 A[9]。紫銅板-結(jié)區(qū)的熱阻僅為1.0oC/W，散熱性能優(yōu)異。在小電流供電時(shí)PT54R LED光電響應(yīng)的最小二乘線性擬合如圖1所示，具有較好的線性關(guān)系。

圖1 PT54R LED的光電響應(yīng)曲線

設(shè)c為像素的照度，為曝光時(shí)間，CCD像素的曝光量=c，CCD輸出信號(hào)經(jīng)過(guò)ADC和DSP處理，最后形成像素的灰度輸出，則和的函數(shù)關(guān)系可使用階多項(xiàng)式來(lái)表示[1,10]：

式中：c為多項(xiàng)式的擬合系數(shù)，，為CCD像素在積分時(shí)間為時(shí)的累積暗電流。

由于LED的光強(qiáng)分布具有類(lèi)朗伯特性，輸出輻射與發(fā)散角的關(guān)系[11]：

設(shè)LED發(fā)出的光線經(jīng)光學(xué)鏡片系統(tǒng)到達(dá)CCD光敏平面的通光系數(shù)為，LED的光電轉(zhuǎn)換效率為，在LED小電流的線性區(qū)域，可調(diào)光源的與的關(guān)系i，當(dāng)CCD相機(jī)成像主軸與LED光軸對(duì)齊0o時(shí)，式(1)描述的次多項(xiàng)式可寫(xiě)為

1.2 CCD響應(yīng)的最小二乘擬合

CCD傳感器為Sony行間轉(zhuǎn)移面陣CCD ICX694AL[12]。首先測(cè)量CCD暗電流灰度值=9，然后調(diào)整LED供電電源DP832的恒流源輸出，從0 mA開(kāi)始并以3 mA為步進(jìn)間隔，同時(shí)取LED發(fā)光電極的中央像素為坐標(biāo)原點(diǎn)，將其中心對(duì)稱(chēng)的20 pixel×20 pixel的灰度平均值作為CCD的響應(yīng)數(shù)據(jù)。測(cè)量所獲得的CCD響應(yīng)數(shù)據(jù)的最小二乘擬合(階次=3~5)如圖2所示。

由圖2可知CCD像素的光電響應(yīng)曲線出現(xiàn)明顯的飽和非線性。對(duì)CCD響應(yīng)數(shù)據(jù)的最小二乘擬合所出現(xiàn)的相對(duì)誤差進(jìn)行3次多項(xiàng)式插值，相對(duì)誤差曲線如圖3所示。

在CCD響應(yīng)數(shù)據(jù)較小的低端區(qū)域，因測(cè)量值偏小，使得最小二乘法在該區(qū)域的擬合誤差值在整體誤差平方和里的貢獻(xiàn)率偏低，這將導(dǎo)致最小二乘法擬合的曲線在測(cè)量值偏小的低端區(qū)域容易出現(xiàn)偏大的相對(duì)誤差。當(dāng)擬合階次5，CCD灰度值較小區(qū)域的實(shí)測(cè)響應(yīng)與擬合值的相對(duì)誤差仍高達(dá)13.3%。

由于最小二乘法沒(méi)有針對(duì)相對(duì)誤差的大小進(jìn)行約束，為提高CCD定量檢測(cè)精度，有必要對(duì)CCD響應(yīng)曲線擬合中所出現(xiàn)的相對(duì)誤差做出有效的約束。

圖2 CCD響應(yīng)曲線的最小二乘擬合

圖3 響應(yīng)數(shù)據(jù)與最小二乘擬合的相對(duì)誤差

2 基于相對(duì)誤差最小化的神經(jīng)動(dòng)力學(xué)曲線擬合

2.1 線性與二次規(guī)劃的神經(jīng)動(dòng)力學(xué)尋優(yōu)

神經(jīng)動(dòng)力學(xué)算法為求解帶約束問(wèn)題的優(yōu)化，提供了一個(gè)強(qiáng)有力的工具，對(duì)線性與二次型規(guī)劃：

它的對(duì)偶式為

其中：為階實(shí)對(duì)稱(chēng)半正定方陣；為階實(shí)矩陣；(,)∈；(,)∈。

設(shè)為單位陣，(x)+=max{0,x}，其中=1，?，，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

式(6)的微分方程組的解就是式(4~5)帶約束的線性與二次型規(guī)劃的全局最優(yōu)解[13]。

2.2 CCD光電響應(yīng)曲線擬合的神經(jīng)動(dòng)力學(xué)尋優(yōu)

對(duì)基于LED的CCD光電響應(yīng)測(cè)量系統(tǒng)，通過(guò)調(diào)節(jié)LED的正向激勵(lì)電流的大小，記為[1，2，…，i]T，同時(shí)對(duì)應(yīng)地測(cè)量CCD的光電響應(yīng)的灰度輸出值[1，2，…，y]T，則由式(3)可得各次測(cè)量的擬合值與實(shí)測(cè)值的偏差：

式中：為測(cè)量次數(shù)，?y(=1,2,…,)為第次測(cè)量時(shí)的擬合值與實(shí)測(cè)值的偏差，b(=0,1,…,)為待求響應(yīng)的擬合多項(xiàng)式第項(xiàng)的系數(shù)，為多項(xiàng)式的最高階次。

設(shè)：

則最大相對(duì)誤差最小化的表達(dá)式為

由式(9)可以將式(8)的表達(dá)變換為

設(shè)為的對(duì)偶函數(shù)，則式(11)的對(duì)偶式為

式(12)是一個(gè)單純的線性規(guī)劃的尋優(yōu)問(wèn)題，根據(jù)式(6)可得式(11~12)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[13]：

由龍格-庫(kù)塔法迭代求解微分方程組(13)的數(shù)值解=[,]，就是所求曲線的最優(yōu)擬合和最大相對(duì)誤差。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

根據(jù)式(13)，對(duì)實(shí)測(cè)的CCD響應(yīng)數(shù)據(jù)，以最大相對(duì)誤差最小化為約束條件，采用神經(jīng)動(dòng)力學(xué)算法進(jìn)行尋優(yōu)。當(dāng)=3時(shí)，其求解的軌跡如圖4所示，系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。最大相對(duì)誤差最小化的神經(jīng)動(dòng)力學(xué)擬合曲線如圖5所示(=3~5)，對(duì)應(yīng)的擬合值與各點(diǎn)實(shí)測(cè)值的相對(duì)誤差分布情況如圖6所示。當(dāng)=1~5時(shí)神經(jīng)動(dòng)力學(xué)尋優(yōu)算法和最小二乘法的多項(xiàng)式曲線擬合的相對(duì)誤差的比較如表1所示。

圖4 神經(jīng)動(dòng)力學(xué)尋優(yōu)軌跡

圖5 響應(yīng)曲線的NDOA擬合

由表1可知，當(dāng)多項(xiàng)式擬合的階次相同時(shí)，相比于最小二乘法擬合，以最大相對(duì)誤差最小化為約束條件的神經(jīng)動(dòng)力學(xué)的優(yōu)化方法，其擬合曲線的最大相對(duì)誤差下降明顯。當(dāng)=3時(shí)曲線擬合的最大相對(duì)誤差下降到2.5%，同時(shí)相對(duì)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差僅為0.7%，明顯優(yōu)于最小二乘法擬合的最大相對(duì)誤差16.6%及誤差標(biāo)準(zhǔn)差3.6%。

圖6 NDOA擬合的相對(duì)誤差分布

表1 擬合曲線的相對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)表

在圖5中CCD輸出的灰度值大于61 713(最大量程的94%)時(shí)的光電響應(yīng)曲線出現(xiàn)較明顯的非線性，即CCD在曝光量較大的區(qū)域出現(xiàn)的飽和情況十分明顯，主要原因是CCD光敏像素在大曝光量下的內(nèi)光電效應(yīng)出現(xiàn)了非線性飽和，以及CCD的電荷勢(shì)阱容量滿所導(dǎo)致的過(guò)多電荷的垂直溢漏[14]。Sony ICX694AL行間轉(zhuǎn)移CCD具有現(xiàn)代CCD廣泛應(yīng)用的垂直溢漏技術(shù)，若像素勢(shì)阱內(nèi)的電荷出現(xiàn)存儲(chǔ)飽和，過(guò)多的飽和電荷將從勢(shì)阱的勢(shì)壘溢出，并通過(guò)垂直溢漏通道泄放至CCD基底。由于垂直溢漏的作用，飽和電荷被不斷地泄漏到基底，從而造成CCD的飽和響應(yīng)值低于理論計(jì)算。

CCD ICX694AL在未飽和時(shí)的輸出響應(yīng)曲線如圖7所示，響應(yīng)信號(hào)與曝光量是線性關(guān)系；而在飽和區(qū)域，如圖8所示，響應(yīng)曲線呈現(xiàn)非線性，并且CCD飽和程度越深，被泄漏的電荷越多，非線性越明顯。

圖7 未飽和區(qū)域CCD響應(yīng)的分布

圖8 飽和區(qū)域CCD響應(yīng)的分布

4 結(jié) 論

CCD光電響應(yīng)的最小二乘擬合曲線，在曝光量較小的低端區(qū)域，擬合值與實(shí)測(cè)值之間的相對(duì)誤差，容易出現(xiàn)較大的偏差值。分析最小二乘法所采用的以誤差平方和最小為評(píng)價(jià)指標(biāo)，無(wú)法對(duì)相對(duì)誤差進(jìn)行有效地約束的原因，提出了以最大相對(duì)誤差最小化為評(píng)價(jià)指標(biāo)，并采用大功率LED作為線性可調(diào)光源，對(duì)CCD光電響應(yīng)測(cè)量過(guò)程中出現(xiàn)的相對(duì)誤差進(jìn)行建模。將相對(duì)誤差最小化作為邊界約束條件，使用神經(jīng)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化算法進(jìn)行尋優(yōu)求解。比較擬合階次=1~5時(shí)CCD響應(yīng)曲線的擬合效果，當(dāng)多項(xiàng)式擬合階次相同時(shí)，神經(jīng)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化算法尋優(yōu)求解擬合的曲線的最大相對(duì)誤差，明顯優(yōu)于最小二乘法。響應(yīng)數(shù)據(jù)分析表明，CCD ICX694AL在未飽和時(shí)的光電響應(yīng)為線性關(guān)系，但在飽和區(qū)域，由于CCD光電感應(yīng)電荷的垂直溢漏，其響應(yīng)的非線性明顯。

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Curve Fitting of CCD Opto-electronic Response Based on Neural Dynamics

GAN Zhenhua1a,2，XIONG Baoping1b,2，DU Min1a,2，GAO Yueming1b,2，YANG Piyin1b,2

( 1. a. College of Electrical Engineering and Automation;b. College of Physics and Information Engineering, Fuzhou University, Fuzhou 350116, China;2. Key Lab of Medical Instrumentation & Pharmaceutical Technology of Fujian Province, Fuzhou350116, China )

The large relative error between the measurements and the fitted values with the least squares method easily occurred when the small outputs of CCD. According to this problem, the evaluation method with minimizing the value of the maximum relative error was proposed to solve the optimum curve fitting with the neural dynamic optimization algorithm. Firstly, the CCD opto-electronic responses were achieved by using the high power LED as a linear lightsource, and the polynomial fitting error model was advanced. Thenthe neural dynamic optimization algorithm was used to solve it. The experimental results show that the optimum algorithm is stable and effective, and the maximum relative error is not more than 2.5% in the third order polynomial fitting with the neural dynamics.The relative error is obviously reducedin comparison with theleast square method. By analyzing the responses, the CCD ICX694AL is with linear characteristicsin the unsaturated region. However,it has obvious nonlinear effects in the saturated region.

CCD; opto-electronic response; neural dynamics; relative error; least square method

1003-501X(2016)12-0052-06

TN386.5

A

10.3969/j.issn.1003-501X.2016.12.009

2016-04-16；

2016-06-23

科技部港澳臺(tái)合作項(xiàng)目(2012DFM30040)；福建省科技重大專(zhuān)項(xiàng)項(xiàng)目(2013YZ0002、2014YZ0001)

甘振華(1977-)，男(漢族)，福建屏南人。工程師，博士研究生，主要研究工作是傳感技術(shù)與醫(yī)療器械。E-mail: ganzh@fjut.edu.cn。